Guía de Trabajos Prácticos. de Análisis Matemático II

Transcripción

1 Facultad de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales Universidad Nacional de Córdoba Guía de Trabajos Prácticos de Análisis Matemático II Año 2015 Recopilación realizada por Dra Claudia Egea

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3 Capítulo 1 Funciones de Varias Variables Sean p R n y r R, r > Topología Llamaremos Entorno al conjunto de puntos de R n cuya distancia a p es menor que r, o sea, B r (p) = {x R n /d(x, p) < r} Llamaremos Entorno Reducido al conjunto de puntos de R n cuya distancia a p es menor que r excluyendo al punto p, o sea, B r (p) p = {x R n /0 < d(x, p) < r} 1. Obtenga B r (p) y B r (p) p en los siguientes casos. Interprete geométricamente. a) En R, p = 2, r = 1 2 b) En R 2, p = (0, 2), r = 1 2 c) En R 3, p = (0, 2, 1), r = 1 2 Sean A R n y p R n. Se dice que: p es Punto Interior de A si existe un entorno de p contenido en A. O sea, si r > 0/B r (p) A. p es un Punto Límite o Punto de Acumulación de A si a todo entorno reducido de p le pertenecen puntos de A. O sea, r > 0(B r (p) p) A. p es Punto Frontera de A si a todo entorno de p le pertenecen puntos de A y del complemento de A (denotado A c ). O sea si r > 0, B r (p) A y B r (p) A c. p es Punto Aislado de A si p A y existe un entorno reducido de p incluído en A c. O sea r > 0/B r (p) p A c. p es Punto Exterior de A si existe un entorno de p contenido en A c. O sea, si r > 0/B r (p) A c. 2

4 1. Para cada uno de los siguientes conjuntos, caracterice los puntos de R 2 diciendo si son puntos interiores, exteriores, de acumulación, frontera o aislados. a) A = {(x, y) R 2 : 3 x 5} b) B = {(x, y) R 2 : x 2 + y 2 < 2} {(0, 2), ( 1, 3)} c) C = {(x, y) R 2 : x + y 2} d) D = {(x, y) R 2 : 1 < x < 2 0 y 2} 2. Para cada uno de los siguientes conjuntos, caracterice los puntos de R. a) A = {x R : x < 2} b) B = {x R : 1 < x < 3 2 } c) C = {x R : x 2 < 1} {5} 3. Para cada uno de los siguientes conjuntos, caracterice los puntos de R 3 a) A = {(x, y, z) R 3 : x 2 + y 2 < 1} {(0, 2, 0)} b) B = {(x, y, z) R 3 : x 2 + y 2 = 9} 4. Dado el conjunto A = {(x, y, z) R 3 : x 2 + 4y 2 + z2 < 1}, caracterice los siguientes 9 puntos: a) p 1 = (0, 0, 2) b) p 2 = (1, 0, 0) c) p 3 = (0, 0, 7) 2 Sea A R n, se dice que: A es un conjunto Abierto si todo punto de A es un punto interior de A. A es un conjunto Cerrado si todos los puntos frontera de A pertenecen a A. 1. Decida si los siguientes conjuntos son abiertos, cerrados, ambas o ninguna de las dos cosas. a) A = {(x, y) R 2 : (x, y) (0, 1) 1} b) B = {(x, y) R 2 : 4x 2 + 9y 2 = 36} c) C = {(x, y) R 2 : (x, y) (2, 1)} d) D = {(x, y) R 2 : x 2 + y 2 < 2} e) E = {(x, y) R 2 : y 2x + 1} f ) F = {(x, y, z) R 3 : z < x + y} 3

5 2. Dominio, gráficas y curvas de nivel 1. Determine el dominio de las siguientes funciones: a) f(x, y) = 2x 3 + y 2 xy b) f(x, y) = 3x y 2y 4x c) f(x, y) = x 2 ln(y 2x) d) f(x, y) = sen 1 (x + y) e) f(x, y) = 4x 2 + 9y 2 36 f ) f(x, y) = 3 xy g) f(x, y) = xy x 2 y 2 h) f(x, y) = 3x + 3y + ln(sen y) Resolución: La expresión 3x + 3y + ln(sen y) tiene sentido siempre que la cantidad debajo de la raíz sea no negativa y el argumento de ln sea positivo. Es decir, 3x + 3y 0 y sen y > 0 Esto sucede cuando y x e y (2kπ, (2k + 1)π) con k N. O sea, D f = {(x, y) R 2 : y x y (2kπ, (2k + 1)π), k N} 2. Esboce la gráfica de las siguientes funciones: a) f(x, y) = sen x b) f(x, y) = y 2 c) f(x, y) = 16 x 2 16y 2 d) f(x, y) = sen(x 2 + y 2 ) e) f(x, y) = 4 x 2 y 2 f ) f(x, y) = y 2 x 2 g) f(x, y) = 1 x 2 +y 2 h) f(x, y) = 6 x 3y Sea f : R n R m una función, un conjunto de nivel es el conjunto de puntos x R n tal que su imagen por f es un punto fijo y 0 R m, es decir {x R n : x D f f(x) = y 0 } 1. Esquematice las curvas de nivel de las siguientes funciones: a) f(x, y) = x y b) f(x, y) = x 2 + 2y 2 c) f(x, y) = xy d) f(x, y) = x 2 y 2 e) f(x, y) = sen(x 2 + y 2 ) f ) f(x, y) = x2 y Resolución: Calculemos las curvas de nivel para k = 2, 0, 1/2. Debemos calcular los conjuntos de puntos (x, y) tales que y 0 y f(x, y) = k. Es decir, x 2 /y = k, o 4

6 bien ky = x 2 Éstas son parábolas con vértice en (0, 0) sin dicho vértice, excepto el caso k = 0. En efecto, k = 2 tenemos la parábola y = 1 2 x2 sin el vértice. k = 0 tenemos 0 = x 2, es decir la recta x = 0. k = 1/2 tenemos la parábola y = 2x 2 sin el vértice. Una función f : R n R m puede definir un conjunto S de diferentes maneras Explícitamente, si S es el grafo de f, es decir S = {(x, f(x)) R n+m : x dom(f))} Paramétricamente, si S es la imagen de f, o sea S = {y R m : y = f(x) para algún x dom(f))} Implícitamente, si S es un conjunto de nivel de f, es decir S = {x R n : f(x) = y 0 para algún y 0 R m } 1. Identifique el conjunto S R 2 definido a) explícitamente por f(x) = x 2 b) paramétricamente por f(x) = (cos x, sen x) c) implícitamente por f(x, y) = x + y = 3 2. Identifique el conjunto S R 3 definido a) explícitamente por f(x, y) = x 2 + y 2 b) paramétricamente por f(x) = (cos x, sen x, x) c) paramétricamente por f(x, y) = (x cos y, x sen y, x 2 ) 3. Adicionales 1. Determine el dominio de las siguientes funciones: a) f(x, y) = 3x y3 x 2 +(y 1) 2 b) f(x, y) = x 2 ln(3y + 6x 3) c) f(x, y) = 18 3x 2 4y 2 d) f(x, y) = 3 x + 3y 2 2. Esboce la gráfica de las siguientes funciones: a) f(x, y) = 1 + x 2 + y 2 c) f(x, y) = 1 x2 + y 2 b) f(x, y) = x 2 d) f(x, y) = 1 2x 2 5

7 3. Esquematice las curvas de nivel de las siguientes funciones: a) f(x, y) = x y 2 b) f(x, y) = y cos x c) f(x, y) = x y d) f(x, y) = x 2 + 9y 2 4. Identifique el conjunto S R 2 definido a) explícitamente por f(x) = 2 1 9x 2 b) paramétricamente por f(x) = (3 cos x, 2 sen x) c) implícitamente por f(x, y) = x 2 + 4y 2 = 9 4. de Aplicación 1. Una placa delgada de metal, localizada en el plano xy, tiene una temperatura T (x, y) en el punto (x, y). Las curvas de nivel de T se llaman isotérmicas debido a que en todos los puntos sobre una isotérmica, la temperatura es la misma. Dibuje algunas isotérmicas si la función temperatura está dada por 100 T (x, y) = 1 + x 2 + 2y 2 2. Si V (x, y) es el potencial eléctrico en un punto (x, y) del plano xy, entonces las curvas de nivel de V se llaman curvas equipontenciales, ya que el potencial eléctrico de todos los puntos sobre dicha curva es el mismo. Dibuje algunas curvas equipotenciales si V (x, y) = c/ r 2 x 2 y 2, donde c es una constante positiva. 5. Autoevaluación 1. Defina punto límite, frontera, aislado e interior. 2. Un punto puede ser límite y frontera al mismo tiempo? o límite y aislado? o frontera y aislado? 3. Defina conjunto abierto y cerrado. Dé un subconjunto de R 2 que no sea ni abierto ni cerrado. 4. Cómo se puede definir un conjunto S explícitamente? o para métricamente? o implícitamente? 5. Sea S R 3, determine las dimensiones de n y m tal que la función f : R n R m defina a S paramétricamente o explícitamente o implícitamente. 6. Siempre un conjunto S puede definirse de las tres formas? 7. Sea S una esfera centrada en el origen de radio 1, puede definirse explícitamente? 8. Defina conjunto de nivel. 6

8 Capítulo 2 Límites y Continuidad 1. Límites Sean f : R n R m una función, x 0 un punto de acumulación del dom(f) y L un punto de R m. Diremos que existe lím x x 0 f(x) = L sii dado un entorno cualquiera B(L, ɛ) con centro en L, existe un entorno reducido B(x 0, δ) {x 0 } de centro x 0 tal que si x (B(x 0, δ) {x 0 }) domf entonces f(x) B(L, ɛ) Es decir, lím f(x) = L sii ɛ > 0 δ > 0/x (B(x 0, δ) {x 0 }) domf = f(x) B(L, ɛ) x x 0 1. Calcule los siguientes límites. Si no existen, explique por qué. a) lím (x,y) (0,0) b) lím (x,y) (0,0) c) lím (x,y) (0,0) d) lím (x,y) (0,0) x y x 2 + y 2 8x 2 y 2 x 4 + y 4 2xy x 2 + 2y 2 (x + y) 2 x 2 + y 2 x 2 + xy + y 2 e) lím (x,y) ( 2,1) x 2 y 2 f ) lím (x,y) (1,2) xy + y2 x 2 + y 2 g) lím (x,y) (0,0) y y 3 h) lím (x,y) (0,0) x 2 + y 2 Resolución: Calculemos primero los límites iterados Mientras que lím lím x 0 y 0 y 3 x 2 + y 2 = lím x 0 0 x 2 = 0 lím lím y 3 y 0 x 0 x 2 + y = lím y 3 2 x 0 y = lím y = 0 2 x 0 7

9 La existencia de estos límites no nos asegura que el límite exista. Probemos ahora aproximándonos al (0, 0) por las rectas y = mx, lím x 0 (mx) 3 x 2 + (mx) 2 = lím x 0 m 3 x 3 x 2 (1 + m 2 ) = lím x 0 m 3 x 1 + m 2 = 0 Otro camino para calcular el límite es hacer el siguiente cambio de coordenadas { x = r cos(θ) y = r sen(θ) Si (x, y) (0, 0) entonces r 0, luego lím (x,y) (0,0) y 3 x 2 + y 2 = lím r 0 r 3 sen 3 (θ) r 2 cos 2 (θ) + r 2 sen 2 (θ) = lím r 3 sen 3 (θ) r 0 r 2 = lím r 0 r sen 3 (θ) = 0 Este último límite es cero ya que sen 3 (θ) 1 para cualquier valor del ángulo θ. Nuestro candidato a límite es L = 0. En efecto, ya que y 2 x 2 + y 2, tenemos que Es decir 0 y3 x 2 + y 2 = y y2 x 2 + y y (x2 + y 2 ) 2 x 2 + y 2 0 y3 x 2 + y 2 y = y Tomando límite en dicha desigualdad, ya que los extremos tienen límite igual a cero, y 3 se cumple que lím (x,y) (0,0) x 2 + y = Calcule los límites ( de las siguientes ) funciones vectoriales xy a) lím (x,y) (0,0) x2 + y, y 2 2 x2 + y 2 ( ) xy 3 b) lím (x,y) (0,1) x 2 + y, 2x c) lím (sen(xy), tan( y )) (x,y) (3,2) x 8

10 2. Continuidad Sean f : R n R m una función y x 0 un punto de acumulación del dom(f), x 0 domf Diremos que f es continua en x 0 sii dado un entorno cualquiera B(f(x 0 ), ɛ) con centro en f(x 0 ), existe un entorno B(x 0, δ) de centro x 0 tal que si x B(x 0, δ) domf entonces f(x) B(f(x 0 ), ɛ) Es decir, f es continua en x 0 sii ɛ > 0 δ > 0/x B(x 0, δ) domf = f(x) B(f(x 0 ), ɛ) Nota: Si x 0 es un punto aislado del domf, la condición anterior se cumple trivialmente; luego f es continua en todo punto aislado del dominio. 1. Indique en que puntos las siguientes funciones NO son continuas. a) f(x, y) = 2xy x y b) f(x, y) = x2 + y x 2 + y 2 1 e) f(x, y) = f ) f(x, y) = g) f(x, y) = h) f(x, y, z) = ln 2x 2 y 2 si (x, y) (0, 0) 2x 2 + y 2 0 si (x, y) = (0, 0) xy x2 + y 2 si (x, y) (0, 0) c) f(x, y) = x6 + x 3 y 3 + y 6 x 3 + y 3 d) f(x, y) = sen 1 (x 2 + y 2 ) 0 si (x, y) = (0, 0) ) x 2 + y 2 si (x, y) (0, 0) (0, 0) ) si (x, y) = (0, 0) ( x 2 y x 2 + y 2, 3x2 y ( x + y x + z Resolución: Recordemos que la función logaritmo es continua en su dominio, es decir en aquellos puntos (x, y, z) tales que x + y > 0. Esto sucede si x + y y x + z x + z tienen igual signo. O sea si x > y y x > z ó si x < y y x < z. 2. Dada la función f(x, y) = x2 + y 2 x 3 y 3, con (x, y) (0, 0). Defina f(0, 0) de manera x 2 + y 2 que f sea continua en todo punto de R 2. 9

11 3. Estudie la continuidad de las siguientes funciones: a) f(x, y) = tan(xy) 1 b) f(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 c) f(x, y) = e xy sen(x + y) d) f(x, y) = 3x 2 + 2y sen(xy) xy 2 si (x, y) (0, 0) (x, y) (1, 1) x 2 + y 2 e) f(x, y) = 1 si (x, y) = (0, 0) f ) f(x, y) = 1/4 si (x, y) = (1, 1) xy x 2 + y 2 si x 1 2/5 si (x, y) = ( 1 2, 0) 1. Calcule los siguientes límites. 2x 2 xy a) lím (x,y) (1,2) 4x 2 y 2 x 2 y 2 b) lím (x,y) (0,0) x 2 + y 4 c) lím (x,y,z) (0,0,0) d) lím (x,y) (0,1) e) lím (x,y) (0,0) sen xyz 2 x 2 + y 2 + z 2 x(y 1) 2 x2 + (y 1) ( 2 ) xy 2 x2 + y 2 3. Adicionales 2. Defina la función f(x, y) = x3 y 3 (x y) a lo largo de la recta x = y de manera que x y la función resultante sea continua en todo punto. 3. Estudie la continuidad de las siguientes funciones: x 4 y 5 si (x, y) (0, 0) a) f(x, y) = (x 2 + y 2 ) 2 0 si (x, y) = (0, 0) 10

12 b) f(x, y) = x 2 y 2 x y x y si x y si x = y c) f(x, y) = 3x 2 + 2y sen(xy) 4. Autoevaluación 1. Cuando una función f : R n R m es continua en un punto? Por qué se exige que x 0 sea un punto de acumulación? Que ocurre si x 0 es un punto aislado? 2. Defina límite de una función para x x Si el límite existe, es único? 4. Sea D R 4 un conjunto finito de puntos. Sea f : D R 2 una función, es f continua en D? 11

13 Capítulo 3 Derivadas parciales y la diferencial 1. Derivadas Parciales Sean f : R 2 R una función y (a, b) un punto interior del dom(f), Diremos que f tiene derivada parcial con respecto a x en (a, b) si existe el siguiente límite f f(a + h, b) f(a, b) (a, b) = lím x h 0 h Similarmente, diremos que f tiene derivada parcial con respecto a y en (a, b) si existe el siguiente límite f f(a, b + h) f(a, b) (a, b) = lím y h 0 h Si z = f(x, y), otras notaciones para las derivadas parciales son f x = f x = f 1 = z x f y = f y = f 2 = z y Llamaremos Gradiente de f al siguiente vector f(x 0 ) = (f x (x 0 ), f y (x 0 )) 1. Calcule las derivadas parciales de f, g y k en el punto (0, 0) usando la definición. 2x 3 y 3 si (x, y) (0, 0) f(x, y) = x 2 + 3y 2 0 si (x, y) = (0, 0) g(x, y) = k(x, y) = y 4 x 2 + y 2 si (x, y) (0, 0) 0 si (x, y) = (0, 0) { xy x 2 + y 2 si (x, y) (0, 0) 0 si (x, y) = (0, 0) 12

14 Resolución: Debemos calcular el siguiente límite k k(0 + h, 0) k(0, 0) (0, 0) = lím x h 0 h Reemplazando con los valores de la función, tenemos que k (0, 0) = lím x h 0 (0+h)0 h h 0 = lím h 0 h = lím 0 = 0 h 0 De una manera similar se calcula la derivada respecto de y. 2. Calcule las derivadas parciales de las siguientes funciones y evalúelas en el punto indicado. a) f(x, y) = 2x 3y en (3, 2) b) f(x, y) = sen(x y) en (3, 3) c) f(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 en (0, 1, 2) d) f(x, y) = x y en (1, 2) x + y 3. Calcule las derivadas parciales de las siguientes funciones. a) f(x, y) = xy ln(x + y) s b) f(s, t) = s2 + t 2 c) z = arctan(y/x) d) f(x, y) = x y 4. Muestre que las siguientes funciones satisfacen la ecuación diferencial dada. a) z = xe y, x z x = z y b) z = x + y x y, x z x + y z y = 0 c) z = x 2 + y 2, x z x + y z y = z d) u = e a2 k 2t sen kx, u t = a 2 u xx. e) u = 1/ x 2 + y 2 + z 2, u xx + u yy + u zz 13

15 Sean f : R n R m una función vectorial y x 0 un punto interior de dom(f). Si f(x) = (f 1 (x),..., f m (x)) entonces ( f f1 (x 0 ) = (x 0 ),..., f ) m (x 0 ) x i x i x i 1. Encuentre las derivadas parciales de las siguientes funciones vectoriales y evalúelas en los puntos indicados. a) f(x, y) = (x 2 y, x y, y x ) en (2, 3) b) f(x, y, z) = (tan(xz), e x2y, z cot(3y)) en (2, π, π/2) 2. Encuentre las derivadas parciales de las siguientes funciones vectoriales. a) f(x, y, u, v) = (3xu v 2, 5y 4 uv) b) f(u, v) = (u cos v, u sen v) c) f(r, u, v) = (r cos u sen v, r sen u sen v, rcosv) Sean f : R 2 R una función y (a, b) un punto interior de dom(f). Una ecuación del plano tangente a la superficie z = f(x, y) en el punto P = (a, b, c = f(a, b)) es z c = f x (a, b)(x a) + f y (a, b)(y b) Mientras que un vector normal al plano es N = (f x (a, b), f y (a, b), 1). Luego la ecuación vectorial de la recta normal a la superficie en el punto P es (x, y, z) = (a, b, c) + t(f x (a, b), f y (a, b), 1) 1. Encuentre las ecuaciones del plano tangente y de la recta normal al gráfico de las siguientes funciones en el punto dado. a) f(x, y) = x 2 + y 2 en ( 2, 1) b) f(x, y) = cos(x/y) en (π, 3) c) f(x, y) = x 2 en (2, 1) d) z = ln(2x + y) en ( 1, 3) 2. Encuentre las coordenadas de todos los puntos de la superficie z = x 4 4xy 3 24y 2 2 en los cuales el plano tangente a la superficie es horizontal. 14

16 Sean f : R n R m una función y x 0 R n un punto interior de dom(f). Si f(x 1,..., x n ) = (f 1 (x 1,..., x n ),..., f m (x 1,..., x n )) entonces llamaremos matriz Jacobiana o matriz derivada de f en x 0 a la siguiente matriz de tamaño m n f 1 f 1 (x 0 )... (x 0 ) x 1 x n f (x 0 ) =. f m (x 0 )... x 1 1. Obtenga la matriz jacobiana de las siguientes funciones a) f(x, y, z) = (x 2 y, ln(z 2 y 2 ), y/z, cos(xy)) b) f(x, y) = 3x 2 + y 3 3 c) f(x, y) = (tan(3xy), e x2 +y 2 ) d) f(x) = (cos x, sen x, x). f m (x 0 ) x n 2. La diferencial Sean f : R n R m una función y x 0 R n un punto interior de dom(f). La función f se dice diferenciable si existe una función lineal L : R n R m tal que f(x) f(x 0 ) L(x x 0 ) lím = 0 x x 0 x x 0 L se llama diferencial de f en x 0 y se denota L = d x0 f. Teoremas Si f : R n R m es una función diferenciable en x 0 entonces d x0 f es única y su matriz es la matriz jacobiana o derivada de f, o sea, d x0 f(x) = f (x 0 ).x Sean f : D R n R m una función y D un subconjunto abierto de R n. Si todas las derivadas parciales de f existen y son continuas en D entonces f es diferenciable en todo punto de D. En tal caso se dice que f es continuamente diferenciable en D. Si f : R n R m es diferenciable en x 0 entonces f es continua en x 0 15

17 1. Muestre que las siguientes funciones son continuamente diferenciables en su dominio. a) f(x, y) = e x cos(xy) b) f(x, y, z) = x + y y + z c) f(x, y) = (2x 3 y, ln(y 2 )) 2. Utilize la diferencial de f en un punto adecuado para aproximar los valores de la función en el punto dado. a) f(x, y) = sen(πxy) + ln(y) en (0,01; 1,05) b) f(x, y) = 20 x 2 7y 2 en (1,95; 1,08) c) f(x, y, z) = arctan( x+y ) en (1,51; 1,48; 3,01) z 3. Muestre que en (0, 0) la función f(x, y) = 3x 3 x 2 + y 2 si (x, y) (0, 0) 0 si (x, y) = (0, 0) es continua, tiene derivadas parciales pero NO es diferenciable. Resolución: Dejaremos como ejercicio mostrar que f es continua en (0, 0). Comencemos calculando las derivadas parciales f (0, 0) = lím x h 0 3h 3 h h De la misma manera 3,0 f (0, 0) = lím 2 +h 2 = 0 y h 0 h Analicemos ahora si f es diferenciable. Debemos calcular el siguiente límite = 3 f(x, y) f(0, 0) 3x 0y lím (x,y) (0,0) x2 + y 2 Reemplazando los valores de f tenemos que lím (x,y) (0,0) 3x 3 0 3x 0y x 2 +y 2 3x 3 3x(x 2 + y 2 ) = lím x2 + y 2 (x,y) (0,0) ( = lím x 2 + y 2 ) 3 (x,y) (0,0) 3xy 2 ( x 2 + y 2 ) 3 Finalmente este último límite no existe ya que si me aproximo al (0, 0) por diferentes rectas y = mx obtengo diferentes valores para ese límite. 16

18 4. Muestre que en (0, 0) la función ( ) (x 2 + y 2 1 ) sen si (x, y) (0, 0) f(x, y) = x2 + y 2 0 si (x, y) = (0, 0) es diferenciable pero sus derivadas parciales NO son continuas. 5. Muestre que en (0, 0) la función f(x, y) = x 2 + y 2 es continua pero NO es diferenciable. Sean f : R n R una función y x 0 R n un punto interior de dom(f). Sea v R n un vector de norma 1, o sea v = 1. Se define la derivada de f en x 0 de v como f v (x f(x 0 + tv) f(x 0 ) 0) = lím t 0 t Si f es diferenciable en x 0 entonces f v (x 0) = f(x 0 ).v en la dirección a) Para cada una de las siguientes funciones calcule el vector gradiente en el punto dado y la derivada direccional en la dirección del vector v. 1) f(x, y) = x y en (5, 1), v = (12, 5) 2) f(x, y) = xe xy en ( 3, 0), v = 2i + 3j 3) f(x, y, z) = x tan 1 ( y ) en (1, 2, 2), v = i + j k z b) Obtenga una ecuación de la recta tangente a la curva de nivel de f(x, y) = x 2 y 2 que pasa por el punto (2, 1). c) Encuentre la ecuación del plano tangente a la superficie de nivel de la función f(x, y, z) = cos(x + 2y + 3z) en el punto (π/2, π, π). d) Determine en que dirección se produce la máxima razón de cambio de f en el punto dado 1) f(x, y) = ln(x 2 + y 2 ), en (1, 2) 2) f(x, y) = cos(3x + 2y), en (π/6, π/8) 3) f(x, y, z) = x + y/z, en (4, 3, 1) 17

19 e) Mostrar que la función f definida por f(x, y) = x y x2 + y 2 si (x, y) (0, 0) 0 si (x, y) = (0, 0) tiene derivada direccional en todas direcciones en el punto (0, 0) pero no es diferenciable en ese punto. 3. Función Compuesta - Regla de la Cadena Sean f : R n R m y g : R m R r dos funciones. Se define la función compuesta g f : R n R p a la función definida por g f(x) = g(f(x)) a) Calcule la función compuesta en los siguientes ejemplos, en el orden adecuado. ( ) x 1) f(x, y) =, x, xy2 y g(a, b, c) = (ln(a + b), b + c, c 2 ) x + y 2) f(t) = (t 2 + 3, cos t) y g(x, y) = 3 x + y 3 3) h(x, y, z) = x + 3y + ln(z + 1) y f(t) = (6t 2, t + 5, 8) Teorema (Regla de la Cadena) Sean f : R n R m y g : R m R r dos funciones y sea x 0 en el dominio de f. Si f es diferenciable en x 0 y g es diferenciable en f(x 0 ) entonces g f es diferenciable en x 0 y se cumple que (g f) (x 0 ) = g (f(x 0 )).f (x 0 ) a) Aplique la regla de la cadena a las funciones del ejercicio anterior. 18

20 Teorema (Regla de la Cadena para calcular derivadas parciales) Caso 1 Sea z = f(x, y) una función derivable respecto de x e y. Supongamos que x = g(t) e y = h(t) son funciones derivables respecto de t. Entonces, dz dt = f dx x dt + f dy y dt Caso 2 Sea z = f(x, y) una función derivable respecto de x e y. Supongamos que x = g(u, v) e y = h(u, v) son funciones derivables respecto de u y v. Entonces, z u = f x x u + f y y u y z v = f x x v + f y y v. Dejamos como ejercicio para el lector dar la regla general. a) Derive usando la regla de la cadena ( ) w 1) Calcule sabiendo que w = f(x, y, z) e y = g(x, z) x z 2) Calcule w, si w = f(x, y), x = g(r, s), y = h(r, t), r = k(s, t) y s = n(t). t 3) Calcule z u, z v y z w si z = f(x, y) = f(g(u, v, w)). 4) Obtenga 2 z s, 2 z 2 s t y 2 z si z = f(x, y) y x = 2s + 3t e y = 3s 2t. t2 b) Derive usando la regla de la cadena y compare con el resultado que obtiene reemplazando las variables y derivando directamente. 1) Calcule u t si u = x 2 + y 2 y las variables son x = e st e y = 1 + s 2 cos t. 2) Hallar w t si w = x2 + y 2 + z 2 y las variables son x = e t cos t, y = e t sen t y z = e t. 3) Hallar w t si w = e2x+3y y las variables son x = ln t, y = ln(t 11). c) Sea u = u(η, ξ). Haciendo el cambio de variables ξ = x + ct y η = x pruebe que la ecuación u t = c u u es equivalente a x η = 0. 19

21 d) Sea f una función de u y v. Si u = ln(x 2 + y 2 ) y v = ln(x 2 y 2 ) transforme la expresión 1 f x x 1 f y y. Función Inversa Definición: Sea F : R n R n una función. Se dice que F es inversible si existe una función G : R n R n tal que F G = G F = Id. Si F es biyectiva entonces tiene inversa. Más aún, si F es diferencible en x 0 y F (x 0 ) es una matriz inversible entonces G es diferencible en F (x 0 ) y G (F (x 0 )) = (F (x 0 )) 1. a) Calcule la función inversa en los siguientes casos. 1) F (x, y) = (x + 3y 1, 2x + 4y + 2) 2) F (r, θ) = (r cos θ, r sen θ) 3) F (r, θ, z) = (r cos θ, r sen θ, z) b) Calcule la matriz jacobiana de las funciones inversas del ejercicio anterior. Teorema de la función Implícita Sea F : D R 3 R una función con derivadas F x, F y, F z continuas en un entorno de (x 0, y 0, z 0 ) y tal que F (x 0, y 0, z 0 ) = 0 y F z (x 0, y 0, z 0 ) 0. Entonces, la ecuación F (x, y, z) = 0 define a z como función de x e y en un entorno de (x 0, y 0, z 0 ) y las derivadas parciales están dadas por las siguientes ecuaciones, F F x z x z x = F z y = a) Derive implícitamente suponiendo que y es función de x. 1) x 2 xy + y 3 = 8 2) 2y xy = 3x b) Suponga que z depende de x e y y calcule sus derivadas parciales derivando implícitamente F z 20

22 1) y 2 ze x+y sen(xyz) = 0 2) xy 2 z 3 + x 3 y 2 z = x + y + z 4. Extremos Libres y Ligados Sean f : R n R una función f tiene un máximo local en x 0 si existe un entorno E de x 0 tal que f(x) f(x 0 ), x N dom(f). f tiene un mínimo local en x 0 si existe un entorno E de x 0 tal que f(x) f(x 0 ), x N dom(f). Teorema Supongamos que f es diferenciable. Si f tiene extremo local en un punto x 0 del interior del dominio de f entonces f(x 0 ) = 0. Un punto x 0 del dominio de f se llama punto crítico si f(x 0 ) = 0. Un punto crítico de f que no es ni máximo ni mínimo se llama punto silla. a) Encuentre y clasifique los puntos críticos de las siguientes funciones. 1) f(x, y) = x 3 + 3xy 3x 2 3y ) f(x, y) = x 2 + 2y 2 4x + 4y 3) f(x, y) = xy x + y 4) f(x, y) = x y + 8 x y 5) f(x, y) = xye x2 y 4 6) f(x, y) = e x sen 2 (y) b) Encuentre los máximos y mínimos de las funciones dadas en los dominios indicados 1) f(x, y) = x x 2 + y 2 en el rectángulo cerrado 0 x 2, 0 y 1. 2) f(x, y) = x 2 + 2xy + 3y 2 en el triángulo cerrado de vértices ( 1, 1), (2, 1) y ( 1, 2). 3) f(x, y) = sen x cos y en el triángulo cerrado de vértices (0, 0), (0, 2π) y (2π, 0). c) Use multiplicadores de Lagrange para obtener los extremos de las siguientes funciones sujetas a la condición dada. 21

23 1) f(x, y) = x 3 y 5 con la condición x + y = 8. 2) f(x, y, z) = x + y z para los puntos en la esfera x 2 + y 2 + z 2 = 1. 3) f(x, y, z) = x + 2y 3z sobre el elipsoide x 2 + 4y 2 + 9z d) Encuentre la distancia del origen al plano x + 2y + 2z = 3 de tres maneras: 1) Usando argumentos geométricos. 2) Reduciendo el problema a uno de dos variables sin restricciones. 3) Usando multiplicadores de Lagrange. 5. Adicionales a) Calcule las derivadas parciales y direccionales de las siguientes funciones en el punto dado o justifique si no existen. De ser posible, dé la ecuación del plano tangente en dicho punto. 1) z = ln(2x + y) en P = ( 1, 3) en la dirección u = (1, 2). 2) f(x, y) = e x cos(xy) en P = (1/2, π) en la dirección u = (3/5, 4/5). 3) 4) f(x, y) = x x 2 + y 2 si (x, y) (0, 0) 0 si (x, y) = (0, 0) en P = (0, 0) en la dirección u = (1, 1). f(x, y) = y 2 x 2 + y 2 si (x, y) (0, 0) 1 si (x, y) = (0, 0) en P = (0, 0) en la dirección u = (1, 1). b) Sea f(x, y, z) = r n donde r = xi + yj + zk. Muestre que f = nr r n+2. c) Encuentre y clasifique los puntos críticos de las siguientes funciones. 1) f(x, y) = x 3 + y 3 3xy 2) f(x, y) = xy 2 + x 2 + y 2 3) f(x, y) = xy 2x en el rectángulo 1 x 1, 0 y 1 22

24 d) Encuentre la máxima y la mínima distancia del punto (2, 1, 2) a la esfera x 2 + y 2 + z 2 = 1. e) Encuentre la menor distancia del punto (3, 0) a la parábola y = x 2 de dos maneras: 1) transformando el problema en otro que dependa de una sola variable. 2) usando multiplicadores de Lagrange. 6. de Aplicación Derivadas Direccionales a) La temperatura en los puntos del plano (x, y) está dada por T (x, y) = x 2 2y 2. 1) Dibuje algunas isotermas. 2) En que dirección debería moverse una hormiga situada en el punto P = (2, 1) si desea refrescarse tan rápido como sea posible? 3) A que tasa experimentará el descenso de temperatura la hormiga si se mueve desde el punto P en la dirección ( 1, 2). b) La ley de los gases para una masa fija m de una gas ideal a la temperatura absoluta T, a presión P y con volumen V es P V = mrt, donde R es la constante de gas. Muestre que P V V T T P = 1 c) La energía cinética de un cuerpo de masa m y velocidad v es K = 1 2 mv2. Muestre que Diferenciales K 2 K m v 2 = K d) Las aristas de una caja rectangular son medidas con un error máximo del 1 %. Use diferenciales para estimar el error máximo porcentual al calcular el volumen de la caja y el área de una cara de la caja. e) Si R es la resistencia total de tres resistores R 1, R 2, R 3 colocados en paralelo, entonces 1 R = 1 R R R 3 23

25 Si las resistencias se miden como R 1 = 25 ohms, R 2 = 40 ohms y R 3 = 50 ohms, con errores de a lo suma 0,5 % en cada caso, estime el error máximo en el valor calculado de R. Regla de la cadena f ) Utilice diferenciales para calcular la cantidad de metal de una lata cilíndrica cerrada de 10cm de alto y 4cm de diámetro, si el metal de la pared es de 0,05cm de espesor mientras que el metal de la tapa y el fondo es de 0,1cm de espesor. g) El radio de un cilindro circular recto decrece en una razón de 1,2cm/s, en tanto que su altura aumenta a una tasa de 3cm/s. A que tasa cambia el volumen del cilindro, si el radio es de 80cm y la altura de 150cm. h) La longitud l, el ancho w y la altura h de una caja cambian con el tiempo. En un cierto tiempo, las dimensiones son l = 1m y w = h = 2m y además l y w se incrementan a una tasa de 2m/s, en tanto que h disminuye a una tasa de 3m/s. En ese instante, calcule las tasas de cambio de 1) El volumen. 2) El área de la superficie. 3) La longitud de una diagonal. i) El voltaje V en un circuito eléctrico simple disminuye lentamente conforme la batería de agota. La resistencia R aumenta lentamente conforme el resistor se calienta. Utilice la Ley de Ohm, V = IR, para calcular cómo está cambiando la corriente I en el momento cuando R = 400Ω, I = 0,08A, dv/dt = 0,01V/s y dr/dt = 0,03Ω/s. Extremos j ) Una caja de cartón, sin tapa, deberá tener un volumen de 32000cm 3. Calcule las dimensiones que minimicen la cantidad de cartón a utilizar. k) La base de un acuario, de volumen V, está hecho de esquisto y sus lados de cristal. Si el esquisto cuesta cinco veces más que el cristal (por unidad de área), determine las dimensiones del acuario que minimicen el costo de los materiales. 7. Autoevaluación a) Cuántas derivadas parciales de orden 4 tiene una función de 2 variables? Y cuántas de orden n? b) Si estas derivadas paricales son continuas, cuántas de ellas son distintas? 24

26 c) Determine si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. 1) Existe una función f(x, y) cuyas derivadas parciales son f x (x, y) = x + 4y y f y (x, y) = 3x y. 2) Si f(x, y) = ln y, entonces f(x, y) = 1/y 3) Si existen f x (a, b) y f y (a, b) entonces f es diferenciable en (a, b). 4) Si f tiene un mínimo local y es diferenciable en (a, b) entonces f(a, b) = 0. d) Utilice diferenciales para aproximar el número (1,98) 3 (3,01) 2 + (3,97) 2. e) Cómo se relacionan las derivadas direccionales y el gradiente de f(x, y)? f ) En qué dirección se produce la máxima derivada direccional de f(x, y)? g) En qué dirección se produce la mínima derivada direccional de f(x, y)? h) En qué dirección la derivada direccional de f(x, y) es 0?. 25

27 Capítulo 4 Integrales Múltiples 1. Curvas y Superficies 1. Identifique y grafique las siguientes curvas en R 2. a) y = 3x + 2 b) x + y = 2 c) x = y 2 2y + 1 d) 9x 2 + 4y 2 = 36 e) 3x 2 6x + 3y 2 = 6 g) 2x y + 3 = 0 h) x 2 y 2 6y = 10 i) y 2 3x 2 = 12 j ) y = x 2 f ) y = 1 (x + 2) 2 2. Identifique y grafique las siguientes superficies en R 3. a) x 4 = y+5 = z b) x = y+2 = z c) 4x 2 + 9y z 2 = 36 d) 4z 2 x 2 y 2 = 1 e) z = y 2 f ) x = y 2 + z 2 g) 2x 2 + z 2 = 4 h) x 2 + 4z 2 y = 0 i) z 2 = 3x 2 + 4y 2 12 j ) x 2 + 6x + y 2 4z 2 + 8z = 19 k) x 2 y 2 + 4y + z = 4 3. Dibuje la región acotada por las siguientes superficies. a) z = x 2 + y 2 y x 2 + y 2 = 1 para 1 z 2. b) z = x 2 + y 2 y z = 2 x 2 y 2. 26

28 2. Integrales Dobles 1. Calcule las siguientes integrales iteradas a) 2 0 b) x2 y 3 dydx 1 0 c) d) ln 2 0 e) π 0 x dydx y x + ydxdy ln 5 e 2x y dxdy 0 x cos ydydx x 2. Dibuje la región R de integración y calcule la integral doble a) x sen yda con R = {(x, y)/0 y π/2, 0 x cos x} R b) R 1 da con R = {(x, y)/0 y e, x y2 x y 4 } c) R ex+y da con R acotada por las rectas y = 0, y = x, x = 1. d) R yex da con R la región triangular con vértices (0, 0), (2, 4) y (6, 0). e) R 4y3 da con R acotada por las curvas y = x 6, y 2 = x. 3. Calcule el volumen de los siguientes sólidos usando integrales dobles a) Bajo el paraboloide z = 3x 2 +y 2 y encima de la región acotada por y = x y x = y 2 y. b) Acotado por el cilindro x 2 + z 2 = 9 y los planos x = 0, y = 0, z = 0, x + 2y = 2 en el primer octante. c) Acotado por los planos x = 0, y = 0, z = 0 y x + y + z = Dibuje la región de integración y cambie el orden de integración. Resuelva cuando sea posible. a) y y 2 b) 1 π/4 0 arctanx f(x, y)dxdy f(x, y)dxdy 1 y x3 + 1dxdy c) 1 0 d) 3 9 y cos(x 2 )dxdy 0 y 2 27

29 Integrales mediante un Cambio de coordenadas. Si T una función de R n en R n biyectiva y continua. Sea D un subconjunto del dominio de T. Si f es continua y acotada en T (D) entonces f(x, y)da = f T dett da T (D) D 1. Sea R la región del primer cuadrante del plano xy acotada por las hipérbolas xy = 1, xy = 9 y las rectas y = x, y = 4x. Utilice la transformación x = u, y = u con u > 0, v v v > 0, para escribir dxdy como una integral sobre una región adecuada D del plano R uv. Calcule la integral obtenida. 2. Calcule la integral encerrada por las curvas x 2 + 2y 2 = 1, x 2 + 2y 2 = 4, y = 2x, y = 5x, x 0, y 0 usando la transformación u = x 2 + 2y 2, v = y x Cambio a coordenadas polares Sea T : R 2 R 2 la siguiente función biyectiva T (r, θ) = (r cos(θ), r sen(θ)) = (x, y) Si f es continua en una región polar de la forma D = {(r, θ)/α θ β, h 1 (θ) r h 2 (θ} donde 0 β α 2π, entonces T (D) f(x, y)da = β h2 (θ) α h 1 (θ) f(r cos θ, r sen θ))rdrdθ Observación: NO olvidar el factor adicional r en el término de la derecha. 1. Cambie la integral dada a coordenadas polares y evalúela. a) R yda, donde R es la región en el primer cuadrante acotada por el círculo x2 +y 2 = 9 y las rectas y = 0, y = x. b) R xyda, donde R es la región en el primer cuadrante entre los círculos x2 + y 2 = 4 y x 2 + y 2 = 25. c) 1 da, donde R es la región que está dentro del cardioide r = 1 + sen θ y R x 2 +y2 fuera del círculo r = 1. 28

30 d) xda, donde R es la región en el primer cuadrante que está entre los círculos R x 2 + y 2 = 4 y x 2 + y 2 = 2x. e) 1 1 x 2 e x2 +y 2 dydx 0 0 f ) 2 2x x 2 x2 + y 0 2 dydx 0 3. Integrales Triples 1. Calcule las siguientes integrales iteradas en el orden adecuado. a) zdv, donde E está acotada por los planos x = 0, y = 0, z = 0, y + z = 1 y E x + z = 1. b) E (x+2y)dv, donde E está acotada por el cilindro parabólico y = x2 y los planos z = x, y = x y z = 0. c) E xdv donde E está acotada por el paraboloide x = 4y2 + 4z 2 y el plano x = 4. d) E sen(πy3 )dv donde E es la pirámide con vértices los puntos (0, 0, 0), (0, 1, 0), (1, 1, 0), (1, 1, 1) y (0, 1, 1). Cambio a coordenadas cilíndricas Sea T : R 3 R 3 la siguiente función biyectiva Si f es continua en la región T (r, θ, z) = (r cos(θ), r sen(θ), z) = (x, y, z) D = {(r, θ, z)/α θ β, h 1 (θ) r h 2 (θ), g 1 (r, θ) z g 2 (r, θ)} donde 0 β α 2π, entonces T (D) f(x, y, z)dv = β h2 (θ) g2 (r,θ) α h 1 (θ) g 1 (r,θ) f(r cos θ, r sen θ, z)rdzdrdθ Observación: NO olvidar el factor adicional r en el término de la derecha. 1. Calcule E ydv, donde E es el sólido que está entre los cilindros x2 + y 2 = 1 y x 2 + y 2 = 4, encima del plano xy y debajo del plano z = x Determine el volumen de la región E acotada por los paranoloides z = x 2 + y 2 y z = 36 3x 2 3y 2. 29

31 3. Evalúe E x2 dv, donde E es el sólido que está entre el cilindro x 2 + y 2 = 1 encima del plano z = 0 y debajo del cono z 2 = 4x 2 + 4y 2. Cambio a coordenadas esféricas Sea T : R 3 R 3 la siguiente función biyectiva T (r, θ, φ) = (r cos(θ) sen(φ), r sen(θ) sen(φ), r cos(φ)) = (x, y, z) Si f es continua en la región D f(x, y, z)dv = f(r cos(θ) sen(φ), r sen(θ) sen(φ), r cos(φ))r sen(φ)drdθdφ T (D) D Observación: NO olvidar el factor adicional r sen(φ) en el término de la derecha. 1. Describa todos los puntos (x, y, z) del espacio cuyas coordenadas esféricas satisfacen las siguientes ecuaciones, a) θ = π/2 b) φ = π/2 c) r = 3 d) r = 2 cos(φ) e) r = 2 cos(θ) f ) φ = π/3 g) θ = π/6 2. Evalúe E (x2 + y 2 + z 2 )dv, donde E es la bola centrada en el origen de radio Encuentre E xe(x2 +y 2 +z 2 ) 2 dv, donde E es el sólido que está entre las esferas x 2 + y 2 + z 2 = 1 y x 2 + y 2 + z 2 = 4 en el primer octante. 4. Evalúe E x2 + y 2 + z 2 dv, donde E es el sólido acotado debajo del cono φ = π/6 y encima de la esfera r = Determine el volumen del sólido que está encima del cono φ = π/3 y debajo de la esfera r = 4 cos(φ). 6. Escriba las siguientes integrales en a) coordenadas cartesianas, b) coordenadas cilíndricas y c) coordenadas esféricas. Elija las coordenadas más convenientes para calcular la integral. a) Determine el volumen del sólido que está arriba del cono z = x 2 + y 2 y debajo de la esfera x 2 + y 2 + z 2 = 1. b) E x2 dv, donde E está entre las esferas r = 1 y r = 3 y encima del cono φ = π/4. 7. Elija coordenadas convenientes para calcular las siguientes integrales. 30

32 a) 1 1 x x 2 y 2 1 x 2 x 2 +y 2 (x 2 + y 2 ) 3/2 dzdydx b) 1 1 y 2 x 2 +y x 2 +y (xyz)dzdxdy 2 c) 3 9 x x 2 y 2 z (x 9 x y 2 + z 2 )dzdydx 4. Adicionales 1. Determine si los siguientes enunciados son verdaderos o falsos. a) x2 sen(x y)dxdy = x2 sen(x y)dxdy 1 b) 1 +y ex2 sen ydxdy = 0 c) La integral 2π 2 2 dzdrdθ representa el volumen encerrado por el cono z = x 0 0 r 2 + y 2 y el plano z = Describa la región cuya área esta dada por la siguiente integral π 1+sen θ 0 1 rdrdθ 3. Describa el sólido cuyo volumen está dado por la siguiente integral y evalúe dicha integral. 4. Calcule las siguientes integrales 2π π/ r 2 sen φdrdφdθ a) D xyda, donde D es la región acotada por y2 = x 3 y x = y. b) (xy + 2x + 3y)dA, donde D es la región del primer cuadrante acotada por x = D 1 y 2, y = 0 y x = 0. c) E y2 z 2 dv, donde E está acotada por el paraboloide x = 1 y 2 z 2 y el plano x = 0. d) zdv, donde E está acotada por lod planos y = 0, z = 0, x + y = 2 y el cilindro E y 2 + z 2 = 1 en el primer octante. 5. de Aplicación 1. Si la función f(x, y) representa la densidad de masa (en unidades de masa por unidad de área) de una lámina delgada, entonces la masa de la lámina en una región D está dada por 31

33 la integral doble sobre la región D, es decir m = f(x, y)da. Además las coordenadas D del centro de masa están dadas por x = 1 xf(x, y)da m y = 1 m D D yf(x, y)da El significado físico del centro de masa es que la lámina se comporta como si toda la masa estuviera concentrada en ese punto. Calcule la masa y las coordenadas del centro de masa de las siguientes láminas cuya densidad es f(x, y) y que ocupan la región D, a) f(x, y) = x + y y D es la región triangular con vértices (0, 0), (2, 1) y (0, 3). b) f(x, y) = y y D es la región acotada por la parábola y = 9 x 2 y el eje x. c) f(x, y) = xy y D es la región en el primer cuadrante acotada por la parábola y = x 2 y la recta y = 1. d) D es la parte del disco x 2 + y 2 1 en el primer cuadrante y la densidad de masa es proporcional al cuadrado de la distancia desde el origen, para cualquier punto. e) D es la parte del disco x 2 + y 2 1 en el primer cuadrante y la densidad de masa es proporcional al cuadrado de la distancia desde el eje x, para cualquier punto. 2. Si una carga eléctrica se distribuye en una región D y la densidad de carga (en unidades de carga por unidad de área) está dada por una función f(x, y), entonces la carga total Q se obtiene a através de la integral doble sobre la región D. Calcule la carga eléctrica distribuída en las siguientes regiones D si la densidad de carga es f(x, y) (medida en coulombs por metro cuadrado) a) D es el rectángulo 0 x 2, 1 y 2 y f(x, y) = x 2 + 3y 2. b) D es el disco unitario x 2 + y 2 1 y f(x, y) = 1 + x 2 + y El momento de Inercia de una lámina con función densidad de masa f(x, y) y que ocupa una región D alrededor del eje x se puede calcular como I x = y 2 f(x, y)da De manera similar, el momento de Inercia alrededor del eje y es I y = x 2 f(x, y)da D D 32

34 Asimismo, se calcula el momento de inercia alrededor del origen o momento polar de inercia a I 0 = (x 2 + y 2 )f(x, y)da D Observe que I 0 = I x + I y. Calcule los momentos de Inercia para las láminas del ejercicio Todas las aplicaciones mencionadas para integrales dobles pueden extenderse a integrales triples. En efecto si un objeto sólido que ocupa una región E tiene una densidad de masa f(x, y, z) entonces su masa es m = f(x, y, z)dv y las coordenadas del centro de E masa son x = 1 xf(x, y, z)dv ; y = 1 yf(x, y, z)dv ; z = 1 zf(x, y, z)dv m E m E m E Calcule la masa y las coordenadas del centro de masa para los siguientes objetos sólidos que ocupan una región E y tienen una densidad de masa f(x, y, z) a) E está acotado por el cilindro parabólico z = 1 y 2 y los planos x + z = 1, x = 0 y z = 0 y la densidad es constante. b) E es el tetraedro acotado por los planos x = 0, y = 0, z = 0 y x + y + z = 1, con f(x, y, z) = y. 5. Los momentos de Inercia alrededor de los ejes coordenados son I x = E (y2 + z 2 )f(x, y, z)dv ; I y = E (x2 + z 2 )f(x, y, z)dv ; I z = E (x2 + y 2 )f(x, y, z)dv Calcule los momentos de Inercia de un ladrillo regular de dimensiones a, b y c con masa M y densidad constante. 6. Autoevaluación 1. Defina coordenadas polares y enuncie el teorema que permite calcular una integral doble cartesiana en coordenadas a polares. 2. Defina coordenadas cilíndricas y enuncie el teorema que permite calcular una integral triple cartesiana en coordenadas a cilíndricas. 3. Defina coordenadas esféricas y enuncie el teorema que permite calcular una integral triple cartesiana en coordenadas a esféricas. 33

35 Capítulo 5 Curvas - Integral de Línea Una curva en R n es una función γ : A R R n continua. Muchas veces suele llamarse curva a la imagen del conjunto A por γ, es decir a γ(a) R n y a la función γ una parametización de la curva. 1. Identifique las curvas dadas por las siguientes parametizaciones. a) γ(t) = (sen t, 3, cos t) b) γ(t) = (t 2, t, 2) c) γ(t) = (sen t, sen t, 2 cos t), ayuda: muestre que la curva está contenida en el plano x = y. d) γ(t) = (sen t, t, cos t), ayuda: muestre que la curva está contenida en el cilindro x 2 + z 2 = 1. e) γ(t) = (t cos t, t sen t, t), ayuda: muestre que la curva está contenida en el cono z 2 = x 2 + y Muestre que la curva γ(t) = (sen t, cos t, sen 2 t) es la curva intersección de las superficies z = x 2 y x 2 + y 2 = 1. Use este hecho para realizar la gráfica de la curva. 3. Parametrice las curvas del ejercicio 1 de la sección 1 del capítulo anterior. Una curva γ : A R R n se dice suave si γ(t) 0 para todo t A. Dada una curva γ : A R R 3 suave, se define: Vector Tangente Unitario a T (t) = γ (t) γ (t) Vector Normal principal a N(t) = T (t) T (t) Vector Binormal a B(t) = T (t) N(t) La Curvatura κ(t) = T (t) = γ (t) γ (t) γ (t) γ (t) 3 34

36 Dada una curva γ : A R R 3 suave, se define: La Torsión es una función τ(t) tal que B (t) = τ(t)n(t) γ (t) Los vectores T y N determinan un plano que pasa por el punto γ(t) llamado plano osculador. 1. Calcule los vectores Tangente, Normal y Binormal, la curvatura, la torsión y el plano osculador de las curvas del ejercicio Calcule la longitud de las curvas del ejercicio 1, tomando en cada caso un dominio adecuado. 3. Encuentre la parametización por longitud de arco de las curvas del ejercicio 1. Sea γ : [a, b] R n una curva suave y sea f : D R n R una función continua cuyo dominio contiene a la curva. Se llama Integral de línea de f a lo largo de la curva γ a fdγ = b γ a f(γ(t)) γ (t) dt 1. Calcule las siguientes integrales sobre la curva γ dada. a) γ xy4 dγ, donde γ es la mitad derecha del círculo x 2 + y 2 = 16. b) xzdγ, donde γ(t) = (6t, 3 2t 2, 2t 3 ) con 0 t 1. γ c) xyzdγ, donde γ(t) = (2t, 3 sen t, 3 cos t) con 0 t π/2. γ d) γ x2 zdγ, donde γ(t) = (sen 2t, 3t, cos 2t) con 0 t π/4. e) γ xy2 zdγ, donde γ es el segmento de recta desde el punto (1, 0, 1) hasta (0, 3, 6). 35

37 Sea γ : [a, b] R n una curva suave y sea F : D R n R n una función continua cuyo dominio contiene a la curva. Se llama Integral de línea del campo vectorial F a lo largo de la curva γ a b F dγ = F(γ(t)) γ (t)dt γ a Observación: Si tenemos un campo vectorial en R 3 tal que F (x, y, z) = (P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)) entonces una notación alternativa para esta integral es, F dγ = P dx + Qdy + Rdz γ 1. Calcule las integrales vectoriales del campo F a lo largo de la curva γ dada. a) F (x, y) = x 2 yi xyj y γ(t) = (t 3, t 4 ), con 0 t 1. b) F (x, y, z) = (y + z)i x 2 j 4y 2 k y γ(t) = (t, t 2, t 4 ), con 0 t 1. c) F (x, y, z) = sen xi + cos yj + xzk y γ(t) = (t 3, t 2, t), con 0 t 1. d) F (x, y) = e x 1 i + xyj y γ(t) = (t 2, t 3 ), con 0 t Calcule γ x2 ydx + (x 2 y 2 )dy para las siguientes curvas γ a) el segmento de recta desde (1, 1) hasta (2, 4). b) el segmento de parábola y = x 2 desde (1, 1) hasta (2, 4). 3. Calcule (x y)dx + (y x)dy para las siguientes curvas γ γ a) el segmento de recta desde (1, 0) hasta (0, 1). b) el arco sobre el círculo x 2 + y 2 = 1 desde (1, 0) hasta (0, 1). γ 1. Aplicaciones 1. Análogamente a las aplicaciones de integrales dobles y triples, podemos decir que si la función integrando representa la densidad de masa de un alambre en forma de la curva γ, entonces la masa m del alambre está dada por la integral de la función escalar f a lo largo de la curva. Por otro lado, las coordenadas del centro de masa están dadas por x = 1 xf(x, y)dγ; y = 1 yf(x, y)dγ m m γ En los siguientes casos, calcule la masa del alambre γ y las coordenadas del centro de masa, si su densidad de masa es f. 36 γ

38 a) γ la parte del círculo x 2 + y 2 = 4 con x 0 y la densidad f es constante. b) γ es la hélice γ(t) = (t, cos t, sen t) con 0 t 2π y la densidad en cualquier punto es igual al cuadrado de su distancia al origen. c) γ la parte del círculo x 2 + y 2 = r 2 con x 0, y 0 y la densidad es f(x, y) = x + y. 2. Si un alambre que tiene densidad lineal f está a lo largo de una curva plana γ, sus momentos de Inercia alrededor de los ejes x e y se definen como I x = γ y2 f(x, y)dγ; I y = γ x2 f(x, y)dγ Determine los momentos de inercia para un alambre que tiene la forma de una hélice γ(t) = (2 sen t, 2 cos t, 3t) con 0 t 2π con densidad constante. 3. Supongamos que el campo vectorial F representa un campo de fuerza continuo de R 3 (por ejemplo un campo gravitacional o el campo de fuerza eléctrico), entonces la integral vectorial de F a lo largo de una curva γ representa el trabajo realizado por dicha fuerza al mover una partícula a lo largo de la curva γ. Calcule el trabajo realizado por el campo de fuerza F sobre una partícula que se mueve a lo largo de la curva γ. a) F (x, y) = (x 2, xy) y γ es el círculo x 2 + y 2 = 4 orientado en dirección contraria al movimiento de las agujas del reloj. b) F (x, y) = (x, y + 2) y γ(t) = (t sen t, 1 cos t) con 0 t 2π. c) F (x, y) = (x sen y, y) y γ es el trozo de parábola y = x 2 desde el punto ( 1, 1) hasta (2, 4). d) Un hombre que pesa 160 libras carga un bote de pintura de 25 libras por una escalera de caracol que rodea a un silo que tiene un radio de 20 pies. Si el silo tiene una altura de 90 pies y el hombre le da exactamente 3 vueltas completas, que tanto trabajo llevó a cabo el hombre respecto a la fuerza de gravedad al subir hasta la parte más alta? 2. Autoevaluación 1. La integral de línea de un campo vectorial, depende de la trayectoria? o sólo de los puntos inicial y final de dicha trayectoria? 2. Si la curva γ es cerrada (es decir, el punto final e inicial coinciden), puede decir cuanto vale la integral a lo largo de γ de un campo vectorial F cualquiera? 3. Defina curva suave. 37

39 Capítulo 6 Superficies - Integrales de Superficie Una superficie en R n es una función S : D R 2 R n continua. Suele llamarse superficie a la imagen de D por S, es decir S(D) R n, mientras que a la función S se le llama una parametización de S. 1. Identifique las superficies dadas por las siguientes parametizaciones. a) f(u, v) = (3 sen u cos v, 2 sen u sen v, cos u) b) f(u, v) = (u, v, 4 x 2 y 2 ) c) f(u, v) = (3 sen u cos v, 3 sen u sen v, 3 cos u) d) f(u, v) = (u 2, v, u) e) f(u, v) = (u cos v, u sen v, u) f ) f(u, v) = (u, v, 1 + u 2 + v 2 ) 2. Parametrice las superficies del ejercicio 2 de la sección 1 del capítulo 4 (Integrales Múltiples). 3. Calcule el área de las superficies del ejercicio 1 definidas en un dominio adecuado. Sea f : D f R n R una función continua y sea S : D R 2 R n una superficie cuya imagen está contenida en el dominio de f. Se llama Integral de superficie de f sobre S a fds = f(s(u, v)) S u S v dudv 1. Calcule la integral de superficie planteada. S a) xzds con S el triángulo de vértices (1, 0, 0), (0, 1, 0) y (0, 0, 1). S D b) S (y2 + z 2 )ds con S la parte del paraboloide x = 4 y 2 z 2 tal que x 0. 38

40 c) S xyzds con S la parte de la esfera x2 + y 2 + z 2 = 1 que está arriba del cono z = x 2 + y 2. Sea un campo vectorial F : R 3 R 3 continuo y sea S : D R 2 R n una superficie orientable con vector normal unitario n. Se llama Integral vectorial de superficie de F sobre S a F ds = F nds = F (S(u, v)) S u S v dudv S A esta integral se le llama también flujo de F a través de S. 1. Calcule el flujo del campo vectorial F a través de S. S a) F (x, y, z) = (x, xy, xz) y S es el plano 3x + 2y + z = 6 en el primer octante con orientación hacia arriba. b) F (x, y, z) = (x 2 y, 3xy 2, 4y 3 ) y S es la parte del paraboloide elíptico z = x 2 + y 2 9 que está debajo del cuadrado 0 x 2, 0 y 1 y que tiene orientación hacia abajo. c) F (x, y, z) = ( x, y, z 2 ) y S es la parte del cono z = x 2 + y 2 que está entre los planos z = 1 y z = 2, con orientación hacia arriba. d) F (x, y, z) = sen(xyz)i + x 2 yj + x 2 e x/5 k y S es la parte del cilindro 4y 2 + z 2 = 4 que está encima del plano xy entre los planos x = 2 y x = 2 y que tiene orientación hacia arriba. D 1. Aplicaciones 1. Las integrales de superficie tienen aplicaciones similares a las consideradas en los capítulos previos. Por ejemplo, si una lámina delgada tiene la forma de la superficie S y la densidad de masa está representada por la función escalar f, entonces la masa m de la lámina se obtiene de la siguiente manera m = f(x, y, z)ds y el centro de masa tiene coordenadas S x = 1 m S xf(x, y, z)ds; y = 1 m S yf(x, y, z)ds; z = 1 m S zf(x, y, z)ds 39

41 a) Calcule la masa y las coordenadas del centro de masa de un embudo delgado de forma del cono z = x 2 + y 2, con 1 z 4 si la función densidad es f(x, y, z) = 10 z. b) Determine el centro de masa del hemisferio x 2 +y 2 +z 2 = a 2, z 0, si tiene densidad constante. 2. Los momentos de inercia pueden definirse como en los capítulos previos. a) Establezca una expresión integral para el momento de inercia I z alrededor del eje z de una lámina delgada que tiene la forma de una superficie S, si la función densidad es f. b) Determine el momento de inercia alrededor del eje z del cono dado en el apartado a) del ejercicio anterior. 3. La superficie cónica z 2 = x 2 + y 2, 0 z a tiene una densidad constante. Calcule las coordenadas del centro de masa y el momento de inercia alrededor del eje z. 4. Si el campo vectorial F representa el campo de velocidad que describe un flujo de fluído con densidad constante, entonces la integral F nds representa la razón de flujo a S través de la superficie S dada en unidades de masa por unidades de tiempo. Un fluído con densidad 1200 fluye con una velocidad v = yi + j + zk. Determine la razón de fluido hacia arriba a través del paraboloide z = 9 (x 2 + y 2 )/4, tal que x 2 + y El concepto de flujo también surge en otras situaciones físicas. Por ejemplo, si F = E es un campo eléctrico entonces la integral vectorial de superficie se conoce como flujo eléctrico de E a través de la superficie S. Una de las leyes importantes de la electrostática es la Ley de Gauss, que establece que la carga neta encerrada en una superficie cerrada S es Q = ε 0 E ds donde ε 0 es una constante llamada la permisividad del espacio libre. S Utilice la ley de Gauss para calcular la carga eléctrica contenida en el cubo cuyos vértices son (±1, ±1, ±1), si el campo eléctrico es E(x, y, z) = xi + yj + zk. 6. Otra aplicación tiene que ver con el flujo de calor. Suponga que la temperatura en el punto (x, y, z) de un cuerpo es u(x, y, z), entonces el flujo de calor está definido como el siguiente campo vectorial F = K u donde K es una constante conocida como la conductividad de una sustancia. La razón del flujo de calor a lo largo de la superficie S está dado por F ds = K u ds S 40 S