Lección 2. Integrales y aplicaciones. 1. Integral definida: área comprendida entre dos curvas.

Transcripción

1 1. Itegral defiida: área compredida etre dos curvas. Uo de los grades logros de la geometría clásica fue el cálculo de áreas y volúmees de figuras como triágulos, esferas o coos mediate ua fórmula. E esta lecció osotros estudiaremos u método para calcular áreas y volúmees de estas figuras y otras más complicadas. Este método se llama itegració y permite calcular mucho más que áreas y volúmees. La itegral tiee muchas aplicacioes, e especial e la igeiería. E esta secció el ojetivo es dar ua defiició de área A: = x, y : a x,0 y f( x), f : x a, f( x) es ua { } del cojuto ( ) dode [ ] fució positiva ( f ( x) 0, x [ a, ] que ecierra la fució f y el eje OX e el itervalo [ a, ]. ). Es decir, queremos defiir (y calcular) el área de la regió Empezamos co ua fució f : x [ a, ] f( x) (que puede tomar valores positivos y egativos) e itroducimos el cocepto de suma de Riema. Dividimos el itervalo [ a, ] e suitervalos (o ecesariamete de la misma logitud). Para hacer esto cosideramos + 1 putos del P: = x = a< x < x < < x < x =, a,. itervalo { } que llamaremos partició del itervalo [ ] La partició P divide al itervalo [ a, ] e suitervalos [ x0, x 1], [ x1, x ],, [ x, 1 ]. x ésimo itervalo de la partició es [ x x ],, siedo u úmero atural etre 1 y. El La logitud del suitervalo [ x, 1 ], x es x. x c [, x 1 x] x ) que toca a la curva y = f( x) e el puto ( c f c ) E cada suitervalo seleccioamos u puto y costruimos u rectágulo vertical co ase e el eje OX (etre los putos x y, ( ). 1

2 Este rectágulo puede estar hacia arria o hacia aajo del eje OX depediedo de que f ( c ) sea positivo o egativo; o puede estar justamete sore elox si f( c ) = 0. Ahora formamos el producto f( c) ( x x ), que será positivo o egativo depediedo del sigo de f ( c ). Si f( c ) > 0, coicide co el área del rectágulo y si f( c ) < 0, coicide co el opuesto del área del rectágulo que se forma del eje OX hacia aajo. Fialmete sumamos todos estos productos para oteer ( ) = ( ) + ( ) + + ( ) = ( ) S f, P : f( c ) x x f( c ) x x f( c ) x x f( c ) x x, = 1 que se llama suma de Riema de la fució f e el itervalo [ a, ], respecto de la partició P. Hay muchas de estas sumas, depediedo de la partició P que elijamos y de los putos c que escojamos e el suitervalo [ x, 1 ]. x Cada ua de estas sumas de Riema, asociada a ua partició del itervalo [ a, ], geera rectágulos cuyas áreas aproxima al área de la regió que ecierra la fució f y el eje OX e el itervalo [ a, ]. Se llama orma de la partició P, y se deota por P, a la mayor de las amplitudes de los suitervalos de la partició. Etoces, si P es u úmero pequeño, todos los suitervalos de la partició tiee logitud pequeña. Como sugiere la siguiete figura, parece que las particioes co orma pequeña (tediedo a cero) proporcioa coleccioes de rectágulos cuyas áreas aproxima a,. cada vez mejor al área de la regió que ecierra la fució f y el eje OX e el itervalo [ ] E geeral esto o ocurre co todas las fucioes. Las fucioes que verifica esta propiedad se llama itegrales. De forma precisa teemos la siguiete defiició. DEFINICIÓN. Sea [ ] lim S f, P lim f( c) x x, idepedietemete de la P 0 P 0 = 1 f : x a, f( x) ua fució. Diremos que f es itegrale e el itervalo [ a, ] si existe el límite ( ) = ( ) partició P y de la elecció de los putos c [ x x ] se le deota por f ( xdx ),, 1 para = 1,,,. Al valor de este límite y se llama itegral de f e el itervalo [ a ] a,.

3 OBSERVACIÓN. La itegrailidad de la fució f, es decir, la existecia del límite sigifica exactamete que: para cada úmero ε > 0 existe otro úmero δ > 0 (que depede de ε ) tal que para toda partició P tal que P S f, P f( x) dx < ε ( ) a < δ y cada elecció de putos c [, 1 ], x x para = 1,,,. El resultado sore itegrailidad más importate de esta secció es el siguiete. TEOREMA (INTEGRABILIDAD DE LAS FUNCIONES CONTINUAS). Sea [ ] fució cotiua. Etoces f es itegrale e [ a, ]. No ostate, existe fucioes que o so itegrales. f : x a, f( x) ua EJEMPLO. Saiedo que etre dos úmeros reales cualesquiera siempre es posile elegir u úmero racioal y otro irracioal es fácil comproar que la fució f : x [ 0,1 ] f( x) defiida por 1, si x es racioal, f( x): = o es itegrale e el itervalo [ 0,1 ]. 0, si x es irracioal A cotiuació recogemos las propiedades ásicas de la itegral. 3

4 DEFINICIÓN. Sea f : x [ a, ] f( x) ua fució positiva ( f ( x) 0, x [ a, ] el área del cojuto A: = ( xy, ) : a x,0 y f( x) a es decir, área( A) : = f( x) dx. a [, ], { } ). Se defie como la itegral de f e el itervalo 4

5 E geeral, si teemos dos fucioes cotiuas f y g, co f ( x) g( x) para todo x [ a, ], e- y = g x e el itervalo [ a, ] toces el área de la regió compredida etre las curvas y = f( x) e ( ) a es la itegral ( ) f ( x) g( x) dx. 5