Tarea 3 - Vectorial

Transcripción

1 Tarea 3 - Vectorial 5. Part : Hallar las lineas de flujo σ(t) de los campos vectoriales F (x, y) = x, 4y y G(x, y) = x ı y j que cumplen σ() = (, ). olución: Las lineas de flujo del campo vectorial F (x, y) que estamos buscando son curvas parametrizadas σ(t) = (x(t), y(t)) que satisfacen la ecuación diferencial σ (t) = F (σ(t)) con condición inicial σ() = (, ). Es decir: x (t) = x(t) y y (t) = 4y(t) con condiciones iniciales x() = y y() =. La primera ecuación diferencial se puede escribir como dx = dt, integrando a ambos lados ln(x) = t + luego apliando la exponencial a ambos x lados concluimos x(t) = e t+. omo x() = concluimos que = luego x(t) = e t. De la misma manera y(t) = e 4t. Para el campo G(x, y) el sistema de ecuaciones diferenciales es x (t) = x, y (t) = y con condiciones iniciales x() = y y() =. Resolviendo de la misma forma que en el párrafo anterior concluimos que x(t) = e t y y(t) = e t... Demuestre que el campo G(x, y, z) = x, y, z es conservativo y (x + y + z ) 3/ encuentre un potencial u(x, y, z) para G. Utilice el potencial para calcular el trabajo realizado por G a lo largo de la espiral σ(t) = (e t cos(t), e t sin(t), t) en el intervalo π t π. olución: Queremos encontrar una función escalar u(x, y, z) cuyo gradiente sea igual al campo vectorial G(x, y, z), es decir queremos resolver el sistema de ecuaciones u = x u = y u = z x (x +y +z ) 3 y (x +y +z ) 3 z (x +y +z ) 3 De la primera ecuación concluimos, integrando parcialmente contra x que u(x, y, z) = (x + y + z ) + R(y, z) Reemplazando en la segunda ecuación obtenemos que = R(y,z) y asi que R(y, z) depende sólo de la variable z y finalmente reemplazando en la tercera ecuación que = R(z) asi que R es una constante. oncluimos que el campo vectorial G(x, y, z) es z conservativo porque es el gradiente de la función escalar u(x, y, z) = (x + y + z ) + R para cualquier constante R. omo el campo es conservativo, por el Teorema fundamental del cálculo para integrales de linea sabemos que σ F ds = u(σ(π)) u(σ(π)) = = u(e π,, π) u( e π,, π) = (e 4π + 4π ) (e π + π )

2 .3. Por los siguientes campos vectoriales, determinar si son conservativos. En caso afirmativo, hallar una función potencial: () F (x, y, z) = xy ı + y j + z k; () F (x, y, z) = (x + y ) ı xy j + z k; (3) F (x, y, z) = 3x y ı + (x 3 + y 3 ) j. olución: Todos los campos vectoriales dados están definidos en R 3, que es simplemente conexo, por lo tanto, condición necesaria y suficiente para que sean conservativos es que su rotacional sea nulo. () F = (,, x). Por lo tanto, F no es conservativo. () F = (,, 4y). Por lo tanto, F no es conservativo. (3) F = (,, 3x 3x ) =. Por lo tanto, F es conservativo. Una función potencial f(x, y, z) tiene que satisfacer el sistema de ecuaciones diferenciales: f x = 3x y f y = x 3 + y 3 f z =. Una solución está dada por f(x, y, z) = x 3 y + y (El campo vectorial mas interesante del mundo) ea y F (x, y) = x + y, x x + y alcule la integral de linea F d r para las siguiente curvas: () c(t) = (cos(t), sin(t)) para t π. () El segmento de linea de (, ) a (, ) seguido por el segmento de linea desde (, ) a (, ). (3) c(t) = (cos(t), sin(t)) para t π. (semicirculo superior) (4) c(t) = (cos(t), sin(t)) para t π. (semicirculo superior) olución: () c(t) = (cos(t), sin(t)) para t π. F d r = π sin(t) ( cos(t) + sin(t), π sin (t) + cos (t)dt = cos(t) ) ( sin(t), cos(t))dt cos(t) + sin(t) π dt = π

3 () El segmento de linea de (, ) a (, ) seguido por el segmento de linea desde (, ) a (, ). La integral F d r la escribimos como suma de dos integrales F d r + F d r, donde es el segmento de recta desde (, ) a (, ) parametrizado por (, ) + t(, ) = (, t) con t [, ]. La curva es el segmento de recta desde (, ) a (, ) parametrizado por (, ) + t(, ) = ( t, ) con t [, ]. F d t r = ( + t, ) (, )dt + t ahora para F d r = F d r = + t dt = arctan() arctan() = π 4 ( ( t) +, t ) (, )dt ( t) + ( t) + dt = arctan( t) = arctan() + arctan() = π 4 por lo que la integral da π. Note que en la parte y la parte son la misma, ambas curvas tienen los mismos puntos iniciales y finales y estan contenida en una region simplemente conexa, el rotacional del campo vectorial es cero y es diferenciable en esa region, asi que en esa region existe un potencial y el trabajo es independiente de la curva. (3) c(t) = (cos(t), sin(t)) para t π. (semicirculo superior) F d r = π sin(t) ( cos(t) + sin(t), cos(t) ) ( sin(t), cos(t))dt cos(t) + sin(t) π sin (t) + cos (t)dt = π dt = π (4) c(t) = (cos(t), sin(t)) para t π. (semicirculo inferior) F d r = π sin(t) ( cos(t) + sin(t), cos(t) ) ( sin(t), cos(t))dt cos(t) + sin(t) π sin (t) cos (t)dt = π dt = π Noten que en la parte 3 y 4 ambas curvas tienen los mismos puntos iniciales y finales, pero el trabajo depende de la curva, esto es porque no hay region simplemente conexa que contega a las curvas y no tenga el cero. 3

4 4.5. ea c(t) = (a + r cos(t), b + r sin(t)) para t π. alcular las integrales () (xy)ds () (x y )ds (3) (x 3 3xy )ds olución: Tenemos: c (t) = ( r sin(t), r cos(t)), asi que c (t) = r. () () (3) (xy)dr = π (x y )dr = π (a + r cos(t))(b + r sin(t))rdt = π π π (a + r cos(t))(b + r sin(t))rdt = (abr + ar sin(t) + br cos(t) + abr 3 sin(t) cos(t))dt = abπr (a + r cos(t)) (b + r sin(t)) rdt = (a + ar cos(t) + r cos (t)) (b + br sin(t) + r sin (t))rdt = π (a b + ar cos(t) br sin(t) + r cos (t) r sin (t))rdt omo cos (t) sin (t) = cos(t) cuya integral entre y π es cero, tenemos que la integral es igual a (a b )πr. Ya que y (x 3 3xy )dr = π (a + r cos(t)) 3 3(a + r cos(t))(b + r sin(t)) rdt (a + r cos(t)) 3 = a 3 + 3a r cos(t) + 3ar cos (t) + r 3 cos 3 (t) (a + r cos(t))(b + r sin(t)) = (a + r cos(t))(b + br sin(t) + r sin (t)) y además la integral sobre el intervalo t π de las funciones sin(t),cos(t), sin(t) cos(t) = sin(t), sin 3 (t), cos 3 (t), cos(t) sin (t) es igual a cero, asi que queda la integral π (x 3 3xy )dr = (a 3 + 3ar cos (t) 3ab 3ar sin (t))rdt

5 omo cos (t) sin (t) = cos(t) cuya integral sobre el intervalo t π es igual a cero tenemos que 5 (x 3 3xy )dr = (a 3 3ab )πr. Noten que en los tres ejercicios anteriores el valor de integral de linea alrededor de una circulo de redio r es el valor de la funcion en el centro. Esto no es coincidencia es la propiedad de valor medio de funciones armonicas (Una funcion u es armonica si u = ) u(a, b) = udr πr.6. onsidere el campo vectorial F (x, y) = x ( ı + j), la curva frontera del triángulo en el primer cuadrante acotado por la recta x + y =, orientada positivamente y R su interior. (a) Haga un bosquejo del campo vectorial en el primer cuadrante. Intuitivamente conteste, cuál es el flujo neto hacia afuera a través de? (b) alcule la integral de flujo F n ds directamente, sin usar algún teorema. (c) alcule la integral de flujo anterior usando una integral doble. olución:

6 6 (a) El flujo neto parece no ser cero, pues si seguimos las líneas de campo sobre ellas la intensidad del campo aumenta. El flujo que entra por los lados sobre los ejes coordenados es menor que el flujo que sale por la hipotenusa. Por lo tanto el flujo total debería ser positivo. (b) Debemos calcular tres integrales de linea, una por cada lado. La orientación tomada es la orientación positiva hacia afuera (exterior). i) El lado es r(t) = (, t) con t. Entonces r (t) = (, ) y n = i = (, ) F n ds = (, ) (, )dt = l ii) El lado es r(t) = (t, ) con t. Entonces r (t) = (, ) y n = j = (, ) l F n ds = (t, t) (, )dt = iii) El lado 3 es r(t) = ( t, t) con t. Entonces r (t) = (, ) y n 3 = (, ) l F n ds = ( t, t) (, )dt = ( t) dt =

7 7 Total tenemos, F n ds = + = (c) Usamos el teorema de Green (segunda forma vectorial) F n ds = F da = R u div( F ) dvdu = u dvdu =.7. onsidere el campo vectorial F (x, y, x) = ( 3x z + xyz ) ı + ( x z + z ) j + ( x 3 + x y + yz ) k Encuentre F d r, donde es el segmento dirigido que une los puntos A(,, ) y B(,, ) olución: El campo dado es un campo vectorial conservativo porque F = rot( F ) = y su dominio es todo el espacio R 3 que es una región simplemente conexa. Para calcular el potencial escalar f = f(x, y, z), debemos resolver: f x = 3x z + xyz f y = x z + z f z = x3 + x y + yz 3 Usando tenemos f = x 3 z + x yz + g(y, z). Usando tenemos: x z + g y = x z + z, lo cual implica que g(y, z) = yz + h(z). Es decir f = x 3 z + x yz + yz + h(z). Finalmente usando 3 tenemos x 3 +x y +yz +h (z) = x 3 +x y +yz. Es decir, h(z) = c Por lo tanto el potencial escalar es: f(x, y, z) = x 3 z + x yz + yz + c Por lo tanto, la integral de linea pedia es independiente del camino y su resultado es la diferencia de potenciales. F d r = ( x 3 z + x yz + yz + c ) (,, ) = 3 (, )

8 8.8. Usar el Teorema de Green para solucionar los siguientes problemas. () Hallar el área delimitada por un arco de la cicloide x = a(θ sin θ), y = a( cos θ), donde a > es una costante y θ π, y el eje x. () La rosa de cuatro pétalos tiene, en coordenadas polares, ecuación ρ = 3 sin θ. Esbozar la grafica en coordenadas cartesianas y hallar el área de un petalo. olución: En los dos casos, utilicemos la formula para calcular areas: A(D) = x dy y dx. D () La curva D está parametrizada por r(θ) = (a(θ sin θ), a( cos θ)), para θ π. Por lo tanto: A(D) = a π [(θ sin θ) sin θ ( cos θ)( cos θ)] dθ = a π (θ + cos θ) dθ = a π(π ). () La curva D está parametrizada por r(θ) = (3 sin θ cos θ, 3 sin θ sin θ), para θ π/. Por lo tanto: A(D) = π/ [3 sin θ cos θ(6 cos θ sin θ + 3 sin θ cos θ) 3 sin θ sin θ(6 cos θ cos θ + 3 sin θ sin θ)] dθ = = π/ (9 sin θ cos θ + 9 sin θ sin θ) dθ = = 9 π/ sin θ dθ = 9 π/ cos 4θ dθ = 9 8 π..9. El astroide es la curva dada por la ecuación x /3 + y /3 = a /3 (o por las ecuaciones paramétricas x = a cos 3 t, y = a sin 3 t), donde a > es una constante. Hallar el área de la región encerrada con el astroide.

9 9 olución: Aplicamos el corolario de teorema de Green que el área de una figura acotada por una curva cerrada y orientada positivamente es A = xdy ydx. Entonces el área del astroide es = π [ 3a (cos t) 4 (sin t) + 3a (sin t) 4 (cos t) ] dt = 3 π a (cos t) (sin t) dt = 3 8 πa. Respuesta: 3 8 πa... ea Γ la parábola con el eje de simetría Oy que pase por los puntos A(, 3) y B(, ). Hallar el trabajo realizado por el campo de fuerzas F (x, y) = (x y, x+y) sobre una partícula que parte del punto A, pase por el segmento AB y luego regresa al punto A por el arco BA de la parábola. olución: Una parábola con el eje de simetría Oy tiene la ecuación y = ax + b, entonces a + b = y 4a + b = 3. Entonces la ecuación de la parábola es y = x. ea el camino de la partícula (! es orientada negativamente!), es la frontera de la región D acotado por la parábola y la recta AB: y = 3x 3. El trabajo es igual al W = (x y) dx + (x + y)dy = El área de D es Entonces, el trabajo es 3. por el teorema de Green (3x 3) (x ) dx = = dxdy = Área(D) D x + 3x dx = 6.

10 Respuesta: 3. Part : alcular las siguientes integrales de superficie () F d donde F (x, y, z) = ( y, x, ) y es el hemisferio superior de la esfera x + y + z = con la orientación hacia arriba. () Σ F d donde F (x, y, z) = (x, xy, (z + )) y Σ es el disco x + y 4 en el plano z = orientado hacia abajo. olución: () Un vector normal a la esfera es el gradiente de la funcion x + y + z, por lo que un vector unitario a la esfera es: n = (x, y, z). omo F d = F n d y F n = ( y, x, ) (x, y, z) = (,, ) entonces F d =. () En el plano z =, el campo vectorial es igual a F = (x, xy, ) y el vector normal unitario a la supericie es n = (,, ), como F d = F n d Σ Σ y F n = (x, xy, ) (,, ) =, entonces Σ F d es el negativo del area de Σ, pero Σ es un disco de radio asi que la integral da 4π... alcular el area de las siguientes superficies: () La parte del plano 3x + y + z = 6 que esta en el primer octante. () La parte de la grafica de la funcion f(x, y) = xy que esta dentro del cilindro x +y = (3) La parte de la superficie y = x + z 7 que esta dentro del cilindro x + z = 4. (4) La interseccion de los cilindros x + y = 4 y x + z = 4 olución: () Vemos la superficie como la grafica de la funcion f(x, y) = 6 3x y, asi que el area de la superficie es + f da D donde D es la proyeccion del plano 3x + y + z = 6 en el plano xy. omo f = ( 3, ), reemplazando tenemos: dA = 4A(D) D

11 La proyeccion es un triangulo rectangulo con base y altura 3 por lo que el area es 3 y por lo tanto el area de superficie es 3 4. olución altenativa: La parte del plano 3x + y + z = 6 que esta en el primer octante es el tiangulo con vértices A(,, ), B(, 3, ) y (,, 6). Por lo tanto el área es igual a AB A. Tenemos AB = 3 j ı, A = 6 k ı. Entonces, AB A = (3 j ı) (6 k ı) = 8 ı + 6 k + j, luego AB A = = 54 = 3 4. () La superficie es la parte de la grafica de la funcion f(x, y) = xy sobre la región D = {(x, y) x + y }. Por lo tanto, el area de la superficie es dada por fx + fy + da. D Tenemos: f x = y, f y = x. En coordenadas polares la región D es dada por θ π, r. Entonces, D f x + f y + da = π r + rdrdθ = π 3 (r + ) 3/ = π 3 (3/ ) (3) Vemos la superficie como la grafica de la funcion f(x, z) = x + z 7, asi que el area de la superficie es + f da D donde D es el disco de radio centrado en el origen en el plano xz. omo f = (4x, 4z), reemplazando tenemos: + 6x + 6z da Escribiendo la integral en coordenadas polares: π D + 6r rdrdθ = π 48 ( + 6r ) 3 dθ = π 48 (65 3 ) (4) La superficie obtenida intersectando dos cilindros perpendiculares esta formada por cuatro caras, Para calcular el area de toda la superficie podemos calcular el de una cara y multiplicar por 4. Esta está dada por, sobre el disco y + z 4 el cilindro x + y = 4. Esto se puede describir como una superficie parametrizada por X(y, z) = ( 4 y, y, z).

12 alculando los vectores tangentes, el vector normal y su norma obtenemos ( ) X y X z = y + = 4 y. 4 y alculamos la doble integral usando coordenadas polares 4 y D da = 4 y 4 y dzdy = 4 y y multiplicando por las cuatro partes obtenemos y = 4 y 4dy = 6.3. Halle el valor de la integral de superficie, yz dydz + xy dxdy + xz dxdz donde es la superficie del tetraedro acotado por los planos x =, y =, z =, x+y+z = a.

13 Ayuda: i usamos las convenciones: P = P (x, y, z), Q = Q(x, y, z), R = R(x, y, z), F = F (x, y, z) = P i + Q j + R k, entonces, P dydz + Q dzdx + R dxdy = F d Es decir debe calcular la integral de superficie sobre, tomando la orientación exterior. Use el teorema de Gauss solo para comprobar su respuesta, debe calcular la integral de superficie sobre el tetraedro dado. olución: Tenemos 4 caras del tetraedro, 3 sobre los planos coordenados y una sobre el plano x + y + z = a. Por lo tanto tendremos 4 integrales de superficie, una por cada cara. ada integral de superficie por cada cara tiene su correspondiente integral doble la cual tiene 3 términos en el integrando. Observación: La superficie es una superficie cerrada y orientable, por lo tanto debemos escoger una sola normal. Escogeremos la normal exterior, es decir saliente en cada cara. Denotemos por I i la integral de superficie de F = (yz, xz, xy) sobre la cara i. Debemos calcular P dydz + Q dzdx + R dxdy = F d i=4 = F (u, v) ru r v dvdu asegurándonos que N = r u r v sea el normal exterior. (a) La cara es la cara sobre el plano z = con parametrización r(u, v) = (u, v, ) con u a, v a u. El vector normal exterior es N = r u r v = (,, ) = k. Por lo tanto, I = a u i= D i (uv) dvdu = 4 a4 (b) La cara es la cara sobre el plano x = con parametrización r(u, v) = (, u, v) con u a, v a u. El vector normal exterior es N = r u r v = (,, ) = i. Por lo tanto, I = a u (uv) dvdu = 4 a4 (c) La cara 3 es la cara sobre el plano y = con parametrización r(u, v) = (u,, v) con u a, v a u. El vector normal exterior es N 3 = r u r v = (,, ) = j. Por lo tanto, I 3 = a u (uv) dvdu = 4 a4 (d) La cara 4 es la cara sobre el plano x + y + z = a con parametrización r(u, v) = (u, v, a u v) con u a, v a u. El vector normal a la superficie es N 4 = r u r v = (,, ) = i + j + k. Esta normal es correcta, es saliente. Por lo tanto, I 4 = a u ( (av uv v ) + (au u uv) + uv ) dvdu = 8 a3 3

14 4 En resumen tenemos: yz dydz + xz dzdx + xy dxdy = 4 a3 4 a3 4 a3 + 8 a3 = Usando el teorema de Gauss F d = F dv para comprobar la respuesta vemos V que efectivamente se cumple ya que F = ( y ).4. Encuentre el área de la porción de la superficie helicoidal z = tan que está en x el primer octante entre los cilindros x + y = a, x + y = b, ( < a < b). Ayuda: Encuentre una parametrización adecuada de la superficie. olución: ea r(u, v) una parametrización de la superficie dada por: x = u cos v { a u b y = u sin v con v π/ z = v Debemos calcular Area = d = r u r v dvdu = b a π/ D ( π ) (tan + u dvdu = b tan a ).5. Evaluar la integral de superficie F d, donde: () F (x, y, z) = ı + j + z(x + y ) k y es la superficie (sin tapas) del cilindro E = {(x, y, z) x + y, z }. () F (x, y, z) = (x y) ı + (y z) j + (z x) k y es la frontera del solido E = {(x, y, z) x + y z, x }. olución: En los dos casos vamos a aplicar el Teorema de Gauss. () ean y, respectivamente, la tapa inferior y superior del cilindro. Entonces, del Teorema de Gauss sigue: F d = F dv F d F d. E Es cierto, F = x + y. alculemos la integral F dv en coordenadas cilindricas: F dv = E E π ρ 3 dz dθ dρ = π.

15 Los vectores normales unitarios a y con la orientación hacia afuera el cilindro son respectivamente (, ) y (,, ). Por lo tanto: F d = (x + y ) d = y π F d = (x + y ) d = ρ 3 dθ dρ = π En conclusion: F d = π π =. () alculemos la divergencia F = 3. Por el Teorema de Gauss: F d = F dv = 3 dv = 5 E 3 π/ π/ ρ E ρ dz dθ dρ == 3π [ ] ρ ρ( ρ )dρ = 3π ρ4 = π..6. ea dado el campo vectorial F (x, y, z) = x ı + y j + z k. Demostrar que el flujo de F a traves de una superficie cerrada (orientada hacia afuera) es igual a tres veces el volumen del solido E encerrado por. Utilizar esta formula para calcular el volumen del elipsoide x a + y b + z, por constantes a, b, c >. c olución: F = 3. Del Teorema de Gauss sigue que el flujo de F a través de es igual a la integral 3 dv = 3V (E), donde E es el solido encerrado por. E Para calcular el volumen del elipsoide E dado, calculemos entonces el flujo del campo F = (x, y, z) a través de la superficie parametrica: x(φ, θ) = a sin φ cos θ : y(φ, θ) = b sin φ sin θ z(φ, θ) = c cos φ. por φ π y θ π. Es cierto, T φ = (a cos φ cos θ, b cos φ sin θ, c sin φ) y T θ = ( a sin φ sin θ, b sin φ cos θ, ). Por lo tanto: F (x(φ, θ), y(φ, θ), z(φ, θ)) ( T φ T a sin φ cos θ b sin φ sin θ c cos φ θ ) = a cos φ cos θ b cos φ sin θ c sin φ a sin φ sin θ b sin φ cos θ = = abc[cos φ(sin φ cos φ cos θ + sin φ cos φ sin θ) + sin φ(sin φ cos θ + sin φ sin θ)] = = abc(sin φ cos φ + sin φ sin φ) = abc sin φ.

16 6 En conclusión: V (E) = 3 π π abc sin φ dθ dφ = 3 πabc[ cos φ]π = 4 3 πabc..7. Qué es el rotacional de un campo vectorial? uponga que F (x, y, z) es el campo de velocidades de un fluido (es decir que F (x, y, z) es el vector velocidad, en mts/sec del fluido que esta en el punto (x, y, z)) y que las componentes de F (x, y, z) son funciones diferenciables. Fije un punto P = (x, y, z ) y un vector unitario u anclado en P. () uponga que un molinete con radio r (una rueda de paletas) tiene centro en el punto P, tiene eje de rotación u y gira por acción del fluido. Defina ω(r) := F dr πr donde es el círculo con centro en P y radio r, contenido en el plano perpendicular a u, orientado de tal forma que u es la normal de la superficie encerrada por. Explique por qué la cantidad ω(r) es una buena aproximación a la velocidad angular del molinete alrededor de su eje u. () Demuestre, usando el Teorema de tokes, que lim r πr F dr = ( F )(P ) u (3) oncluya que el rotacional del campo vectorial F en el punto P, (i.e. ( F )(x, y, z )) es un vector con las siguientes propiedades: (a) Apunta en la dirección axial en la que un molinete pequeño centrado en P gira lo más rápidamente posible al ser empujado por el fluido. (b) Tiene magnitud igual al doble de esta velocidad angular máxima. olución: () Primero note que la longitud del círculo r es πr asi que la cantidad F dr πr r mide la velocidad tangencial promedio a lo largo de la curva r. Por otro lado si θ(t) es el angulo recorrido por una particula que sigue una trayectoria circular con radio r tenemos que la distancia recorrida s(t) satisface rθ(t) = s(t) (esta es la definicion de radian). De ahí rθ (t) = s (t) luego la velocidad angular θ (t) se obtiene dividiendo la velocidad tangencial por el radio. De ahi concluimos que ω(r) = F dr r πr r es la velocidad angular promedio del molinete. () Aplicando el teorema de tokes tenemos que, si B r denota el disco de radio r contenido en el plano perpendicular a u encerrado por el círculo r entonces la siguiente igualdad ocurre F dr = F d r πr r πr B r

17 Parametrizando el círculo con un disco A r de radio r mediante la funcion g(u, v) podemos calcular la integral de la derecha obteniendo ( F )(g(u, v)) uda πr A r omo el disco A r tiene área πr la cantidad ( F )(g(u, v)) uda πr A r es precisamente el valor promedio de la función ( F )(g(u, v)) u sobre el disco A r. Por continuidad de ( F )(g(u, v)) u ese promedio converge a F (g(, )) u = F (P ) u cuando r. La razón de esto es que para todo r min F (Q) u Q B r πr A r F (g(u, v)) uda max Q B r F (Q) u y es obvio que el mínimo y el máximo convergen al valor en el centro en la medida en la que miramos discos más y más pequeños. Asi, concluimos que lim ω(r) = ( F )(P ) u r (3) omo sabemos que ( F )(P ) u = ( F )(P ) cos(θ) sabemos que esta cantidad es máxima cuando u es paralelo al rotacional F (P ) y en ese momento su magnitud es igual a ( F )(P ). oncluimos que El rotacional de un campo vectorial F en el punto P es un vector que nos dice en que dirección debemos poner el eje de un molinete muy pequeño para que este gire lo más rápidamente posible al ser movido por el campo de velocidades F () Escriba de manera precisa el enunciado del Teorema de tokes () Utilice el Teorema de tokes para calcular F ds olución: σ Donde σ(t) es el círculo de radio uno contenido en el plano z = 3 con centro (,, 3) y F (x, y, z) = (y, x, ) (a) Teorema de tokes: ea R 3 una superficie parametrizada regular y orientada y sea σ su curva de frontera. i F (x, y, z) es un campo vectorial diferenciable en entonces F ds = [ F ] d σ (b) alculamos que el rotacional del campo vectorial F (x, y, z) es cero. omo las componentes de este campo vectorial son diferenciables en todo R 3 concluimos del Teorema de tokes que el trabajo realizado es cero.

18 8.9. ea F (x, y, z) = (e x + z) ı + (e y + x) j + (e z + y) k. Hallar F d r donde es la frontera del triángulo de intersección del plano x + y + z = y el primer octante. La orientación es antihorario vista desde arriba. z n y x olución: El rotacional de F es i j k F = det = i + j + k. x y z e x + z e y + x e z + y ea Σ sea el triángulo de intersección del plano x + y + z = y el primer octante orientado por el campo vectorial normal unitario n = (,, ). Entonces por el teorema de tokes 3 F d r = ( F ) nd = ( i + j + k) 3 ( i + j + k)d = 3 d = 3A, Σ Σ donde A es el área del triangulo. Los vértices del triangulo son A(,, ), B(,, ), (,, ), entonces A = AB A = 3, Σ por lo tanto F d r = 9... () Probar que el rotacional de un campo gradiente es cero, es decir ( F ) =. () Probar que para el campo y F = ( x + y, x x + y, ),

19 el rotacional F =, pero el campo no es gradiente, entonces no existe ninguna función U tal que F = U. (3) Probar que la divergencia del rotacional es cero, es decir ( F ) =. (4) Probar que para el campo F = ( x x + y + z 3, y x + y + z 3, ) z, x + y + z 3 la divergencia F =, pero no existe un campo vectorial G en R 3 \ {} tal que G = F. olución: () () Tomemos el círculo dado por la ecuación paramétrica: r(t) = (cos(t), sin(t), ), t [, π]. Entonces, r (t) = ( sin(t), cos(t), ) y F ( r(t) = ( sint, cos(t), ). Por lo tanto, π π F d r = F ( r (t))dt = dt = π. i fuera F = U, por el teorema fundamental de cálculo tuviéramos que F d r =. (3) (4) Hallamos el flujo del campo F a través de la esfera unitaria centrada en el origen. Tomemos una parametrización de la esfera: r(ϕ, ψ) = (sin ϕ cos ψ, sin ϕ sin ψ, cos ϕ), (ϕ, ψ) [, π] [, π]. Entonces, el producto mixto ( F sin ϕ cos ψ sin ϕ sin ψ cos ϕ, ϕ r, r) = det cos ϕ cos ψ cos ϕ sin ψ sin ϕ ψ sin ϕ sin ψ sin ϕ cos ψ Por lo tanto, el flujo es, R F d = π π sin ϕdϕdψ = 4π = sin ϕ. Pero la esfera no tiene frontera, entonces, si F = G, por el teorema de tokes debe ser F d = G d =. 9