Enunciado y solución del cuarto certamen de Cálculo 3. Viernes 5 de Julio de 2013 Prof: Roberto Cabrales

Transcripción

1 nunciado y solución del cuarto certamen de álculo. Viernes 5 de Julio de 1 Prof: oberto abrales 1 puntos). ean f y g son campos escalares en y F un campo vectorial en. 1. puntos) Muestre que divrotf)).. puntos) Muestre que div f g). olución. Veamos el primer item. i F P x, y, z)i + Qx, y, z)j + x, y, z)k, tenemos que i j k y z Q divrotf)) div F) div x y z div z P x P Q x Q y P x y z Q) + y z P x ) + z x Q y P ) xy xz Q + yz P yx + zx Q zy P, donde se ha usado el teorema de lairaut para garantizar que xy yx, xz Q zx Q y que yz P zy P. Para el ítem b, tenemos que i j k y f z g z f y g div f g) div F) div x f y f z f div z f x g x f z g x g y g z g x f y g y f x g x y f z g z f y g) + y z f x g x f z g) + z x f y g y f x g) x y f z g) x z f y g) + y z f x g) y x f z g) + z x f y g) z y f x g) xy f z g + y f xz g) xz f y g + z f xy g) + yz f x g + z f yx g) yx f z g + x f yz g) + zx f y g + x f zy g) zy f x g + y f zx g), donde se ha usado el teorema de lairaut para garantizar la igualdad de las siguientes derivadas cruzadas: xy f yx f, xz g zx g, xz f zx f, xy g yx g, yz f yz f y yz g zy g. 1 puntos). alcule elipse x xy + y, mediante el cambio de variables u x xy + y )da, donde es la región encerrada por la x + y, v y x. olución. ecordar que la fórmula para el cambio de variables es dada por fx, y)da fxu, v), yu, v)) x, y) u, v) dudv,

2 x x x, y) donde u, v) det u v es el jacobiano de la transformación y es la región descrita u v en términos de las nuevas variables u y v. ntonces, despejando las variables x e y en términos de u y v, tenemos x xu, v) u v, y yu, v) u + v. omo x u u, x Notemos además que x xy + y v u v) u + v ), y v, tenemos que el jacobino de la transformación es x, y) u, v) det. ) ) ) u u u v + v + + v es decir, la región se transforma en la región encerrada por la circunferencia u + v 1 en el plano uv. ntonces, aprovechando la simetría de la región de integración, tenemos que x xy + y )da fxu, v), yu, v)) x, y) u, v) dudv 1 u + v u 1 u + v )dudv 1 ] 1 v 1 v u + v )dudv dv 1 ) 1 v ) / + v 1 v ) 1/ dv 1 v ) / dv + 1 v 1 v ) 1/ dv. Para hacer estas integrales, tomamos v senα), de donde dv cosα)dα y por ello 1 v 1 sen α) cos α) Además cuando v, entonces α y si v 1, tenemos α arc sen1) π/. Por lo tanto, usando las identidades sent) sent) cost), cos t) 1 + cost))/, sen t) 1 cost))/,

3 tenemos que x xy + y )da casos: π/ π/ π/ π/ π + cos α)) / cosα)dα + π/ sen α)cos α)) 1/ cosα)dα cos α)dα + π/ sen α) cos α)dα 1 + cosα) ) dα + π/ sen α) dα 1 + cosα) + cos α))dα + π/ α + senα)]π/ + α + senα) puntos). alcule la integral π/ ] π/ 1 + cosα))dα + 1 cosα) dα α senα) + π π + π + π π. fx, y, z)dv en cada uno de los siguientes 1. 1 puntos) fx, y, z) x y es la región del espacio encerrada por los planos z, x + y z + 5 y los cilindros x + y y x + y puntos) fx, y, z) z y es la región del espacio encerrada por las esferas x +y +z 1 y x + y + z en el primer octante. olución. Veamos el primer ítem. n este caso es conveniente usar coordenadas cilíndricas I fx, y, z)dv β h θ) u r cosθ),r senθ)) α h 1 θ) u 1 r cosθ),r senθ)) fr cosθ), r senθ), z)rdzdr La proyección ortogonal de la región de integración en el plano xy es un anillo circular cuya frontera interna es dada por la circunferencia x + y y la externa por la circunferencia x + y 9, que en coordenadas polares se escriben como r y r, con θ π. Tenemos entonces que u 1 r cosθ), r senθ)) y u r cosθ), r senθ)) 5 + r cosθ) + r senθ) con lo cual ] π/ I π 5+rcosθ)+senθ)) π π cosθ) r cosθ)rdzdr r 5 + r[cosθ) + senθ)])dr 95 cosθ) + [cos θ) + cosθ) senθ)] senθ) ] π + 65 π π π ) [1 + cosθ)] + 65 sen θ) r cosθ) z] 5+rcosθ)+senθ)) dr 5r cosθ) + [cosθ) + senθ)]r ] π 65 θ + senθ) ] π 65π. ]

4 Veamos el segundo ítem. n este caso es conveniente usar coordenadas esféricas I fx, y, z)dv omo fx, y, z) z, entonces e esta forma I π/ π/ 15 π/ 1 d β b c α a fρ senφ) cosθ), ρ senφ) senθ), ρ cosθ))ρ senφ)dρdφ fρ senφ) cosθ), ρ senφ) senθ), ρ cosθ)) ρ cosθ). ρ cosθ)dρdφ senθ)] π/ dφ 15 π/ π/ π/ ] cosθ) ρ dφ 15 1 π/ π/ cosθ)dφ dφ 15 φ]π/ 15π. 1 puntos). ea F + xy)i + x y )j puntos) ncuentre una función f tal que F f.. 6 puntos) alcule la integral F dr donde es la curva dada por r e t sent)i + e t cost)j, t π. olución. ean P x, y) + xy y Qx, y) x y. Para el primer ítem tenemos que resolver las siguientes ecuaciones + xy P x, y) fx, y), x y Qx, y) x fx, y). Integrando la primera ecuación en relación a x, tenemos que fx, y) fx, y) dx + xy)dx x + x y + hy). x Usando la segunda ecuación tenemos que x y fx, y) x + x y + hy)) x + h y), es decir h y) y. Integrando, tenemos que hy) y dy y +,. s decir, fx, y) x + x y y +,.

5 Para el segundo item, notemos que el campo es conservativo ya que en el ítem anterior encontramos un campo escalar fx, y) tal que F f. Por lo tanto, la integral pedida es independiente del camino y por el teorema fundamental de las integrales de linea, tenemos F dr f dr frπ)) fr)) fe π senπ), e π cosπ)) fe sen), e cos)) f, e π ) f, 1) + e π ) e π ) ) e π puntos). Use el teorema de Green para calcular la integral de linea donde es la frontera del semianillo ilustrado en la figura olución. ean P x, y) y y Qx, y) xy. Por el teorema de Green tenemos que y + y dx+xydy Therefore Green s Theorem gives y y dx xy dy yy + 1 y sin d FIGU 7 ) Qx, y) y P x, y) dx + xydy P x, y)dx + Qx, y)dy Green s Theorem dacan be extended to a x ) are not simply-connected. Observe that th xy) sists of two simple closed curves 1 and ) da y y)da yda. x oriented so that the region is always o Para calcular esta integral, podemos usar coordenadas polares. ntonces positive direction is counterclockwise for curve. If we divide into two regio π Figure π 9 and then ] apply Green s Theorem y dx + xydy FIGU yda r senθ))rdr senθ) r yy 1 Q 1 7 π senθ) ª 7 x cosθ)]π 1. x yy P da y yy Q x x y da FIGU 9 ªª ince the line integrals along the common cancel and we get yy Q x y P d P da y y P dx Q 1 which is Green s Theorem for the region y V XAMPL 5 If F x, y y i x j positively oriented simple closed path tha OLUTION ince is an arbitrary closed pa