Integrales Triples Centro de Masa y Momento de Inercia Integrales Triples en Coordenadas Cilindricas Coordenadas Cilindricas. Integrales Triples

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Juan Antonio Fidalgo Castilla
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1 Integrales Triples Hermes Pantoja Carhuavilca Facultad de Ingeniería Industrial Universidad Nacional Mayor de San Marcos Matematica II Hermes Pantoja Carhuavilca 1 de 30

2 CONTENIDO Integrales Triples Introducción Centro de Masa y Momento de Inercia Integrales Triples en Coordenadas Cilindricas Coordenadas Cilindricas Hermes Pantoja Carhuavilca 2 de 30

3 DEFINICIÓN Definición La integral triple de f sobre la caja B es B si el límite existe. f (x, y, z)dv = lím l,m,n l m i=1 j=1 k=1 n f (x ijk, y ijk, z ijk ) V Integrales Triples Hermes Pantoja Carhuavilca 3 de 30

4 INTEGRAL TRIPLE Integrales Triples Hermes Pantoja Carhuavilca 4 de 30

5 VOLUMEN DE UN SOLIDO E Volumen(E)= dv E f (x, y, z) = 1 Integrales Triples Hermes Pantoja Carhuavilca 5 de 30

6 Teorema (Teorema de Fubini) Si f es continua sobre la caja rectangular B = [a, b] [c, d] [r, s] entonces B f (x, y, z)dv = Ejemplo Evaluar la integral triple B s d b r c a f (x, y, z)dxdydz xyz 2 dv donde B está dado por B = {(x, y, z) / 0 x 1, 1 y 2, 0 z 3} Integrales Triples Hermes Pantoja Carhuavilca 6 de 30

7 INTREGALES TRIPLES SOBRE REGIONES ACOTADAS E = {(x, y, z) / (x, y) D, u 1 (x, y) z u 2 (x, y)} [ ] u2 (x,y) f (x, y, z)dv = f (x, y, z)dz da E D u 1 (x,y) Integrales Triples Hermes Pantoja Carhuavilca 7 de 30

8 INTREGALES TRIPLES SOBRE REGIONES ACOTADAS E = {(x, y, z) / a x b, g 1 (x) y g 2 (x), u 1 (x, y) z u 2 (x, y)} E f (x, y, z)dv = b g2 (x) u2 (x,y) a g 1 (x) u 1 (x,y) f (x, y, z)dzdydx Integrales Triples Hermes Pantoja Carhuavilca 8 de 30

9 INTREGALES TRIPLES SOBRE REGIONES ACOTADAS E = {(x, y, z) / c y d, h 1 (y) x h 2 (y), u 1 (x, y) z u 2 (x, y)} d h2 (y) u2 (x,y) f (x, y, z)dv = f (x, y, z)dzdxdy E c h 1 (y) u 1 (x,y) Integrales Triples Hermes Pantoja Carhuavilca 9 de 30

10 Ejemplo Evaluar Q zdv, donde Q es el tetraedro acotado por los planos x = 0, y = 0, z = 0 ; x + y + z = 1 Integrales Triples Hermes Pantoja Carhuavilca 10 de 30

11 EJERCICIO 1 Ejercicio Evalúe la integral E 2ydV Si E es el sólido acotado por los planos x + 2y + z = 4, x = 0, y = 0, z = 0 Integrales Triples Hermes Pantoja Carhuavilca 11 de 30

12 EJERCICIO 2 Ejercicio Evalúe la integral E y cos(x + z)dv Si E es el sólido acotado por el cilindro x = y 2 y los planos x + z = π/2, y = 0, z = 0 Integrales Triples Hermes Pantoja Carhuavilca 12 de 30

13 INTREGALES TRIPLES SOBRE REGIONES ACOTADAS E = {(x, y, z) / (y, z) D, u 1 (y, z) x u 2 (y, z)} [ ] u2 (y,z) f (x, y, z)dv = f (x, y, z)dx da E D u 1 (y,z) Integrales Triples Hermes Pantoja Carhuavilca 13 de 30

14 INTREGALES TRIPLES SOBRE REGIONES ACOTADAS E = {(x, y, z) / (x, z) D, u 1 (x, z) y u 2 (x, z)} [ ] u2 (x,z) f (x, y, z)dv = f (x, y, z)dy da E D u 1 (x,z) Integrales Triples Hermes Pantoja Carhuavilca 14 de 30

15 CENTRO DE MASA Y MOMENTO DE INERCIA Masa de un Solido m = ρ(x, y, z)dv Momentos M yz = M xz = M xy = y Centro de Masa (x, y, z) Q Q Q Q xρ(x, y, z)dv yρ(x, y, z)dv zρ(x, y, z)dv x = M yz m, y = M xz m, z = M xy m Centro de Masa y Momento de Inercia Hermes Pantoja Carhuavilca 15 de 30

16 EJEMPLO Ejemplo Encontrar el centro de masa de un solido de densidad constante que es acotada por el cilindro parabólico x = y 2 y los planos x = z,z = 0;, x = 1. Centro de Masa y Momento de Inercia Hermes Pantoja Carhuavilca 16 de 30

17 SOLUCIÓN Centro de Masa y Momento de Inercia Hermes Pantoja Carhuavilca 17 de 30

18 INTEGRALES TRIPLES EN COORDENADAS CILINDRICAS r 0, 0 θ < 2π x = r cos θ, x 2 + y 2 = r 2 y = r sin θ, tan θ = y x z = z, z = z Integrales Triples en Coordenadas Cilindricas Hermes Pantoja Carhuavilca 18 de 30

19 Ejemplo 1. Coordenadas Cilindricas (2, 2π/3, 1) a Coordenadas Rectangulares. 2. Coordenadas Rectangulares (3, 3, 7) a Coordenadas Cilindricas. Integrales Triples en Coordenadas Cilindricas Hermes Pantoja Carhuavilca 19 de 30

20 COORDENADAS CILINDRICAS Coordenadas Cilindricas Hermes Pantoja Carhuavilca 20 de 30

21 COORDENADAS CILINDRICAS Diferencial de volumen en coordenadas cilindricas V = r r θ z Coordenadas Cilindricas Hermes Pantoja Carhuavilca 21 de 30

22 COORDENADAS CILINDRICAS E = {(x, y, z) / (x, y) D, u 1 (x, y) z u 2 (x, y)} donde: D = {(r, θ) / α θ β, h 1 (θ) r h 2 (θ)} Coordenadas Cilindricas Hermes Pantoja Carhuavilca 22 de 30

23 COORDENADAS CILINDRICAS Evaluación de la integral triple en coordenadas cilindricas [ ] u2 (r,θ) f (x, y, z)dv = f (r cos θ, r sin θ, z)dz da E R u 1 (r,θ) Coordenadas Cilindricas Hermes Pantoja Carhuavilca 23 de 30

24 Ejemplo Hallar el volumen de la región sólida Q que corta en la esfera x 2 + y 2 + z 2 = 4 el cilindro r = 2 sin θ, como se muestra en la figura. Coordenadas Cilindricas Hermes Pantoja Carhuavilca 24 de 30

25 JACOBIANO J(r, θ, z) = x = r cos θ y = r sin θ z = z (x, y, z) (r, θ, z) = det cos θ r sin θ 0 sin θ r cos θ = r Coordenadas Cilindricas Hermes Pantoja Carhuavilca 25 de 30

26 Ejemplo Evaluar 2 4 x x 2 2 x 2 +y 2 (x 2 + y 2 )dzdydx Coordenadas Cilindricas Hermes Pantoja Carhuavilca 26 de 30

27 SOLUCIÓN Coordenadas Cilindricas Hermes Pantoja Carhuavilca 27 de 30

28 COORDENADAS ESFÉRICAS Coordenadas Cilindricas Hermes Pantoja Carhuavilca 28 de 30

29 Coordenadas Cilindricas Hermes Pantoja Carhuavilca 29 de 30

30 CAMBIO DE VARIABLE Coordenadas Cilindricas Hermes Pantoja Carhuavilca 30 de 30

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