Un Apunte de Funciones "Introducción al Cálculo Dif. e Int."

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1 Un Apunte de Funciones "Introducción al Cálculo Dif. e Int." Las funciones son relaciones, las cuales, lo que hacen es tomar un elemento de un conjunto de partida (dominio) y transformarlo en otra cosa, a esa "cosa" se le llama IMAGEN, usualmente la notación de las funciones es: y = f(x) De niremos algunos conceptos clave: () Dominio: Son TODOS los valores de x que puede tomar la función, las restricciones más usadas son: 8 < p 2n M(x); M (x) 0 a Restricciones = : M(x) ; M (x) 6= 0 log a (M (x)) ; M (x) > 0 Básicamente lo que se expresa es lo siguiente: Si la función posee una raíz de indica par, vale decir, raíz cuadrada, cuarta, sexta, etc.. lo que se encuentra dentro de la raíz tiene que ser si o si MAYOR O IGUAL A CERO para que esta raíz tenga sentido. Si la función es una fracción en donde el denominador posee términos que tienen la variable x, para que la expresión tenga sentido, el DENOMINADOR NO PUEDE SER CERO. Si nuestra función posee logaritmo en cualquier base, lo que se encuentra al interior del logaritmo TIENE QUE SER MAYOR QUE CERO. Como estamos trabajando sobre el conjunto de los números reales, si NO HAY NINGUNA DE ESTAS TRES RESTRICCIONES en nuestra función se dice entonces que el dominio es EL CONJUNTO DE LOS NUMEROS REALES. Algunos ejemplos para clari car más este concepto: (a) Determine el dominio de la función f(x) = 3x 2 + 2x + Solución: Como f(x) no posee ninguna de las restricciones citadas anteriormente se dice que: Dom(f) = R (b) Determine el dominio de f(x) = p 4x + Solución: Como aquí poseemos una raíz de índice par (raíz cuadrada), lo que está dentro debe ser mayor o igual a cero, es decir: 4x + 0 4x x 4 Luego, el dominio de esta función son todos los valores de x que sean mayores o iguales a 4 ; matemáticamente: Dom (f) = [ 4 ; [ (c) Determine el dominio de f(x) = x 2x 2 8x

2 Solución: En este caso, como tenemos una función racional, el denominador debe de ser distinto de cero, es decir: Luego, concluimos que: 2x 2 8x 6= 0 2x (x 4) 6= 0 2x 6= 0 _ x 4 6= 0 6= 0 _ x 2 6= 4 Dom (f) = R f0; 4g Es decir, la función puede tomar todos los valores de x menos el cero y el cuatro. (d) Determine el dominio de f(x) = log (2x + ) Solución: En este caso, como la función posee un logaritmo, lo que se encuentre adentro de él debe de ser mayor que cero, es decir: Luego: 2x + > 0 2x > x > 2 Dom (f) =] 2 ; [ Recorrido de la función: Generalmente para determinar el recorrido de la función se despeja x, se analizan las restricciones que posee esa expresión, que son las mismas que se usan para el dominio de la función y se determina un conjunto el cual SON LOS VALORES DE y QUE TOMA LA FUNCIÓN. Algunos ejemplos: (a) Determine el recorrido de f(x) = x+ Solución: Sabemos que y = f (x) ; luego: Despejando x : y = x + y () = x + xy y = x + xy x = + y x (y ) = + y x = + y y Ahora, analizamos la expresión y nos damos cuenta que tenemos una fracción y, considerando las restricciones que tenemos al principio se sabe que para que la fracción tenga sentido, el denominador debe ser distinto de cero, luego: y 6= 0 y 6= 2

3 Por lo tanto, esta función posee el recorrido de todos los valores de y menos el uno, matemáticamente: rec (f) = R fg (b) Determine el recorrido de la función: f(x) = p Despejando x : y = p y 2 = y 2 + = x Luego, como no posee restricciones podemos pensar que el recorrido es todo el conjunto de los reales, sin embargo, quien es un poco más observador puede notar que cualquier número al cuadrado es siempre positivo y si además a ese número se le está sumando otro número positivo, el resultado es positivo, por ende, los valores que toma y son sólo positivos, luego: rec (f) = R + Veremos algunos conceptos importantes que describen a las funciones: (3) Inyectividad: Una función se dice inyectiva si cumple lo siguiente: f (a) = f (b) =) a = b Lo que quiere decir esto es que cada valor de x debe tener UNA y SOLO UNA imagen, si tienen el grá co de una función, para saber si es inyectiva, basta con tirar líneas paralelas al eje X, si esas líneas tocan al gra co de la función en un solo punto, entonces f es inyectiva. Unos ejemplos: (a) Demuestre que f(x) = x+ es inyectiva En efecto si f(a) = a+ a b+ y f (b) = b ; entonces: a + = b + a b (a + ) (b ) = (a ) (b + ) a /b a + b / = a /b + a b / 2a = 2b a = b Luego, se demuestra q es inyectiva. (b) Demuestre que f (x) = x 2 no es inyectiva f(a) = a 2 Despejando a : y f (b) = b 2 ; luego: a 2 = b 2 a = p b 2 a = b 3

4 Luego: Por esa razón es que esta función no es inyectiva. a = b _ a = b (4) Sobreyectividad: Una función es sobreyectiva si en f : A! B, rec (f) = B; es decir, si el recorrido de la función es igual al conjunto de llegada (B) entonces es sobreyectiva. Ejemplo: (a) Sea f : R! R + ; f(x) = p x: Demuestre que f es sobreyectiva Para ello haremos el mismo procedimiento para calcular el recorrido de la función, es decir: y = p x y 2 = x Luego como y 2 es un número positivo siempre, se concluye que: rec (f) = R + Podemos ver que el conjunto de llegada de esta función es R + ; como es igual al recorrido de la función, entonces es sobreyectiva. (b) Sea f : R fg! R f2g ; f(x) = 2x+ Analice si es sobreyectiva Usando el mismo procedimiento: y = 2x + y () = 2x + xy y = 2x + xy 2x = y + x (y 2) = y + x = y + y 2 Luego la restriccion que posee es que el denominador no puede ser cero, es decir: Luego: y 2 6= 0 y 6= 2 rec (f) = R Como el recorrido es igual al conjunto de llegada, se dice que esta función es sobreyectiva. (5) Biyectividad y existencia de la inversa: Si la función cumple con las condiciones de ser inyectiva y sobreyectiva entonces es biyectiva, cuando una función es biyectiva SE DICE QUE TIENE INVERSA En el ejemplo anterior : f : R fg! R f2g; f(x) = 2x+ probaremos que es biyectiva, como ya probamos anteriormente que era sobreyectiva basta con probar que es inyectiva, para ello debe cumplirse que: f2g f(a) = f(b) =) a = b 4

5 En efecto: 2a + = 2b + a b (2a + ) (b ) = (a ) (2b + ) 2a /b 2a + b / = 2a /b + a 2b / 3b = 3a b = a =) a = b Como es inyectiva y sobreyectiva entonces conluimos que es biyectiva, y por lo tanto, tiene inversa. Cálculo de la inversa: Despejamos la x y "cambiamos" y por x; del análisis de la sobreyectividad se tenia: x = y + y 2 Luego: f (x) = x + x 2 (6) Algebra de funciones: Las funciones se pueden sumar, restar. multiplicar o dividir, lo cual es facil realizar, la complicación más grande para los estudiantes en general es el concepto de la composición de funciones a lo cual de daremos el énfasis: Para componer funciones citaremos ejemplos para que se entienda: (a) Sean f(x) = x+2 y g(x) = x2 + Hallar (fog) (x) y (gof) (x) Para hallar (f og) (x) hacemos lo siguiente: Sabemos que g(x) = x 2 + ; reemplazando: Evaluando: (fog) (x) = f (g (x)) (fog) (x) = f x 2 + (fog) (x) = x (x 2 + ) = x2 + 3 x 2 Ahora hallaremos (gof) (x) ; Se tiene: Sabemos que f(x) = x+2 ; reemplazando: (gof) (x) = g (f (x)) (gof) (x) = g x + 2 5

6 Evaluando: (gof) (x) = 2 x = x2 + 4x + 4 x 2 2x + + = x2 + 4x x 2 2x + x 2 2x + = 2x2 2x + 5 x 2 2x + NOTA: Con este ejemplo podemos darnos cuenta que la composición de funciones NO ES CONMUTATIVA. 6