Ejercicios de Matemática para. Bachillerato. Miguel Ángel Arias Vílchez

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1 Ejercicios de Matemática para Bachillerato Miguel Ángel Arias Vílchez 009

2 Profesor Miguel Ángel Arias Vílchez 009 Se pretende mediante este material contribuir a que los estudiantes que se preparan de manera individual, puedan realizar una progresiva evaluación en la adquisición de conocimientos, de acuerdo con sus condiciones particulares, para la eitosa presentación de su prueba de bachillerato en la modalidad que le corresponda (formal, por madurez, etc). Por supuesto, lo anterior eige del estudiante una adecuada disciplina de estudio para lograr el éito deseado. A continuación se detallan algunas notas muy importantes que se deben tener en cuenta a la hora de resolver cada ejercicio propuesto. Notas: ) Las ecuaciones deben resolverse en IR, ecepto las ecuaciones trigonométricas que deben resolverse en [0, π[. ) Las epresiones algebraicas, eponenciales, logarítmicas y trigonométricas que aparecen en cada ejercicio se suponen bien definidas, por lo tanto, las restricciones no se escriben. ) Las funciones son funciones reales de variable real consideradas en su dominio máimo, cuando no se indique lo contrario. 4) En el caso de que se solicite un resultado aproimado utilice,4 como aproimación de π y,7 como aproimación de e. 5) Los dibujos no necesariamente están hechos a escala. 6) Las epresiones trigonométricas que aparecen en esta prueba, se suponen bien definidas, por lo tanto, las restricciones no se escriben. 7) Los dibujos no necesariamente están hechos a escala. La figura trata solamente de ilustrar las condiciones del ejercicio.

3 Profesor Miguel Ángel Arias Vílchez 009 CONTENIDO TEMA : ÁLGEBRA OBJETIVO. Factorización de polinomios por: factor común, agrupación, productos notables, fórmula general e inspección. Combinación de métodos de factorización. Establecer la factorización (o los factores) de un polinomio utilizando uno o dos métodos. ) Uno de los factores de 8a 50ab es A) ab B) a + 5b a 5b 4a + 5b ) Uno de los factores de 6a + ab a b es A) ab B) a + a + b a b ) Uno de los factores de a a es A) B) a + a a + 4) Uno de los factores de 6 ( ) es A) B) + +

4 Profesor Miguel Ángel Arias Vílchez 009 5) Uno de los factores de 5 es A) B) + + 6) Uno de los factores de y y es A) + y B) y + y + + y + 7) Considere las siguientes proposiciones. 6 I. 6a b = ( 8a + b )( a b ) 0 5 II. a + 9 = ( a + ) Cuáles de ellas son VERDADERAS? A) Ambas. B) Ninguna. Solo la I. Solo la II. 8) Una factorización de 4 4 y + 9y 4 es A) 4 4 6y 4 B) ( y ) ( + y ) ( + y ) ( y ) 4

5 Profesor Miguel Ángel Arias Vílchez 009 9) Uno de los factores de es A) + 4 B) ) Uno de los factores de ( ) + 4 ( ) A) 4 B) es ) Uno de los factores de ( k p) ( k p ) A) p B) p k p ( k p) es ) Uno de los factores de 9a 5a 4a + 6 es A) a B) 4a a + 4a ) Uno de los factores de ( 5) ( ) A) B) + + es 5

6 Profesor Miguel Ángel Arias Vílchez 009 4) Uno de los factores de a c b c + a c a 4 b es A) c b + c B) a b + c a b c c + a 5) Uno de los factores de 4 + ( ) es A) B) + + 6) Al factorizar 9a 4b + 6ab uno de los factores es A) ab B) a + 4b a 4b a 8b 7) Un factor de 4 + es A) B) ) Un factor de 8 (m ) es A) 6 m B) 84 m m 78 m 6

7 Profesor Miguel Ángel Arias Vílchez 009 9) En la factorización de 5a(5a 4b) + 4b, uno de los factores es A) 5a B) 5a b 5a 4b 5a + 4b a 0) Uno de los factores de + a es 4 a A) + 4 a B) 4 a + a ) Un factor de 6 y y 4 es A) y + 9 B) 7 y y y ) Un factor de + 5 es A) B) + + 7

8 Profesor Miguel Ángel Arias Vílchez 009 SOLUCIONARIO Ejercicio Opción Ejercicio Opción B A C A D 4 C 4 D 5 A 5 A 6 C 6 D 7 A 7 B 8 C 8 B 9 B 9 C 0 D 0 B D A A Usted sabia que En la dirección electrónica: podrás encontrar todas las pruebas del bachillerato formal desde el año 000 hasta el año 004 inclusive. Estas pruebas corresponden a todas las materias que se evalúan en el bachillerato formal y no solamente de matemática. Visitala! 8

9 Profesor Miguel Ángel Arias Vílchez 009 CONTENIDO TEMA : ÁLGEBRA OBJETIVO. Fracciones algebraicas racionales: simplificación, operaciones (adición, sustracción, multiplicación, división o combinación de ellas). Efectuar simplificaciones u operaciones con fracciones algebraicas racionales. ) La epresión 7 + es equivalente a A) B) ) La epresión es equivalente a A) 0 B) ( + ) 9

10 Profesor Miguel Ángel Arias Vílchez 009 5) La epresión A) B) ( y ) y es equivalente a y + y + y y 6) La epresión + es equivalente a + A) B) a 7) La epresión a a es equivalente a A) a B) a a a a a a 0

11 Profesor Miguel Ángel Arias Vílchez 009 8) La epresión 4 A) a 7 a 4a 8a + 5a 4a es equivalente a B) 4 a + 7 a a + 5a 4 4(a ) (a 7) (a + ) 9) La epresión A) + es equivalente a B) + 4 0) La epresión A) B) ( m ) + m ( m ) m ( m ) + m m ( ) m ( m + ) m m m m m es equivalente a

12 Profesor Miguel Ángel Arias Vílchez 009 ) La epresión A) B) + ( + ) ( + ) ( + ) 6 8 ( 6 + 6) ( ) es equivalente a ) La epresión A) 0 B) + es equivalente a ) La epresión A) es equivalente a B) ( )

13 Profesor Miguel Ángel Arias Vílchez 009 4) La epresión es equivalente a A) B) ) La epresión 5 + es equivalente a A) B) ) La epresión A) es equivalente a B)

14 Profesor Miguel Ángel Arias Vílchez 009 7) La epresión + A) es equivalente a 5 B) ) La epresión es equivalente a A) 0 B) + 9 ( + ) a a 9) La epresión + + es equivalente a a + b b A) a B) b a + b ab + b a + b b + ab ( a + b) ( + a) 4

15 Profesor Miguel Ángel Arias Vílchez 009 SOLUCIONARIO Ejercicio Opción Ejercicio Opción D A 4 C B 5 C 4 B 6 B 5 C 7 D 6 D 8 B 7 A 9 D 8 B 0 C 9 B D ** ** Usted sabia que En la dirección electrónica: podrás encontrar toda la información referente a las modificaciones del reglamento de evaluación de los aprendizajes, así como los documentos relacionados: Repetir o pasar? Instructivo para la Implementación del Decreto No MEP Preguntas Frecuentes Visitala! 5

16 Profesor Miguel Ángel Arias Vílchez 009 CONTENIDO TEMA : ÁLGEBRA OBJETIVO. Ecuaciones de segundo grado (se incluyen ecuaciones con fracciones algebraicas racionales). Resolver ecuaciones de segundo grado (incluye ecuaciones con fracciones algebraicas racionales) 40) Una solución de 6 + = 0 es A) 0 B) + 4) Una solución de ( ) + ( + ) = + 7 es A) B) 5 5 4) El conjunto solución de 5 5 = 0 es A) { } B) { 5 } { 0, 5 } { 5, 5 } 6

17 Profesor Miguel Ángel Arias Vílchez 009 4) Una solución de 4 = es + 0 A) B) ) El conjunto solución de ( 5 ) = A) { } + es B), 5, 5 5, 0 45) Una solución de A) B) = + + es 7

18 Profesor Miguel Ángel Arias Vílchez ) El conjunto solución de ( ) ( + ) = A) { } es B) 0, 0,, 47) El conjunto solución de = corresponde a A) { } B) { } {,+ } { +, } 48) El conjunto solución de = ( ) ( ) es A) { } B) { 5 } {, 5 } 7, 9 8

19 Profesor Miguel Ángel Arias Vílchez ) El conjunto solución de 5 0 = ( 6 5) es A) B) 5, , + 6 4, , ) Una solución de A) B) + 4 = ( ) + es 5 5) El conjunto solución de A) { } = + + es B) { } { } {,} 9

20 Profesor Miguel Ángel Arias Vílchez 009 5) El conjunto solución de A) { 5 } + = + es B) {, 5 } {, 5 } { 4 +, 4 } 5) El conjunto solución de la ecuación ( ) = es A) { } B) {, 5 } {, } { 5, 5 } 54) El conjunto solución de 5 + = 0 corresponde a, A) { } B), {, }, 55) Una solución de (5 ) = 5 es A) 5 B)

21 Profesor Miguel Ángel Arias Vílchez 009 = 56) Una solución de 4( ) es A) 5 B) ) Una solución de 5 + = 0 es A) + 0 B) ( 4) 58) El conjunto solución de + = 0 es A) { } B) { 4 } {, } {, 4 }

22 Profesor Miguel Ángel Arias Vílchez 009 SOLUCIONARIO Ejercicio Opción Ejercicio Opción 40 C 50 B 4 B 5 A 4 D 5 C 4 B 5 C 44 A 54 B 45 B 55 C 46 C 56 C 47 D 57 D 48 B 58 A 49 A ** ** Usted sabia que En la dirección electrónica: podrás encontrar toda la información referente al Programa de Bachillerato por Madurez Suficiente Visitala!

23 Profesor Miguel Ángel Arias Vílchez 009 CONTENIDO TEMA : ÁLGEBRA OBJETIVO 4. Problemas cuyo planteo involucra ecuaciones de segundo grado con una incógnita. Resolver problemas utilizando ecuaciones de segundo grado. 59) Considere el siguiente enunciado. La longitud de un terreno rectangular ecede en 7 m a la del ancho. Si el área del terreno es 0m, cuáles son sus dimensiones? Si representa la medida del ancho, entonces una ecuación que permite resolver el problema anterior es A) ( + 7) = 0 B) ( + 7) = 0 + ( + 7) = 0 + ( + 7) = 0 60) Considere el siguiente enunciado. La diferencia de un número positivo y el doble de su recíproco es igual a. Cuál es el número? Si representa el número buscado, una ecuación que permite resolver el problema anterior es A) = B) = = 0 + = 0

24 Profesor Miguel Ángel Arias Vílchez 009 6) Considere el siguiente enunciado. El área de un rectángulo es 5 y su perímetro es 95. Cuánto mide el ancho del rectángulo? Si la medida del ancho se representa con "a" entonces una ecuación que permite resolver el problema anterior es A) a (95 a) = 5 5 B) a a 5 + a a = 95 = a a = 5 6) Considere el siguiente enunciado. Si representa al número mayor, entonces una ecuación que permite resolver el problema anterior es A) = 8 B) ( + ) = 8 ( ) = 8 + ( ) = 8 6) En un triángulo rectángulo, la longitud de la hipotenusa es 4. Si la longitud de uno de los catetos ecede en a la longitud del otro cateto, entonces cuál es la longitud del cateto mayor? A) 4 B) Un número ecede a otro en unidades y el producto de ambos es 8 cuáles son los números? 4

25 Profesor Miguel Ángel Arias Vílchez ) Analice el siguiente enunciado. La diferencia de dos números enteros positivos es once y su producto es doscientos setenta y seis. Cuáles son los números? Si representa el número mayor, una ecuación que permite resolver el problema es 76 A) = B) = 76 = = 65) El largo de un rectángulo ecede al ancho en 4 cm. Si cada dimensión se aumenta en 4 cm, entonces el área del rectángulo sería el doble de la original. Cuál es la medida en centímetros del ancho del rectángulo original? A) 4 B) ) Considere el siguiente enunciado. La suma de las áreas de dos círculos es 76 π y la diferencia entre las medidas de sus respectivos radios es 8. Cuál es la medida del radio del círculo menor? Si representa la medida del radio del círculo menor, entonces una ecuación que permite resolver el problema anterior es A) = 0 B) 40 = = 0 6 = 0 5

26 Profesor Miguel Ángel Arias Vílchez ) El área de un rectángulo es 40 y su perímetro es 6. Cuál es la medida de una de las dimensiones del rectángulo? A) 7 B) ) El producto de dos números positivos es. Si el número, mayor ecede en al 0 menor, entonces cuál es el número mayor? A) 5 B) ) El producto de dos números enteros consecutivos positivos equivale a la suma de esos números aumentada en 9. Cuál es el número mayor? A) 4 B) ) Si la edad de M ecede en 6 años a la edad de N y la suma de los cuadrados de ambas edades es 60 años, entonces cuál es la edad en años de M? A) 9 B)

27 Profesor Miguel Ángel Arias Vílchez 009 7) Considere la siguiente figura. A 5 B D C De acuerdo con los datos de la figura, si ABCD es un rectángulo cuya área es 75, entonces cuál es la longitud del segmento AD? 0 A) 5 B) ) Considere el siguiente enunciado. Si cada una de las longitudes de dos lados opuestos de un cuadrado se duplica y cada una de las longitudes de los otros lados se disminuyen en cm, entonces el área del rectángulo resultante es cm mayor que el cuadrado original. Determinar la longitud de un lado del cuadrado. Si representa la longitud en centímetros de un lado del cuadrado, una ecuación que permite resolver el problema anterior es A) ( ) = B) () ( ) = ( ) = ( ) = + 7) Si la longitud de cada lado de un cuadrado se aumenta en 6, entonces el área del cuadrado que se forma es cuatro veces el área del cuadrado original. Cuál es el perímetro del cuadrado original? A) 4 B) 8 4 7

28 Profesor Miguel Ángel Arias Vílchez ) Considere el siguiente enunciado. 6π Si la medida del radio de un círculo se aumenta en, entonces su área es. Cuál 4 6 es la medida del radio del círculo original? Si representa la medida del radio del círculo original, entonces una ecuación que permite resolver el problema anterior es A) 6 5 = 0 B) + 5 = = = 0 75) La medida del largo de un rectángulo ecede a la medida del ancho en seis unidades. Si la medida del ancho se aumenta en dos unidades y la del largo se disminuye en tres unidades, el área será 0 unidades cuadradas. Cuál es la medida del largo del rectángulo original? A) B) ) La suma de dos números es y su producto 0. Cuáles son esos números? A) 6 y 7 B) y 7 y 0 7 y 6 8

29 Profesor Miguel Ángel Arias Vílchez 009 SOLUCIONARIO Ejercicio Opción Ejercicio Opción 59 B 68 C 60 C 69 B 6 C 70 B 6 C 7 B 6 B 7 D 64 A 7 D 65 B 74 C 66 C 75 C 67 B 76 A Usted sabia que En la dirección electrónica: podrás encontrar toda la información referente al Programa de Bachillerato de la Educación Diversificada a Distancia Visitala! 9

30 Profesor Miguel Ángel Arias Vílchez 009 CONTENIDOS TEMA : ÁLGEBRA OBJETIVO 5. Sistemas de ecuaciones lineales con dos variables. 6. Sistemas de ecuaciones incompatibles y sistemas de ecuaciones dependientes o indeterminadas. 7. Conjunto solución. Resolver sistemas o problemas con sistemas de ecuaciones lineales con dos variables. ( + ) = y 77) El valor de en la solución de y = 8 A) 5 es B) y = 4 78) El valor de en la solución de = y 4 A) es 45 B) 45 0

31 Profesor Miguel Ángel Arias Vílchez = y 79) El valor de en la solución de es = y 4 A) B) = y 80) El valor de y en la solución de = y 4 A) 4 B) 4 0 es 5 5

32 Profesor Miguel Ángel Arias Vílchez y = 6 8) El valor de y en la solución de es y + = 5 7 A) B) 9 y = 4 8) El valor de y en la solución de y = 5 A) 4 B) es 4 ( y) = 4 8) El valor de en la solución de 5( ) = y A) 5 6 B) 7 es 7 5

33 Profesor Miguel Ángel Arias Vílchez ) La tercera parte de la diferencia de dos números es 5. Si las dos terceras partes del número mayor equivalen a las cuatro terceras partes del número menor entonces, cuál es el número menor? A) 5 B) ) La suma de dos números es 8. Si el número menor equivale a 0 disminuido del doble del número mayor, entonces cuáles son esos números? A) 0 y 6 B) y y 4 y 4 86) Un cuadrado y un rombo tienen igual perímetro. Si el perímetro del rombo se aumenta en 4, este equivale a 4 7 del perímetro del cuadrado, entonces cuál es el perímetro del cuadrado? A) 4 B) ) A una actividad para recaudar fondos asistieron 46 personas entre niños y adultos y el total recaudado fue El precio de la entrada era 900 por cada adulto y 700 por cada niño. Cuántos niños asistieron a esa actividad? A) B)

34 Profesor Miguel Ángel Arias Vílchez ) Un alambre de 40 cm de largo se corta en dos partes. Si la longitud de una de ellas ecede en cm al doble de la otra, entonces la medida de la parte de menor longitud es A) 7 cm B) cm 9 cm cm 89) Considere el siguiente enunciado. Un tercio de la diferencia de dos números es y cuatro novenos del número mayor equivalen a los tres cuartos del número menor. Cuál es el número menor? Si representa el número mayor, y representa el número menor, entonces un sistema de ecuaciones que permite resolver el problema anterior es A) = = y y B) = = y y = = y y = = y y

35 Profesor Miguel Ángel Arias Vílchez ) Considere el siguiente enunciado. La suma de dos números es 80. Si las ocho quintas partes del número menor equivalen a los tres medios del número mayor, entonces cuáles son esos números? Si representa el número mayor, y representa el número menor, entonces un sistema de ecuaciones que permite resolver el problema anterior es A) + y = 80 8 y = 0 5 B) + y = 80 8 y = y = y = y = y = 0 5 SOLUCIONARIO Ejercicio Opción Ejercicio Opción 77 A 84 A 78 C 85 A 79 C 86 B 80 B 87 D 8 C 88 D 8 D 89 A 8 B 90 B 5

36 Profesor Miguel Ángel Arias Vílchez 009 CONTENIDOS TEMA : FUNCIONES OBJETIVOS. Dominio, codominio, ámbito, imagen, preimagen, gráfico.. Determinar el dominio, codominio, ámbito, imagen y preimagen de una función a partir del gráfico o el criterio. 9) Si f es una función, con f() = + 0 de a es 49 A) 0 para la que f(a) = 5 5, entonces el valor B) ) Cuál es el criterio de una función inyectiva en IR? A) f() = B) f() = f() = + f() = 9) Sea f la función dada por f() = 5, la preimagen de es A) B)

37 Profesor Miguel Ángel Arias Vílchez ) Para la función f dada por f() =, considere las siguientes proposiciones. Cuáles de ellas son VERDADERAS? A) Solo I. B) Solo II. Ambas. Ninguna. I. f() > f() II. f() > f(0) 95) Si f : {, } Q, con f() = +, entonces el ámbito de f corresponde a A) { 5, 0 } B) [ 5, 0 ] {, 8 } [ 8, ] 96) Para la función definida por f () =, la imagen de es A) B) ) Para la función f dada por f() = A), la preimagen de es B) 7

38 Profesor Miguel Ángel Arias Vílchez ) Para la función f dada por f() =, la imagen de es A) 5 B) ) Si f es la función dada por f() = 4, entonces es la imagen de A) B) ) Sea el conjunto A = {,, 0,, } y si f : A ZZ tal que f() = +, entonces el ámbito de f es A) {,, 7 } B) {,, 0 } { 5, 0,,, 7 } { 8, 0,,, 0 } 0) Si f es la función dada por es A) ( 0, 0) + f() =, entonces un elemento del gráfico de f + 4 B) ( 4, 0) 0,, 0 8

39 Profesor Miguel Ángel Arias Vílchez 009 0) Para la función f dada por f() = 4 m se cumple con certeza que A) f(0) = 0 B) f(4) = f = m 8 f = m 4 4 0) Para la función f dada por f ( ) = +, si n es una constante, entonces la n imagen de es A) + n B) + n f n 04) Para la función f dada por ( ) =, si es la imagen de, entonces cuál es la preimagen de 5? A) 9 B) 5 5 9

40 Profesor Miguel Ángel Arias Vílchez ) Para la función f dada por f() = k +, si f() =, entonces el valor de k es A) B) ) Considere las siguientes funciones. I. f : Z + Z con f() = II. g : Z + Z con g() = + 4 De ellas, cuáles son inyectivas? A) Solo la f B) Solo la g La f y la g Ni la f ni la g 07) Sean f y g dos funciones tales que f : R + R, con f() = y g : R + R, con g() =. Cuáles de ellas son sobreyectivas? A) Solo la f B) Solo la g La f y la g Ni la f ni la g 08) Las siguientes proposiciones se refieren a una función f cuyo gráfico es G. I. 0 puede tener dos preimágenes. II. Si f(a) = b, entonces (a, b) G. De ellas, Cuáles son verdaderas? A) Ambas B) Ninguna Solo la I. Solo la II. 40

41 Profesor Miguel Ángel Arias Vílchez ) Sea f una función f : P Z. Si el ámbito de f es {,, 0,, }, entonces el número de elementos del dominio de f puede ser A) B) 4 7 0) Sea la función f : Z Z y G f su gráfico. Si el ámbito de f es {0,, }, entonces con certeza se cumple que A) (, ) G f B) (, 0) G f (0, ) G f (, ) G f SOLUCIONARIO Ejercicio Opción Ejercicio Opción 9 B 0 C 9 C 0 D 9 A 0 B 94 A 04 B 95 C 05 D 96 A 06 C 97 A 07 D 98 B 08 D 99 C 09 D 00 B 0 D 4

42 Profesor Miguel Ángel Arias Vílchez 009 CONTENIDOS TEMA : FUNCIONES OBJETIVOS. Dominio máimo de funciones reales, cuyo criterio involucra epresiones algebraicas polinomiales, racionales y radicales (en el caso de índice par, el subradical corresponderá a una epresión algebraica de grado uno). Determinar el dominio máimo de funciones reales usando el criterio de la función. ) Cuál es el dominio máimo de la función f con f() = A) IR? B) IR { } IR IR,, ) El dominio máimo de la función definida por f() = ( ) corresponde a A) IR B) IR { } IR { } IR {, } ) El dominio máimo de la función f dada por f() = A) IR es B) IR { } ], [ ], + [ 4

43 Profesor Miguel Ángel Arias Vílchez 009 4) El máimo dominio de la función f dada por f() = A) IR B) IR { } es IR IR,,, 5) El dominio máimo de la función dada por f() = es 5 A) IR { 5 } B) IR 5, 5, + 5 6) El dominio máimo de la función f dada por f() = A) IR B) IR { 5 } IR { 5, 5 } IR { 5,, 5 } + 5 es 4

44 Profesor Miguel Ángel Arias Vílchez 009 7) El dominio máimo de la función f dada por f() = A) IR {} B) IR { } ], [ + es ], + [ 8) Considere las funciones f y g definidas por los siguientes criterios. f() = ( + ) ( ) g() = ( + ) ( + ) Cuáles de ellas tienen por dominio el conjunto de los números reales? A) f y g. B) Solo f. Solo g. Ni f ni g. + 9) Para la función f dada por f() = ( ) el dominio máimo es A) IR { 0 } B) IR { } IR { 0, } IR 44

45 Profesor Miguel Ángel Arias Vílchez 009 0) Para la función f dada por f() = 4 el dominio máimo es 4 A), + B), + 4 4,, 4 ) El dominio máimo de la función dada por A) IR { } B) ], + [ [, + [ ], [ f() = es + + ) El dominio máimo de la función f dada por f() = A) IR { } B) IR { } ], + [ ], + [ SOLUCIONARIO Ejercicio Opción Ejercicio Opción B 7 C B 8 B B 9 C 4 C 0 C 5 C B 6 C B es 45

46 Profesor Miguel Ángel Arias Vílchez 009 CONTENIDO TEMA : FUNCIONES OBJETIVO. Gráficas de funciones. Conceptos básicos: dominio, codominio, ámbito, imagen, preimagen. Régimen de variación: creciente, decreciente, constante, estrictamente creciente, estrictamente decreciente. Analizar gráficas de funciones utilizando los conceptos básicos de funciones, el régimen de variación. ) De acuerdo con los datos de la gráfica, el ámbito de la función representada corresponde a y A) [ 0, ] B) [, ] ], ] [ 0, + [ 4) De acuerdo con los datos de la gráfica de la función f, analice las siguientes proposiciones. y I. El dominio de f es [, 4 ] 5 II. Si ] 0, 4 ] entonces f() < 0 4 Cuáles de ellas son VERDADERAS? A) Ambas. B) Ninguna. 5 Solo la I Solo la II. 4 46

47 Profesor Miguel Ángel Arias Vílchez 009 5) De acuerdo con los datos de la gráfica de la función f analice las siguientes proposiciones. y I. f () > f (4) II. f (0) = 5 4 Cuáles de ellas son VERDADERAS? A) Ambas. B) Ninguna. Solo la I. Solo la II ) La gráfica representa la función f. De acuerdo con los datos de la gráfica, el ámbito de la función f es A) [, 4 ] y B) ], 4 ] 4 [, 4 ] [, + [

48 Profesor Miguel Ángel Arias Vílchez 009 7) La gráfica representa la función f. De acuerdo con los datos de la gráfica, un intervalo en que la función f es creciente corresponde a y A) ] 0, 4 [ 4 B) ] 0, [ ], 0 [ ], + [ 0 8) De acuerdo con los datos de la gráfica de la función f, su dominio es A) [, ] y B) ], ] [, ] [, + [ 9) De acuerdo con los datos de la gráfica de la función f. Considere las siguientes proposiciones. I. f es estrictamente creciente en [ 0, ] II. f es estrictamente decreciente en ], 4 ] y Cuáles de ellas son VERDADERAS? A) Ambas. 4 B) Ninguna. Solo la I. Solo la II

49 Profesor Miguel Ángel Arias Vílchez 009 0) De acuerdo con los datos de la gráfica de la función f, analice las siguientes proposiciones. I. La preimagen de es 0. y II. La imagen de es. Cuáles de ellas son VERDADERAS? A) Ambas. B) Ninguna. Solo la I. Solo la II. ) De acuerdo con los datos de la gráfica de la función f, analice las siguientes proposiciones. I. f ( ) = f () y II. f ( ) > f () Cuáles de ellas son VERDADERAS? A) Ambas. B) Ninguna. Solo la I. 4 4 Solo la II. 49

50 Profesor Miguel Ángel Arias Vílchez 009 ) De acuerdo con los datos de la gráfica de la función f, considere las siguientes proposiciones. I. El dominio de f es [, + [ y II. f es estrictamente creciente en su dominio. 4 Cuáles de ellas son VERDADERAS? A) Ambas. B) Ninguna. Solo la I. 4 4 Solo la II. 4 ) Considere la gráfica de la función f. De acuerdo con la gráfica, el dominio de f es y A) IR B) [, 4 ] [ 4, + [ [, + [

51 Profesor Miguel Ángel Arias Vílchez 009 4) Considere la siguiente gráfica de una función. De acuerdo con la gráfica, el dominio de la función es y A) ], 0 ] U ] 4, + [ B) [, + [ U ], + [ 4 ], ] U ] 4, + [ ], ] U ], + [ ) De acuerdo con la gráfica de la función f, analice las siguientes proposiciones. I. f es estrictamente decreciente en ], ]. II. El ámbito de f es IR. y Cuáles de ellas son VERDADERAS? A) Ambas. B) Ninguna. Solo la I. Solo la II. 5

52 Profesor Miguel Ángel Arias Vílchez 009 SOLUCIONARIO Ejercicio Opción Ejercicio Opción D 0 B 4 A A 5 D B 6 A A 7 B 4 A 8 D 5 D 9 D *** *** Usted sabia que En la dirección electrónica: podrás encontrar toda la información referente al Programa de Nuevas Oportunidades Educativas para Jóvenes. Visitala! 5

53 Profesor Miguel Ángel Arias Vílchez 009 CONTENIDO TEMA : FUNCIONES OBJETIVO 4. Función lineal: criterio, pendiente, intersección con los ejes, gráfica, régimen de variación. Establecer la ecuación de la recta que corresponde a una función lineal; la pendiente, las intersecciones con los ejes, el dominio, el ámbito o el régimen de variación usando el criterio, la gráfica o elementos del gráfico. 6) De acuerdo con los datos de la figura que corresponde a la gráfica de una función lineal f, un criterio para f es y A) f() = 7 B) f() = 7 f() = 7 + f() = ) Una ecuación de la recta que pasa por los puntos (, 7) y (, ) corresponde a A) 5 4y + = 0 B) 5 + 4y + = y = 0 5 4y = 0 8) El criterio de una función lineal f, a cuyo gráfico pertenecen (, 5) y (5, 5) es A) f() = 5 B) f() = f() = f() =

54 Profesor Miguel Ángel Arias Vílchez 009 9) De acuerdo con los datos de la gráfica, una ecuación de la recta l es y A) y = 4 4 l B) y = + 4 y = y = ) Si f : IR + IR ; f() =, entonces el ámbito de f es A) IR B) IR + ], + [ ], [ 4) Cuál es la ecuación de la recta a cuyo gráfico pertenecen los puntos (, 4),? A) y = 4 y B) y = y = y =

55 Profesor Miguel Ángel Arias Vílchez 009 4) De acuerdo con la gráfica, la pendiente de l es y A) B) l 4) El criterio de la función lineal a cuyo gráfico pertenecen los puntos (, 5) y (8, 5) es A) f() = 5 B) f() = + f() = f() = ) La pendiente de la recta definida por ( 5) = y A) es B)

56 Profesor Miguel Ángel Arias Vílchez ) Considere la función f cuya gráfica se da a continuación. De acuerdo con los datos de la gráfica, el criterio de la función f es y A) f () = + B) f () = + f () = + f () = ) La recta dada por la ecuación y + 5 = interseca el eje "y" en el punto A) (5, 0) B) (0, 5) 0,0 0 0, 47) Sean f, g y h funciones dadas respectivamente por De ellas, cuáles son estrictamente decrecientes? A) Solo f. B) solo g. solo f y h. solo g y h. f() = g() = + h() = 4 56

57 Profesor Miguel Ángel Arias Vílchez ) Si (, 5) y ( 7, 8) pertenecen al gráfico de una función lineal, entonces la gráfica de dicha función interseca el eje en A) (7, 0) B) (0, 7) 7,0 7 0, 49) Sea la función f : [, [ R con f() = 5 +. Cuál es el ámbito de f? A) R B) [, [ [, 8[ ], 8] 50) Si f es una función lineal tal que f( ) = y f() =, entonces f está dada por A) f() = + B) f() = + f() = + 4 f() = + 4 5) Sea f la función dada por f() =. Si >, entonces se cumple que A) f() ]4, + [ B) f() ], 4[ f() f(),+, 57

58 Profesor Miguel Ángel Arias Vílchez 009 5) Para las funciones f y g dadas respectivamente por f() = m y g() = + n, si f( ) = y g( ) =, entonces se cumple que A) f y g son crecientes B) f y g son decrecientes f es creciente y g es decreciente f es decreciente y g es creciente 5) La recta definida por + = 6 y interseca el eje y en 5 A),0 5 B) 0, 7,0 7 0, 54) Una ecuación de la recta que corresponde a una función lineal estrictamente creciente está dada por A) y = 5 B) + = y 4 = y 6 y =

59 Profesor Miguel Ángel Arias Vílchez 009 SOLUCIONARIO Ejercicio Opción Ejercicio Opción 6 C 46 D 7 A 47 B 8 A 48 A 9 B 49 D 40 D 50 B 4 B 5 B 4 D 5 B 4 A 5 D 44 D 54 A 45 C *** *** Usted sabia que En la dirección electrónica: Aquí encontrarás múltiples posibilidades para verificar tus conocimientos en las diferentes materias de los Programas de la Educación Abierta: Matemáticas, Estudios Sociales, Español, Inglés, Francés, Ciencias, Física, Química y Educación Cívica. Descarga los archivos de pruebas y soluciones a tu computador y verifica tus conocimientos! Visitala! 59

60 Profesor Miguel Ángel Arias Vílchez 009 CONTENIDO TEMA : FUNCIONES OBJETIVO 5. Paralelismo, perpendicularidad, intersección de dos rectas, gráficas. Determinar la ecuación de una recta paralela o una perpendicular a una recta dada o el punto de intersección de dos rectas. 55) Una ecuación de una recta perpendicular a la recta dada por y = es A) + y = 0 B) + y = 0 y = 0 y = 0 56) La ecuación de una recta perpendicular a la recta definida por 5y 6 = 0 es A) B) y = 5 0 y = 5 y = y = ) La pendiente de la recta paralela a la que contiene los puntos (, ) y (, ) corresponde a A) B) 60

61 Profesor Miguel Ángel Arias Vílchez ) Una ecuación de la recta que contiene el punto (, ) y es paralela a la recta de ecuación y = es A) y = B) y = y = 5 y = ) Una ecuación de la recta que contiene el punto, 5 a la recta definida por 4 5y 6 = 0 es 5 A) y = 4 y que es perpendicular 4 B) y = 5 5 y = 4 4 y = ) Una recta paralela a la recta definida por la ecuación 4 A) y = + 5 y + = 0 está determinada por 4 B) y = y = y = 4 6

62 Profesor Miguel Ángel Arias Vílchez 009 6) Una ecuación de la recta a cuyo gráfico pertenece el punto (6, 7) y que es perpendicular a la recta definida por 6 + y 4 = 0 es A) y = B) y = y = y = ) Una ecuación de una recta paralela al eje "" es A) y = B) y = y = y = 6) Una ecuación de una recta paralela a la recta dada por y 5 = es A) y = + B) y = + y = + y = + 64) La ecuación de una recta perpendicular a la recta dada por 4y + 5 = es A) y = B) y = y = y =

63 Profesor Miguel Ángel Arias Vílchez ) Considere las siguientes ecuaciones. I. y = + II. y = 0 De ellas, cuáles corresponden a rectas paralelas a la recta determinada por 6 y = 0? A) Ambas. B) Ninguna. Solo la I. Solo la II. 66) Dos rectas perpendiculares se intersecan en,. Si la ecuación de una de 4 las rectas es y + = 0, entonces una ecuación de la otra recta es A) y = B) y = 6 + y = 4 y = ) Considere la siguiente gráfica y De acuerdo con los datos de la gráfica, una ecuación de una recta perpendicular a ella es A) y = B) y = 6 + y = 4 4 y =

64 Profesor Miguel Ángel Arias Vílchez ) Si l l. Si (, ) es un punto de l y l está dada por y =, entonces una ecuación que define a l es A) y + = 6 B) y + = y + = y = 0 69) Considere la siguiente gráfica. y L 4 De acuerdo con los datos de la gráfica, cuál es una ecuación que define a la recta L? A) y + = B) y + = 4 y = y = 4 70) Una ecuación para L es y = a. Si L es paralela a la recta determinada por y =, entonces el punto de intersección de L con el eje es A) 0, B), 0 (0, ) (, 0) 64

65 Profesor Miguel Ángel Arias Vílchez 009 7) Considere la siguiente gráfica De acuerdo con los datos de la gráfica, una ecuación de una recta paralela a ella es y A) y = B) y = 6 + y = 4 y = ) Considere la siguiente gráfica y Sea L una recta paralela a la recta representada en la gráfica anterior. Si (, ) es un punto de L, entonces el punto de intersección de L con el eje es A) (, 0) B) (0, ) (0, ) (, 0) 65

66 Profesor Miguel Ángel Arias Vílchez 009 7) Sean l y n dos rectas rectas paralelas. Si l está determinada por 5y =, entonces una ecuación para n es A) 5y = B) + 5y = y + 5 = y 5 = 74) Dos rectas perpendiculares se intersecan en ( 8, ). Si la ecuación de una de ellas es y 5 = 49, entonces una posible ecuación de la otra recta es A) 5y = + 9 B) y = 5 + 5y = 9 y = ) Sea L la recta que contiene los puntos (7, ) y (, 8). Cuál es la ecuación de la recta que pasa por el origen del sistema de coordenadas y es perpendicular a L? A) y = 0 B) 9 7y = 0 y = 0 9 7y = 0 76) Sean L y L dos rectas paralelas. Si una ecuación de L es y = y (, 5) pertenece a L, entonces L interseca el eje en A) 0, B),0 (0, 7) ( 7, 0) 66

67 Profesor Miguel Ángel Arias Vílchez 009 SOLUCIONARIO Ejercicio Opción Ejercicio Opción 55 A 66 C 56 C 67 A 57 D 68 D 58 C 69 B 59 C 70 D 60 A 7 B 6 B 7 A 6 C 7 A 6 C 74 A 64 B 75 A 65 D 76 D Usted sabia que En la dirección electrónica: Aquí encontrarás un Sitio de Matemática y Temas Educativos que corresponde a una página muy interesante, elaborada por profesores de la Zona Sur de Costa Rica. Visitala! 67

68 Profesor Miguel Ángel Arias Vílchez 009 CONTENIDO TEMA : FUNCIONES OBJETIVO 6. Función inversa: definición, notación, criterio, imágenes y preimágenes, gráfica. Determinar el criterio, la gráfica, imágenes o preimágenes de la inversa de una función. 77) Si f es una función biyectiva, con f() =, entonces f () es A) 4 B) ) Para la función f, dada por A) 6 f() =, f (4) equivale a 4 B) 0 79) Si los puntos (, ) y ( 5, 0) pertenecen al gráfico de la función lineal f; se cumple que A) f () = B) f () = 4 5 f () = f () =

69 Profesor Miguel Ángel Arias Vílchez ) Si f es una función biyectiva y f () = 6 4, entonces f() es A) B) 4 8) Si (, ) y ( 4, 7) pertenecen al gráfico de la función lineal f, entonces el criterio de la función inversa de f es A) f () = B) f () = + f f 5 () = () = 8) Si f es una función biyectiva dada por f() = f ( ) es A) 5 4, entonces el valor de B) 8 8) Si f es una función biyectiva dada por f() = + 7, entonces el criterio de la función inversa de f corresponde a A) f () = + 7 B) f () = 7 f () = + 4 f () = 4 69

70 Profesor Miguel Ángel Arias Vílchez ) El criterio de la función inversa a la función dada por f() = es 5 A) f () = 5 6 B) f () = f () = f () = ) Sea m pendiente de una función lineal f y m la pendiente de f ; analice las siguientes proposiciones. Cuáles de ellas son VERDADERAS? A) Ambas. B) Ninguna. Solo la I. I. m = m II. m m = Solo la II. 86) Si f es una función biyectiva dada por f() = corresponde a 9, entonces f (6) 6 A) B) ) Si f es una función biyectiva dada por f() = + n y f ( ) = 4, entonces el valor de n corresponde a A) B)

71 Profesor Miguel Ángel Arias Vílchez ) Sea f la función dada por f() = entonces cuál es el dominio de f? A) [, [ B) ], ] [, 6[ ], 6] y f su inversa. Si el dominio de f es [0, 4[, 89) Para la función f : [, 5] [5, 47] con f() =, se tiene que f (8) es A) 5 B) ) Sean f : [, 5] [, 7] con f() = y g : ], ] [, ] con g() = + 5. Cuáles de ellas tienen inversa? A) Ni la f ni la g. B) La f y la g. Sola la g. Solo la f. 9) Sea f : [0, + [ [, + [ con f() =. Si a, entonces f (a) pertenece al intervalo A) ], ] B) [, + [ [, 0] [0, [ 7

72 Profesor Miguel Ángel Arias Vílchez 009 9) Si f es una función biyectiva dada por f() =, entonces el criterio de la inversa de f es A) f () = + B) f () = f () = + f () = 9) Sea f : [, [ B tal que f() =. Si f es biyectiva, entonces el dominio de la inversa de f es A) [, 7[ B) ], 7],, 94) Sea [, 4[ el ámbito de una función biyectiva f dada por f() = + 4. Cuál es el ámbito de la inversa de f? A) [ 4, 6[ B) ] 4, 6] 5 0, 5 0, 7

73 Profesor Miguel Ángel Arias Vílchez ) Sea f : [, + [ [0, + [ tal que f() =. Cuál es el criterio de la inversa de f? A) f () = + B) f () = f () = ( + ) f () = ( ) 96) Sea f una función lineal estrictamente creciente y biyectiva cuyo dominio es [, ] y cuyo codominio es [, ], entonces f ( ) es igual a A) B) 97) Si el dominio de la función f dada por f() = ser el codominio para que f tenga inversa? A) [, ] B) [, 7],, es [, ], entonces cuál debe 98) Sea f una función lineal y f su inversa. Si f( ) = 4 y f (6) =, entonces el criterio de la inversa de f es A) f () = 5 4 B) f () = f () = f () =

74 Profesor Miguel Ángel Arias Vílchez 009 SOLUCIONARIO Ejercicio Opción Ejercicio Opción 77 C 88 B 78 D 89 D 79 D 90 D 80 A 9 D 8 D 9 A 8 A 9 B 8 C 94 D 84 B 95 A 85 B 96 B 86 B 97 C 87 D 98 C 74

75 Profesor Miguel Ángel Arias Vílchez 009 CONTENIDO TEMA : FUNCIONES OBJETIVO 7. Función cuadrática: definición, ámbito, eje de simetría, vértice, intersecciones con los ejes, concavidad, gráfica, variación. Determinar características de funciones cuadráticas a partir del criterio o de la gráfica. 99) Si f es la función cuadrática dada por f() = a, con a > 0 entonces uno de los puntos en los que la gráfica de f interseca el eje es A) (, 0) B) ( a, 0), 0 a,0 a 00) La gráfica de la función dada por f() = ( ) 4 interseca el eje y en A) (0, 4) B) (0, ) (0, 5) (0, ) 0) El eje de simetría de la gráfica de la función dada por f() = ( ) corresponde a A) = B) = = = 75

76 Profesor Miguel Ángel Arias Vílchez 009 0) Si f es la función dada por f() = 6, entonces un intervalo en donde f es estrictamente decreciente es A), 4 49 B), 8, , + 8 0) El ámbito de la función f dada por f() = es 49 A), 4 49 B), , 4 49, ) El eje de simetría de la gráfica de la función f dada por f() = 4a + con a 0, corresponde a A) = 8 B) = 8 = 8a = 8a 76

77 Profesor Miguel Ángel Arias Vílchez ) El vértice de la gráfica de la función f dada por f() = + 6 es A) (, 5 ) B) (, 5 ) 49, , ) Un punto donde la gráfica de la función dada por f() = + 5 interseca el eje en A) 0, B) ( 0, ) (,0 ),0 07) Si h es la función dada por h() = +, entonces el vértice de la gráfica de h es A) ( 6, ) B) (, 6 ), 8 4,

78 Profesor Miguel Ángel Arias Vílchez ) La gráfica de la función f con f() = A) (0, ) B) (, 0) (0, ) (, 0) 4 interseca el eje "y" en 09) Si f es la función dada por f() = + +, entonces el ámbito de f es A) ], ] B) [, + [ ], ] [, + [ 0) Considere las funciones f y g definidas por los siguientes criterios. Para cuáles de ellas la gráfica es cóncava hacia abajo? A) f y g. B) Solo f. Solo g. Ni f ni g. f() = ( ) g() = + ) Sea f una función cuadrática dada por f() = + b + c. Si el vértice de la gráfica de f es (, ), entonces el valor de c es A) 9 B)

79 Profesor Miguel Ángel Arias Vílchez 009 ) Sea f una función cuadrática dada por f() = a + b. Si = es el eje de simetría de la gráfica de f y f() > 0, entonces se cumple con certeza que A) a > 0 y b > 0 B) a > 0 y b < 0 a < 0 y b > 0 a < 0 y b < 0 ) Sea f una función cuadrática dada por f() = a 6 5. Si = es el eje de simetría de la gráfica de f, entonces el ámbito de f es A) ], ] B) [, + [ ], ] [, + [ 4) Sea f una función cuadrática dada por f() = a + + c. Si el vértice de la gráfica de f es (, 5), entonces el valor de c es A) B) 0 79

80 Profesor Miguel Ángel Arias Vílchez 009 SOLUCIONARIO Ejercicio Opción Ejercicio Opción 99 D 07 D 00 B 08 A 0 A 09 A 0 C 0 D 0 A D 04 D C 05 C A 06 C 4 A 80

81 Profesor Miguel Ángel Arias Vílchez 009 CONTENIDO TEMA : FUNCIONES OBJETIVO 8. Relaciones que se modelan mediante funciones lineales o cuadráticas. Resolver problemas que involucren relaciones que se modelan mediante funciones lineales o cuadráticas. 5) De acuerdo con los datos de la figura, el criterio de una función f que epresa el área del rectángulo correspondiente en términos de es A) f() = 7 7 B) f() = f() = f() = 4 6) La temperatura T en grados Celsius para una altitud h en metros sobre la h superficie terrestre está dada por T(h) = Cuál es la altitud en metros sobre la superficie terrestre cuando se registra una temperatura de 4 C? A) 975 B) ) El costo C en dólares por producir mensualmente unidades de un producto está dado por C() = Si en el mes de julio el costo por producir cierta cantidad de ese producto fue de $ 000 y en el mes de agosto fue de $ 700, entonces cuántas unidades más se produjeron en agosto que en julio? A) B)

82 Profesor Miguel Ángel Arias Vílchez 009 8) El costo C en dólares por el alquiler de un automóvil que recorre kilómetros está dada por C() = Cuál es el costo de alquilar un automóvil para recorrer 0 km? A) $ 000 B) $ 0 $ 00 $ ) El costo mensual en dólares de producir unidades de un producto está dado por C() = Si en un mes el costo por producir cierta cantidad de ese producto es $ 55, entonces cuántas unidades del producto se produjeron ese mes? A) 75 B) ) Si un artículo se ofrece a la venta al precio p por unidad, la cantidad q solicitada en el mercado está dada por p q = 0, entonces cuántos artículos se deberán producir para que el precio sea 40? A) 0 B) ) El costo C en colones de fabricar pasteles está dado por C() = Cuántos pasteles se deben fabricar para que el costo total sea 76? A) 5 B) 7 0 8

83 Profesor Miguel Ángel Arias Vílchez 009 ) Las siguientes proposiciones corresponden al costo total C, en colones, de producir artículos a la semana, el cual está dado por C() = I. Si la producción aumenta en 0 unidades, entonces el costo total aumenta en II. Si la fábrica no produce ningún artículo durante la semana, entonces el costo total es cero. De ellas, cuáles son verdaderas? A) Ambas B) Ninguna Solo la I Solo la II ) El fabricante de un artículo ha determinado que el ingreso en dólares I en términos del precio de venta está dado por I() = Cuál es el ingreso máimo que puede tener el fabricante? A) $ 6 00 B) $ $ 90 $ 95 4) La ganancia G de una empresa por producir y vender cierto producto depende de la cantidad en dólares que invierta semanalmente en publicidad y está dada por G() = ,. Cuántos dólares deben invertir a la semana en publicidad para obtener la ganancia máima? A) 50 B) ) El área total A de un cubo de arista está dada por A() = 5 6. Cuál debe ser la longitud de la arista para que el área total del cubo sea máima? A) 7 / B) 5 / 89 / 8 65 / 4 8

84 Profesor Miguel Ángel Arias Vílchez 009 6) Sea h la función dada por h(t) = 0t 4,9t + 5 que describe la trayectoria a los t segundos de una piedra lanzada hacia arriba desde el techo de un edificio. Cuál es aproimadamente el tiempo en segundo necesario para que la piedra alcance su altura máima con respecto al suelo? A),0 B),04 5,00 0,0 7) El ingreso mensual I obtenido por vender unidades de un producto está dado por I() = 60 0,0. Cuál es el número de unidades que se deben vender mensualmente para obtener el máimo ingreso? A) 000 B) ) El ingreso f obtenido por vender unidades de un producto está dado por f() = 60. Cuántas unidades deben vender de ese producto para obtener el máimo ingreso? A) 0 B) ) Se tienen 60 m de alambre para hacer una cerca de una sola vuelta en un jardín rectangular sin que sobre alambre. Si la cerca se debe colocar únicamente en tres lados porque el otro lado limita con una pared, entonces cuál es el área máima que se puede cercar? A) 5 m B) 00 m 450 m 600 m 84

85 Profesor Miguel Ángel Arias Vílchez 009 SOLUCIONARIO Ejercicio Opción Ejercicio Opción 5 C B 6 C 4 A 7 B 5 B 8 C 6 A 9 A 7 A 0 A 8 A C 9 C C *** *** 85

86 Profesor Miguel Ángel Arias Vílchez 009 TEMA : FUNCIÓN EXPONENCIAL Y FUNCIÓN LOGARÍTMICA CONTENIDO OBJETIVO. Función eponencial: definición, cálculo de imágenes y preimágenes, variación, biyectividad, intersecciones con los ejes, análisis de gráficas. Determinar características de funciones eponenciales a partir del criterio o de la gráfica (incluye el cálculo de imágenes y preimágenes). 0) La imagen de 4 A) por la función dada por f() = 8 es B) ) Para la función f con f() = 4, la imagen de es A) 4 B) ) La gráfica de la función f dada por f() = interseca el eje "y" en A) (, 0) B) (0, ) (, 0) (0, ) 86

87 Profesor Miguel Ángel Arias Vílchez 009 ) El criterio de una función estrictamente creciente es A) f() = 5 B) f() = f() = f() = 9 0 4) Considere los siguientes criterios de funciones. Cuáles de ellos corresponden a funciones eponenciales? A) Solo la f y g. B) Solo la f y h. Solo la g y h. Solo la f, g y h. f() = g() = ( ) h() = 5) Para la función f dada por f() =, la preimagen de 4 es A) B) 6 8 6) Para la función f dada por f() = 4, la imagen de es A) 0 B)

88 Profesor Miguel Ángel Arias Vílchez 009 7) En la función f dada por f() = + la preimagen de A) B) es 8) Sea f la función dada por f() =. Considere las siguientes proposiciones. I. El ámbito de f es ], 0 [. II. f es creciente. Cuáles de ellas son VERDADERAS? A) Ambas. B) Ninguna. Solo la I. Solo la II. 9) Sea f una función dada por f() = a, con 0 < a <. Entre las características de f están A) creciente e interseca al "eje y". B) creciente e interseca al "eje ". decreciente e interseca al "eje y". decreciente e interseca al "eje ". 88

89 Profesor Miguel Ángel Arias Vílchez ) Sea f la función dada por f() = π. La gráfica de f corresponde a y y π π A) B) y y π π 4) Considere las siguientes proposiciones para una función eponencial f dada por f() = a, con a >. I. f( ) < a II. f( ) > De ellas, cuáles son verdaderas? A) Ambas B) Ninguna Solo la I Solo la II 89

90 Profesor Miguel Ángel Arias Vílchez 009 4) Sea f una función dada por f() =. Si 0 < f() <, entonces se cumple con certeza que A) > B) < 0 < < < < 4) Para las funciones f y g tales que f() = 6 y g() = A) f() > g() B) f( ) > f() g( ) < g() g( ) > f( ) se cumple que 44) Sea f la función dada por f() = ámbito de f es A) ] 0, 9 [ B) [ 0, 9 ] ] 0, + [ ], 0 [. Si el dominio de f es ], + [, entonces el 45) Sea f la función dada por f() =. que A) f() ] 0, [ B) f(), f() ], + [ f(),+ Si > 0, entonces se cumple con certeza 90

91 Profesor Miguel Ángel Arias Vílchez 009 SOLUCIONARIO Ejercicio Opción Ejercicio Opción 0 C 8 B B 9 C D 40 A A 4 C 4 B 4 A 5 B 4 B 6 D 44 A 7 B 45 A 9

92 Profesor Miguel Ángel Arias Vílchez 009 TEMA : FUNCIÓN EXPONENCIAL Y FUNCIÓN LOGARÍTMICA CONTENIDO OBJETIVO. Ecuaciones eponenciales que puedan epresarse de la forma a p() = a q(), a p() = b p(). Resolver ecuaciones eponenciales. 46) La solución de 9 = 4 es A) B) ) La solución de A) = 9 es B) 48) El conjunto solución de = es A) { } B) { } { } 9

93 Profesor Miguel Ángel Arias Vílchez ) El conjunto solución de 4 = es + 8 A) B) ) El conjunto solución de + 0 0,07 = es A) { } B) { 0 } { } { 4 } 5) El conjunto solución de A) { } 8 = 4 es B) 5 4 9

94 Profesor Miguel Ángel Arias Vílchez 009 5) El conjunto solución de A) { 8 } 9 7 = es B) ) La solución de 8 = 4 es A) B) ) El valor de que es solución de 9 = es A) B) 55) El conjunto solución de 6 + = A) 7 6 es B)

95 Profesor Miguel Ángel Arias Vílchez ) El conjunto solución de A) { } B) {, } 5 = 5 es, 5, 5 SOLUCIONARIO Ejercicio Opción Ejercicio Opción 46 A 5 C 47 B 5 D 48 D 54 C 49 D 55 A 50 C 56 D 5 D *** *** 95

96 Profesor Miguel Ángel Arias Vílchez 009 TEMA : FUNCIÓN EXPONENCIAL Y FUNCIÓN LOGARÍTMICA CONTENIDO OBJETIVO. Función logarítmica: inversa de la función eponencial, definición, características de acuerdo con la base (variación, logaritmos positivos y logaritmos negativos), biyectividad, intersecciones con los ejes.. Determinar características de funciones logarítmicas a partir del criterio o de la gráfica. 57) Sea f : IR IR +, con f () = entonces el criterio de la inversa de f corresponde a A) f () = B) f () = f () = log f () = log 58) Analice las siguientes proposiciones para la función dada por f() = log 4. I. f(4) > 0 II. f < 0 6 Cuáles de ellas son VERDADERAS? A) Ambas. B) Ninguna. Solo la I. Solo la II. 96

97 Profesor Miguel Ángel Arias Vílchez ) La gráfica de la función f dada por f () = log interseca el eje en A) (0, ) B) (, 0), 0 5 0, ) Si f : IR + IR ; f() = log, entonces la imagen de 8 es A) B) ) Considere las siguientes proposiciones respecto de la función f dada por f() = log 5. Cuáles de ellas son VERDADERAS? A) Ambas. B) Ninguna. Solo la I. Solo la II. I. f (5) > 0 II. f < 0 5 6) Si f es una función logarítmica de base "a" y f() < 0 para >, entonces se cumple que A) < a B) a < 0 < a < < a < 0 97

98 Profesor Miguel Ángel Arias Vílchez 009 6) Considere las siguientes proposiciones referidas a la función f dada por f() = log. Cuáles de ellas son VERDADERAS? A) Ambas. B) Ninguna. Solo la I. Solo la II. 64) La gráfica de la función f dada por f() = log interseca el eje "" en A) (, 0) B) (0, ), 0 0, 65) Considere las siguientes proposiciones para la función f, dada por f() = log 9. Cuáles de ellas son VERDADERAS? I. La gráfica de f interseca el eje "" en (, 0). II. f(0) = 0. 7 A) Ambas. B) Ninguna. Solo la I. I. f es estrictamente creciente. II. 9 La gráfica de f se interseca con el eje en, 0. 7 Solo la II. 66) Considere las siguientes proposiciones acerca de la función f, dada por f() = log 0,. Cuáles de ellas son VERDADERAS? A) Ambas. B) Ninguna. I. f es estrictamente decreciente. Solo la I. Solo la II. II. La gráfica de f no se interseca con el "eje y". 98

99 Profesor Miguel Ángel Arias Vílchez ) Considere los siguientes criterios de funciones. f() = log g() = log 5 4 h() = log Cuáles de ellos corresponden a funciones decrecientes? A) f, g y h. B) Solo f y g. Solo f y h. Solo g y h. 68) Sea f la función logarítmica dada por f() = log. El criterio de la función inversa de f es A) f 7 () = B) f () = 7 7 f () = f () = ) Sea f una función dada por f() = log a, con > a > 0. Entre las características de f está A) es creciente. B) interseca al "eje " en (a, 0). interseca al "eje y" en (0, ). tiene al "eje y" como asíntota. 99

100 Profesor Miguel Ángel Arias Vílchez 009 SOLUCIONARIO Ejercicio Opción Ejercicio Opción 57 C 64 A 58 A 65 C 59 B 66 A 60 B 67 B 6 A 68 D 6 C 69 D 6 C *** *** 00

101 Profesor Miguel Ángel Arias Vílchez 009 TEMA : FUNCIÓN EXPONENCIAL Y FUNCIÓN LOGARÍTMICA CONTENIDO OBJETIVOS 4. Propiedades de los logaritmos (incluye cambio de base), simplificación de epresiones logarítmicas. Determinar la base, el argumento o el logaritmo aplicando la definición de logaritmo. Establecer equivalencias entre epresiones logarítmicas. 70) El valor log 9 7 es A) B) ) La epresión log 5 + log 5 es equivalente a A) log 5 5 B) log log ( 5 5 ) log ( 5 5 ) 0

102 Profesor Miguel Ángel Arias Vílchez 009 7) El valor de N en log N = es A) 6 B) 4 7) Considere las siguientes proposiciones. I. log 4 + log = log II. log = log 6 Cuáles de ellas son VERDADERAS? A) Ambas. B) Ninguna. Solo la I. Solo la II. 74) La epresión log 4 + log 4 4 es equivalente a A) log 4 B) log 4 7 log 4 4 log

103 Profesor Miguel Ángel Arias Vílchez ) La epresión log 4 log 5 es equivalente a A) log 5 B) log 5 log ( 5 ) log ( 5 ) 76) La epresión log m 4 ( ) escrita en base m equivale a A) B) log m ( ) log 4 m log m log m m 4 77) En la epresión A) b logb =, es equivalente a B) b b 4 b 0

104 Profesor Miguel Ángel Arias Vílchez ) El valor de para que se cumpla que log = es A) 9 B) ) Considere las siguientes proposiciones. I. log a = loga y y + y = log a log a y II. log a ( ) Cuáles de ellas son VERDADERAS? A) Ambas. B) Ninguna. Solo la I. Solo la II. 80) La epresión 4 log 5 es equivalente a A) log 9 B) log 0 log log ( 4 ) 04

105 Profesor Miguel Ángel Arias Vílchez 009 8) Una epresión equivalente a log b = c es A) b = e c B) b = e c e b = c e ( b ) c = e 8) La epresión log a + log b c es equivalente a A) c ab log a b B) log c c log a + b a + b log c 8) La epresión log ( b ) a b A) log a + b B) log ( a + b) log a + log b log (( a b) (a + b) ) a log ( a b) + log ( b) a + es equivalente a 05

106 Profesor Miguel Ángel Arias Vílchez ) La epresión log ( ) A) log B) log log + ( + ) + log ( ) log + ( ) + log ( ) log es equivalente a + SOLUCIONARIO Ejercicio Opción Ejercicio Opción 70 A 78 B 7 D 79 C 7 D 80 B 7 A 8 A 74 A 8 A 75 A 8 B 76 B 84 D 77 D *** *** 06

107 Profesor Miguel Ángel Arias Vílchez 009 TEMA : FUNCIÓN EXPONENCIAL Y FUNCIÓN LOGARÍTMICA CONTENIDO OBJETIVO 5. Ecuaciones logarítmicas. Resolver ecuaciones logarítmicas. 85) El conjunto solución de log ( 5) = 0 es A) { } B) ) La solución de log = es A) 6 B) ) La solución de log + log = es A) B)

108 Profesor Miguel Ángel Arias Vílchez ) El conjunto solución de log [ log ( ) ] = es A) B) 0 89) El conjunto solución de log = log es A) { 0 } B) { } {, } {, } 90) La solución de log + log ( ) = 0 es A) 0 B) 9) El conjunto solución de log = log ( + ) es A) { } B) {,0 }

109 Profesor Miguel Ángel Arias Vílchez 009 9) El conjunto solución de log = es A) B) { 9 } 9) El conjunto solución de ( ) + log ( + ) log ( ) 4 A) { } B) { } { 4 } { 8 } log = es SOLUCIONARIO Ejercicio Opción Ejercicio Opción 85 B 90 C 86 D 9 D 87 C 9 C 88 D 9 A 89 B *** *** 09

110 Profesor Miguel Ángel Arias Vílchez 009 TEMA : FUNCIÓN EXPONENCIAL Y FUNCIÓN LOGARÍTMICA CONTENIDO OBJETIVO 6. Relaciones que se modelan mediante funciones eponenciales y funciones logarítmicas. 0,4 Resolver problemas que involucren relaciones que se modelan mediante funciones eponenciales y funciones logarítmicas. 94) La función f dada por f() = 5e se utiliza para determinar la cantidad de miligramos de cierto medicamento en el flujo sanguíneo de un paciente horas después de su administración. Si a un paciente se le inyecta dicho medicamento a la pm, entonces qué cantidad en miligramos de ese medicamento tendrá aproimadamente a las pm de ese mismo día? A),5 B) 0,56 0,4 0, 95) La función dada por f() = e 0, se utiliza para aproimar la cantidad (en millones) de bacterias presentes en un estanque de agua a las horas de iniciada una investigación. Cuántos millones de bacterias habrá aproimadamente al cabo de cinco horas? A) B) ) La presión atmosférica p sobre un avión que se encuentra a una altura en kilómetros sobre el nivel del mar está dada por p() = 760e 0,45. Cuál es aproimadamente la presión sobre un avión que se encuentra a una altura de 0 km sobre el nivel del mar? A) 8,64 B) 4,74 47,40 864,00 97) La cantidad de habitantes P de una región está dada por P(t) = e 0,0t donde t es el tiempo en años a partir del inicio del estudio. Cuál es aproimadamente la cantidad de habitantes que se proyecta a los quince años de iniciado el estudio? A) 66 B)

111 Profesor Miguel Ángel Arias Vílchez ) El número N de insectos de una comunidad a los t días está dada por N(t) = 400e 0,0t. Cuál es aproimadamente el número de insectos que hay en la comunidad al noveno día? A) 79 B) ) La función f dada por f() = 6e se utiliza para determinar la cantidad de miligramos de cierto medicamento en el flujo sanguíneo de un paciente horas después de su administración. Si a un paciente se le inyecta dicho medicamento a las 4 pm, entonces qué cantidad en miligramos de ese medicamento tendrá aproimadamente el paciente a las 7 pm de ese mismo día? A) 0,5 B) 0,58,84, 00) La cantidad de habitantes P (en millones) en cierto país está dada por P(t) = 5e 0,0t, donde t es el número de años transcurridos a partir del año 960. En cuántos millones se habrá incrementado la población para el año 00? A) 5,0 B) 5,8 40,8 60, SOLUCIONARIO Ejercicio Opción Ejercicio Opción 94 A 98 B 95 B 99 D 96 B 00 B 97 B *** ***

112 Profesor Miguel Ángel Arias Vílchez 009 CONTENIDO TEMA 4: GEOMETRÍA OBJETIVO. Círculo y circunferencia: concepto, segmentos y rectas en la circunferencia, ángulos en la circunferencia (central, inscrito, semiinscrito, circunscrito, medida angular del arco que subtienden) y relaciones entre ellas. Teoremas de cuerdas equidistantes del centro. Resolver problemas que involucren relaciones entre medidas de ángulos, de arcos, de segmentos en la circunferencia o los teoremas sobre cuerdas equidistantes del centro. 0) De acuerdo con los datos de la figura, si P es punto de tangencia, AP =, m AB = 0 cuál es la medida de OR? A) 6 B) 6 6 O A P B R O: centro de la circunferencia 0) De acuerdo con los datos de la figura, si AB CD, m AD = 0, m CD = 60, cuál es la medida de ) CDB? A) 55 C B) B D 0 A

113 Profesor Miguel Ángel Arias Vílchez 009 0) De acuerdo con los datos de la figura, si m ABC = 0, entonces la m ) OCB es A) 5 A B) 50 O C A O B B O: centro de la circunferencia 04) De acuerdo con los datos de la figura, si m AC = 40, AB y DC son diámetros, entonces la m ) BCO es A) 0 B B) D O C 90 A O: centro de la circunferencia 05) De acuerdo con los datos de la figura, si DC es tangente al círculo en C, AB es un diámetro y m ) DCB = 6 entonces, cuál es la medida de EAC? A) E B) A B 90 D C

114 Profesor Miguel Ángel Arias Vílchez ) De acuerdo con los datos de la figura, si AB = y AC = 4 5, entonces la distancia de AC al centro O del círculo es A) 4 B) C A B O A O B 07) Si el radio de una circunferencia se aumenta en tres unidades, entonces en cuántas unidades aumenta la circunferencia? A) 6 B) π 4π 6π 08) De acuerdo con los datos de la figura, si en la circunferencia BC es un diámetro, entonces cuál es la medida de AC? A) 4 B B) A 48 C 4

115 Profesor Miguel Ángel Arias Vílchez ) De acuerdo con los datos de la figura, si PA es tangente en A a la circunferencia de centro O y m ) PAB = 54, cuál es la medida de ) BAO? A) 6 P A B) 54 7 O 08 B 0) De acuerdo con los datos de la figura, si ABCD es un rectángulo, O y P son los centros de las circunferencias congruentes y AB = 8, entonces cuál es la longitud de cada circunferencia? A) π A B B) 8π 6π O P 8π D C ) De acuerdo con los datos de la figura, si AC es un diámetro, m CD = 66 y m ) CDB = 60, entonces la m BAD es A) 08 B A B) C D 5

116 Profesor Miguel Ángel Arias Vílchez 009 ) De acuerdo con los datos de la figura, si AB CD, OF =, FE = y CD OE, entonces la medida aproimada de AB es B A),00 B), 4, 4,79 A C O E F D O: centro del círculo ) De acuerdo con los datos de la figura, si AB es tangente a la circunferencia de centro C en A, AC = a y AB = a 0, entonces la medida de EB es A) 4a B) 7a a 0 C E a a A B 4) De acuerdo con los datos de la figura, si AB BC y m ) ABC = 4 ( m ) BCA), entonces la medida del AC es B A) 0 B) 60 A O O: centro del círculo 0 40 C 6

117 Profesor Miguel Ángel Arias Vílchez 009 5) Si dos circunferencias tangentes interiormente tienen diámetros cuyas medidas son y 8, respectivamente, entonces la medida del segmento de recta que une los centros de la circunferencia es A) B) ) En un mismo plano, la distancia entre los centros de dos circunferencias es 0. Si la medida del radio de una de ellas es y la medida del radio de la otra es, entonces se cumple que las circunferencias son A) secantes B) concéntricas tangentes interiormente tangentes eteriormente 7) Sean C y C dos circunferencias cuyos centros son O y P respectivamente. Si A es un punto de C tal que OPA es equilátero, entonces con certeza se cumple que C y C son A) secantes B) concéntricas tangentes interiormente tangentes eteriormente SOLUCIONARIO Ejercicio Opción Ejercicio Opción 0 B 0 A 0 A B 0 A B 04 C A 05 C 4 A 06 A 5 D 07 D 6 C 08 D 7 A 09 A *** *** 7

118 Profesor Miguel Ángel Arias Vílchez 009 CONTENIDO TEMA 4: GEOMETRÍA OBJETIVO. Longitud de la circunferencia. Área del círculo, anillo, sector circular, segmento circular y superficies determinadas en un círculo. Resolver problemas relacionados con longitud de la circunferencia, áreas de círculos o de superficies determinadas en un círculo. 8) De acuerdo con los datos de la figura, si AB CD, AB = y OP = 6, el área de las regiones destacadas con gris corresponde a A) 08π B) π A P O B C O B 6 8π C D 6π 7 O: centro del círculo 9) De acuerdo con los datos de la figura, si el perímetro del círculo es 8π, entonces el perímetro de la región destacada en gris corresponde a A) 8π B) 9π + 9 9π + 8 A O B 9π + 6 O: centro de la circunferencia 8

119 Profesor Miguel Ángel Arias Vílchez 009 0) De acuerdo con los datos de la figura, si MNPQ es un cuadrado inscrito en una circunferencia de centro O, entonces el área de la región destacada en gris corresponde a A) π M Q B) π 4 O 4 8π 6 π 4 N P ) Cuánto mide el radio de un círculo si un arco de longitud π determina en él un sector circular de área 0π? A) 9 B) ) De acuerdo con los datos de la figura, si el AOB es equilátero, OB = 6, entonces el área de la región destacada con gris es A) π 9 B) 6π 9 π 9 O B O: centro del círculo 6π 9 A 9

120 Profesor Miguel Ángel Arias Vílchez 009 ) Un círculo y un cuadrado tienen igual área. Si el perímetro del cuadrado es 4, entonces la medida del radio del círculo es 4 A) π B) π π 8 π 4) Cuál es el área de un sector circular determinado por un ángulo de 0 en un círculo de 8 de diámetro? A) B) 4π 8π 6π 64π 5) De acuerdo con los datos de la figura, si OB = 6 m < BCA = 55, entonces el área de la región destacada con gris es A) π B) π B π C O π A O: centro del círculo 0

121 Profesor Miguel Ángel Arias Vílchez 009 6) De acuerdo con los datos de la figura, si el ABCD es un cuadrado de centro O y las regiones no sombreadas representan sectores de los círculos con centros A y C respectivamente, entonces el área de la región destacada con gris es A) 44 6π B C B) 44 8π 7π 44 O 8π 44 A D SOLUCIONARIO Ejercicio Opción Ejercicio Opción 8 D C 9 C 4 C 0 B 5 A B 6 A D *** ***

122 Profesor Miguel Ángel Arias Vílchez 009 CONTENIDO TEMA 4: GEOMETRÍA OBJETIVO. Polígonos regulares: ángulo interno, eterno, central, lado, diagonales, radio, apotema; circunferencia inscrita o circunscrita y sus relaciones con el polígono circunscrito o inscrito; área y perímetro. Resolver problemas referidos a: lados, diagonales, ángulos, radio, apotema o sus relaciones (incluye relaciones con la circunferencia inscrita o circunscrita), áreas y perímetros de polígonos regulares. 7) La medida de la apotema de un heágono regular cuyo lado mide cm es A) 4 cm B) 4 cm 6 cm 6 cm 8) De acuerdo con los datos de la figura, si MNQ es equilátero y NQ = 4, entonces la medida de OP corresponde a A) B) 6 N 8 O 8 M P Q O: centro de la circunferencia 9) Si el área de un cuadrado mide 0 cm, entonces la medida de su apotema, en centímetros, es 5 A) B) 5 0 0

123 Profesor Miguel Ángel Arias Vílchez 009 0) Si el número de diagonales de un polígono regular es nueve, entonces la suma de las medidas de los ángulos internos es A) 60 B) ) De acuerdo con los datos de la figura, para el heágono regular ABCDEF el área de la región destacada en gris es A) A B B) 4 F O C 4 E D O: centro del polígono ) Si el área de un triángulo equilátero inscrito en una circunferencia es 9, entonces el radio del círculo correspondiente es A) B) 4 ) La medida de un ángulo central de un polígono regular que tiene 9 diagonales en total es A) 0 B)

124 Profesor Miguel Ángel Arias Vílchez 009 4) De acuerdo con los datos de la figura, si ABCD es un cuadrado inscrito en una circunferencia de centro O cuyo diámetro mide 4, entonces el perímetro del cuadrado es A) 8 A B) 6 8 D O B 6 C 5) Si el área de un heágono regular es 6, entonces la longitud de la apotema del heágono es A) 6 B) 6 6 6) Considere las siguientes proposiciones. I. Cada ángulo interno de un pentágono regular mide 08. II. Cada ángulo eterno de un pentágono regular tiene igual medida que un ángulo central. Cuáles de ellas son VERDADERAS? A) Ambas. B) Ninguna. Solo la I. Solo la II. SOLUCIONARIO Ejercicio Opción Ejercicio Opción 7 D B 8 A C 9 B 4 C 0 D 5 C C 6 A 4

125 Profesor Miguel Ángel Arias Vílchez 009 CONTENIDO TEMA 4: GEOMETRÍA OBJETIVO 4. Cuerpos geométricos: esfera, cubo, prisma y pirámide rectas, cono y cilindro circulares rectos y sus elementos (vértices, aristas, diagonales, caras y bases). Área y volumen. Resolver problemas relacionados con el cálculo del volumen o área lateral, área basal y área total de cuerpos geométricos. 7) Si el área lateral de un cilindro es 80π y su altura mide 8, entonces el volumen del cilindro es A) 40π B) 80π 00π 00π 8) Si la altura de una pirámide mide cm y su base es un cuadrado cuya diagonal mide 8 cm, entonces el volumen de la pirámide es A) 9 cm B) 56 cm 84 cm 768 cm 9) Si el volumen de una esfera es centímetros cuadrados, es 9 π cm, entonces el área total de la esfera, en A) 6π B) 9π 4 π 9 6 π 9 5

126 Profesor Miguel Ángel Arias Vílchez ) Si en un cono circular recto la altura mide 8 cm y el diámetro de la base mide 8 cm, entonces el área lateral, en centímetros cuadrados, corresponde a A) π 5 B) 64 π π 6 π 5 4) Si el área total de un cono circular recto de radio es 4π, entonces el volumen del cono es A) π B) 5π 4π 6π 4) La diagonal de la base rectangular de un prisma recto mide 40 y el largo es el triple del ancho. Si la altura de ese prisma mide 60, cuál es su área total? A) 90 B) ) En un cilindro circular recto el área lateral es 64. Si la altura es 4, entonces cuál es el área basal aproimada? A) 0,8 B),00 40,76 00,48 6

127 Profesor Miguel Ángel Arias Vílchez ) Si la altura de un cono circular recto es de y su base tiene una circunferencia de 8π, entonces el área lateral del cono es A) 8π B) 5π 4π 6π 45) Si el volumen de una esfera es de 88π, entonces la medida de su radio es igual a A) 6 B) ) La figura ilustra un sólido formado por un cono y un cilindro ambos circulares y rectos. De acuerdo con los datos de la figura, el volumen del sólido representado es A) πr B) π r 6 6πr 6π r 6 r r r r 47) Si la apotema de una pirámide cuadrangular mide 5 y el lado de la base mide, entonces el área lateral es A) 0 B)

128 Profesor Miguel Ángel Arias Vílchez ) Si el área total de un cono circular recto de radio 5 es 75π, entonces el área lateral del cono es A) 5π B) 5π 50π 65π SOLUCIONARIO Ejercicio Opción Ejercicio Opción 7 D 4 C 8 B 44 B 9 B 45 A 40 D 46 A 4 A 47 A 4 D 48 C 8

129 Profesor Miguel Ángel Arias Vílchez 009 CONTENIDO TEMA 5: TRIGONOMETRÍA OBJETIVO. Ángulos en posición normal (estándar): positivos, negativos, cuadrantales, coterminales, y sus medidas (grados, radianes, conversiones). Determinar la medida en grados o radianes de ángulos referidos a un sistema de coordenadas. 49) La medida aproimada en grados de un ángulo que mide un radián corresponde a A) 90 B) 80 8,7 57, 50) La medida de un ángulo del segundo cuadrante corresponde a A) 5 B) ) Considere las siguientes proposiciones. I. Un radián equivale a 80. π II. corresponde a la medida de un ángulo cuadrantal. Cuáles de ellas son VERDADERAS? A) Ambas. B) Ninguna. Solo la I. Solo la II. 9

130 Profesor Miguel Ángel Arias Vílchez 009 5) La medida de un ángulo coterminal con un ángulo de π es A) B) 4π 5π π 0π 5) La medida de un ángulo cuyo lado terminal se encuentra en el segundo cuadrante es A) 00 B) ) La medida del ángulo de referencia para un ángulo de 5π 6 corresponde a A) B) π 6 π π 6 π 0

131 Profesor Miguel Ángel Arias Vílchez ) De las figuras, cuál corresponde a un ángulo en posición normal? y y A) B) y y 56) Un ejemplo de la medida de un ángulo coterminal al ángulo, cuya medida es α, es A) α + 90 B) α 80 α + 80 α ) En grados, tres radianes equivalen a A) B) π 0 π π 540 π

132 Profesor Miguel Ángel Arias Vílchez ) Un ejemplo de la media de un ángulo en posición normal, cuyo lado terminal se encuentra en el cuarto cuadrante, es A) 70 B) ) La medida de un ángulo cuadrantal corresponde a 4π A) B) 7π 7π 9π 4 60) La medida de un ángulo coterminal con uno cuya medida es π A) 4π corresponde a B) π π 4π 6) Un ejemplo de medida de un ángulo cuyo lado terminal se ubica en el segundo cuadrante y que determina un ángulo de referencia de 0, es A) 480 B)

133 Profesor Miguel Ángel Arias Vílchez 009 6) Si α es la medida de un ángulo que determina un ángulo de referencia de 45 y cuyo lado terminal se ubica en el III cuadrante, entonces sen α + tan α es igual a A) + B) + 6) La medida aproimada en grados, de un ángulo cuya medida en radianes es 5π, es A) 450 B) ,7 64) La medida de un ángulo, en posición normal, cuyo lado terminal se ubica en el II cuadrante es A) π B) 4 π 5π 6 7π 6

134 Profesor Miguel Ángel Arias Vílchez ) Considere las siguientes proposiciones. I. II. π 4 π y 5 corresponden a medidas de ángulos coterminales. y 70 corresponden a medidas de ángulos coterminales. Cuáles de ellas son VERDADERAS? A) Solo I. B) Solo II. Ambas. Ninguna. 66) Si csc α > 0 y cos α > 0, entonces el lado terminal del ángulo de medida α se ubica en el cuadrante A) I B) II III IV SOLUCIONARIO Ejercicio Opción Ejercicio Opción 49 D 58 C 50 C 59 B 5 D 60 D 5 D 6 B 5 A 6 C 54 A 6 B 55 B 64 D 56 D 65 A 57 D 66 A 4

135 Profesor Miguel Ángel Arias Vílchez 009 CONTENIDO TEMA 5: TRIGONOMETRÍA OBJETIVO. Relaciones trigonométricas fundamentales (incluye las pitagóricas y de ángulos complementarios). Simplificación de epresiones trigonométricas. Establecer equivalencias de epresiones trigonométricas. 67) La epresión sen cos (90 ) es equivalente a A) tan B) cot sen cos 68) La epresión A) csc B) cos sen sec csc tan + cot es equivalente a 69) Considere las siguientes proposiciones. sen cos I. + = csc sec II. sen + cos = Cuáles de ellas son VERDADERAS? A) Ambas. B) Ninguna. Solo la I. Solo la II. 5

136 Profesor Miguel Ángel Arias Vílchez ) La epresión A) sen B) csc cos sec sec tan + cot es equivalente a 7) La epresión A) 0 B) cot α cot α csc α tan α sec α + cos α cos α equivale a 7) La epresión ( + sen β) (sec β tan β) equivale a A) B) cos β cos β sen β 7) Considere las siguientes proposiciones. Cuáles de ellas son VERDADERAS? A) Ambas. B) Ninguna. Solo la I. I. sec tan = II. ( sen )( + tan ) = Solo la II. 6

137 Profesor Miguel Ángel Arias Vílchez ) La epresión A) sen sec cot es equivalente a tan sec B) cos cos sen sen cos 75) La epresión A) sec + tan B) csc + tan tan (sec + ) cot (sec + ) cot + cos sen es equivalente a 76) Considere las siguientes proposiciones. I. sen θ + cos θ cosθ cos = θ II. tan θ = tan (90 θ) Cuáles de ellas son VERDADERAS? A) Solo I. B) Solo II. Ambas. Ninguna. 7

138 Profesor Miguel Ángel Arias Vílchez ) La epresión A) tan θ B) sen θ tan θ sen θ cos θ cot (90 θ) tan θ + es equivalente a 78) La epresión ( cos ) csc A) 0 B) sen tan α es equivalente a SOLUCIONARIO Ejercicio Opción Ejercicio Opción 67 C 7 A 68 B 74 A 69 C 75 B 70 A 76 A 7 C 77 D 7 B 78 B 8

139 Profesor Miguel Ángel Arias Vílchez 009 TEMA 5: TRIGONOMETRÍA CONTENIDOS OBJETIVOS. Definición de las funciones trigonométricas: seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante (con sus restricciones), valores de funciones trigonométricas de ángulos cuadrantales y no cuadrantales. Ángulo de referencia. 4. Características de las funciones seno, coseno y tangente: periodicidad, intervalos de monotonía, intersección con los ejes, puntos de discontinuidad y gráfica. Determinar valores de las funciones trigonométricas para ángulos referidos a la circunferencia trigonométrica, mediante el ángulo de referencia o a partir de pares ordenados. Determinar características de las funciones trigonométricas. 79) De acuerdo con los datos de la figura, el valor cot α es A) m B) n (m, n) y m n α m n 80) Considere las siguientes proposiciones respecto de la función dada por f () = tan. Cuáles de ellas son VERDADERAS? A) Ambas. B) Ninguna. Solo la I. Solo la II. I. El ámbito de f es [, ]. II. El periodo de f es π. 9

140 Profesor Miguel Ángel Arias Vílchez 009 8) Considere las siguientes proposiciones. Cuáles de ellas son VERDADERAS? A) Ambas. B) Ninguna. Solo la I. Solo la II. I. π cot = 0 II. π csc = 8) Considere las siguientes proposiciones. Cuáles de ellas son VERDADERAS? A) Ambas. B) Ninguna. Solo la I. π I. csc π 4 = csc π 4 II. cot π = tan π Solo la II. 8) Considere las siguientes proposiciones respecto de la función f dada por f() = tan. Cuáles de ellas son VERDADERAS? A) Ambas. B) Ninguna. Solo la I. Solo la II. π I. f II. f(π) = 0 = 0 84) Un punto donde la gráfica de la función dada por f() = cos interseca el eje y es A) (0, ) B) (0, 0) π 0, (0, ) 40

141 Profesor Miguel Ángel Arias Vílchez ) De acuerdo con los datos de la figura, si α determina un ángulo de referencia de 0, entonces sen α corresponde a A) B) y α 86) Para la función f dada por f() = sen es cierto que A) es de período π. B) tiene por ámbito IR. interseca el eje "y" en (0,). π interseca el eje "" en, 0 y π, 0. 87) Considere las siguientes proposiciones. I. π π El ámbito de la función tangente es,. II. El dominio de la función coseno es IR. De ellas, cuáles son VERDADERAS? A) Ambas. B) Ninguna. Solo la I. Solo la II. 4

142 Profesor Miguel Ángel Arias Vílchez ) Si el lado terminal de un ángulo θ se interseca con la circunferencia 6 trigonométrica en el punto,, entonces el valor tan θ corresponde a 7 7 A) B) ) Considere las siguientes proposiciones. I. La función coseno tiene período π. II. La función tangente es discontinua en = π. Cuáles de ellas son VERDADERAS? A) Ambas. B) Ninguna. Solo la I. Solo la II. 90) Una característica común de las funciones seno y coseno es A) el ámbito es [, ]. B) estrictamente creciente. el dominio máimo es IR +. intersecan el "eje " en (0, 0). 4

143 Profesor Miguel Ángel Arias Vílchez 009 9) Si el lado terminal de un ángulo α en posición normal interseca la circunferencia trigonométrica en,, entonces el valor de csc α es A) B) 9) De acuerdo con los datos de la figura, el valor sen (80 + α) es A) b y B) a b b a a α 9) Considere las siguientes proposiciones. I. El ámbito de la función seno es [, ]. II. El dominio de la función seno es IR.. Cuáles de ellas son VERDADERAS? A) Ambas. B) Ninguna. Solo la I. Solo la II. 4

144 Profesor Miguel Ángel Arias Vílchez ) Considere las siguientes proposiciones. I. La gráfica de la función tangente interseca al "eje " en (0,0). II. π π La función tangente es decreciente en,. Cuáles de ellas son VERDADERAS? A) Ambas. B) Ninguna. Solo la I. Solo la II. 95) Un punto que pertenece al gráfico de la función f dada por f() = cos es π, 0 A) ( ) B) π, 4 π, 4 π 4, 96) Considere las siguientes proposiciones. I. La función tangente es discontinua en 4π. II. La gráfica de la función coseno interseca el "eje y" en (0,). Cuáles de ellas son VERDADERAS? A) Ambas. B) Ninguna. Solo la I. Solo la II. 44

145 Profesor Miguel Ángel Arias Vílchez 009 SOLUCIONARIO Ejercicio Opción Ejercicio Opción 79 C 88 D 80 D 89 A 8 A 90 A 8 C 9 A 8 D 9 C 84 A 9 A 85 B 94 C 86 A 95 B 87 D 96 D 45

146 Profesor Miguel Ángel Arias Vílchez 009 CONTENIDO TEMA 5: TRIGONOMETRÍA OBJETIVO 5. Resolución de ecuaciones trigonométricas en [0, π[. Resolver ecuaciones trigonométricas en [0, π[. 97) Una solución de sen = cos si [ 0, π [ es A) π B) π 4 π 5π 4 98) Una solución de sen = en [ 0, π [ es A) π B) 6 π 5π 6 5π 99) El conjunto solución de + cos = 0 si [ 0, π [ es π 4π A), π 5π B), π 4π, π 5π, 46

147 Profesor Miguel Ángel Arias Vílchez ) Una solución de csc = sec si [ 0, π [ es A) B) π π 4 π 5π 4 40) El conjunto solución de + tan θ = en [ 0, π [ es A) B) π 5π, π 7π, 6 6 π π, 6 6 5π π, ) El conjunto solución de sen cot = en [ 0, π [ es A) B) π π, π π, 4 π 7π, 4 π 7π,

148 Profesor Miguel Ángel Arias Vílchez ) El conjunto solución de sen = 0 en [ 0, π [ es π 5π A), 6 6 B) π 7π, 6 6 π π, π 4π, 404) El conjunto solución de cot 5 A) { } = en [ 0, π [ es B) π 4 5π 4 π 5π, ) El conjunto solución de sen = 0 en [ 0, π [ corresponde a A) π π, B) π π, 4 4 π 5π, 4 4 π 5π, 48

149 Profesor Miguel Ángel Arias Vílchez ) El conjunto solución de cos θ + 5 = 6 en [ 0, π [ es A) π 5π, 6 6 B) π π, 6 6 π π, π 5π, 407) El conjunto solución de tan θ + = en [ 0, π [ es π 5π A), 4 4 B) π 7π, 6 6 π 7π, 4 4 5π π, ) El conjunto solución de sen = en [ 0, π [ es π A) 6 B) π π 5π, 6 6 π π, 49

150 Profesor Miguel Ángel Arias Vílchez 009 SOLUCIONARIO Ejercicio Opción Ejercicio Opción 97 D 40 A 98 D 404 C 99 C 405 B 400 D 406 B 40 B 407 C 40 D 408 C Usted sabia que En la dirección electrónica: Aquí encontrarás toda la información referente a la Olimpiada Costarricense de Matemática de Costa Rica tal como reglamento, temario, pruebas anteriores y otros. Visitala! 50