FUNCIONES INTRODUCCIÓN

Transcripción

1 FUNCIONES INTRODUCCIÓN

2 Contenidos Concepto unción Graica de una unción Dominio y Recorrido de una unción Clasiicación de la unciones Función Inversa Paridad de las Funciones Operaciones con unciones Ejemplos

3 Concepto de unción La palabra unción es utilizada en nuestro lenguaje común para expresar que algunos hechos dependen de otros. Así, la idea matemática de unción no es un concepto nuevo, sino una ormalización de nuestra idea intuitiva

4 Deinición de Función Una unción de un conjunto A no vacío en un conjunto B no vacío, es una relación que se establece entre ambos conjuntos de tal orma que a todo elemento de A le corresponde un único de B. En símbolos matemáticos ( ) " x Î A Í IR $! y Î B Í IR y = x ( )( ) ( ) Donde En orma de esquema : A IR x x : Variable Independiente y = x V ( ) : ariable Dependiente y B IR x ( ) es la imagen de x x x : es la preimagen de x ( )

5 Cuál es Función? A B A B A B A B

6 Cuál es Función? Menú

7 Representación Graica Método de Óvalos Plano Cartesiano B Í IR y = ( x) ( x) ( ; ) P x x A Í IR Menú

8 Dominio y Recorrido Dominio Sea A y B dos conjuntos no vacío, y una unción de A en B, a un sub conjunto del conjunto A se llama Dominio de la unción a æ ç " x Î A öæ ç $ y Î B öæ ç ( x) = y ö è øè øè ø Y lo denotaremos por Dom( )

9 Dominio y Recorrido Recorrido Sea A y B dos conjuntos no vacío, y una unción de A en B, a un sub conjunto del conjunto B se llama recorrido de la unción a æ ç " y Î B öæ ç $ x Î A öæ ç ( x) = y ö è øè øè ø Y lo denotaremos por Rec( )

10 Dominio y Recorrido en el plano cartesiano

11 Dominio y Recorrido usando Método de Óvalos

12 Cual es el Dominio y Recorrido de la siguiente unción? ( x) = 4 + x + 2 Dominio Recorrido x + 2 ³ 0 Û x ³ -2 Dom = - 2; + ( ) [ [ Buscar condiciones para la variable x Û Û Û y = 4 + x + 2 y - 4 = x + 2 y - 4 = x + 2 ( ) 2 ( y - 4) 2-2 = x ( ) [ [ Rec = 4; + Buscar condiciones para la variable y

13 Tabla de Evaluación Y su graica es Menú

14 Clasiicación de las unciones Función Lineal Función Cuadráticas Función Cúbica ( x) = mx + b 2 ( x) = ax + bx + c 3 ( x) = ax Función Potencia c ( x) = x Función Raíz ( x) = x donde x ³ 0 Función Reciproca ( x) 1 = donde x ¹ 0 x

15 Función Valor Absoluto ( x) = x donde ì x si x > 0 ï x = í 0 si x = 0 ï î - x si x < 0 Funciones Racionales ( x) ( ) ( ) p x n n-1 anx + an- 1x K+ a1x + a0 q x m m-1 bm x + bm -1x K+ b1 x + b0 = = Funciones Irracionales ( x) = mx + b

16 Función Exponenciales Función Logarítmicas x ( x) = b ( ) = ( ) x lo g b x Funciones Trigonométricas ( x) = Sen( x) ( x) = Cos ( x) ( x) = Tang ( x)

17 Funciones Hiperbólicas x = Senh x = ( ) ( ) x = Cosh x = ( ) ( ) x = Tangh x = ( ) ( ) e e x x e e - e 2 + e 2 x x - x - x - e + e - x - x Ver Graicas Menú

18 Propiedades de las unciones Función Inyectiva (1-1) Se dice que : A IR B IR es una Función Inyectiva si a b a b a, b Dom Función Epiyectiva (sobre) Se dice que : A IR B IR es una Función Sobre si Rec B Función Biyectiva Se dice que : A IR B IR es una Función Biyectiva si es inyectiva y sobre a la vez

19 Función Inversa Sea : A B una unción biyectiva, entonces la unción inversa 1 - de es una unción biyectiva tal que - 1 : B A -1 ( y) = x Û y = ( x) y Gráicamente podemos representar estas unciones de la manera siguiente:

20 Función inversa 1 Menú

21 Ejemplo Hallar la inversa y graica de la siguiente unción ( x) = 2x -1 Solución Para hallar la inversa de la unción debemos despejar la variable x Por lo tanto y = 2x -1 y + 1 = 2x y + 1 = 2 ( x) x - 1 x + 1 = 2

22 Y ambas graica en el mismo plano cartesiano son x ( ) = x Menú x 2x 1

23 Paridad de una unción Funciones pares Decimos que una unción es par siempre que para todo valor de la variable independiente perteneciente al dominio se cumpla que: x x

24 Ejemplo Dada la unción 4 x 3x 2 4x a) es par o impar?. b) Utilizando Winplot graique Solución Para este caso Analizaremos si la unción es par, para ello debe cumplir que x x (- ) = 3( - ) - 4( - ) 2 4 x x x = 3x - 4x = 2 4 ( x) Por lo tanto esta unción es par

25 Función Impar Decimos que una unción es impar siempre que para todo valor de la variable independiente perteneciente al dominio se cumpla que: Función sin paridad - x = - x ( ) ( ) El carácter par o impar de una unción es lo que conocemos como su paridad. Las unciones que no son ni pares, ni impares, carecen de paridad.

26 Solución Para este caso Ejemplo Dada la unción 3 1 ( ) = + g x x x 2 a) es par o impar?. b) Utilizando Winplot graique Analizaremos si la unción es impar, para ello debe cumplir que (- x) = - ( x) (- ) = (- ) + (- ) 3 1 g x x x = -x - x 2 æ 3 1 ö = - ç x + x è 2 ø = -g x ( ) Por lo tanto esta unción es impar Menú

27 Operaciones con unciones Sean : A C y g : B D Dom Ç Dom g ¹ Æ ( ) ( ) dos unciones tal que Suma de y g g x x g x Resta de y g Producto de y g ( - g )( x) = ( x) - g ( x) ( g )( x) = ( x) g ( x) Cociente de y g æ ö ç è g ø ( x) ( x) ( ) = g x ¹ g x ( ) 0

28 Función Compuesta Sean : A C y g : B D unciones tales que ( A) Ç B ¹ Æ, Entonces se llama unción compuesta de g y y lo denotamos por ( ) ( go )( x) = g ( x) A la unción deinida por para cada valor de A, tal que su imagen este en el conjunto B Gráicamente podemos expresar la unción compuesta de g y de la siguiente manera

29 ( ) go x = g x Composición de de y g ( )( ) ( )

30 Composición de una Función con su Inversa De la representación anterior se puede notar que: 1 x x o x = x ( -1 o )( )

31 Ejemplo Solución Considere las siguientes unciones reales deinidas por g x = x + 1 ( x) = 5-3x ( ) 2 Determine ( go -1 )( x) Por hallar la inversa de ( x) = 5-3x Para este caso la unción es biyectiva por lo tanto existe su inversa, la cual es y = 5-3x 5 - y x = 3

32 x ( ) = En donde su Dominio es los números reales g ( x) Además el dominio d la unción Dom go - = IR 1 Por lo tanto ( ) 3 x También son los números reales ( ) go - x = g - x ( 1 Por lo tanto )( ) 1 ( ) æ 5 - x ö æ 5 - x ö = g ç = ç + 1 è 3 ø è 3 ø 2 Por lo tanto ( g )( x) x ö = ç + 1 è 3 ø o - æ 2

33 Ejemplos 1.- Para cada una de las siguientes relaciones, determine Dominio, Recorrido para que sea unción a) x x 2 1 b) c) ( x) = 2 + x + 1 x ( ) = x + 1 x - 1

34 2.- Para cada una de las siguientes relaciones, determine Dominio para que sea unción a) x x 1 x 1 x 2 b) ( x) = x + 2 x Trace la graica de la siguiente unción a) ì-x - 3 si - 5 < x -1 ï ( x) = í -2 si - 1< x 1 ï î x - 3 si 1 x 3 b) x 5 ( x) 2 2 x 8 si si si 6 x 0 0 x 2 x 2

35 4.- Considere las siguientes unciones reales deinidas por 1 x 1 x g ( x) = x -1 x + 1 Determine ( go )( x), ( og )( x), ( o )( x), y ( go g )( x) Además explicite sus dominio

36 5.- Usando alguna aplicación graica determine Dominio, Recorrido a) b) c) x 3x 2 h x = ( ) 2 x 4-4 æ 1 ö ( x) = Senç è x ø d) e) ) 1 3 2x x x 1 x = log x -1 ( ) ( ) h x = ( ) 2 x x - 4

37 6.- Sean la unciones deinidas por x x 1 g ( x) = x + 2 Hallar dominio de cada una de las siguientes unciones. g x x g x - g x = x - g x ( )( ) ( ) ( ) ( g )( x) ( x) g ( x) = ç ( x) æ g ö ( x) ( ) Además presente su graica en caso que sea posible è ø = g x ¹ g x ( ) 0

38 7.- Para cada uno de los pares de unciones determine ( go )( x) a) b) c) x x 2 2 g ( x) = x ( ) = g ( x) = 7x + 2 x x 2 ( ) = g ( x) = x -1 x x x d) ( x) 2 x 1 = g ( x ) = 2 x e) ( x) x -1 x 1 = g ( x) + = x + 1 x - 1 Menú Terminar

39 Función Lineal Función Cuadráticas Función Cúbica Función Potencia Función Raíz Función Reciproca

40 Función Valor Absoluto Función Exponenciales Función Logarítmicas Funciones Trigonométricas ( x) Sen( x) = ( x) Cos ( x) = ( x) = Tang ( x)

41 Funciones Hiperbólicas ( x) Senh( x) = ( x) Cosh( x) = ( x) = Tangh( x) Menú