Matemáticas Discretas FUNCIONES

Transcripción

1 Matemáticas Discretas FUNCIONES

2 Cada persona en el salón de clase tiene asignada una calificación Arias 1.2 Benavides 4.5 Calero 4.4 Cardona 2.9 Navarrete 4.9

3 Cada persona en el salón de clase anterior tiene asignada una calificación Arias 1.2 Benavides 4.5 Calero 4.4 Cardona 2.9 Navarrete 4.9 Se presenta una asignación n de valores entre dos conjuntos

4 Arias Benavides Calero Cardona Navarrete

5 1.2 Arias Benavides Calero Cardona Navarrete Es esto posible?

6 1.2 Arias Benavides Calero Cardona Navarrete Es esto posible?

7 1.2 Arias Benavides Calero Cardona Navarrete Es esto posible?

8 : Definición Sean A y B conjuntos. Una función o trasnformación f de A a B, denotada por f:a B es un subconjunto de A B tal que x(x A y (y B (x,y) f )) Y ((x,y 1 ) f (x, y 2 ) f ), y 1 =y 2

9 Dominio, Codominio, Rango A es el DOMINIO de la función B es el CODOMINIO de la función Si f(x) = y entonces y es la imagen de x bajo f x es llamada preimagen de y El RANGO de f es el conjunto de todas las imágenes de elementos de A bajo f

10 Las funciones se especifican de diferentes maneras, una de las cuales es por medio de fórmulas. f(x)=x+1 Cómo se representaría por medio de conjuntos?

11 a 1 b 5 c 7 Determinar si es o no una función.

12 a 1 b 5 c 7

13 a 1 b 5 c 7

14 a 1 b 5 c 7

15 a 1 b 5 c 7

16 a 1 b 5 c 7

17 Función que a una cadena de bits de longitud mayor o igual a 2 le asigna sus dos últimos bits

18 Sea f (x)=x 1/2, cuál es el dominio y cuál el rango?

19 Inyectivas Sea f una función definida de A a B f: A B, x,y A x y (f(x)= f (y) x = y) f es 1-1 o Inyectiva si sus preimágenes son únicas, es decir Si x y entonces f(x) f(y)

20 a 1 b 5 c 7

21 a 1 b 5 c 7

22 Determine cuáles de las siguientes funciones son inyectivas f de {a,b,c,d} a {1,2,3,4,5} con f(a)=4, f(b)=5, f(c)=1 y f(d)=3 Funciones f(x)=x 2 de los enteros a los enteros f(x)=x+1 de los reales a los reales

23 a 1 b 5 c 7

24 a 1 b 5 c 7

25 Sobreyectivas Cuando en una funciones el codominio es igual al rango, es decir, cada valor del codominio es una imagen, este tipo de funciones se llaman sobreyectiva.

26 Sobreyectivas Sea f una función definida de A a B Sea f: A B x A, y B y x (f (x)= y) es sobre o sobreyectiva

27 Sea f de {a,b,c,d} a {1,2,3} definida por f(a)=3, f(b)=2, f(c)=1 y f (d)=3 es f una función sobreyectiva?

28 Es f (x)=x 2, de los enteros a los enteros, sobreyectiva?

29 Biyectivas Una función f es biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva Ejemplo Sea f de {a,b,c,d,} {1,2,3,4} con f(a)=4, f(b)=2, f(c)=1, f(d)=3

30 a b c

31 a b c d 1 2 3

32 a b c d

33 Inversas Si f : A B es biyectiva Todo b B es imágen de alguno a A (por que?) b B corresponde a un único a A? Es posible definir f 1 : B A que invierta la correspondencia dada por f?

34 Inversas f -1 : B A f -1 (y)= x cuando f (x)= y Función Inversa Funciones biyectivas son invertibles

35 Composición de funciones Sean f : A B y g : B C funciones f g (x) = f(g(x)) f g (x) definible si la imagen de g es subconjunto del dominio de f

36 Otras funciones Función Identidad i A : A A i A (x) = x x A Función Factorial f : N Z + f(n)= n, f(0)=1

37 Piso y Techo La función Piso asigna a un número real x el mayor entero n tal que x n y se denota por x Ejemplo 2.1 = = = 6

38 Piso y Techo La función Techo asigna a un número real x el menor entero n tal que n x y se denota por x Ejemplo 2.2 = = = 7 Como son las Gráficas de estas Funciones?

39 Ejemplos (Rosen, 2004) La información que almacena en un disco duro o que transmite en una red, generalmente se representa como cadenas de bytes. Cada byte consta de 8 bits. Cuantos bytes se requieren para codificar 100 bits de datos? En el modo de transferencia asíncrona ATM (un protocolo de redes) los datos se organizan en células de 53 bytes. Cuántas células ATM se pueden transmitir en un minuto, usando una conexión que transmite datos a razón de 500 kilobits por segundo?

40 Suma de funciones de valor real Sean f 1 y f 2 funciones f 1 : A R f 2 : A R f 1 + f 2 y f 1 f 2 son funciones definidas de A a R definidas asi (f 1 + f 2 )(x)= f 1 (x) + f 2 (x) (f 1 f 2 )(x)= f 1 (x) f 2 (x)

41 Imagen Sea f : A B y sea S A La imagen de S, denotada f(s) es f (S) = {f (s) s S}

42 estrictamente crecientes Sea f : R R, R es el conjunto de los números reales f es estrictamente creciente si x y ((x < y) (f(x) < f(y)) f es estrictamente decreciente si x y ((x > y) (f(x) > f(y))