Matemáticas II CURVAS

Transcripción

1 CURVAS En este tema introduciremos nuevos conceptos relacionados con la curva y sus parametrizaciones. Definiciones.- Sea γ : I = [a,b] R n. Se dice que la curva es cerrada si γ(a) = γ(b). Se dice que la curva es simple si es inyectiva salvo para a y b, es decir, si para cualesquiera puntos x,y I, distintos, γ(x) γ(y), salvo quizás para a y b. Si no es inyectiva, entonces existen x,y I distintos tales que γ(x) = γ(y). Al punto γ(x) se le llama punto múltiple de γ. En R 3, se dice que una curva es plana si está contenida en un plano. Ejemplos.- Si consideramos que la parametrización recorre una sola vez la curva gráficamente tenemos cerrada, simple, plana cerrada, no simple, plana no cerrada, simple, no plana Estas definiciones dependen de la parametrización utilizada. Ejemplo.- Consideremos la curva Γ γ(t) = (t 2,t 4 ), t [ 2,2] y analicemos qué tipo de curva es. Tenemos que x = t 2 e y = t 4, entonces y = x 2. Así que la curva es una parábola, pero como t [ 2,2], es un arco de parábola. Vamos a ver qué tramo se corresponde con t [ 2,2]. γ( 2) = (4,16) = γ(2) y en general γ(t) = γ( t), por lo tanto el otro extremo se encuentra en el punto γ(0) = (0,0): Universidad Antonio de Nebrija 1 Curvas

2 Es una parametrización que recorre dos veces la curva, pasa dos veces por el mismo punto, salvo el (0,0). Si analizamos la parametrización obtenemos que la curva es cerrada ya que γ( 2) = γ(2) y no es simple ya que a cada punto de la curva, excepto el (0, 0), le corresponden dos parámetros. Todos los puntos son múltiples excepto el origen. A continuación introduciremos el concepto de punto singular. Según como esté dada la curva, tenemos dos definiciones de punto singular: A) Si la curva Γ está dada en ecuaciones paramétricas, Γ γ(t), t I: Definición.-Seat 0 I sedicequep 0 = γ(t 0 )esregular paralaparametrización γ, si existe γ (t) cerca de t 0 y γ (t 0 ) 0. En caso contrario se dice que P 0 es singular para dicha parametrización. Es decir, si no existe la derivada o esta se nula. B) Si la curva Γ está dada en ecuaciones implícitas, Γ = {F = 0}: Definición.- Un punto P 0 Γ se dice regular si F es diferenciable cerca de P 0 y el rango de JF(P 0 ) es máximo. En caso contrario se dice que P 0 es singular. En R 2, Γ = {F(x,y) = 0}. P 0 es regular si F(P 0 ) 0. En R 3, Γ = { F1 (x,y,z) = 0 F 2 (x,y,z) = 0 }. P 0 es regular si rg((jf)(p 0 )) = 2. La primera definición depende de la parametrización elegida, es decir, puede que haya puntos que sean singulares para una parametrización, pero no para otra. La segunda definición no depende de las ecuaciones implícitas, por lo que en este sentido la segunda definición es mejor. Los puntos que sean singulares atendiendo a la segunda definición, también lo serán para la primera, pero a la inversa no necesariamente. Universidad Antonio de Nebrija 2 Curvas

3 Ejemplo.- Vamos a clasificar los puntos de la curva correspondiente al arco de parábola parametrizado por Γ γ(t) = (t 2,t 4 ), t [ 2,2]. Veamos si hay puntos singulares para la parametrización. γ (t) = (2t,4t 3 ) se anula en el parámetro t = 0, que se corresponde con el punto (0,0). Con esta parametrización el punto (0,0) es singular. Como ve vió anteriormente la parametrización empieza a recorrer la curva en el punto (4,16), t = 2 después llega al (0,0), t = 0 y cambia de sentido para volver de nuevo al puntoinicial (4,16), t = 2. El cambio desentido marcala singularidad. En cambio si consideramos la ( ecuación ) implícita y = x 2, tenemos F(x,y) = y x 2 y su gradiente es F F x y = ( 2x 1 ) (0,0). Entonces no hay puntos singulares. La curva es regular. Enelejemploseveladiferenciaentrelospuntossingularesdeunacurvaatravés de su ecuación implícita (la gráfica de la curva es lisa) y de su parametrización (si al recorrer la parametrización la curva no hay un cambio de sentido). Por esta razón, si una curva dada en forma implícita es regular, es natural trabajar con parametrizaciones regulares. Parametrizaciones que recorren óptimamente la curva. Definición.- Una parametrización se dice que es regular si γ : I γ(i) es derivable y biyectiva y γ (t) 0 para todo t I. A partir de aquí trabajaremos con parametrizaciones suficientemente regulares; es decir, con parametrizaciones regulares y derivables hasta el orden que nos haga falta. Ejemplo.- En el ejemplo anterior una parametrización mejor es γ 2 (t) = (t,t 2 ) con t [0,4]. Esta curva parametriza el arco de curva desde el punto γ 2 (0) = (0,0) al punto γ 2 (4) = (4,16). Como γ 2 (0) γ 2 (4) la curva no es cerrada y al ser inyectiva, la curva es simple. Para γ teníamos una curva cerrada y no simple. Además γ 2 (t) = (1,2t) (0,0). Es una parametrización regular para la curva. Universidad Antonio de Nebrija 3 Curvas

4 CAMBIO DE PARÁMETRO Si tenemos una curva Γ, como ya hemos comentado, podemos tener distintas parametrizaciones, es decir, varias parametrizaciones que tienen la misma trayectoria, pero el tiempo de recorrido y el sentido pueden ser distintos. Ejemplo.- Consideremos la circunferencia de radio 1 contenida en el plano z = 0. Dos posibles parametrizaciones serían: γ 1 : [0,2π] R 3 t (cost,sent,0) γ 2 : [0,π] R 3 t (cos(2t ),sen(2t ),0) La diferencia es que γ 1 recorre la circunferencia en un tiempo 2π y γ 2 en la mitad de tiempo. Los parámetros de ambas parametrizaciones se relacionan mediante la función: h : [0,π) [0,2π] t t = 2t Universidad Antonio de Nebrija 4 Curvas

5 Definición.- Sean γ : I R n y γ : J R n dos parametrizaciones de una curva Γ. Diremos que γ y γ son equivalentes si existe una aplicación h : J I biyectiva con γ = γ h. Se denota t = h(t ). A la aplicación h : J I se le llama cambio de parámetro. Nota.- Si γ(t) y γ (t ) son dos parametrizaciones regulares para una curva Γ, entonces son equivalentes. Demostración.- Si γ es suficientemente regular, es biyectiva y tiene derivada continua no nula. Por lo tanto, tiene inversa global γ 1 diferenciable. Si definimos h = γ 1 γ es una aplicación biyectiva y γ h = γ. Entonces γ (t ) = γ (h(t )) h (t ), como las dos parametrizaciones tienen derivadas no nulas se tiene que h 0. Y como h es continua, se tiene que en J ó h > 0 ó h < 0. Definición.- Si h (t 0 ) > 0 para todo t 0 J se dice que h conserva la orientación o que γ y γ tienen la misma orientación. Si h (t 0 ) < 0 para todo t 0 J se dice que h invierte la orientación o que γ y γ tienen distinta orientación. Ejemplo.- Consideramos el arco de parábola y = x 2 entre los puntos (0,0) y (4,16). Y las parametrizaciones γ : I = [ 2,2] R 2 t (t 2,t 4 ) γ 3 : I 3 = [ 2,2] R 2 t (t+2,(t+2) 2 ) γ 5 : I 5 = [0,4] R 2 t (4 t,(4 t) 2 ) γ 2 : I 2 = [0,4] R 2 t (t,t 2 ) γ 4 : I 4 = [0,2] R 2 t (2t,4t 2 ) Como vimos anteriormente γ recorre dos veces la curva empezando y acabando por el punto (4,16). γ 2 es una parametrización que recorre la curva desde el punto (0,0) hasta el punto (4, 16). La relación entre los paramétros de las parametrizaciones es h 2 : I I 2, t t 2, que no es biyectiva. Entonces las parametrizaciones γ y γ 2 no son equivalentes. Universidad Antonio de Nebrija 5 Curvas

6 γ 3 recorre la curva en el mismo tiempo que γ 2, pues la longitud de I 3 es la misma que la de I 2. Ademas tiene la misma orientación que γ 2, porque ambas recorren la curva desde el punto (0,0) hasta el punto (4,16). La relación entre los parámetros de ambas parametrizaciones nos la da la función h 3 : I 3 I 2, t 2+t, biyectiva. Si calculamos su derivada, es h 3 (t) = 1, que es mayor que cero siempre, lo cual nos confirma que ambas parametrizaciones son equivalentes y tienen la misma orientación. γ 4 recorre la curva en la mitad de tiempo que γ 2 y γ 3, pues la longitud de I 4 es la mitad que la de I 2 e I 3. Tiene la misma orientación que ambas, porque todas recorren la curva desde el punto (0,0) hasta el punto (4,16). La relación entre los parámetros de γ 2 y γ 4 nos la da la función h 4 : I 4 I 2, t 2t, biyectiva. Si calculamos su derivada, es h 4 (t) = 2, que es mayor que cero siempre. γ 2 y γ 4 son equivalentes con la misma orientación. Universidad Antonio de Nebrija 6 Curvas

7 γ 5 recorre la curva en la mitad de tiempo que γ 4 y en el mismo tiempo que γ 2 y γ 3, (I 2 = I 5 ). En cambio tiene distinta orientación, porque γ 5 recorre la curva desde el punto γ 5 (0) = (4,16) hasta el punto γ 5 (4) = (0,0). La relación entre los parámetros de γ 2 y γ 5 nos la da la función h 5 : I 5 I 2, t 4 t, biyectiva. Si calculamos su derivada, es h 5 (t) = 1, que es menor que cero siempre. γ 2 y γ 5 son equivalentes con la distinta orientación. RECTA TANGENTE Sean Γ R n una curva y γ : I R n una parametrización de Γ. Generalmente, trabajeremos en el plano o en el espacio: n = 2 ó 3. Definición.- Sea t 0 I tal que P 0 = γ(t 0 ) es un punto regular para la parametrización γ. Se define la recta tangente a Γ en el punto P 0 como la recta que pasa por P 0 y tiene por vector director a γ (t 0 ). En el plano si γ(t) = (x(t), y(t)), la recta tangente tiene por ecuaciones paramétricas: { x = x(t0 )+x (t 0 )λ y = y(t 0 )+y (t 0 )λ, λ R en R2 Si Γ = {F(x,y,z) = 0} es una ecuación implícita de Γ, se tiene que F γ = 0 en I. Entonces, (F γ) (t) = d dt F(x(t),y(t)) = F x (x(t),y(t)) x (t)+ F y (x(t),y(t)) y (t) = F x (γ(t)) x (t)+ F y (γ(t)) y (t) ) (γ(t)) (x (t),y (t)) ( = F x, F y = df(γ(t)) γ (t) = 0 Universidad Antonio de Nebrija 7 Curvas

8 En particular tenemos que en el parámetro t 0, df(γ(t 0 )) = df(p 0 ) es perdendicular al vector director, γ (t 0 ), de la recta tangente del punto P 0 = (x 0,y 0 ). Por lo tanto la recta tangente tiene por ecuación implícita: F x (P 0)(x x 0 )+ F y (P 0)(y y 0 ) = 0 De manera análoga, en el espacio si γ(t) = (x(t),y(t),z(t)), la recta tangente tiene por ecuaciones paramétricas: x = x(t 0 )+x (t 0 )λ y = y(t 0 )+y (t 0 )λ z = z(t 0 )+z (t 0 )λ, λ R en R 3 Si Γ = {F 1 (x,y,z) = 0,F 2 (x,y,z) = 0} son unas ecuaciones implícitas de Γ, se tiene que F i γ = 0 en I para i = 1,2. Entonces, para cada i = 1,2, (F i γ) (t) = d dt F i(x(t),y(t),z(t)) = F i x (x(t),y(t),z(t)) x (t)+ F i y (x(t),y(t),z(t)) y (t) + F i z (x(t),y(t),z(t)) z (t) = F i x (γ(t)) x (t)+ F i y (γ(t)) y (t)+ F i y (γ(t)) z (t) ( ) = Fi x, F i y, F i z (γ(t)) (x (t),y (t),z (t)) = df i (γ(t)) γ (t) = 0 En particular tenemos que en el parámetro t 0, df i (γ(t 0 )) = df i (P 0 ) son perdendiculares al vector director, γ (t 0 ), de la recta tangente del punto P 0 = (x 0,y 0,z 0 ). Por lo tanto la recta tangente tiene por ecuaciones implícitas: { F1 x (P 0)(x x 0 )+ F 1 y (P 0)(y y 0 )+ F 1 z (P 0)(z z 0 ) = 0 F 2 x (P 0)(x x 0 )+ F 2 y (P 0)(y y 0 )+ F 2 z (P 0)(z z 0 ) = 0 Ejemplo.- Buscamos la recta tangente a la circunferencia de radio 1 centrada en el origen y contenida en el plano z = 0 en el punto (0,1,0). Una parametrización de la curva es γ(t) = (cost,sent,0), t [0,2π] y respecto a esta parametrización (0,1,0) = γ ( π 2). La derivada es γ (t) = ( sent,cost,0) y sustituyendo en el punto que nos interesa, γ ( π 2) = ( 1,0,0) 0, es un punto regular y podemos calcular la recta tangente: x = 0 +( 1)λ = λ y = 1 +0λ = 1, λ R z = 0 +0λ = 0 Universidad Antonio de Nebrija 8 Curvas

9 También se puede calcular la recta tangente mediante unas ecuaciones implícitas. Unas ecuaciones implícitas de la curva son x 2 + y 2 1 = 0, z = 0. Considerando F 1 = x 2 +y 2 1 y F 2 = z se tiene que: ( ) 2x 2y 0 JF = ( ) Sustituyendo en el punto (0,1,0): JF(0,1,0) = y llevando estos valores a la expresión de la recta tangente, obtenemos: x 0 JF(0,1,0) y 1 = 0 ( ) z 0 x 0 y 1 = 0 z 0 Entonces, unas ecuaciones implícitas de la recta tangente son { y 1 = 0 z = 0 LONGITUD DE ARCO. PARÁMETRO ARCO A partir de aquí nos centramos en las curvas en el espacio. Aunque algunos conceptos se pueden desarrollar también en el plano. Sea Γ R 3 una curva y γ : I = [a,b] R 3, γ(t) = (x(t),y(t),z(t)) una parametrización regular. Definición.- La longitud del arco de Γ comprendido entre los puntos P 0 = γ(c) y P 1 = γ(d), con c,d [a,b] es: s [c,d] = d c γ (t) dt = d c x (t) 2 +y (t) 2 +z (t) 2 dt Ejemplo.- Vamos a calcular la longitud de una vuelta completa de una hélice. Tomamos una parametrización de la hélice: x(t) = acost y(t) = asent z(t) = bt, t R Universidad Antonio de Nebrija 9 Curvas

10 una vuelta entera consiste en recorrer con el parámetro un intervalo de longitud 2π. Por ejemplo integramos sobre el intervalo [0, 2π]. La derivada de la parametrización es γ (t) = ( asent,acost,b) y su norma es γ (t) = a 2 cos 2 t+a 2 sen 2 t+b 2 = a 2 +b 2. La longitud es s [0,2π] (γ) = 2π 0 a 2 +b 2 dt = a 2 +b 2 (t] t=2π t=0 = 2π a 2 +b 2 Teorema.- La longitud de arco no depende de la parametrización regular elegida. Demostración.- Sean γ : I R 3 y γ : J R 3 dos parametrizaciones regulares de Γ. Entonces son equivalentes y existe h : I J cambio de parámetro. Como γ = γ h, γ (t) = γ (h(t)) h (t). Si c,d I, s [c,d] (γ) = d c γ (t) dt = = d c γ (h(t)) h (t) dt = = d c γ (h(t)) h (t) dt = h(d) h(c) γ (t ) dt = = s [h(c),h(d)] (γ ) cambio de variable = t =h(t), dt =h (t)dt Definición.- Se llama función longitud de arco a la función s : [a,b] [0,l] expresada como: s(t) = s [a,t] (γ) = t a γ (t) dt s(t) (t) Nota.- Por el teorema anterior, la función longitud de arco no depende de la parametrización regular. El parámetro t lo podemos interpretar como el tiempo, y la parametrización γ como la función del movimiento a lo largo de la curva, de forma que γ sería la velocidad del movimiento y γ su aceleración. Universidad Antonio de Nebrija 10 Curvas

11 Para cada punto x 0 = γ(t 0 ) Γ, el valor s(t 0 ) nos da el espacio recorrido en el tiempo t. Según el Teorema Fundamental del Cálculo, con s = t a γ (t) dt, se tiene ds dt = γ (t) (1) Como γ es regular, ds dt 0. Entonces s(t) verifica las condiciones del TFInversa y es inyectiva, entonces posee inversa global t : [0,l] [a,b], s t(s). Definición.- Se denomina parametrización arco a la parametrización s es el parámetro arco. α(s) = γ(t(s)) Utilizando la ecuación (1), y teniendo en cuenta que la norma es no negativa, se tiene que ds dt > 0. Esto significa que el cambio de parámetro conserva la orientación. Además se tiene que α(s) es una parametrización cuya velocidad en módulo es constante 1. En efecto: α (s) = d dt γ(t(s)) = γ (t(s))t (s) TFInversa = f 1 = 1 f = γ (t) 1 ecuación (1) s (t) = = γ (t) γ (t) Ejemplo.- Tomamos la circunferencia en R 2 parametrizada por γ(t) = { x(t) = acost y(t) = asent, t [0,2π] La derivada de la parametrización es γ (t) = ( asent,acost) y su norma es γ (t) = a 2 cos 2 t+a 2 sen 2 t = a. Entonces tenemos la función longitud de arco s(t) = t La inversa de la función s(t) = at es: 0 γ (t) dt = t 0 adt = at t(s) = s a Universidad Antonio de Nebrija 11 Curvas

12 Por lo tanto, la parametrización arco es: x(t) = acos ( ) s a α(s) = y(t) = asen ( ), s [0,2πa] s a Además el módulodesuvelocidad es 1: α (s) = ( sen ( s a),cos ( s a)) y α = 1. Ejemplo.- Consideremos la curva de parametrización γ(t) = (sent,t 2,e t ). La derivada de la parametrización es γ (t) = (cost,2t,e t ) y la función parámetro arco es t s(t) = cos 2 t+4t 2 +e 2t dt 0 pero no es posible calcular esta integral. De todas formas, sabemos que la derivada de la función parámetro arco, por el teorema fundamental del cálculo, es ds dt = cos 2 t+4t 2 +e 2t Vemos que hay casos en que no es posible calcular el parámetro arco, sin embargo resulta de gran utilidad trabajar teóricamente con él, ya que siempre conocemos su derivada. Universidad Antonio de Nebrija 12 Curvas