7.1. CAMPOS VECTORIALES EN DEFINICIONES

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1 7 n 7.. AMPO VETOIALE EN DEFINIIONE POPIEDADE AMPO VETOIALE 7.4. ONEVATIVO 7.5. INTEGALE DE LÍNEA 7.6. TEOEMA DE GEEN 7.7. INTEGAL DE LÍNEA PAA EL ÁEA DE UNA EGIÓN PLANA 7.8. INTEGALE DE UPEFIIE 7.8. INTEGALE DE UPEFIIE DE FUNIONE EALAE TEOEMA DE TOKE 7.8. INTEGALE DE FLUJO TEOEMA DE GAU Objetivos. e persigue que el estudiante: alcule integrales de línea. Aplique el Teorema de GEEN. alcule el área de regiones planas empleando integrales de líneas. alcule integrales de uperficie. Aplique el Teorema de tokes. Aplique el teorema de Gauss 7

2 En el capítulo de funciones de variables se definió funciones vectoriales n m generales de la forma F: U, ahora trataremos con funciones de la forma : F U n n 7.. AMPO VETOIALE EN n i i ean f, f,, f n funciones escalares de las variables,,, n definidas en una región Ω de n n n. La función F : U tal que F ( f(,, ), f ),,,,, f,, n, n n se, n llama ampo vectorial sobre Ω. F: U se lo denota como F M(, ), N(, ) F : U se lo denota como: F M(, z, ), N( z,, ), P( z,, ). Ejemplo F : U tal que F ( +, ) Algunos ejemplos físicos comunes de campos vectoriales son: ampos de velocidades ampos gravitacionales. ampos de fuerzas eléctricas. Un campo conocido es el Gradiente, f, de una función escalar f. i llamamos el vector,, z obtener la definición del gradiente otras definiciones más. 7. DEFINIIONE, operador NABLA, podemos ea f una función escalar F ( M, N, P) un campo vectorial. e define:. El gradiente de f como el vector 8

3 f f f f,, f,, z z. La Divergencia de F como F,, ( M, N, P) z M N P + + z. El rotacional de F como el vector i j k F z M N P 4. El Lapalciano de f como f f f,,,, z z f f f f f + + z 7. POPIEDADE ea f una función escalar sean F G campos vectoriales. Entonces:. ( F + G) F + G. ( f F) f ( F) + ( f ) F. ( f F) f ( F) + ( f ) F 4. ( F G) ( F) G+ ( G) F 5. ( f ) F 6. 9

4 f + F F 7. Las demostraciones de estas propiedades se la dejamos al lector. 7.4 AMPO VETOIALE ONEVATIVO Un campo vectorial F se dice que es conservativo si eiste alguna función diferenciable f tal que F f. La función f se llama función potencial de F Teorema. Un campo vectorial F es conservativo si sólo si F. Ejemplo Determine si F (, ) es conservativo. En caso de serlo encuentre la función potencial. OLUIÓN: El rotacional de F sería: i j k i j k F (,, ) (,,) z z M N P Por tanto, F si es conservativo. N M Note que para campos de, basta que para ser conservativos. Por qué?. uando el campo es conservativo la función potencial eiste además: f f F f, (, ) Es decir conocemos las derivadas parciales de la función potencial, entonces: f f d f (, ) + g( ) + f ( f ) d f, + h+ Haciendo superposición de soluciones, la función potencial sería: f (, ) +

5 Ejemplo Determine si F (, + z,z) es conservativo. En caso de serlo encuentre la función potencial. OLUIÓN: El rotacional de F sería: i j k i j k F z z,,,, z z M N P + z z Por tanto, F si es conservativo. Ahora tenemos: f f f F f,,, + z,z z Entonces f d f (,, z) + g, z + ( ) (,, ) (, ) f + z d f z + z + h z + ( ) (,, ) (, ) f z dz f z z + h + Haciendo uperposición de soluciones: f z,, + z+ 7.5 INTEGALE DE LÍNEA En los capítulos 6 7 tratamos integrales de funciones escalares sobre regiones de o regiones de, ahora trataremos integrales de funciones escalares funciones vectoriales sobre curvas Integrales de líneas de funciones escalares. n ea f : U una función escalar de n variables definida en una región U que contiene una curva suave de longitud finita, la integral de línea de f sobre se define como: (,,, ) lim (,,, n n ) n f ds f Δs Δ i upuesto que este límite eista. i

6 7.5.. Teorema. alculo de una integral de línea como integral definida. ea f continua en una región que contiene una curva suave, definida por r() t ( () t, () t,, n () t ) donde a t b, entonces: fds f r() t r () t dt b [ ] [ ()] [ ()] f ( () t, () t,, () t ) () t + t + + t dt a i f entonces tenemos n ds, la longitud de la curva. Ejemplo. alcular ( + z) ds donde : segmento de recta desde el punto (,, ) al punto,,. OLUIÓN: + t La ecuación de es + t t z + t Entonces: fds f r () t r () t dt ; es decir: r() ( t, t, t) t t t dt ( t ) 6 + t dt t t n

7 Ejemplo alcular ds donde : es la curva que se presenta en el gráfico: (,) (,) OLUIÓN: Por la forma de debemos hacer dos integrales; es decir: ds ds + ds donde :. : t Para la primera integral t t ds t + dt t Para la segunda integral t Por tanto: + 4t ds t + t dt t + 4t dt 5 8 ds ds + ds + 5

8 7.5. Integrales de línea de ampos vectoriales. n n ea F: U un campo vectorial continuo definido sobre una curva suave dada por r( t) ( () t, () t,, n () t ) donde a t b. La integral de línea de F sobre se define como: F dr F T ds eemplazando Entonces: T () () r t r t ds r t dt () b r t F T ds F r () t dt r t a F dr ( F( () t, () t,, () t )) ( r () t n ) dt Ejemplo alcular r t F dr () ( cos t, sent, t) OLUIÓN: donde F (,, z ) es la curva definida por desde el punto (,, ) hasta el punto (,, π ). π F dr z sent t dt π π (,, ) (,cos,) ( cos, cos, ) (,cos,) t tsent t sent t dt ( cos cos ) tsent tsent + t dt π cos t cos t t + + 8π π 4

9 La integral de línea que acabamos de definir se la puede interpretar como el trabajo que tiene que realizar un campo F al desplazar una partícula sobre la curva, si denotamos al trabajo como W, entonces: W F dr Forma Diferencial En la integral () t F r dt F M, N, P d d dz r t,, dt dt dt uponga que entonces tenemos que () eemplazando: que : r() t ( () t, () t, z() t ) () t (,, ),, dt dt dt Entonces: d d dz F r dt M N P dt F r ( t) dt Md+ Nd + Pdz Ejemplo alcular F dr hasta el punto (, ). donde F (, ) OLUIÓN: Empleando la forma diferencial En este caso 4 eemplazando: F dr Md+ Nd d + d entonces d ( 4 ) desde el punto ( 4, ) : 4 d 5

10 d + d d + d ( 4 ) ( 4 ) ( 4 4 ) + d ( 4 ) + d Ejercicios Propuestos 7.. alcular dr 5 8 F siendo la traectoria t) ( t ) +, cos ( πt ), cos ( πt ) t [,] F(,, z) ( z + 6, 6 z, z ) (,. La fuerza ejercida por una carga eléctrica ubicada en el origen sobre una partícula cargada r situada en un punto (,,z), con vector posición r ( t) ( ( t), ( t), z( t) ) es F ( r) k r,donde k es una constante. Encuentre el trabajo realizado cuando la partícula se mueve a lo largo de una recta de (,,) a (,,5). Veamos ahora que eisten campos vectoriales que producen el mismo efecto independientemente de la traectoria Independencia de la Traectoria Ejemplo alcular F dr hasta el punto (, ). donde F ( 4, ) OLUIÓN: Empleando la forma diferencial F dr Md+ Nd 4d + d : desde el punto (, ) 6

11 En este caso entonces d d eemplazando: i empleamos la traectoria eemplazando: d d d d d entonces d d d + d d + d d 5 i empleamos la traectoria entonces d d eemplazando: d d d d 6d Note que se obtienen los mismos resultados para diferentes traectorias, además observe que el campo F es conservativo debido a que: N M ( ) ( 4) 4 4 7

12 7.5.. Teorema i F es continuo en una región abierta conea, entonces la integral de línea F dr es independiente del camino si sólo si F conservativo. es Ejemplo alcular F dr donde F ( +, + ) desde el punto (, ) hasta el punto OLUIÓN: Empleando la forma diferencial F dr Md+ Nd,. ( ) + d+ + d cost d sentdt En este caso entonces sent d costdt eemplazando: : r() t ( cos t, sent) + d + + d sen t + sentdt + cost sen t + costdt e observa que a integral está difícil de evaluar. Ahora veamos si F es conservativo: N M + + omo F si es conservativo, entonces es independiente de la traectoria: 8

13 + cost sent (, ) (,) Mejor empleemos una traectoria simple: entonces d eemplazando: ( + ) d+ ( + ) d ( + ) d+ ( + ) d in embargo podemos evaluar la integral de línea de otra manera para campos conservativos Teorema Fundamental ea una curva suave a trozos situada en una región abierta dada por dada por r() t ( () t, () t,, n () t ) donde a t b. i F ( M, N, P) es conservativo en ; M, N P son continuas en entonces: F dr f dr f f final inicial iendo f una función potencial de F. Es decir: 9

14 f f f F d r f d r,, d, d, dz z f f f d + d + dz z df f f final inicial Ejemplo En el ejemplo anterior, como F ( +, + ) encontrar su función potencial aplicar el teorema anterior: Hallando la función potencial. f + f ( + ) + g( ) + f + f + + h( ) + Entonces: f, F dr f final f inicial ( ) ( ) es conservativo podemos Ejemplo alcular F dr z z donde F,,ln : r t, t + t+, t + t () t. OLUIÓN: ealizar el cálculo de la integral de lineal convencionalmente puede resultar complicado. Veamos si F es conservativo: i j k i j k F,,,, z z M N P z z ln 4

15 Entonces F es conservativo por ende independiente de la traectoria; se podría utilizar una traectoria simple, por ejemplo el segmento de recta que va desde el punto: r ( ), ( ) + ( ) +, ( ),, + al punto: r (), () + () +, (),, () + O mejor aún, se podría utilizar la función potencial, hallémosla: f f f z z F f,,,,ln z z f d z ln + g (, z) + z f d z ln + h, z + f ln dz zln + I, + zln + zln + g, + Por tanto f ( z,, ) zln+ F dr f,, f,, ln + ln () + ln + ln ln 4 Ejercicios Propuestos 7. (,, ) sen +, demostrar que F. Dado el campo vectorial F z ( z + ) i + zj k es un campo conservativo encontrar su función potencial. i la traectoria es cerrada si el campo es conservativo continuo dentro de la región que encierra la curva entonces: F dr Ejemplo alcular F dr donde F, + + OLUIÓN: Veamos si F es conservativo. omo es un campo de : : + 4

16 ( + ) ( ) ( + ) ( ) N M Por tanto F si es conservativo. omo la traectoria es cerrada se podría pensar que el valor de la integral de línea debería ser cero, pero observe que el campo no es continuo en (, ), entonces debemos evaluar la integral de línea. cost La curva en forma paramétrica es : sent La Integral de línea sería: π π π π en forma vectorial r() t ( cos t, sent) F dr F r dt, ( sent,cost) dt + + sent cost, ( sent,cost) dt π ( sen t cos ) + dt t dt Eiste otro mecanismo para evaluar integrales de líneas en el caso de caminos cerrados. 7.6 TEOEMA DE GEEN ea F ( M, N) un campo vectorial de. ea una región simplemente conea con frontera suave a trozos orientada en sentido N antihorario. i M, N,, M son continuas en una región abierta que contiene a, entonces: N M F dr Md+ Nd da 4

17 Ejemplo alcular F dr donde F (, + ) a (, ) sobre desde, a, sobre. : es el camino desde (, ) OLUIÓN: La evaluaremos primero empleando una integral de línea luego por el Teorema de Green para comparar procedimientos comprobar resultados. (,) (,) PIME MÉTODO: Por integral de línea: ( ) F dr Md+ Nd d+ + d Ha traectorias: entonces d d : d+ + d d+ + d ( 6 ) + + d 6 4 ( 7 ) + d

18 entonces d d : Por lo tanto: ( ) d + + d d + + d ( ) + + d ( 5 ) 4 d 7 5 F dr F dr+ F dr 5 4 EGUNDO METODO: Empleando el TEOEMA DE GEEN N M ( + ) ( ) F d r da da La región es: (,) (,) 44

19 ( ) d 4 ( ) N M da ( + ) dd d dd d Ejemplo alcular F dr donde F ( arc sen +,cos ) que se describe en la gráfica: : es el camino OLUIÓN: Aquí es mejor por GEEN, Porqué? 45

20 Pasando a Polares: N M F dr da ( cos ) ( arc sen ) + ( ) da ( ) ( cos + ) π π ( sen ) ( senθ θ) π da da r θ rsenθ rdrdθ cosθ + θ r drdθ π r ( cosθ + senθ) dθ cos INTEGAL DE LÍNEA PAA EL ÁEA DE UNA EGIÓN PLANA. on integrales de líneas también podemos calcular el área de regiones planas. En la formula de Green, si tomamos M N N M da Md + Nd da d d + da d d entonces 46

21 7.7. Teorema ea una región plana limitada por una curva cerrada simple a trozos. El área de viene dada por: A d d Ejemplo Emplear una integral de línea para calcular el área de la región limitada por + 4 OLUIÓN: Haciendo un dibujo de la región : 4 4 (,) : + (, 5) 5 La curva que encierra está compuesta por dos traectorias diferentes, calcularemos la integral de línea por cada traectoria, luego sumaremos los resultados. Primero: : + entonces d d eemplazando evaluando: 47

22 d d ( d) ( + ) d ( ) d d egundo: : 4 entonces d d eemplazando evaluando: Finalmente, sumando: d d ( d) ( 4 ) d ( + 4) d 8 A + ( 4) d Ejemplo Hallar el área de la elipse con ecuación + a b OLUIÓN: acost Las ecuaciones paramétrica de la elipse son: : bsent d asent dt Entonces d bcost dt eemplazando en la formula anterior luego evaluando, resulta: 48

23 π A d d a t b tdt bsent asentdt π π π ( cos )( cos ) cos + ab tdt absen tdt ab( cos t + sen t) dt ab π abt π ab abdt dt π Ejercicios Propuestos 7.. alcular d d donde es el círculo unitario centrado en el origen. 4. ea F(, ) e, e + ( + ), calcular el trabajo de F en el contorno del cuadrado determinado por: a ; a 5. Evaluar la integral d d ; donde es la curva que consta del arco 4 de (,) a (,) del segmento de recta que va de (,) a (,) 6. Verificar el teorema de Green en la integral ( + ) d + ( + ) d contorno del triángulo con vértices en los puntos (,),(,), (,). d d donde consta de los segmentos de recta que van desde (,) a (- 7. Hallar +, siendo el,) de allí a (,) luego la parte de la circunferencia + 4 para > >. 8. Una partícula empieza en el punto (-,), se mueve a lo largo del eje hacia (,) luego a lo largo de la semicircunferencia 4 hacia el punto inicial. Encontrar el trabajo sobre esta partícula por el campo de fuerzas F (, ) (, + ). 9. alcular: + d + + ln + + d, donde es la circunferencia + a. Utilizando una integral de línea calcular el área de la región encerrada por la curva + a. Empleando una integral de línea, encuentre el área de la región limitada por las gráficas + ; ; ;. 49

24 7.8 INTEGALE DE UPEFIIE 7.8. INTEGALE DE UPEFIIE DE FUNIONE EALAE. En el capítulo de integrales Dobles se estableció la manera de calcular área de una superficie, ahora se trata de calcular el efecto de una función escalar sobre una superficie. Es decir, evaluar integrales del tipo: Ejemplo. f (,, ) zd z d donde : porción del plano + + z en el primer alcular octante. OLUIÓN: Primero hacemos un dibujo de la superficie: z : z Proectamos la superficie en el plano, por tanto: + + La región de integración sería: z d z z z dd 5

25 Haciendo las sustituciones correspondientes evaluando la integral doble: + + ( ( )) + ( ) + ( ) dd ( ) ( ) ( ) ( ) 4 4 ( ) d z z z dd dd d ( ) d u ( ) ( ) dv d Las integrales de funciones escalares sobre superficies parametrizas serían de la forma: f ( ( uv, ), ( uv, ), z( uv, )) ru r v dudv 5

26 Ejercicios propuestos Evaluar ( ) d, siendo la superficie del cono z ( + ) entre z z. onsidere la superficie, siendo la superficie del cilindro + 4 entre z z, la superficie semiesférica + + ( z ) 4, z. i F ( z,, ), evaluar la integral ( F ) nd Las integrales de superficies nos permitirán evaluar integrales de funciones vectoriales sobre curvas que encierran superficies, para lo cual tenemos una generalización del teorema de GEEN TEOEMA DE TOKE ea una superficie orientada con vector unitario N cuo contorno es una curva cerrada simple, suave a trozos. i F es un campo vectorial cuas funciones componentes tienen derivadas parciales continuas en una región abierta que contiene a a, entonces: F dr F N d Ejemplo. omprobar el Teorema de tokes para F (, z, ) paraboloide z 5 : traza de en el plano z. OLUIÓN: Identificando : z z : N, : superficie del : + 4 z 5

27 PO INTEGAL DE LÍNEA. F dr Md+ Nd+ Pdz + + zd d dz cost d sent dt En este caso : sent entonces cos d t dt z dz eemplazando evaluando: π [ ] [ ] zd + d + dz sentdt + cost costdt + sent π 4 π 4cos tdt ( + cost ) sent t + 4π APLIANDO EL TEOEMA DE TOKE. PO INTEGAL DE UPEFIIE. F dr F N d π alculando el rotacional, el vector normal a la superficie el diferencial de superficie: i j k F (,,) z z (,,) N + + d + + dd eemplazando: (,,) ( F ) N d (,,) ( ) + ( ) + dd + + ( 4 4 ) dt + + dd En este caso la región de integración es el círculo centrado en el origen de radio, pasando a coordenadas cilíndricas: 5

28 π ( ) ( 4( cos ) ) dd r θ rsenθ rsenθ rdrdθ π π 4 r r r senθ + 4senθ + dθ 4 4 senθ + 4senθ + dθ 4 cos θ 8 + ( cosθ) + θ 4π π Ejercicios propuestos 7.5, donde F (,, z) i + j + zk es la superficie semiesférica + + z con z >. alcular ( rotf ) nd. omprobar el teorema de tokes si F(,, z) ( z) i + ( z ) j + ( )k calculando la circulación a lo largo de la curva de intersección de + con + z.. alcule el trabajo efectuado por el campo de fuerza z F(,, z) ( + z ) i + ( + ) j + ( z + )k ;cuando una partícula se mueve bajo su influencia alrededor del borde de la porción de la esfera + + z 4 que se encuentra en el primer octante, en dirección opuesta a la de las manecillas del reloj cuando se observa desde arriba. 4. alcular ( z) d + ( z ) d + ( ) las superficies + ; + z. 5. Dado el campo de fuerzas F (,, z) ( +,,z ) dz. Donde es la curva de intersección entre. Encontrar el trabajo que realizará F al mover una partícula a través de los puntos: (,,) (,, ) (,,5 ) 6. Evaluar F dr, siendo F i arctg + + j + k ln : el triángulo con vértices (,,), (,,), (,,). 7. Evaluar ( + z) d + ( + z) d + ( + ) dz donde es la frontera de la superficie + + z ; z 8. alcular d + d z dz ;donde es la intersección del cilindro +, el plano ++z, la orientación de corresponde al movimiento en sentido contrario al de las manecillas del reloj. ; donde es la curva de 9. alcular ( z ) d + ( z ) d + ( )dz intersección de la superficie del cubo + + z a a; a; z a ; el plano 54

29 7.8. INTEGALE DE UPEFIIE DE AMPO VETOIALE. INTEGALE DE FLUJO e trata ahora de determinar el efecto de funciones vectoriales F atravesando una superficie, para esto se empleará integrales de superficie de la forma: F N d Este tipo de integrales son llamadas integrales de Flujo. Ejemplo. alcular F Nd para F (, z, ) en el primer octante. OLUIÓN: : porción del plano + + z z F N : + + z El flujo a través del plano estaría dado por: (,,) F Nd (, z, ) d ( z+ + ) d 55

30 Proectando la superficie en el plano, la región de integración sería: eemplazando evaluando: ( z+ + ) ( ( ) + + ) d + + dd ( 6 ) + dd ( 6 ) + ( ) ( 6 )( ) + d ( ) d d ( ) ( ) i la superficie es cerrada tenemos otra opción para evaluar la integral de flujo. 56

31 7.8.4 TEOEMA DE GAU ea Q una región sólida limitada por una superficie orientada por un vector normal unitario dirigido al eterior de Q. i F es un campo vectorial cuas funciones componentes tienen derivadas parciales continuas en Q, entonces: F N d F dv Q Es decir, que en lugar de emplear una integral de superficie para calcular el flujo a través de una superficie cerrada se puede emplear una integral de volumen. Ejemplo omprobar el teorema de Gauss para F (,, z) las superficies z + OLUIÓN: Haciendo un dibujo + + z 8 ; z Q el sólido limitado por z : + + z 8 ρ 8 : π + z φ PIME MÉTODO: PO INTEGAL DE UPEFIIE. omo ha dos superficies que definen el sólido, calculamos el flujo por cada una Luego los sumamos. Primero, el flujo por el cono: (,, z) F Nd (, z, ) d z 57

32 Proectamos la superficie en el plano ( z ),, z,, z z, z, d (, z, ) da z z z Pasando a coordenadas cilíndricas: z ( π z ) ( 4r r ) da z r π rdrd r π θ 6 π θ da rdrdθ egundo, el flujo por la esfera (,,z) F Nd (, z, ) d z Proectamos la superficie en el plano ( z ),, z,,z z, z, d (, z, ) da z z z Pasando a coordenadas cilíndricas: z da π ( z ) ( 4r + ( 8 r )) da z ( 8 r ) π 6 ( r ) 8 rdrdθ π r + 88 ( r ) r drdθ ( 8 r ) La primera integral es por sustitución trigonométrica la segunda por sustitución. El resultado es: 6 76 F N d π umando los dos flujos r + rdrdθ 58

33 F Nd F Nd+ F Nd π + π 6 π ( ) π EGUNDO MÉTODO: APLIANDO EL TEOEMA DE GAU F Nd F dv 5 Q Q Q ( ) + + dv Lo mejor será pasarlo a coordenadas esféricas: 5 5 Q π π 4 8 ( φ) dv dv sen d d d ρ 5 cos 8 π ( ) π ρ φ ρ φ θ θ π ( π ) ( π ) Ejemplo ea Q la región limitada por el cilindro + 4, el plano + z 6 el plano. Hallar el flujo de F ( + senz, + cos z, z + e ) a través de la superficie que limita a Q. OLUIÓN: Haciendo un dibujo: 59

34 z + z Aquí es mejor aplicar el teorema de Gauss. Pasando a coordenadas cilíndricas: Q F N d F dv Q ( ) + + dv Q Q π 6 r cosθ 4 cos π π 4dV 4dV 4 r cosθdzrdrdθ π π 6 r cosθ 4 6r cosθ r cos θ drdθ 4 r r 4 6cosθ cos θ dθ 4 4 6cosθ 4cos θ dθ 4 6senθ 4 r θ z drdθ 4 r cosθ 6 rcosθ drdθ π ( ( π )) π + cosθ dθ senθ 4 6senθ θ + 4 6π π 6

35 Ejercicios propuestos 7.6. ea F zi + ( + + ) j + ( + z)k, evaluar ( F ) d, donde es el cilindro + 8, z. alcular la esfera unitaria. F d, donde F(,, z) i + j + z k ; es la superficie de. ea Q la región sólida en limitada por los planos coordenados el plano + + z 6, F (,, z) i + j + zk. alcular la integral de uperficie de F en el contorno de Q. 4. alcular rotf nd, donde F(,, z) ( z, z, ). consta de las cinco caras del cubo ; ; z ; no situadas en el plano, n es el vector normal unitario eterior a cada cara. 5. Evaluar dv E + + z, donde E es el sólido en el primer octante limitado por los planos ; ; el cono z + ; el plano z ; las esferas + + z + + z ea F (,, z) z arctg i + z ln( + ) j + zk. Encuentre el flujo de F a través de la porción de la superficie + + z, que se encuentra arriba del plano z está orientada hacia arriba. 7. alcular el flujo del campo vectorial F(,, z) ( z, z, + z) a través de toda la superficie de la región semiesférica limitada por z 9, z 8. alcular el flujo del vector F i + ( ) j + ( z + z )k superficie + + z a 9. alcular el flujo del vector F ( + ) i + ( z + ) j k del sólido + + z z. Verificar el teorema de la divergencia de Gauss para evaluar F, a través de la, a través de la superficie d, donde es la superficie cerrada determinada por + 4, z z, F es el campo vectorial F(,, z) ( 4,, z ). Evaluar F. d donde F i + j + z k es la superficie del elipsoide + + z. alcular F d, donde F(,, z) ( + z) i ( z + ) j + ( + z)k donde es la superficie eterna del sólido limitado por z 4( + ) ; z 4 alcular el flujo de F (,, z) i + j + zk, a través de la región limitada por 6