Alguas fucioes y sumatorias G M Lua: \Aalisis y dise~o de algoritmos" 3 Poliomios E ua variable: p() = m i=0 a i i m es el grado del a 0

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María Elena Rubio Camacho
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1 Alguas fucioes y sumatorias G M Lua: \Aalisis y dise~o de algoritmos" ANALISIS Y DISE~NO DE ALGORITMOS Alguas fucioes y sumatorias Guillermo Morales-Lua Seccio de Computacio CINVESTAV-IPN gmorales@cscivestavmx Mexico, DF, a 22 de eero de 200 CONTENIDO Alguas fucioes Sumatorias Alguas fucioes y sumatorias G M Lua: \Aalisis y dise~o de algoritmos" 2 Alguas fucioes f es mootoa si es creciete o decreciete Es creciete si: 8 0 : ( 2 ) f( ) f( 2 )): Es decreciete si: 8 0 : ( 2 ) f( ) f( 2 )): Pisos y techos 8x 2 IR: bxc = el mayor etero que o supera a x, dxe = el meor etero que o esta por debajo de x, x 7! bxc y x 7! dxe so \piso" y\techo"

2 Alguas fucioes y sumatorias G M Lua: \Aalisis y dise~o de algoritmos" 3 Poliomios E ua variable: p() = m i=0 a i i m es el grado del a 0 ::: a m so los coecietes del poliomio a m, es el coeciete pricipal E varias variables: p() = m i2a a i i, A IN k cojuto ito si =( ::: k ) e i =(i ::: i k ), etoces i = Cosideraremos solo poliomios de ua variable ky j= i j j Grado : lieales Grado 2: cuadraticos Grado 3 cubicos Alguas fucioes y sumatorias G M Lua: \Aalisis y dise~o de algoritmos" 4 Para cualesquiera dos p p : p () =O(p 2 O() = [ m0 Potecias p () =(p 2 2 p () =o(p 2 <@p 2 : O( m ): clase de fu'es acotadas poliomialmete 8a 6= 0: a 0 = y 8 2 IN : a + = a a: Si = ; co 2 IN, a = a Si a>0, 8 p q 2 IQ, co q>0, a p q = x dode x es tal que x q = a p Por cotiuidad, queda deido a z 8z 2 IR

3 Alguas fucioes y sumatorias G M Lua: \Aalisis y dise~o de algoritmos" 5 Reglas de las potecias: a a m = a +m (a ) m = a m 8a >0 a ;!!+ m 8m, lim!+ a =0y m = o(a ) 8 >< >: 0 si a< si a = si a> Si a>0 y f() = O(), f() =o(a ): cualquier potecia \crece mas rapido que ua fucio acotada poliomialmete" Base de los logaritmos aturales: e = aprox e = 2: ::: lim!+ +, Para es de calculo e x = m0 x m m! x2 =+x x3 6 + x4 + () 24 Alguas fucioes y sumatorias G M Lua: \Aalisis y dise~o de algoritmos" 6 Logaritmos Para a>0, logaritmo e base a de x>0: log a x = y 2 IR co a y = x log a (xy) = log a x +log a y log a (x y ) = y log a x log b x = log a x log a b (2) Logaritmo atural: x 7! l x =log e x Para es de calculo l( + x) = (;) +m xm m = x ; x2 2 + x3 3 ; x4 4 + x5 5 ; x6 (3) 6 m Co =log a : (log a )m (log a ) m = o() (log a ) O() = [ m0 = (log a )m a log a = m a ;! 0, ie!+ O((log a ) m ): acotadas \polilogartmicamete"

4 Alguas fucioes y sumatorias G M Lua: \Aalisis y dise~o de algoritmos" 7 Factoriales Recursivamete: 0! = y 8 2 IN :( +)!=! ( +):! = p 2; e ; + ; y p 2 ; e! p 2; e + 2 :! =o( ),! =!(2 ) y log(!) = ( log ): Sucesio de Fiboacci Recursivamete, F 0 =0, F = y 8 2 IN : F +2 = F + + F : Razoes doradas: = +p 5 2 = : ::: b = ;p 5 2 = ;0: ::: 8 : F = +b p 5 y F = EteroMasProximo La sucesio crece expoecialmete p 5 Alguas fucioes y sumatorias G M Lua: \Aalisis y dise~o de algoritmos" 8 Fucioes iteradas Sea f : IR +! IR creciete, co f() < 8 Composicio de f: f (m) : 7! Para c 2 IR, 8 < : f c : 7! 8 < : Mifm 0jf (m) () cg si m =0, f(f (m;) ()) si m>0 si existe tal mimo,? e otro caso

5 Alguas fucioes y sumatorias G M Lua: \Aalisis y dise~o de algoritmos" 9 Ejemplos Logaritmo iterado: log =log log log log = = = Ilustracio del leto crecimieto de log = = Sea a> y f : 7! ap = a 8m 0, f (m) : 7! Luego, 8 >0 f (m) () 2, log 2 log 2 log 2 a m Y, f2 () = (log log ) Ya que 8m > : f (m) () >, 8 >: f () =? 3 Sea f : 7! log 8 >, f (m) () 8 >: f2 () =? & e Y,!+ am Alguas fucioes y sumatorias G M Lua: \Aalisis y dise~o de algoritmos" 0 Sumatorias Sumas itas A =(a ::: a ): P i= a i = a + + a : Series A =(a ) 0 : P + = a = P 0 a =lim!+ P i= a i: Sumas telescopicas Para A =(a 0 a ::: a ), i= (a i ; a i; )=a ; a 0 Por ejemplo, i= i(i +) = i= i ; =; i + :

6 Alguas fucioes y sumatorias G M Lua: \Aalisis y dise~o de algoritmos" Sumas de mismas potecias de los primeros eteros positivos s m = i= i m P Por el biomio de Newto, (i +) m m ; = m k=0 k i k, (i +) m ; i m = Al hacer la suma telescopica, ( +) m ; m = m; k=0 m; k=0 m k m k i k (4) s k (5) Alguas fucioes y sumatorias G M Lua: \Aalisis y dise~o de algoritmos" 2 ( +); = s 0 ( +) 2 ; = s 0 +2s ( +) 3 ; = s 0 +3s +3s 2 ( +) 4 ; = s 0 +4s +6s 2 +4s 3 ( +) 5 ; = s 0 +5s +0s 2 +0s 3 +5s 4 ( +) 6 ; = s 0 +6s +5s 2 +20s 3 +5s 4 +6s 5 Y i= s 0 = s = s 2 = s 3 = s 4 = s 5 = i m = O ( + ) = s 0 ( + ) 2 2 ( + )(+2) = s (+2) ( + ) 2 = s 2 4 ( + )( + 2)(; )= s 2 (; ) ( + ) 2 (; )= s 3 3 (; ) ; m+

7 Alguas fucioes y sumatorias G M Lua: \Aalisis y dise~o de algoritmos" 3 Sumas de potecias P P 8x 6= 0 0, x + ; = i=0 (xi+ ; x i )= i=0 xi (x ; ) y i=0 x i = ; x+ ; x Si jxj <, por x, 0 x = 0 x = Al derivar cada miembro y multiplicar ; x x, si jxj < ( ; x) 2 Alguas fucioes y sumatorias G M Lua: \Aalisis y dise~o de algoritmos" 4 Serie armoica i= Z i k + Para k>: i= x ;k dx (k =): i= i = log()+o() i k = k +(; k) + O() k;

8 Alguas fucioes y sumatorias G M Lua: \Aalisis y dise~o de algoritmos" 5 Productos log ( Q i= a i)= P i= log (a i) : Acotamieto de sumas Acotamieto termio a termio A =(a ::: a ) 2 (IR + ), B =(b ::: b ), 8i : a i b i : i= a i i= b i A =(a i ) i, B =(b i ) i, P i b i < + y 8i : a i b i : i a i i b i Si B =(b i ) i domia a la larga a A, 9i 0 8i 0: a i b i, etoces i a i i 0 a i + i= ii 0 + b i Alguas fucioes y sumatorias G M Lua: \Aalisis y dise~o de algoritmos" 6 Acotamieto por razoes meores que Sea A =(a i ) i tq 9r 2]0 [8i : 8i : a i a 0 r i y i a i+ a i a i a 0 ; r r, etoces Aproximacio por itegrales Sea A =(a i ) i, co a i = f(i), f itegrable Etoces, Z f(x)dx m; i=m; Z + f(x)dx m

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