6. Integrales triples.

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1 GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CRSO 0. Lección. Integrales múltiples. 6. Integrales triples. Integral triple en un prisma. El proceso para definir la integral triple f ( xyzdv,, ), de una función continua f :( x, y, z) es completamente análogo al de la integral doble. Primero se considera la integral triple para el caso en que : [ x, x] [ y, y] [ z, z] es un prisma rectangular. La integral triple se construye como el límite de las sumas de Riemann N k f ( x, y, z )volumen( ), k k k k correspondientes a una partición de formada por subprismas rectangulares P { } cuando el diámetro máximo P de estos subprismas rectangulares tiende a cero, esto es N f ( xyzdv,, ) : lim f ( xk, yk, zk)volumen( k). P 0 El símbolo dv se lee diferencial de volumen. k :,,..., N El teorema de Fubini para un prisma rectangular en afirma que las seis integrales iteradas coinciden con el valor de la integral triple. Concretamente tenemos el siguiente resultado. TEOREMA (FBINI). Sea f :( x, y, z) una función continua en el prisma rectangular : [ x, x] [ y, y] [ z, z]. Entonces z y x z x y f ( xyzdv,, ) f( xyzdx,, ) dydz f( xyzdy,, ) dxdz y z x y x z f ( xyzdx,, ) dz dy f( xyzdz,, ) dx dy y z x y x z x y z x f( x, y, z) dy y z dz dx f ( x, y, z) dz dy dx. x z y x y z z y x z x y De aquí que la integral triple también se suela escribir como f ( xyzdxdydz,, ). EJEMPLO. Vamos a calcular algunas integrales triples usando el teorema de Fubini. () La integral de f ( xyz,, ) x+ y+ zen : [, ] [0, ] [, ]. x + y + z dxdydz x + y + z dz dydx x + y + dy dx 0 0 ( ) ( ) () La integral de f ( xyz,, ) (x+ + ) dx 8. xzen : [,4] [,] [0,].

2 GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CRSO 0. Lección. Integrales múltiples x z dxdydz x z dzdydx x dy dx 8 x dx Integral triple en un recinto proyectable. na vez definido el concepto de integral triple sobre un prisma rectangular pasamos a considerar recintos más generales cuya estructura sea similar a la de los conjuntos que hemos manejado en el cálculo de integrales dobles. El teorema de Fubini motiva la definición de la integral de una función continua sobre uno de estos recintos. Veámoslo con más detalle. se llama XY-proyectable si existe un conjunto D y dos fun- DEFINICIÓN. n conjunto ciones continuas z :( x, y) D z ( x, y) y z ( x, y) z ( x, y), para todo ( x, y) D de forma que Ahora, si sobre como z :( x, y) D z ( x, y), tales que { } ( xyz,, ) :( xy, ) D, z( xy, ) z z( xy, ). f :( x, y, z) es una función continua, se define la integral de f z ( x, y) f ( xyzdv,, ) : f( xyzdz,, ) da. D z ( x, y) OBSERVACIÓN. Si el conjunto D: {( x, y) : x x x, y( x) y y( x) } proyectable en el plano, entonces es un conjunto X- x y( x) z( x, y) f ( xyzdv,, ) : f( xyzdz,, ) dy dx. Aná- x y( x) z( x, y) D: ( x, y) : y y y, x( y) x x( y), enton- y x( y) z( x, y) logamente, si D es Y-proyectable, esto es, { } ces y x( y) z( x, y) f ( x, y, z) dv : f( x, y, z) dzdxdy. Esta definición de integral triple en un recinto XY-proyectable se traslada de forma similar a conjuntos YZ-proyectables y a conjuntos XZ-proyectables. se llama XZ-proyectable si existe un conjunto D y dos fun- DEFINICIÓN. n conjunto ciones continuas y :( x, z) D y ( x, z) e y ( xz, ) y( xz, ), para todo ( x, z) D de forma que Ahora, si sobre como y :( x, z) D y ( x, z), tales que {(,, ) :(, ), (, ) (, )} xyz xz D y xz y y xz f :( x, y, z) es una función continua, se define la integral de f y ( x, z) f ( xyzdv,, ) : f( xyzdy,, ) da. D y ( x, z)

3 GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CRSO 0. Lección. Integrales múltiples. se llama YZ-proyectable si existe un conjunto D y dos fun- DEFINICIÓN. n conjunto ciones continuas x :( y, z) D x ( y, z) y x ( yz, ) x( yz, ), para todo ( y, z) D de forma que Ahora, si sobre como x :( y, z) D x ( y, z), tales que {(,, ) :(, ), (, ) (, )} xyz yz D x yz x x yz f :( x, y, z) es una función continua, se define la integral de f x ( y, z) f ( xyzdv,, ) : f( xyzdx,, ) da. D x ( y, z) El teorema de Fubini para regiones proyectables afirma que, para un sólido que sea de dos tipos de regiones proyectables simultáneamente, las posibles integrales iteradas son todas iguales a la integral triple de f en. TEOREMA (FBINI). Sea proyectable. f :( x, y, z) una función continua en la región ) Si es XY-proyectable y XZ-proyectable, entonces z( x, y) y( x, z) f ( xyzdz,, ) dxdy f( xyzdy,, ) dxdz. D z( x, y) D y( x, z) ) Si es XY-proyectable y YZ-proyectable, entonces z( x, y) x( y, z) f ( xyzdz,, ) dxdy f( xyzdx,, ) dydz. D z( x, y) D x( y, z) ) Si es XZ-proyectable y YZ-proyectable, entonces y( x, z) x( y, z) f ( xyzdy,, ) dxdz f( xyzdx,, ) dydz. D y( x, z) D x( y, z) OBSERVACIÓN. Al igual que un área plana puede obtenerse como una integral doble, un volumen puede obtenerse como una integral triple. Si tenemos un sólido en, su volumen es la integral volumen( ) dv. EJEMPLO. Consideremos la región contenida en el primer octante y acotada por los planos x 0, y 0 y z y la superficie z x + y. Vamos a calcular x dxdydz. Observemos que el con- ( x, y, z) : x 0, y 0, x + y z. De junto es una región XY -proyectable, pues { } esta forma, si llamamos D {( x, y) : x 0, y 0, x + y } funciones continuas z( x, y) x y y consideramos también las z x y es claro que el sólido está formado por los + y (, ),

4 GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CRSO 0. Lección. Integrales múltiples. puntos ( x, yz, ) de tales que ( x, y) D y verifican z ( x, y) z z ( x, y). Por tanto, la definición de integral triple en este tipo de regiones nos lleva a que x rcosθ y rsenθ xdxdydz xdz dxdy x( x y ) dxdy D x + y D 8 r ( r )cos θdθdr r ( r ) dr EJEMPLO. Vamos a calcular el volumen del sólido contenido en el primer octante y acotado superiormente por el cilindro de ecuación y + z y comprendido entre los planos x + y y x+ y. Tenemos que calcular volumen( ) dxdydz. Esta región es XY-proyectable, XZ- proyectable e YZ-proyectable. Comprobemos que es YZ -proyectable. Para ello consideremos la re- D: ( y, z) : y 0, z 0, y + z del plano OYZ y las funciones x ( yz, ) y y gión { } x ( yz, ) y. De esta forma, el sólido está descrito por {(,, ) :(, ), (, ) (, )} xyz yz Dx yz x x yz y ya que D es un D y D y su volumen es volumen( ) dxdydz dx dydz dydz, sector circular de radio y ángulo. Ya hemos comentado que el conjunto es XY-proyectable. ( xyz,, ) :( xy, ) E, z( xy, ) z z( xy, ), donde z ( x, y ) 0, De hecho, se verifica que { } z ( x, y) y y E: {( x, y) : x 0, 0 y, x+ y }. De esta forma, y y volumen( ) dxdydz dz dxdy y dxdy y dx dy E 0 E 0 y y sen t ydy sen tcostdt cos tdt dy costdt + cost dt. 0 EJEMPLO. Consideremos ahora el recinto Ω acotado inferiormente por el paraboloide de ecuación z+ x + 4y y superiormente por el elipsoide de ecuación x + 4y + z 9. Vamos a calcular la integral zdxdydz. Observemos que la intersección del elipsoide y del paraboloide se encuentra en los puntos tales que z+ 9 z. Es decir, z y z. Cuando z, las dos superfi- Ω cies se cortan en el punto (0,0, ) y cuando z las dos superficies se cortan en una elipse. Describamos analíticamente el recinto de integración 4

5 GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CRSO 0. Lección. Integrales múltiples. { x yz } x y z x y Ω (,, ) : Se trata de una región XY-proyectable, siendo z( x, y) x + 4y y z( x, y) 9 x 4y con dominio de definición D que está formado por los puntos ( x, y ) tales que z ( x, y) z ( x, y). Puesto que tenemos que z z+ x + 4 y, ( x, y) z( x, y) cuando z+ z 9 y esto último se verifica si z o z. Por tanto, z z 9 x + 4 y, ( x, y) z ( x, y) siempre que z. Para z obtenemos el punto (0,0, ) y para z obtenemos la ecuación x + 4y 5. Todo esto nos dice que el dominio común de z ( x, y ) y z ( x, y ) es conjunto D {( x, y) : x + 4y 5 }. Ahora podemos calcular la integral ( ( ) ) 9 x 4y z dxdydz zdz dxdy 9 x 4y x + 4y dxdy. Ω D x + 4y D x rcos θ, Para calcular esta integral doble hacemos el cambio de variable cuyo determinante y r sen θ, r jacobiano es. Además, ( x, y) D equivale a r 5. Por consiguiente, Ω ( 9 4 ( 4 ) ) ( ( ) ) 5 ( ) z dxdydz x y x + y dxdy D r r rdr d r r dr d θ 5 θ. EJERCICIO. Calcula la integral de f ( xyz,, ) xy+ zen : [0,] [,] [,]. EJERCICIO. Determina todos las posibles formas de integración iterada para calcular la integral triple de una función f ( xyz,, ) en el tetraedro de vértices (0,0,0), (,, 0), (0,,0) y (0,,). EJERCICIO. Dibuja las regiones de integración de las siguientes integrales iteradas: () y dz dy dx. () x 0 0 y 0 0 dzdy dx. Escribe las diferentes integrales iteradas equivalentes de cada una de ellas y calculas las integrales. EJERCICIO 4. Calcula el volumen del sólido limitado por los paraboloides de ecuaciones z x + y y z 8 x y. EJERCICIO 5. Calcula el volumen del sólido del primer octante limitado por los planos coordenados, el plano x+ y 4 y el cilindro y + 4z 6. 5

6 GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CRSO 0. Lección. Integrales múltiples. EJERCICIO 6. Sea V el sólido limitado por debajo por la parte superior del cono por encima, por la esfera x y z z + +. Calcula la integral ( + x) dxdydz. EJERCICIO 7. Considera el sólido V { x y z x + y + z x + y z y} su volumen. V 4x + 4y z y, (,, ) : 4,,. Calcula EJERCICIO 8. Sea V el trozo de la esfera unidad limitado por el cono z ( x ) + y en el octante positivo. Calcula z x + y dxdydz V. 6