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1 Lección 1 - Problemas Problemas CAPÍTULO 2 FUNCIONES VECTORIALES Lección 2.2. Curvas enr n Una aplicación F : I R n, donde I es un subconjunto de R se llama una función vectorial. Puesto que para cada t I, F( t ) R n, entonces F( t ) = ( f 1 ( t ), f 2 ( t ),..., f n ( t ) ) Las funciones f i : I R, i = 1, 2,...n son las funciones componentes de F. Es por ello que todas las propiedades de F, como veremos, reposan en las propiedades de las funciones componentes. Ejemplos: 1. F( t ) = P + ta, t R, P y A vectores fijos de R n es una función vectorial que representa una recta en R n. 2. F( t ) = ( cos t, sent ), t R es una función vectorial que representa una circunferencia de centro cero y radio uno en R F( t ) = ( t, t 2 ), t R es una función vectorial que representa una parábola La imagen F( I ) es un subconjunto de R n y determina una curva en él. Es claro que que una curva en R n puede estár determinada por diferentes funciones vectoriales, por ejemplo: α( t ) = ( t, t 2 ), t 0 y β( t ) = ( t 2, t 4 ), definen la misma curva en en R 2. No obstante, aunque es un abuso, para simplificar la escritura, identificaremos la curva con la función que la define. Operaciónes algebraicas: Definimos las siguientes operaciones entre funciones vectoriales: 1. ( F + G )( t ) = F( t ) + G( t ), t I, F y G funciones vectoriales.

2 2 of 7 2. ( u.f )( t ) = u( t ).F( t ), t I, F una función vectorial y u : I R. 3. F, G ( t ) = F( t ), G( t ), t I. 4. ( F G )( t ) = F( t ) G( t ), t I, F y G funciones vectoriales con valores en R (F u )( t ) = F( u( t ) ), t I, F una función vectorial y u : I R. Continuidad de funciones vectoriales Definición(2.2.1): Sea F : I R n una función vectorial. Decimos que F es continua en a I, si para toda secuencia { t n } I, tal que t n a, se cumple que F( t n ) F( a ). De la Definición (2.2.1) se deduce, inmediatamente, que F es continua en a si y sólo si las funciones componentes de F son continuas en a. Además: lim F( t k ) = ( lim f 1 ( t k ),..., lim f n ( t k ) ). (2.2.1) t k a t k a t k a Derivabilidad de funciones vectoriales La derivada de funciones vetoriales se define de la misma manera como la conocemos para funciones de variable y valor real. Así: F F( t + a ) F( a ) ( a ) = lim t (2.2.2) t a Cómo se indica en la figura, el vector F ( a ) es el vector dirección de la recta tangente a la curva definida por F y que pasa por el punto F( a ). Sipensamos que F( t ) determina el desplazamiento de una particula en el espacio R n a medida que el tiempo t transcurre, entonces F ( a ) mide la velocidad del desplazamiento.

3 3 of 7 Es muy fácil deducir de (2.2.1) y (2.2.2) que Figura No. 1 F ( a ) = ( f 1 ( a ),..., f n ( a ) ) ( ) La derivación de funciones vectoriales satisface las siguientes propiedades: 1. ( F + G ) = F + G. 2. ( u.f ) = u.f + u.f, con u : R R. 3. F, G = F, G + F, G. 4. ( F G ) = F G + F G. 5. ( F u ) = u.f ( u ), con u : R R. Como consecuencia de la propiedad 3. anterior tenemos el siguiente Teorema (2.2.1): Sea F una función vectorial definida en algún intervalo I. Si F( t ) = c, para todo t, entonces F( t ), = 0. El Teorema nos dice que el vector posición de la curva y su vecror tangente son perpendiculares para

4 4 of 7 todo valor t. Si pensamos que es una partícula que se mueve a lo largo de la curva que describe la imagen de una función vectorial F, entonces F( t ) es el vector que mide la posición de la partícula, será el vector velocidad y F ( t ) será el vector aceleración. Es costumbre nombrar, entonces, = V( t ), vector velocidad y F ( t ) = A( t ), vector aceleración. Además denotaremos v( t ) = V( t ) que representa la rapidez de la partícula, así mismo denotaremos a( t ) = F ( t ). Integración La integración de funciones vectoriales la definimos así: b a bf( t )dt = ( a f 1 ( t )dt,..., ) b a f n ( t )dt. ( ) Como en el caso de funciones de variable y valor real, tenemos acá los teoremas fundamentales del c álculo que enunciaremos sin demostración pues ésta sigue los mismos pasos que la que conocemos en los primeros cursos de cálculo. Teorema (2.2.2) (PrimerTeorema Fundamental del Cálculo). Sea F : a, b R n continua y sea c a, b. Entonces la función G( x ) = c xf( t )dt cumple que G ( x ) = F( x ). Teorema (2.2.3) (Segundo Teorema Fundamental del Cálculo). Supongamos que F es continua en ( a, b ). Entonces para cada c, x ( a, b ) tenemos que F( x ) = F( c ) + c xdt.

5 5 of 7 El Plano Osculador. Sea F : [a, b] R 3 una aplicación derivable y supongamos que 0. Entonces el vector T( t ) = (2.3.1) es el vector tangente unitario de la curva en el punto F( t ). Siademás suponemos que la función T( t ) es derivable y 0, entonces podemos definir el vector normal unitario a la curva en el punto F( t ), así: N( t ) =. (2.3.2) Puesto que T( t ) es unitario, entonces T( t ), N( t ) = 0. Este par de vectores definen un plano, así: P( t ) = {X( t ) = F( t ) + st( t ) + rn( t ), r, s R}. Figura No. 2

6 6 of 7 Este plano es conocido como el plano osculador a la curva en el punto F( t ). La característica de este plano consiste en que es el plano que mejor aproxima a la curva en el punto F( t ). Esto quiere decir que si tomamos tres puntos distintos de la curva que puedan determinar un plano y hacemos que esos tres puntos se aproximen a F( t ) entonces esos planos se aproximan al plano P( t ). Es fácil ver que los vectores velocidad V( t ) = y aceleración A( t ) = F ( t ) del punto F( t ) se encuentran en el plano osculador. En efecto, un cálculo sencillo nos muestra que A( t ) = v ( t )T( t ) + N( t ), en donde v( t ) =. La componente v ( t ) se llama la componente tangencial de la aceleración y la componente normal. Amanera de ejemplo, consideremos la curva F( t ) =( cos t, sent, t ), t R. Esta curva representa una hélice ascendente como se indica en la figura

7 7 of 7 Figura No. 3 Observamos que = 2 = 2 2 = T( t ) = 1 2 ( sin t, cos t, 1 ) = N( t ) = ( cos t, sin t, 0 ) Por lo tanto v ( t ) = 0 y la aceleración será A( t ) = N( t ) = ( cos t, sin t, 0 ). Esto es, la aceleración permanece en el plano X;Y y en la dirección opuesta a la proyección, sobre el plano X;Y, del movimiento F( t ). Esto nos dice que la aceleración es centrípeta. Lección 1 - Problemas Problemas