Funciones reales de variable real: límites y continuidad

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1 Capítulo 3 Funciones reales de variable real: límites y continuidad 3.. Funciones reales de variable real 3... ntroducción Una función f : A B consiste en dos conjuntos, el dominio A = Dom(f) y el rango B = Rang(f), y en una regla que asigna a cada elemento A un único elemento y B. Esta correspondencia se denota como y = f() o f(). Se define la imagen de f como el conjunto m(f) = f(a) = {f() : A}. Si A R y B R son subconjuntos de números reales, se dice que f : A R R es una función real de una variable real. Definición 3... La función f : A B, donde A R y B R, se dice que es:. nyectiva 2 A f( ) f( 2 ). 2. Sobreyectiva y B A/f() = y. 3. Biyectiva si y sólo si es inyectiva y sobreyectiva. 4. Creciente 2 A f( ) f( 2 ). 5. Decreciente 2 A f( ) f( 2 ).

2 2CAPíTULO 3. FUNCONES REALES DE VARABLE REAL: LíMTES Y CONTNUDAD 6. Estrictamente creciente < 2 A f( ) < f( 2 ). 7. Estrictamente decreciente < 2 A f( ) > f( 2 ). 8. Monótona si y sólo si es creciente o decreciente. 9. Estrictamente monótona si y sólo si es estrictamente creciente o estrictamente decreciente. 0. Acotada superiormente M > 0 / f() M A.. Acotada inferiormente m > 0 / m f() A. 2. Acotada si y sólo si es acotada superior e inferiormente. Definición Dadas dos funciones f : A B y g : C D de tal forma que B C se define la función compuesta g f : A D como (g f)() := g(f()), A. Definición Dada f : A B se dice que f : B A es la función inversa de f si f (f()) =, A y f(f (y)) = y, y B. Proposición 3... Dada f : A B eiste su función inversa f : B A si y sólo si f es biyectiva Límite de una función real de variable real Definición 3..4 (Definición de límite). Sean f : (a, b) R R y 0 (a, b). Se dice que el límite de f() cuando tiende a 0 es igual a l R (se escribe lím f() = l ó f() l cuando tiende a 0 ) si ε > 0 δ = δ(ε) > 0 / 0 < 0 < δ f() l < ε. En otras palabras, f() está tan próimo del límite l como nosotros queramos siempre que 0 esté suficientemente próimo a 0. En la definición de lím f() = l no importa f( 0 ) (el valor de f en 0 ), sólo importan los valores de f en los puntos próimos a 0, pero con 0.

3 3.. FUNCONES REALES DE VARABLE REAL 3 Definición 3..5 (Definición de límites laterales). Se definen los límites laterales por la izquierda y por la derecha, respectivamente, como lím f() = l ε > 0 δ = δ(ε) > 0 / 0 < 0 < δ f() l < ε. 0 lím f() = l ε > 0 δ = δ(ε) > 0 / 0 < 0 < δ f() l < ε. + 0 Proposición Eiste lím f() = l si y sólo si eisten ambos límites laterales y lím f() = 0 lím f() = l. + 0 Por tanto si no eiste alguno de los límites laterales o eisten pero son distintos no eiste lím f(). Definición Sean f : (a, b) R R y 0 (a, b). Se dice que lím f() = + M > 0 δ = δ(m) > 0 / 0 < 0 < δ f() > M. Definición Sean f : (a, + ) R R y l R. Se dice que lím f() = l ε > 0 M = M(ε) > 0 / M f() l < ε. + Ejercicio 3... Escribir las definiciones de lím f() =, ±, lím f() = l y lím f() = ±. +± Definición Si lím f() = ±, 0 lím f() = + 0 lím f() = ± se dice que la recta vertical = 0 es una asíntota 0 vertical de la gráfica de f por la izquierda. De modo análogo, si lím f() = ± se dice que la + 0 recta vertical = 0 es una asíntota vertical de la gráfica de f por la derecha. Por otro lado, si y 0 R es el límite de f en ± entonces la recta horizontal y = y 0 es una asíntota horizontal de la gráfica de f. Las reglas aritméticas para el cálculo de límites de funciones son las siguientes. Proposición Sean f, g : (a, b) R R y 0 (a, b). Si lím f() = l y lím g() = l 2 entonces:. lím (f() ± g()) = l ± l 2.

4 4CAPíTULO 3. FUNCONES REALES DE VARABLE REAL: LíMTES Y CONTNUDAD 2. lím cf() = c l, c R. 3. lím (f() g()) = l l 2. f() 4. lím g() = l, siempre que l 2 0. l Continuidad de funciones de una variable real Definición 3.2. (Función continua). Sean f : (a, b) R R y 0 (a, b). Se dice que f es continua en 0 si ε > 0 δ = δ(ε) > 0 / 0 < δ f() f( 0 ) < ε. Diremos que f es continua en (a, b) si es continua en cada punto 0 (a, b). ntuitivamente la condición anterior nos dice f() está arbitrariamente próimo a f( 0 ) siempre que esté suficientemente próimo a 0. La relación fundamental entre límites y continuidad se epresa en el siguiente teorema. Teorema f es continua en 0 lím f() = f( 0 ). Las funciones continuas poseen las siguientes propiedades. Proposición Sean f, g : (a, b) R R y 0 (a, b). Si f y g son funciones continuas en 0 entonces:. f ± g es una función continua en f g es una función continua en f g es una función continua en 0, siempre que g( 0 ) 0. Proposición Sean f : (a, b) R R, g : (c, d) R R, 0 (a, b) y f((a, b)) (c, d). Si f es continua en 0 y g es continua en f( 0 ) entonces la función compuesta g f es continua en 0. Las discontinuidades de una función f : (a, b) R en el punto 0 pueden clasificarse en los siguientes tipos:

5 3.2. CONTNUDAD DE FUNCONES DE UNA VARABLE REAL 5. Discontinuidad evitable: eiste lím f() R, pero lím f() f( 0 ). Este tipo de discontinuidad se llama evitable porque redefiniendo f( 0 ) = lím f() se evita la discontinuidad (cambiando el valor de la función en un único punto la función se hace continua). 2. Discontinuidad esencial de primera especie: puede ser de dos tipos. a) De salto: eisten los límites laterales, pero lím f() lím f(). Se dice que que el salto es finito si los dos límites laterales son finitos, mientras que si alguno de ellos es infinito se dice que el salto es infinito. b) De tipo infinito: si lím f() = ±. 3. Discontinuidad esencial de segunda especie: al menos uno de los límites laterales lím f() 0 ó lím f() no eiste. + 0 Observación Todas las funciones elementales (potencias, eponenciales, logaritmos, trigonométricas, trigonométricas inversas, hiperbólicas e hiperbólicas inversas) son continuas en su dominio, así como aquellas funciones que se obtienen combinando las anteriores mediante sumas, productos, cocientes (con denominador distinto de cero) y composiciones. El siguiente resultado es de gran importancia en el cálculo de límites porque nos dice que si f es continua entonces podemos intercambiar la función con el límite. Teorema (Continuidad y cálculo de límites). Sean f : (a, b) R R, 0 (a, b) y { n } (a, b) tal que { n } 0. Entonces ( ) lím f( n) = f lím n = f( 0 ). n n Algunos teoremas fundamentales sobre funciones continuas Teorema (Teorema de Bolzano). Sea f : [a, b] R R una función continua tal que f(a)f(b) < 0. Entonces eiste (a, b) tal que f() = 0.

6 6CAPíTULO 3. FUNCONES REALES DE VARABLE REAL: LíMTES Y CONTNUDAD f() a b Como consecuencia inmediata del teorema de Bolzano se obtiene el siguiente resultado. Corolario 3.2. (Teorema del valor intermedio para funciones continuas). Sea f : [a, b] R R una función continua tal que f(a) < c < f(b) (o bien f(a) > c > f(b)). Entonces eiste (a, b) tal que f() = c. Otro teorema importante sobre funciones continuas es el siguiente. Teorema (Teorema de Weierstrass). Sea f : [a, b] R R una función continua en el intervalo cerrado y acotado [a, b]. Entonces f alcanza sus valores máimo y mínimo en el intervalo [a, b], es decir, eisten 0, [a, b] tales que f( 0 ) f() f( ), [a, b]. Ejercicio Encontrar ejemplos de funciones f : A R R que no alcancen sus valores máimo y mínimo y que además cumplen las siguientes condiciones:. A es un intervalo acotado y f es continua. 2. A es un intervalo cerrado y f es continua. 3. A es un intervalo cerrado y acotado y f es continua salvo en un punto de A. 4. f es continua y acotada. En cada caso, que hipótesis del Teorema de Weierstrass no se cumple?

7 FUNCONES ELEMENTALES Función SENO: y = sen Periódica, de periodo 2 lt: sen = sen ( + 2 lt) Función ARCO SENO: y,:, Are sen (_!<y~!) O + Es una función impar: sen = - sen (-) Are sen f -- O +~ 2 2 -, ;L f f f f O sen O.!.,'2 3 \ O '7( \ Are sen +Zn n y= are seri = <=> = sen v T-Are sen +2 nt _!: 2 Función COSENO: y = cos Periódica, de periodo 2lT: cos = cos ( + 2lTl Es una función par: cos = cos (-l Función ARCO COSENO: y = Are eos - (O..; v <7') - O + i,7 n lt f f O - ~ f Are ros f \ - 2 \ O eos \ 3 \ /2 \ ~ \ O \ ( \ Are cos + 2n n y =are eos = -Are cos + 2n T <=> = eos y - Función TANGENTE: y = tg Periódica, de periodo lt: tg = tg ( + ltl Es una función impar: tg = -tg (-l y Función ARCO TANGENTE: y = Are tg (-~ <'y,<: )- f f f n X O tg O!! 3! +0) / / -f /2 Are tg -O) O +0) T O +2!: y=aretg~aretg+nt -<=> =tgy.:...'-

8 Función EXPONENCAL: -v = a" a > ~~... O +~ vi 'j ~ Función POTENCAL: y = '" (y = m = e m Lag", X > O y me R*) O +00 m<o v a" ' O +00 "m +00 \ \ O 0<a< -'-00 O +00, a " ~oo \ \ O m m>o O +00 m O +00 (y = '" también está definida para < O si m es racional de la forma m = -p- 2q+l O Funciones HPERBOLlCAS:. - Función LOGARTMO:: y= log. (si a = e: y = Log ) vi COSENO HPERBOLlCO: Ch =!!~ Ch - Sh = - SENO HPERBOLlCO: Sh = e -e 2 a>.o +00 log. -,00.'/ O +00 O' ~ TA'GENGENTE HPERBOLlCA: Th = Sh = ~ CH e2"+ v = Ci" (es una función par] O +00 2" y Ch"! +00 ~ 0<a< 09." O, +00 ;/'00'\ O \ -00 o v = Sh (esuna función impar) O +00 Sh O +00 _