a y Para aplicar el teorema de Stokes, calculamos en primer lugar el rotacional del campo vectorial: i j k / x / y / z

Transcripción

1 TEOREMA E TOKE. 1. Usar el teorema de tokes para calcular la integral de línea ( ) d + ( ) d + ( ) d, donde es la curva intersección de la superficie del cubo a, a, a el plano + + 3a/, recorrida en sentido positivo. olución La curva dada tiene la forma del heágono de la figura adjunta. a a Para aplicar el teorema de tokes, calculamos en primer lugar el rotacional del campo vectorial: i j k rot F / / / (,, ). i llamamos a la superficie interior de dicho heágono a la proección de sobre el plano XY, la superficie viene parametriada por la fórmula eplícita 3a/, con (, ). e este modo, el vector normal eterior a la superficie es n ( /, /, 1) (1, 1, 1). Al aplicar el teorema de tokes, resulta: I rot F n d (,, ) (1, 1, 1) dd 6a dd 6a área () 6a(a a /4) 9a 3 /. 1

2 11. Hallar el trabajo realiado por el campo vectorial F (,, ) ( +, +, + ) a lo largo del arco más corto de la circunferencia maor de la esfera que une los puntos A (3, 4, ) B (,, 5). olución La traectoria descrita por el móvil es la ilustrada en la figura adjunta. B O A icha curva está contenida en la intersección de la esfera con el plano 4/3. i escribimos las ecuaciones de la curva como { : + 16 / /3 3 cos t podemos parametriarla como : 4 cos t 5 sen t o bien { /9 + /5 1 4/3,, t π/. Así pues, el trabajo realiado se calcula mediante la fórmula W F ds π/ π/ (4 cos t + 5 sen t, + 3 cos t, 7 cos t) ( 3 sen t, 4 sen t, 5 cos t) dt ( 4 sen t cos t 15 sen t 8 sen t + 35 cos t) dt 5π. i queremos calcular la integral aplicando el teorema de tokes, la traectoria debe ser cerrada. Esto se consigue completando el circuito con los segmentos de recta. e

3 este modo, si llamamos a la superficie limitada por dicho circuito, el teorema de tokes afirma que F + F + F rot F. Por un lado, rot F i j k / / / (1,, ). Una parametriación de la superficie se obtiene escribiendo las coordenadas esféricas de un punto de la superficie teniendo en cuenta que los puntos de están en el plano 4 3. e este modo, : (3/5)u sen v (4/5)u sen v u cos v El vector normal a la superficie es, u 5, v π/. T u T v ((3/5) sen v, (4/5) sen v, cos v) ((3/5)u cos v, (4/5)u cos v, u sen v) ( (4/5)u, (3/5)u, ). Elegimos como vector normal el correspondiente a la cara eterior de la superficie, con respecto al sentido del recorrido de la curva, es decir n (4u/5, 3u/5, ). Así pues, rot F (1,, ) (4u/5, 3u/5, ) dudv 5 π/ 4 du u dv 5π. 5 Por otra parte, el segmento tiene como vector de posición r (t) (,, 5 t), con t 5. Entonces, 5 5 F F (r(t)) r (t) dt (5 t,, ) (,, 1) dt. Por último, el segmento se parametria por r(t) (t, 4t/3, ), con t 3. e este modo, 3 F F (r(t)) r (t) dt 3 En definitiva, de la igualdad (4t/3, + t, 7t/3) (1, 4/3, ) dt F + deducimos (como era de esperar) que F F F + F + F 3 rot F, (8t/3 + 8/3) dt. rot F 5π. 3

4 1. Hallar la circulación del vector a (,, ) a lo largo del circuito del primer octante limitado por la esfera centrada en el origen de radio 1, el plano los planos coordenados XOZ, Y OZ. a) irectamente, mediante integral curvilínea. b) Aplicando el teorema de tokes. olución El circuito indicado está formado por tres tramos: la curva 1 es el arco de circunferencia máima contenido en la esfera dada entre los puntos A (1,, ) B (, /, /); el segmento une el punto B con el origen; el segmento 3 une el origen con el punto A. B O Así pues, A En primer lugar, como :,, a ds a ds + a ds + a ds ,, cos t ( /) sen t ( /) sen t, t π/, entonces 1 a ds π/ ( sen t cos t, cos t ( /) sen t, sen t cos t) ( sen t, ( /) cos t, ( /) cos t) dt

5 on respecto a, el vector de posición del segmento se epresa por r (t) (, ( /) t, ( /) t), donde t /. Así pues, a ds / / (, ( /) + t, t) (, 1, 1) dt (t /) dt 1 4. Para calcular la integral a lo largo de 3, parametriamos dicho segmento por el vector r (t) (t,, ), con t 1. Por lo tanto, En definitiva, 3 a ds a ds 3. 1 (, t, t ) (1,, ) dt. Vamos a resolver a continuación la integral utiliando el teorema de tokes. Para ello, calculamos rot i j k a / / / (, 4, ). Además, si es la superficie encerrada por el circuito, entonces : ,,,, Esto permite definir la superficie por su fórmula eplícita a lo largo de la región : + 1, con,. e este modo, el vector normal eterior a la superficie es n (, 1, 1), como consecuencia del teorema de tokes, a ds rot a d (, 4, ) (, 1, 1) dd dd. Resolvemos la integral doble utiliando el cambio de coordenadas { u cos v (1/ )u sen v, ( u 1, v π/). omo el jacobiano de la transformación es J u/, tenemos: dd 1 du π/ u cos v (1/ )u dv 3, resultado que coincide con el obtenido al calcular directamente la integral de línea. 5

6 13. alcular rot F n d, siendo F (,, ) (,, ), donde consta de las tres caras no situadas en el plano XZ del tetraedro limitado por los tres planos coordenados el plano , la normal n es la normal unitaria eterior del tetraedro. olución i llamamos 1 al plano XY, al plano Y Z 3 al plano , entonces: I rot F n d 3 rot F n d. i i aplicamos ahora el teorema de tokes simplificamos caminos opuestos: I 3 i1 i1 i F ds. H3L HL H1L Las curvas i i vienen parametriadas por (ver figura): 1 : t,, ( t ) :,, t ( t ) 3 : t,, t ( t ). En definitiva, I + + t ( t)dt (t t 3 /3) Hallar, tanto directamente como aplicando el teorema de tokes, la circulación del campo a ( ) i + ( 3 + ) j 3 k a lo largo del circuito limitado por +,. 6

7 olución Para calcular la circulación del campo, buscamos una parametriación de la curva dada. En este caso, { + : cos t sen t ( t π). Así pues, π a ds ( cos t, 8 cos 3 t, 4 cos t sen t) ( sen t, cos t, ) dt π ( 4 sen t cos t + 16 cos 4 t) dt 1π. i queremos aplicar el teorema de tokes, llamamos al interior del círculo limitado por la curva calculamos el rotacional del campo vectorial. omo rot i j k a ( 6, 1 + 3, 3 ), entonces a ds rot a d ( 6, 1 + 3, 3 ) (,, 1) dd 3 dd. Resolvemos la integral mediante un cambio a coordenadas polares, u cos v, u sen v, con u, v π. omo el jacobiano de la transformación es J u, resulta: 3 dd du π 3u 3 cos v dv 1π. 7