1. Integral doble sobre un rectángulo.

Transcripción

1 GRADO DE IGEIERÍA AEROESPACIAL CURSO Lección Integrales múltiples Integral dole sore un rectángulo El proceso para introducir la integral dole de un campo escalar de dos variales es similar al que usamos para la integral de una función de una variale Recuerda que construimos sumas de Riemann asociadas a una partición y unos puntos intermedios Cuando la norma de la partición tiende a cero, si las sumas correspondientes se aproximan a un valor real, dicho valor se llama integral de la función Aquí imitaremos dicho proceso con las modificaciones adecuadas Camiamos el dominio de definición, pasamos de un intervalo a un rectángulo R : = {( xy, ) : a x c, y d} y en las particiones consideramos surectángulos en vez de suintervalos El primer ojetivo de esta sección es dar una definición de volumen del conjunto 3 { } V : = ( x, y, z) :( x, y) R, z f( x, y), donde f :( x, y) R es una función positiva ( f ( xy, ),( xy, ) R) Es decir, queremos definir (y calcular) el volumen del sólido que encierra la gráfica de la función f y el plano OXY en el rectángulo R Empezamos con una función f :( x, y) R (que puede tomar valores positivos y negativos) e introducimos el concepto de suma de Riemann Dividiendo el intervalo [ a, ] en m suintervalos y el intervalo [ cd, ] en n suintervalos, generamos una partición P del rectángulo R en = m n surectángulos, digamos, R, R, R

2 GRADO DE IGEIERÍA AEROESPACIAL CURSO Lección Integrales múltiples Denotamos por Δ ( R ) el área de R, es decir, Δ ( R) =Δ( x) Δ ( y) Ahora elegimos en cada surectángulo R un punto aritrario ( x, y ) y consideramos la suma = f ( x, y) Δ ( R) = f( x, y) Δ ( R) + f( x, y) Δ ( R) + + f( x, y) Δ( R), que se llama suma de Riemann de f con respecto a P en el rectángulo R Si la función f es positiva, el sumando f ( x, y) Δ ( R) es el volumen de un prisma de ase R y altura z = f( x, y), que corresponde a un punto de la superficie de ecuación z = f( x, y) Así que la suma de Riemann es una aproximación al volumen limitado por dicha superficie sore R La idea es que cuanto más afinemos la partición más nos acercaremos con la suma de Riemann a dicho volumen En concreto, estamos interesados en saer qué ocurre con estas sumas de Riemann cuando la ase y la altura de estos surectángulos se hacen cada vez más pequeña Llamamos norma de la partición P y se denota por P, al mayor de las ases o alturas de cualquier surectángulo de la partición A veces ocurre que cuando P (lo que significa que todos los surectángulos son estrechos y cortos) existe el límite lim f ( x, y ) ( R ) En general esto no ocurre con todas las funciones Δ P = Las funciones que verifican esta propiedad se llaman integrales De forma precisa tenemos la siguiente definición DEFIICIÓ Sea rectángulo R si existe el límite f :( x, y) R una función Diremos que f es integrale en el P = f x y Δ R lim (, ) ( ), independientemente de la partición P y de la elección de los puntos ( x, y) R, para =,,, Al valor de este límite se le denota por f ( x, y) dxdy o f ( xyda, ) y se llama integral de f en el rectángulo R El símolo da se lee diferencial de área OBSERVACIÓ ) Cuando la función f es positiva, la integral dole de f sore R es el volumen V : = ( x, y, z) 3 :( x, y) R, z f( x, y), es decir, el sólido limitado por la superfi- del sólido { }

3 GRADO DE IGEIERÍA AEROESPACIAL CURSO Lección Integrales múltiples cie de ecuación z = f( x, y) sore el rectángulo R ) En particular, cuando f es la función constante e igual a todas las sumas de Riemann son iguales al área del rectángulo R y, en consecuencia, la integral dole coincide con el área del rectángulo R El resultado sore integrailidad más importante de esta sección es el siguiente TEOREMA (ITEGRABILIDAD DE LAS FUCIOES COTIUAS) Sea una función continua Entonces f es integrale en R f :( x, y) R OBSERVACIÓ Se puede proar tamién que una función f :( x, y) R que es continua en todos los puntos de R, salvo en los de una curva regular C R, es integrale en R Integrales iteradas Al igual que ocurre con las integrales de funciones de una variale, aplicar directamente la definición para calcular una integral dole suele ser imposile En el caso de una variale, la herramienta para el cálculo de las integrales era la regla de Barrow, aquí es la reducción de una integral dole a dos integrales de una variale, o sea, dos aplicaciones de la regla de Barrow Sea f :( x, y) R una función continua en el rectángulo R : = [ a, ] [ cd, ] Para cada y [ cd, ] podemos considerar la función f ( xy, ) de la variale x que se otiene manteniendo la variale y constante e integrarla en [ a, ], para otener f ( xydx, ) que se llama integral parcial con respecto a x Esta integral depende del valor de y que hayamos fijado de antemano, a lo cual nos permite definir la función g: y [ c, d] g( y): = f( x, y) dx Se puede proar a que g es una función continua, lo que nos permite a su vez, considerar la integral de esta función d d g( y) dy = f( x, y) dx dy, llamada integral iterada, primero con respecto a x y después c c a con respecto a y, de f en R d Análogamente, podemos calcular primero la integral parcial con respecto a y, f ( xydy, ), y c d después integrar con respecto a x para otener f ( x, y) dy dx, llamada integral iterada, primero con respecto a y y después con respecto a x, de f en R a c Qué relación tienen estas integrales iteradas entre sí y con la integral de la función f en el rectángulo R? La respuesta la da el siguiente resultado TEOREMA (FUBII) Sea f :( x, y) R una función continua en el rectángulo R : = [ a, ] [ cd, ] Entonces las dos integrales iteradas de f en R coinciden y son iguales a la inte- d d gral dole de f en R, es decir, f ( x, y) da = f ( x, y) dx dy = f ( x, y) dy dx R c a a c 3

4 GRADO DE IGEIERÍA AEROESPACIAL CURSO Lección Integrales múltiples Deido a este resultado, suele ser haitual utilizar la notación f ( x, y) dxdy para indicar la integral dole de la función f en el rectángulo R EJEMPLO Vamos a calcular ahora algunas integrales doles usando el teorema de Fuini En todos los casos llamaremos R al rectángulo de integración y aplicaremos el teorema de Fuini ) De la función f ( xy, ) = xy+ xen [,] [,3] Integrando primero con respecto a la variale y y después con respecto a la variale x otenemos y 3 x 3 R = = y= x= xy 5 5 x 45 ( xy + x) da = ( xy + x) dy dx = + xy dx xdx = = = 4 Tamién podemos aplicar el teorema de Fuini integrando en otro orden: x y R = = x= y= xy x 3 3 y 45 ( xy + x) da = ( xy + x) dx dy = + dx ( y ) dx y = + = + = 4 ) De la función f ( xy, ) = cos( x+ y) en,, Integrando primero con respecto a la variale y y después con respecto a la variale x otenemos y= cos( x + y) da = cos( x + y) dy dx = ( sen( x + y) ] dx y= R x= = sen x sen x dx (cos x sen x) dx ( sen x cos x] + = = + = x= OBSERVACIÓ Cuando la función f ( xy, ) tiene alguna forma especial, la integración iterada produce ciertos resultados de utilidad en la práctica ) Supongamos que f ( xy, ) es producto de una función que depende sólo de x por otra que depende sólo de y, es decir, f ( xy, ) = hxgy ( ) ( ) En este caso se tiene que d d d f ( x, y) da = h( x) g( y) dx dy = g( y) h( x) dx dy = g( y) dy h( x) dx R c a c a c a ) Si f ( xy, ) es suma de una función que depende sólo de x y de otra que depende sólo de y, es decir, f ( xy, ) = hx ( ) + gy ( ), entonces se tiene que ( ) d d f ( x, y) da = h( x) + g( y) dx dy = h( x) dx + g( y)( a) dy R c a c a d = ( c d) h( x) dx + ( a) g( y) dy a c 4

5 GRADO DE IGEIERÍA AEROESPACIAL CURSO Lección Integrales múltiples EJERCICIO Sea f :( x, y) la función definida por f ( xy, ) = 4 y y sea R el cuadrado definido por R : = [,3] [,] Calcula f ( x, y) dxdy Calcula tamién la integral dole f ( x, y) dxdy, siendo T : = [,] [,3] T EJERCICIO Sea f :( x, y) la función definida por f ( xy, ) = x+ y+ y sea R el cuadrado definido por R : = [, ] [,] Calcula f ( x, y) dxdy Calcula tamién la integral dole f ( x, y) dxdy, siendo T : = [,] [,] T EJERCICIO 3 Sea f :( x, y) la función definida por f ( xy, ) = xy xyy sea R el cuadrado definido por R : = [,3] [, ] Calcula f ( x, y) dxdy Calcula tamién la integral dole f ( x, y) dxdy, siendo T : = [,] [,3] T EJERCICIO 4 Sea cuadrado definido por R : = [,] [,] f :( x, y) la función definida por f( x, y) = y sea R el xy EJERCICIO 5 Sea f :( x, y) la función definida por f ( xy, ) = cos x+ sen y y sea R el cuadrado definido por R : = [, ] [, ] Calcula f ( x, y) dxdy EJERCICIO 6 Sea f :( x, y) la función definida por f ( xy, ) = cos x+ sen y y sea R el cuadrado definido por R : = [,7] [,7] Calcula x f( x, y) dxdy R 5