Tarea 4-Integral de línea

Transcripción

1 Tarea 4-Integral de línea I. alcular la integral de línea del campo vectorial f a lo largo del camino que se indica. (Apostol TomoII Pag ) 1. f (x, y) = (x xy)i + (y xy)j a lo largo de la parábola y = x desde ( 1; 1) a (1; 1).. f (x, y) = (a y)i + xj a lo largo del camino descrito por α(t) = a(t sen t)i + a(1 cos t)j, 0 t π. 3. f (x, y, z) = (y z )i + yzj x k, a lo largo del camino descrito por α(t) = ti + t j + t 3 k, 0 t f (x, y) = (x + y )i + (x y )j a lo largo de la curva y = 1 1 x, desde (0; 0) a (; 0) 5. f (x, y) = (x + y)i + (x y)j alrededor de la elipse b x + a y = a b en 6. f (x, y, z) = xyi + (x + z)j + yk, desde (1; 0; ) a (3; 4; 1) a lo largo de un segmento de recta. 7. f (x, y, z) = xi + yj + (xz y)k, desde (0; 0; 0) a (1; ; 4) a lo largo de un segmento rectilíneo. 8. f (x, y, z) = xi + yj + (xz y)k, a lo largo del camino dado por α(t) = t i + tj + 4t 3 k, 0 t 1. II. alcular el valor de la integral de línea dada. (Apostol TomoII Pag ) 1. (x xy)dx + (y xy)dy siendo el arco de la parábola y = x que une los puntos ( ; 4) y (1; 1). (x+y)dx (x y)dy donde es la circunferencia x + y = a recorrida en x +y 3. dx+dy donde es el contorno del cuadrado de vértices (1; 0), (0; 1), ( 1; 0) y x + y (0; 1) recorrido en 4. y dx + z dy + x dz, donde a. es la curva de intersección de las dos superficies x + y = y x + y + z = (x + y). La curva es recorrida de tal forma que mirando desde el origen el sentido es el de las agujas del reloj. b. es la intersección de las dos superficies z = xy y x + y = 1 recorrida en sentido, que visto desde encima del plano xy, es el contrario al de las agujas del reloj. III. Resolver los siguientes ejercicios empleando integrales de línea. (Apostol TomoII Pag ) 1. Un campo de fuerzas f del espacio de tres dimensiones viene dado por f (x, y, z) = xi + yj + (xz y)k.alcular el trabajo realizado por esta fuerza al mover una partícula desde (0; 0; 0) a (1; ; 4) a lo largo del segmento de recta que une esos puntos.. Hallar el trabajo realizado por la fuerza f (x, y) = (x y )i + xyj al mover una partícula en sentido contrario al de las agujas del reloj, recorriendo una vez el contorno del cuadrado limitado por los ejes coordenados y las rectas x = a e y = a, a > Un campo de fuerzas bidimensional f viene dado por la ecuación f (x, y) = cxyi + x 6 y j, siendo c una constante positiva. Esa fuerza actúa sobre una partícula que se mueve desde (0; 0) hasta la recta x = 1 siguiendo una curva de la forma y = ax b, en donde a > 0 y b > 0.Encontrar el valor de a (en función de c) tal que el trabajo realizado por esa fuerza sea independiente de b

2 IV. 4. Un campo de fuerzas f en el espacio de tres dimensiones viene dado por la fórmula f (x, y, z) = yzi + xzj + x(y + 1)k. alcular el trabajo realizado porf al mover una partícula recorriendo una vez el contorno del triángulo de vértices (0; 0; 0), (1; 1; 1), ( 1; 1; 1) en este orden. 5. alcular el trabajo realizado por el campo de fuerzasf (x, y, z) = (y z)i + (z x)j + (x y)k a lo largo de la curva de intersección de la esfera x + y + z = 4 y el plano z = y tan θ, en donde 0 < θ < π. El camino es recorrido de modo que, observando el plano xy desde el eje z positivo, el sentido aparezca contrario al de las agujas del reloj. 6. alcular el trabajo realizado por el campo de fuerzas f (x, y, z) = y i + z j + x k a lo largo de la curva de intersección de la esfera x + y + z = a y el cilindro x + y = ax, siendo z 0 y a > 0.El camino es recorrido de modo que, observando el plano xy desde el eje z positivo el sentido sea el de las agujas del reloj. alcular la integral de línea con respecto a la longitud del arco en los ejercicios siguientes. (Apostol TomoII Pag ) 1. (x + y) ds, siendo el triángulo de vértices (0; 0), (1; 0), (0; 1) recorrido en. y ds, donde tiene la ecuación vectorial α (t) = a(t sen t)i + a(1 cos t)j, 0 t π. 3. (x + y ) ds, donde tiene la ecuación vectorial α (t) = a( cos t + sen t)i + a(sen t t cos t)j, 0 t π. 4. z ds, donde tiene la ecuación vectorial α (t) = t cos t i + t sen t j + tk, 0 t t 0. V. Aplicaciones de la integral de línea (Masa,entro de masa, momento de inercia ). (Apostol TomoII Pag ) 1. onsideremos un alambre semicircular uniforme de radio a. a. Demostrar que el centroide está situado en el eje de simetría a una distancia a del eje de simetría. π b. Demostrar que el momento de inercia respecto al diámetro que pasa por los extremos del alambre es 1 Ma, siendo M la masa del alambre.. Un alambre tiene la forma de un círculo x + y = a. Determinar su masa y su momento de inercia respecto a un diámetro si la densidad en (x, y) es x + y. 3. Hallar la masa de un alambre cuya forma es la de la curva de intersección de la esfera x + y + z = 1 y el plano x + y + z = 0 si la densidad del alambre en (x, y, z) es x. 4. Un alambre uniforme tiene la forma de la porción de curva de intersección de las dos superficies x + y = z e y = x que une los puntos (0; 0; 0) y (1; 1; ). Hallar la coordenada z del centroide. 5. alcular la masa M, las coordenadas x,y del centro de masa y los momentos de inercia I x e I y de un muelle que tiene forma de hélice con densidad en (x, y, z) = x + y + z, cuya ecuación vectorial es α (t) = a cos t i + a sen t j + btk, 0 t π

3 VI. ampos de fuerzas. (Apostol TomoII Pag ) 1. Un campo de fuerzas f está definido en el espacio por la ecuación f (x, y, z) = yi + zj + yzk a. Determinar si f es o no conservativo. b. alcular el trabajo realizado al mover una partícula a lo largo de la curva de ecuación α (t) = cos t i + sen t j + e t k cuando t varía de 0 a π.. Un campo de fuerzas bidimensional F tiene por ecuación F (x, y) = (x + y)i + (x y)j a. Demostrar que el trabajo realizado por esa fuerza al mover una partícula siguiendo la curva α (t) = f(t)i + g(t)i, a t b, depende únicamente de f(a), f(b) g(a), g(b). b. Hallar el trabajo realizado si f(a) = 1, f(b) =, g(a) = 3 g(b) = 4 3. Un campo de fuerzas viene dado en coordenadas polares por la ecuación F (r, θ) = 4 sen θ i + 4 sen θ j alcular el trabajo efectuado al mover una partícula desde el punto (1; 0) al origen siguiendo la espiral cuya ecuación es r = e θ VII. 4. Un campo de fuerzas radial o central F en el plano puede expresarse de la forma F (x. y) = f(r)r en donde r = xi + yj + zk y r = r. Demostrar que un tal campo de fuerzas es conservativo. 5. Hallar el trabajo realizado por la fuerza F (x, y) = (3y + )i + 16xj al mover una partícula desde ( 1; 0) a (1; 0) siguiendo la mitad superior de la elipse b x + y = b. Qué elipse (es decir, qué valor de b) hace mínimo el trabajo?. Gradientes de campos escalares. 1. En cada uno de los siguientes ejercicios, se definen los campos vectoriales f por las fórmulas que se dan.determinar si f es o no gradiente de un campo escalar.en caso de que f sea un gradiente, hallar la correspondiente función potencial φ(apostol TomoII Pag ) a. f (x, y) = xi + yj b. f (x, y) = 3x yi + x 3 j c. f (x, y) = (xe y + y)i + (x e y + x y)j d. f (x, y) = (sen y y sen x + x)i + (cos x + x cos y + y)j e. f (x, y) = [sen(xy) + xy cos(xy)]i + x cos(xy) j f. f (x, y, z) = xi + yj + zk g. f (x, y, z) = (x + z)i (y + z)j + (x y)k h. f (x, y, z) = xy 3 i + x z 3 j + 3x yz k i. f (x, y, z) = 3y 4 z i + 4x 3 z j 3x y k j. f (x, y, z) = (x + 8xy )i + (3x 3 y 3xy)j (4y z + x 3 z)k k. f (x, y, z) = (y cos x + z 3 )i (4 y sen x)j + (3xz + )k l. f (x, y, z) = (4xy 3x z + 1)i + (x + 1)j (x 3 z + 3z )k. Un fluido se desplaza en el plano xy de modo que cada partícula se mueve en línea recta desde el origen. Si una partícula está a una distancia r del origen, su velocidad es ar n, en donde a y n son constantes a. Determinar los valores de a y n para los cuales el campo vectorial velocidad es el gradiente de cierto campo escalar.

4 b. Encontrar la función potencial de la velocidad siempre que ésta sea un gradiente. El caso n = 1 debe tratarse separadamente. VIII. Temas de exámenes anteriores 1. alcular el trabajo producido por un campo de fuerzas F = yzi + xzj + x(y + 1)k. Al moverse en línea recta desde el punto (1; 1; ) hasta el punto (; ; 4). Es este campo de fuerzas conservativo?. Un alambre uniforme tiene la forma de la porción de curva de intersección de las dos superficies x + y = z e y = x, que une los puntos (0; 0; 0) y (1; 1; ). Hallar el trabajo realizado por una fuerza F =. ze x cos y i ze x sen y j + e x cos y k. Al desplazar una partícula a través del alambre. Este trabajo depende de la forma del alambre? 3. alcular el trabajo realizado al mover una partícula a lo largo de la curva de intersección de la semiesfera x + y + z = a, z 0 y el plano x = a (sin incluir la recta en el plano z = 0). El camino es recorrido de modo que, observando el plano zy desde el eje x positivo el sentido sea el de las agujas del reloj, por los siguientes campos fuerzas: a. f (x, y, z) = y i + z j + x k b. f (x, y, z) = (x cos y + z 3 x)i x sen y j + 3z x k 4. Hallar el trabajo realizado al desplazar un cuerpo en línea recta desde (0; 1; 1) hasta ( 1 ; 1; ) a través de los campos de fuerzas : a. F = (y cos x + z 3 )i + (y sen x 4)j + (3xz + )k b. F = 3x i + (xz y)j + zk Son estos trabajos independientes del camino? 5. alcular el trabajo al mover una partícula a lo largo de la curva de intersección de la superficie esférica x + y + z = 4 y el plano z = x desde el punto (0; 0; ) hasta el punto (1; ; 1), siguiendo la trayectoria más larga,a través de los siguientes campos de fuerzas a. F (r ) = 7 r 7 r, siendo r = xi + yj + zk, r = r b. F (r ) = yi + zj + xk Son estos trabajos independientes del camino? En caso de serlos encontrar la función potencial para calcular el trabajo. 6. Un alambre tiene la forma de la intersección entre el cilindro x + y = 4, y el plano z = x, calcular la masa del alambre si la densidad es σ = x y 7. alcular el trabajo realizado al mover una partícula a lo largo de la intersección de la superficie x + y = 4, y el plano z = x desde el punto (; 0; 0) hasta el punto (0; ; ), siguiendo la trayectoria más larga. A través de las siguientes fuerzas. a. F (r) = 5(r A ) r A 7 b. F (r ) = yi, siendo r = xi + yj + zk, y, A = i + j + k 8. alcular la integral de línea dx+dy+dz donde es el segmento de línea recta x + z que une los puntos ( 1; ; ) con (1; ; 4). 9. alcular el trabajo realizado al mover una partícula a lo largo de la intersección de la superficie (x 3) + y = z, y el plano z = x + 3, recorrido en sentido anti horario mirando desde el eje z positivo. A través de la fuerza F (x, y, z) = x i + y j + z k. Graficar detalladamente el planteamiento.

5 10. Hallar el trabajo realizado al desplazar un cuerpo a través del campo de fuerzas F (x, y, z) = 3x i + (xz y)j + zk a través de la curva de intersección de la esfera x + y + z = 1, y el plano x + y + z = 1, desde (1; 0; 0) hasta (0; 0; 1), en sentido anti horario mirando desde el origen del sistema de coordenadas. Son estos trabajos independientes del camino?. Obs. Todas las unidades físicas están en Sistema Internacional. Forma de Entrega Digital. Formato: Realizado a mano con letra y gráficos a mano (para los gráficos también se puede utilizar Geogebra). Escaneado con buena calidad en formato pdf. Grupo de 10 alumnos (el mismo grupo que el de la tarea 1 si es posible). Enviar al analisisfiuni@gmail.com Fecha Tope: 31/05/018, posterior a esta fecha no se recibirá ningún trabajo.