Integral de superficie

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1 2 Métodos Matemáticos I : Integral de superficie Tema 4 Integral de superficie 4.1 uperficies Definición ean IR 2 un conjunto coneo y κ: IR 3 una función continua. La imagen = κ se llama superficie descrita por κ. También se dice que κ es una parametrización de o que es una representación paramétrica de la superficie. Los conjuntos de IR 3 que forman superficies no sólo se obtienen de esta forma sino que el conjunto puede venir definido de otras maneras. unque, para el estudio de la integral de superficie, las superficies van a manejarse siempre mediante su representación paramétrica hay otras formas de representar superficies en el espacio y que es conveniente conocer Epresión analítica de una superficie Representación impĺıcita Dada una función real F que toma valores en IR 3, el conjunto de puntos { } =, y, z IR 3 : F, y, z = constituye una superficie en IR 3, y de la epresión F, y, z = se dice que es una representación implícita de la superficie. Representación epĺıcita Dada una función real f que toma valores en IR 2, el conjunto de puntos { } =, y, z IR 3 : z = f, y conforma una superficie en IR 3 y de la epresión z = f, y se dice que es una representación eplícita de la superficie. nálogamente, para = fy, z ó y = f, z. Ejemplo El plano + 2y + 3z = 4 es una superficie en IR 3. i consideramos la función F, y, z = + 2y + 3z 4, la epresión + 2y + 3z 4 = es una representación implícita del plano. Despejando, por ejemplo en la epresión anterior, = 4 2y 3z = fy, z es una representación eplícita del plano. Haciendo u = y y v = z, la función κ: IR 2 IR 3 con κu, v = 4 2u 3v, u, v es una parametrización del plano uperficies cuadráticas Una de las familias más importantes de superficies de IR 3 son las llamadas cuádricas o superficies cuadráticas, que se obtienen de igualar a cero una función polinómica de tres variables y grado 2, es decir, una epresión de la forma a 11 + a 22 y 2 + a 33 z 2 + a 12 y + a 13 z + a 23 yz + a 1 + a 2 y + a 3 z + a =.

2 21 Métodos Matemáticos I : Integral de superficie 4.1 uperficies Mediante giros y translaciones se pueden escribir en la forma a + a 1 c 1 n 1 + a 2 y c 2 n 2 + a 3 z c 3 n 3 = donde los n i son 1 ó 2 y algunos de los a i pueden ser cero en los casos siguientes pueden observarse algunos de estos tipos Elipsoide El elipsoide de semiejes a, b, c > viene dado por la ecuación b 2 + z2 c 2 1 =. Una representación parámetrica se obtiene con una pequeña modificación de las coordenadas esféricas recordemos que en el caso particular a = b = c el elipsoide es una esfera mediante κ: [, 2π] [, π] IR 3 con κθ, ϕ = a cos θ sen ϕ, b sen θ sen ϕ, c cos ϕ. La superficie completa del elipsoide no puede epresarse eplícitamente, aunque sí por trozos. Por ejemplo, para z y z se tienen las mitades superior e inferior del elipsoide representadas por z = c 1 2 b 2 z = c 1 2 b 2 Fig Elipsoide. Curvas de intersección con los planos coordenados Hiperboloide de una hoja El hiperboloide elíptico de una hoja viene dado por la ecuación a, b, c > b 2 z2 c 2 1 =. Una representación paramétrica se obtiene, de manera sencilla, haciendo v = z c polares en la ecuación 2 + y2 = z Por tanto, κ: [, 2π] a 2 b 2 c 2 IR IR 3 con κθ, v = a v cos θ, b v sen θ, cv. y el cambio a Puede evitarse la raiz haciendo uso de las funciones hiperbólicas mediante v = sh t y se obtiene κ: [, 2π] IR IR 3 con κθ, t = a ch t cos θ, b ch t sen θ, c sh t. La superficie completa del hiperboloide no puede epresarse eplícitamente, aunque sí por trozos. Por ejemplo, para z y z se tienen las partes superior e inferior del hiperboloide representadas por z = c b 2 1 z = c b 2 1

3 22 Métodos Matemáticos I : Integral de superficie 4.1 uperficies Fig Hiperboloide de una hoja. Curvas de intersección con los planos coordenados Hiperboloide de dos hojas El hiperboloide elíptico de dos hojas está formado por la unión de dos superficies coneas. Cada una de las hojas viene dada por la ecuación a, b, c > b 2 z2 c = con z > y con z <. Una representación paramétrica, para cada una de las hojas, se obtiene como en el caso anterior mediante κ: [, 2π] [1, + IR 3 con κθ, v = y κ: [, 2π], 1] IR 3 con κθ, v = a v 2 1 cos θ, b v 2 1 sen θ, cv, a v 2 1 cos θ, b v 2 1 sen θ, cv. La superficie de cada hoja del hiperboloide puede epresarse eplícitamente, para z c y z c, por z = c b z = c b Fig Hiperboloide de dos hojas.

4 23 Métodos Matemáticos I : Integral de superficie 4.1 uperficies Cono elíptico El cono elíptico viene dado por la ecuación a, b, c > b 2 z2 c 2 =. Una representación paramétrica se obtiene, de manera sencilla, haciendo v = z c polares en la ecuación 2 + y2 = z2. Por tanto, κ: [, 2π] a 2 b 2 c 2 IR IR 3 con y el cambio a κθ, v = a v cos θ, b v sen θ, cv. La superficie completa del cono no puede epresarse eplícitamente, aunque sí por trozos. Por ejemplo, para z y z se tienen las partes superior e inferior del cono representadas por z = c 2 b 2 z = c 2 b 2 Fig Cono elíptico Paraboloide elíptico El paraboloide elíptico viene dado por la ecuación a, b, c > b 2 z c =. La representación eplícita se obtiene fácilmente por 2 z = c b 2. Una representación paramétrica se obtiene de lo anterior por κ: IR 2 IR 3 con κu, v = au, bv, cu 2 + v Paraboloide hiperbólico El paraboloide hiperbólico viene dado por la ecuación a, b, c > a 2 y2 b 2 z c =.

5 24 Métodos Matemáticos I : Integral de superficie 4.1 uperficies Fig Paraboloide elíptico. La representación eplícita se obtiene fácilmente por 2 z = c a 2 y2 b 2. Una representación paramétrica se obtiene de lo anterior por κ: IR 2 IR 3 con κu, v = au, bv, cu 2 v 2. Fig Paraboloide hiperbólico Cilindros Los cilindros de obtienen cuando en la epresión de F, y, z = alguna de las variables no aparece, y heredan el apelativo de la curva que en IR 2 representa la epresión. sí, si F, y, z = f, y = y la curva f, y = es una elípse, hipérbola o parábola, el cilindro es elíptico, hiperbólico o parabólico. La representación paramétrica se obtiene a partir de una parametrización de la curva, es decir, si αt = α 1 t, α 2 t es una parametrización de la curva, entonces la aplicación κt, z = α 1 t, α 2 t, z es una parametrización del cilindro. Para el cilindro elíptico 2 a 2 κt, z = a cos t, b sen t, z. + y2 b 2 1 =, una parametrización es κ: [, 2π] IR IR 3 con Para el cilindro parabólico 2 a 2 y b =, una parametrización se tiene de κ: IR2 IR 3 con κt, z = at, bt 2, z. El cilindro hiperbólico 2 y2 1 = tiene dos hojas, una por cada rama de la hipérbola, y a 2 b 2 pueden parametrizarse por κ: IR 2 IR 3 de epresiones κt, z = a ch t, b sh t, z y κt, z = a ch t, b sh t, z, para cada una de las hojas.

6 25 Métodos Matemáticos I : Integral de superficie 4.1 uperficies Fig Cilindro elíptico. Fig Cilindro hiperbólico uperficies de revolución Las superficies de revolución son superficies que se obtienen girando una curva plana respecto a una recta. sí, una esfera es una superficie de revolución que se obtiene al girar una semicircunferencia alrededor del diámetro que une los etremos, o un cilindro circular se obtiene de girar una recta respecto a otra paralela ver figura 4.9. Fig ea C una curva plana, supongamos que contenida en el plano XZ, y sea la superficie de revolución obtenida al girar esta curva respecto al eje OZ. Entonces, si αt = α 1 t, α 2 t = t, zt es una parametrización de C, los puntos de son los de las circunferencias que se obtienen al girar cada punto de C alrededor del eje. Es decir, cada punto t, zt determina, al girar, una circunferencia plana en, que está situada a altura zt y tiene por radio la distancia del punto al eje OZ, que es t. En consecuencia, κt, θ = t cos θ, t sen θ, zt = α 1 t cos θ, α 1 t sen θ, α 2 t donde κ: [a, b] [, 2π] IR 3 es una parametrización de. Nota: Las parametrizaciones de la esfera y el cilindro y por tanto, los cambios a coordenadas esféricas y cilíndricas se obtienen de esta forma. Hágase como ejercicio. Ejemplo Hallar una parametrización del toro obtenido al girar la circunferencia y b 2 +z 2 = a 2 con b > a, contenida en el plano Y Z, alrededor del eje OZ. olución:

7 26 Métodos Matemáticos I : Integral de superficie 4.1 uperficies Una parametrización de la circunferencia es αϕ = b + a cos ϕ, a sen ϕ con ϕ [, 2π], luego κ: [, 2π] [, 2π] IR 3 donde κϕ, θ = b + a cos ϕ cos θ, b + a cos ϕ sen θ, a sen ϕ, es la parametrización buscada. Fig Parametrización del toro uperficies regulares Definición ean IR 3 un conjunto coneo y κ: IR 3 una función de clase 1. La imagen = κ se llama superficie descrita por κ. También se dice que κ es una parametrización de. El punto κu, v de se dice regular si el rango de la matriz κ u, v es 2. En caso contrario se dice que es singular. Una superficie se dice regular si todos sus puntos lo son. Definición 12.- ean IR 2 coneo y κ: IR 3 de clase 1. Para cada u, v, consideremos los vectores D 1 κu, v = D 1 κ 1 u, v, D 1 κ 2 u, v, D 1 κ 3 u, v D 2 κu, v = D 2 κ 1 u, v, D 2 κ 2 u, v, D 2 κ 3 u, v. l vector pvfu, v = D 1 κu, v D 2 κu, v, se le llama vector producto vectorial fundamental de la superficie descrita por κ, y tiene por componentes i j k D D 1 κ D 2 κ = D 1 κ 1 D 1 κ 2 D 1 κ 3 = 1 κ 2 D 1 κ 3 D D 2 κ 1 D 2 κ 2 D 2 κ 3 2 κ 2 D 2 κ 3, D 1 κ 1 D 1 κ 3 D 2 κ 1 D 2 κ 3, D 1 κ 1 D 1 κ 2. D 2 κ 1 D 2 κ 2 i pvfu, v, al vector nu, v = pvfu, v pvfu, v = D 1 κu, v D 2 κu, v D 1 κu, v D 2 κu, v se le denomina vector normal a la superficie en el punto κu, v. Proposición ean IR 2 coneo, κ: IR 3 de clase 1 y = κ. El punto κu, v es regular si, y sólo si, pvfu, v.

8 27 Métodos Matemáticos I : Integral de superficie 4.1 uperficies Demostración: Como D pvf = 1 κ 2 D 1 κ 3 D 2 κ 2 D 2 κ 3, D 1 κ 3 D 1 κ 1 D 2 κ 3 D 2 κ 1, D 1 κ 1 D 1 κ 2, D 2 κ 1 D 2 κ 2 D1 κ entonces pvfu, v rg 1 u, v D 1 κ 2 u, v D 1 κ 3 u, v = 2. D 2 κ 1 u, v D 2 κ 2 u, v D 2 κ 3 u, v Representación paramétrica obtenida de una eplícita ean f: IR 2 IR y la superficie representada por z = f, y, entonces la función κ: IR 3 dada por κu, v = u, v, fu, v es una representación paramétrica de. i f es de clase 1, κ es de clase 1 y como es una superficie regular. pvfu, v = D 1 κu, v D 2 κu, v = 1,, D 1 fu, v = D 1 fu, v, D 2 fu, v, 1,,, 1, D 2 fu, v Representación eplícita local obtenida de una paramétrica ea IR 2 coneo y κ: IR 3 de clase 1. Entonces, se puede construir una representación eplícita de la superficie dada por κ en un entorno de cada punto regular. En efecto. ea = κu, v un punto regular, entonces alguna de las coordenadas del vector pvfu, v es distinta de cero. upongamos que es la tercera componente, es decir, que D 1 κ 1 u, v D 1 κ 2 u, v D 2 κ 1 u, v D 2 κ 2 u, v y, consideremos los valores de, y, z IR tales que κ 1 u, v = ; y κ 2 u, v = ; z κ 3 u, v =. ea U IR 4 un abierto tal que, y, u, v U y construyamos h: U IR 2 dada por h, y, u, v = κ 1 u, v, y κ 2 u, v =, y y. h, y, u, v =, y y =,. Como = κ 1 u, v e y = κ 2 u, v, h, y, u, v = D 1 κ 1 u, v D 1 κ 2 u, v D 2 κ 1 u, v D 2 κ 2 u, v. 1 D1 κ 1 u, v D 1 κ 2 u, v 1 D 2 κ 1 u, v D 2 κ 2 u, v y Entonces, por el teorema de la función implícita, eisten un abierto W IR 2 que contiene a, y, un abierto V IR 2 que contiene a u, v y una función g: W V tal que g, y = u, v, para todo, y W. Entonces, la función f: W IR definida por f, y = κ 3 g 1, y, g 2, y nos da la representación pedida, pues de z κ 3 u, v = se tiene que f, y = κ 3 g 1, y, g 2, y = κ 3 u, v = z.

9 28 Métodos Matemáticos I : Integral de superficie 4.1 uperficies Plano tangente y recta normal Proposición ean IR 2 coneo, C una curva regular contenida en y = κ una superficie regular. Entonces C = κc es una curva regular contenida en y, en cada punto de C, el vector producto vectorial fundamental a la superficie es perpendicular al vector tangente a la curva. Demostración: ea α: [a, b] una parametrización regular de C. Entonces, β: [a, b] definida por βt = καt es una parametrización de C de clase 1 y, para cada t a, b, β t = κ αtα t = D 1 κ 1 αt D 2 κ 1 αt D 1 κ 2 αt D 2 κ 2 αt D 1 κ 3 αt D 2 κ 3 αt = α 1tD 1 καt + α 2tD 2 καt α 1 t α 2 t pues, como κ es regular los vectores D 1 καt y D 2 καt son linealmente independientes rg κ αt = 2 y, como α es regular α t = α 1 t, α 2 t,. En consecuencia, β es una parametrización regular de C. demás, como el vector D 1 καt D 2 καt es ortogonal a D 1 καt y a D 2 καt, es también ortogonal a β t, que es el vector tangente a la curva C en el punto. Definición ea IR 2 coneo y = κ una superficie regular. El plano que pasa por el punto κu, v y es paralelo a los vectores D 1 κu, v y D 2 κu, v, se llama plano tangente a la superficie en dicho punto y tiene por ecuación vectorial y = κu, v + λd 1 κu, v + µd 2 κu, v. La recta que pasa por el punto κu, v y es paralela al vector pvfu, v, se llama recta normal a la superficie en dicho punto y tiene por ecuación vectorial y = κu, v + λ D 1 κu, v D 2 κu, v. Ejemplo Hallar la ecuación del plano tangente y la recta normal a la superficie del hiperboloide parabólico κu, v = u, v, u 2 v 2 en el punto κ1, 1. olución: Como D 1 κu, v = 1,, 2u y D 2 κu, v =, 1, 2v, se tiene que pvf1, 1 = D 1 κ1, 1 D 2 κ1, 1 = 1,, 2, 1, 2 = 2, 2, 1 luego el plano tangente en κ1, 1 = 1, 1, es y la recta normal y = 1, 1, + λ1,, 2 + µ, 1, 2 = 1 + λ, 1 + µ, 2λ 2µ y = 1, 1, + λ 2, 2, 1 = 1 2λ, 1 + 2λ, λ Área de una superficie Definición ean IR 2 un conjunto coneo y acotado y κ: IR 3 de clase 1, inyectiva en int. El área de la superficie = κ se define como el valor = pvfu, v du dv.

10 29 Métodos Matemáticos I : Integral de superficie 4.2 Integral de superficie de funciones reales Observación i una superficie viene dada en eplícitas, z = f, y, con f: IR, tomando κ, y =, y, f, y en, = pvf, y d dy = 1,, D 1 f, y, 1, D 2 f, y d dy = D 1 f, y, D 2 f, y, 1 d dy = 1 + D 1 f, y 2 + D 2 f, y 2 d dy Usando la notación clásica D 1 f, y = f, y y D 2f, y = f y, y, tenemos que = 1 + D 1 f 2 + D 2 f 2 d dy = 1 + f 2 + f 2 y d dy. Ejemplo ea = [, 2π] [, π]. Calcular el área de la esfera descrita por la función κ: IR 3 con κθ, ϕ = a cos θ sen ϕ, a sen θ sen ϕ, a cos ϕ. olución: κ es de clase 1 y luego D 1 κθ, ϕ = a sen θ sen ϕ, a cos θ sen ϕ, D 2 κθ, ϕ = a cos θ cos ϕ, a sen θ cos ϕ, a sen ϕ pvfθ, ϕ = a sen θ sen ϕ, a cos θ sen ϕ, a cos θ cos ϕ, a sen θ cos ϕ, a sen ϕ = a 2 cos θ sen 2 ϕ, a 2 sen θ sen 2 ϕ, a 2 sen ϕ cos ϕ = a 4 cos 2 θ sen 4 ϕ + a 4 sen 2 θ sen 4 ϕ + a 4 sen 2 ϕ cos 2 ϕ = a 4 sen 2 ϕ[cos 2 θ + sen 2 θ] sen 2 ϕ + cos 2 ϕ = a 2 sen ϕ sen 2 ϕ + cos 2 ϕ = a 2 sen ϕ = a 2 sen ϕ. Entonces = = π pvfθ, ϕ dθ dϕ = a 2 sen ϕ dθ dϕ = 2π a 2 sen ϕ dϕ dθ = a 2 cos ϕ ] π 2π π 2π = 4πa 2. a 2 sen ϕ dϕ dθ 4.2 Integral de superficie de funciones reales Definición ea IR 2 un conjunto coneo y acotado, κ: IR 3 una función de clase 1, = κ y f: IR acotada tal que la función compuesta f κ es integrable en. La integral de superficie de f sobre se define por f = f dκ = fκu, v pvfu, v du dv. Ejemplo Calcular la integral de superficie z 2, siendo la superficie de la esfera unidad en el primer octante. olución: El conjunto, puede parametrizarse por κθ, ϕ = cos θ sen ϕ, sen θ sen ϕ, cos ϕ, donde κ: [, π 2 ] [, π 2 ] IR3. Entonces, como pvfθ, ϕ = sen ϕ ver ejemplo 127, se tiene f = fκθ, ϕ pvfθ, ϕ dθ dϕ = π 2 π 2 cos 2 ϕ sen ϕ dθ dϕ = π 6.

11 3 Métodos Matemáticos I : Integral de superficie 4.3 Flujo de un campo vectorial plicaciones a la mecánica ean IR 2 un conjunto coneo y acotado y κ: IR 3 una función de clase 1. Consideremos una lámina delgada que tenga la forma de la superficie = κ y que su densidad en cada punto viene dada por una función acotada f: IR tal que la función compuesta f κ es integrable en. Entonces, la masa M de la lámina viene dada por M = f El centro de masas de la lámina, de coordenadas ξ, η, γ se obtiene de ξ = 1 M f η = 1 M yf γ = 1 M y, el momento de inercia I L de la lámina respecto de la recta L es I L = δ 2 f donde, para cada, y, z, δ, y, z representa la distancia del punto, y, z a la recta L. Ejemplo 13.- Una hoja de papel homogénea rectangular de base 2πa y altura h se enrolla formando una superficie cilíndrica de radio a. Calcular el momento de inercia de respecto de la recta que contenga un diámetro de la base circular. olución: ituamos el cilindro formado por la lámina sobre el plano XY siendo eje OZ su eje longitudinal, es decir, formando la superficie = {, y, z : + y 2 = a 2 ; z h}. Por ser homogénea, la función densidad f: IR viene dada por f, y, z = k, para algún valor constante k; y si tomamos como recta L uno de los otros ejes, por ejemplo, el eje OX, se tiene que δ, y, z = y 2 + z 2. Una parametrización para viene dada por κ: = [, 2π] [, h] IR 3, de epresión κθ, z = a cos θ, a sen θ, z y con pvfθ, z = a cos θ, a sen θ, = a. Luego I L = δ 2, y, zk = ky 2 + z 2 = ka 2 sen 2 θ + z 2 a dθ dz = ka2π ha2 2 + h Flujo de un campo vectorial Definición ea IR 2 un conjunto coneo y acotado, κ: IR 3 una función de clase 1 y = κ. ea f: IR 3 la función que representa el vector densidad de flujo de la corriente de un fluido, entonces la masa de fluido que atraviesa la superficie en la unidad de tiempo el flujo a través de la superficie, en la dirección del vector normal, viene dado por f n = f n dκ. Observación Usando la definición de integral de superficie y que n = f n dκ = fκu, v zf pvf pvf, se tiene que pvfu, v pvfu, v du dv = fκu, v pvfu, v du dv. pvfu, v Ejemplo La corriente de un fluido tiene como vector densidad de flujo en cada punto a la función f, y, z = yz, z, y. ea la superficie del plano + y + z = 1 situada en el primer octante y n el vector normal a. Calcular la masa de fluido que atraviesa la superficie en la unidad de tiempo en la dirección de n. olución:

12 31 Métodos Matemáticos I : Integral de superficie 4.3 Flujo de un campo vectorial n Fig La superficie es un trozo del plano z = 1 y, luego puede parametrizarse con κ: IR 3, donde κ, y =, y, 1 y y = {, y : 1, y 1 }. Como pvf, y = 1,, 1, 1, 1 = 1, 1, 1 y fκ, y = y1 y, 1 y, y, el flujo a través de la superficie en la dirección del vector normal es f n = Teorema de tokes y1 y + 1 y + y dy d = 1 8. Definición ean IR 3 un conjunto abierto y f: IR 3 una función con derivadas parciales en. e llama rotacional de f a la función rot f: IR 3 definida como rot f = D 2 f 3 D 3 f 2, D 3 f 1 D 1 f 3, D 1 f 2 D 2 f 1. Proposición ean IR 3 un conjunto abierto y conveo y f: IR 3 una función de clase 1 en. Entonces f es un gradiente en si, y sólo si, rot f = en. Demostración: Como el conjunto es conveo, f es un gradiente en i, j, D i f j = D j f i en rot f = en. Teorema de tokes o del rotacional ea C una curva simple cerrada y regular a trozos de IR 2 parametrizada por α: [a, b] IR 2, que la recorre en sentido positivo. ean el conjunto encerrado por C y = κ una superficie regular descrita por κ, función de clase 2. i f: IR 3 es de clase 1, entonces f = rot f n, κc donde la curva κc está recorrida en el sentido inducido por α. Ejemplo Calcular la integral de línea de f, y, z = z, y, y a lo largo de la frontera del triángulo de vértices a = 2,,, b =, 6, y c =,, 2 recorrida en este sentido. olución: El triángulo T es el trozo del plano 3 + y + 3z = 6 en el primer octante, que se parametriza por κ: IR 3, donde κ, y =, y, 2 y 3 y = {, y : [, 2], y 6 3}. demás, si recorremos en sentido positivo, vamos de, a 2, y, en T = κ vamos de κ, =,, 2 a κ2, = 2,,, luego el sentido del recorrido inducido en T es el buscado. En consecuencia, por el teorema de tokes, T f = T rot f n =, 2y, 1, 1 3, 1 d dy = y 3 dy d = 4 3.

13 32 Métodos Matemáticos I : Integral de superficie 4.3 Flujo de un campo vectorial z y T T y Fig Rotacional y divergencia de un campo vectorial Definición ean IR n abierto y f: IR n una función cuyas componentes tienen derivadas parciales en. e llama divergencia de f a la función div f: IR definida por div f = D 1 f 1 + D 2 f D n f n. Proposición ean IR 3 abierto y g: IR 3 una función de clase 2. Entonces divrot g = en. Demostración: Como en el abierto la función g es de clase 2, se tiene que D ij g k = D ji g k, i, j, k. Luego divrot g = div D 2 g 3 D 3 g 2, D 3 g 1 D 1 g 3, D 1 g 2 D 2 g 1 = D 1 D 2 g 3 D 3 g 2 + D 2 D 3 g 1 D 1 g 3 + D 3 D 1 g 2 D 2 g 1 = D 21 g 3 D 31 g 2 + D 32 g 1 D 12 g 3 + D 13 g 2 D 23 g 1 = D 21 g 3 D 12 g 3 + D 13 g 2 D 31 g 2 + D 32 g 1 D 23 g 1 = Corolario 14.- Con las hipótesis del teorema anterior, una condición necesaria para que una función f sea el rotacional de otra función g en un abierto es que div f = en. Proposición ean IR 3 un rectángulo abierto y f: IR 3 de clase 1 tal que div f = en. Entonces, eiste una función g: IR 3 tal que rot g = f en. Demostración: ea, y, z un punto fijo. La función g: IR 3 de componentes g 1 = ; g 2 = verifica que rot g = f en. En efecto, D 2 g 3 D 3 g 2 = D 2 = D 2 f 3 t, y, z dt z z f 1, y, t dt; g 3 = f 2 t, y, z dt; z f 2 t, y, z dt D 3 f 3 t, y, z dt f 1, y, t dt z z f 2 t, y, z dt D 3 f 3 t, y, z dt + D 3 f 1, y, t dt z Por las integrales dependientes de un parámetro las dos primeras y, por ser una función integral la tercera, se tiene que

14 33 Métodos Matemáticos I : Integral de superficie 4.3 Flujo de un campo vectorial = = D 2 f 2 t, y, z dt D 2 f 2 t, y, z D 3 f 3 t, y, z D 3 f 3 t, y, z dt + f 1, y, z dt + f 1, y, z Como = div f = D 1 f 1 + D 2 f 2 + D 3 f 3, se tiene que D 1 f 1 = D 2 f 2 D 3 f 3. Luego = D 1 f 1 t, y, z dt + f 1, y, z = f 1, y, z f 1, y, z + f 1, y, z = f 1, y, z. D 3 g 1 D 1 g 3 = + D 1 f 2 t, y, z dt = f 2, y, z. z D 1 g 2 D 2 g 1 = D 1 f 3 t, y, z dt f 1, y, t dt z z = D 1 f 3 t, y, z dt D 1 f 1, y, t dt = f 3, y, z = f 3, y, z. z Ejemplo Demostrar que el campo f, y, z = y z, z, y es un rotacional en IR 3 y determinar g tal que rot g = f. olución: En IR 3, div f = D 1 f 1 + D 2 f 2 + D 3 f 3 = + + =, luego eiste g: IR 3 IR 3 tal que rot g = f. ea el punto fijo de IR 3, por la proposición anterior, g 1, y, z = ; g 2, y, z = g 3, y, z = z f 3 t, y, z dt f 2 t, y, z dt = f 1, y, t dt = z t dt = z z t y dt y t dt = 2 z2 y yz ; luego g, y, z =, 2 +z 2 2 y + z, 2 2 z Teorema de la divergencia Teorema de la divergencia o de Gauss ean una superficie que encierra un volumen V, = κ donde κ es de clase 1 e inyectiva salvo quizá en un conjunto de medida nula, f: V IR 3 de clase 1 y n el vector normal unitario eterior a la superficie. Entonces, f n = div f. Ejemplo La corriente de un fluido tiene como vector densidad de flujo en cada punto f, y, z =, y 2, 2yz. Calcular la masa de fluido que atraviesa la superficie eterior del hemisferio = {, y, z : +y 2 +z 2 1, z } en la unidad de tiempo y en la dirección del vector normal eterior. olución: Por el teorema de la divergencia, si denotamos por = V la superficie eterior del sólido, se tiene que f n = div f. Como div f, y, z = 1 + 2y 2y = 1, entonces f n = div f = V V V V 1 = VV = π 2.

15 34 Métodos Matemáticos I : Integral de superficie 4.4 Ejercicios 4.4 Ejercicios 4.1 Encontrar los puntos singulares de la semiesfera superior + y 2 + z 2 = R 2, z a Cuando usamos la parametrización de forma eplícita b Cuando tomamos como parámetros la longitud y la latitud 4.2 Hallar la ecuación del plano tangente y la recta normal a la superficie del paraboloide hiperbólico κu, v = u, v, u 2 v 2 en el punto 1, 2, Para cada una de las cuádricas de la subseccion 4.1.2, encontrar el vector producto vectorial fundamental asociado a las parametrizaciones allí construidas, indicando la dirección de dicho vector. 4.4 Hallar el vector unitario normal a la superficie de revolución dada por la función κu, v = fu cos v, fu sen v, gu, donde f y g son funciones reales de clase Hallar el área de la región que en el plano + y + = a determina el cilindro + y 2 = a Calcular el área de la porción del paraboloide 2 a + y2 b 2 = 2z interior al cilindro + y2 = 1. a 2 b Calcular el área de la superficie cónica +y 2 = z 2 situada por encima del plano XY y limitada por la esfera + y 2 + z 2 = 2a. 4.8 Calcular el área del toro engendrado al girar entorno al eje OZ la circunferencia de radio a situada en el plano XZ con centro en el eje OX a una distancia b b > a del origen 4.9 ea un punto que recorre la hélice = a cos ϕ, y = a sen ϕ, z = hϕ, y sea B su proyección ortogonal dobre el eje OZ. Calcular el área de la superficie engendrada por el segmento B, cuando ϕ varía entre y 2π. 4.1 ea la superficie z = y y C el cilindro + y 2 = 1. Calcular el área de la porción de interior a C El plano y + z = 2 divide a la superficie esférica + y 2 + z 2 = 4 en dos casquetes. Designando por al casquete de menor área, calcular yz d La forma del muro que rodea un estadio circular se ha diseñado cortando el cilindro con base la circunferencia del estadio, + y 2 = 4, con el cilindro parabólico z = Calcular la superficie de dicho muro Evaluar la integral de superficie y d, siendo la región triangular con vértices 1,,,, 2, y,, El cilindro + y 2 = 2 recorta una porcion de superficie en la hoja superior del cono + y 2 = z 2. Calcular: 4 y 4 + y 2 z 2 z 2 + 1d Hallar el flujo del campo vectorial v, y, z = 2 3, 2 y, 3 z a traves de la superficie lateral del cilindro de ecuacion + y 2 = 4, limitada por los planos z = y z = 4, tomando como vectores normales los dirigidos hacia fuera del cilindro.

16 35 Métodos Matemáticos I : Integral de superficie 4.4 Ejercicios 4.16 La salida de un etractor de humos de un local se produce unicamente a traves de la superficie lateral del cilindro + y 2 = a 2 interior al medio cilindro perpendicular: y 2 + z 2 = b 2, z b > a, que es la salida general de humos del edificio. i el movimiento del aire que produce el etractor del local viene dado por el campo f, y, z = z, yz, z 2, cuál es el flujo saliente? 4.17 Transformar rot F nd en una integral de linea, cuando F, y, z = y, z, y es la parte del paraboloide z = 1 y 2 con z, y siendo n el vector normal unitario con tercera componente no negativa Calcular, de dos maneras diferentes y zd+z dy+ ydz a lo largo de la interseccion del plano a + y b + z c C = 1 con los planos coordenados Tomando a partir del origen, O, tres segmentos iguales de longitud 2, sobre los semiejes positivos, queda definido un cubo. Cortando dicho cubo con un plano perpendicular a la diagonal de etremo O y que pase por su punto medio, queda definido un eagono regular, H. Calcular la integral de linea del campo f, y, z = y 2 z 2, z 2, y 2 a lo largo de H, recorrido en el sentido contrario de las agujas del reloj, de dos formas distintas. 4.2 Calcular el trabajo realizado por el campo de fuerzas f, y, z = y, z, al mover una particula { 1 a lo largo de la circunferencia: 2 + y z 2 = 2. Mirando desde el origen de + y = 2 coordenadas, el sentido de recorrido de la circunferencia es el contrario al de las agujas del reloj ea C la curva interseccion del plano y+ 2z = con 2 +y 2 +2z 2 = 2, orientada positivamente. Calcular y + cose d + y dy + z dz. C 4.22 Dado el campo f, y, z = z, yz, 1 y el sólido T = { }, y, z : + y 2 + z 2 25; z 3 : a Calcular el flujo saliente de f a traves de la superficie superior esferica. b Calcular el flujo de f saliendo de T a traves de la superficie inferior plana. c Usando el teorema de la divergencia, calcular el flujo de f saliendo de T a traves de la superficie total. Contrastar con los resultados anteriores. { } 4.23 ea el sólido V =, y, z : + y 2 + z 2 a 2, z 2 1. i es la superficie que limita 3 +y 2 a V, calcular f nd donde f, y, z = y 2 z, yz, sen y y n es el vector normal unitario saliente a V ea 1 la porcion de paraboloide + y 2 = 2az interior al cilindro + y 2 = 2a 2 con una orientacion tal que el vector normal unitario en el punto,, de 1 sea el,, 1. a Calcular el área de 1. b Calcular la integral de superficie del campo f, y, z = 1 a, 1 ay, en 1, es decir, el flujo del campo f a traves de 1. a es una constante no nula. c Usando el resultado del apartado anterior, probar que 1 + d 1 dy dz = 4πa, siendo V 2 y { } 2 V =, yz : + y 2 2az; z a 4.25 Parametriza en coordenadas cilindricas, el trozo de hiperboloide de una hoja, +y 2 z 2 = a 2, que se encuentra dentro de la esfera + y 2 + z 2 = 4a 2. Consideremos n, la normal unitaria a que apunta hacia el eje OZ. i f, y, z = z, yz,, calcular f nd.

17 36 Métodos Matemáticos I : Integral de superficie 4.4 Ejercicios 4.26 Calcular la integral de flujo rotf nd, siendo f, y, z = 2, 2y + z, z 2 ; el rectangulo de vertices 1,, 1, 2,,, 1, 1, 1 y 2, 1, y n el vector normal unitario a con componente z negativa, de dos formas: a Directamente. b Mediante una integral de linea. { } 4.27 Dado el sólido V =, y, z : + y 2 1; + z 1; z y el campo vectorial F, y, z = 2, 2y + z, z 2, se pide, calcular el flujo saliente del campo F a traves de la superficie lateral cilíndrica del sólido V de dos formas distintas: directamente y mediante el teorema de la divergencia ea la porción de plano limitado por el triangulo de vertices 1,,,, 1, y,, 1 y sea f, y, z =, + z, + y. Representamos por n la normal unitaria a que tiene tercera componente no negativa. a Calcular f nd usando una representacion eplicita de de la forma z = g, y. b Es correcto calcular el flujo anterior mediante una parametrización de de la forma κu, v = u + v, u v, 1 2u? Razonar la respuesta, y calcularlo si es posible. c Calcular { el flujo saliente del campo f que } atraviesa la superficie del tetraedro V =, y, z : ; y ; z ; + y + z 1 { } 4.29 ea V el sólido definido por V =, y, z IR 3 : ; y ; z ; y + z 4; 6 y sea la superficie cerrada que limita a V. Calcular el flujo de salida a traves de del campo vectorial F, y, z = e z, ye z, e z. a Directamente. b Mediante el teorema de Gauss. 4.3 ean el sólido V limitado por las superficies: 1 z 1 = + y 1 2, 2 + y 2 2 = 3 y 3 z = ; y el campo vectorial F, y, z = y,, z. Calcular la integral de flujo rotf nd1, siendo 1 la parte de la superficie 1 que 1 corresponde a V y n la normal unitaria a dicha superficie eterior a V, de dos formas distintas: a Directamente. b plicando el teorema de tokes Demostrar el principio de rquímedes: el empuje de un fluido sobre un sólido V es igual al peso del fluido desalojado por V.