Para hallar el límite de una sucesión podemos utilizar algunas técnicas como: El concepto de límite de una función:

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1 Tema 3 Sucesiones y Series 3.1. Sucesiones de números reales Definición Una sucesión de números reales { } es una aplicación que asigna a cad N un número real: : N R a 1, a 2, a 3... son los términos de la sucesión. es el término general. La sucesión también puede empezar en n = 0: a 0, a 1, a Definición Una sucesión { } se dice convergente si finito. = L, para L El ite de una sucesión { } es L si para todo ɛ > 0 N N tal que si n > N L < ε. (Hay una definición alternativa para L infinito.) Si la sucesión no es convergente, decimos que es divergente. Las propiedades de los ites de sucesiones son las mismas que las propiedades de los ites de funciones. Para hallar el ite de una sucesión podemos utilizar algunas técnicas como: El concepto de ite de una función: Sea f(x) una función y { } la sucesión f(n) =. Si f(x) = L, entonces = L x Podemos utilizar todas las herramientas para calcular el ite de una función, como, por ejemplo, la regla de L Hôpital. El lema del Sandwich para sucesiones: Si = b n (finita o infinita) y {c n } verifica que c n b n, n N, entonces c n = = b n.

2 2 Sucesiones y Series Definición Una sucesión { } se dice: 1. acotada superiormente si C R tal que C. 2. acotada inferiormente si C R tal que C. 3. acotada si es acotada superiormente e inferiormente ( C 1, C 2 R, t. q. C 1 C 2 ). Definición Una sucesión { } se dice: 1. monótona creciente si < +1 (no decreciente si +1 ). 2. monótona decreciente si > +1 (no creciente si +1 ). 3. monótona, si es uno de los casos previos. Teorema { } monótona y acotada { } convergente Teorema (Criterio de Stolz) Si las sucesiones { } y {b n } verifican uno de los siguientes apartados: 1. {b n } es monótona creciente con b n =, 2. {b n } es monótona decreciente, con b n 0 para cad N y = b n = 0. Siempre que +1 = L, exista parar L finito o infinito, entonces b n+1 b n b n = Teorema (Fórmula de Stirling) +1 b n+1 b n n! n n e n 2πn = 1

3 3.2. Series de números reales Series de números reales Una serie es la suma de una sucesión de términos N Por ejemplo la suma geométrica: r n = rn+1 1 r 1. Definición Sea { } una sucesión, una serie(infinita) es la suma de todos sus términos: = a 1 + a 2 + a 3 + a 4 +. La suma parcial de n términos es S n = a 1 + a 2 + a 3 +. Si la sucesión {S n } de sumas parciales converge al ite S, entonces decimos que la serie converge, y S es la suma de la serie: S = S n = a 1 + a 2 + a 3 + a 4 +. En otro caso, decimos que la serie diverge. Propiedades 1. y b n conv (c 1 + c 2 b n ) = c 1 an + c 2 bn conv div. 3. conv = 0. (Pero = 0 conv) Teorema La suma geométrica converge si 0 < r < 1, en este caso r n = 1 1 r. Teorema La serie telescópica ( = b n b n+1 ) (b n b n+1 ) = (b 1 b 2 ) + (b 2 b 3 ) + (b 3 b 4 ) + (b 4 b 5 ) + verifica que S n = b 1 b n+1. Esta serie converge b n < y S = b 1 b n. Teorema La p-serie (p = 1 es la serie armónica) 1 n p = 1 1 p p p p converge si p > diverge si 0 < p 1.

4 4 Sucesiones y Series CRITERIOS DE CONVERGENCIA PARA SERIES 1. Criterio de comparación directa: { } y {b n } dos sucesiones de términos positivos bn conv conv 0 < b n, n an div b n div 2. Criterio de comparación en el ite: { } y {b n } dos sucesiones de términos positivos = L, L finito y positivo b n an y b n tienen el mismo comportamiento ambas convergen o ambas divergen 3. Criterio de la raíz: { } sucesión de términos positivos n an < 1 conv n an > 1 div n an = 1 el criterio no concluye 4. Criterio del cociente: { } sucesión de términos positivos < 1 conv > 1 div = 1 el criterio no concluye 5. Criterio de Leibniz para series alternadas: { } sucesión de términos positivos Si +1 y = 0 La serie alternada ( 1) n converge condicionalmente ( ( 1) n+1 )

5 3.3. Series de potencias 5 Definición AC. CC. an es absolutamente convergente si es convergente. Si es convergente pero es divergente, entonces la serie es condicionalmente convergente. Convergencia absoluta = Convergencia condicional No convergencia condicional = No convergencia absoluta ERROR Cuando aproximamos la suma de una serie alternada por sus primeros n términos, entonces N S = S N + R N = ( 1 n ) + R N R N a N+1 Nota. Podemos derivar o integrar una serie infinita para obtener otra serie Series de potencias Definición Una serie de potencias centrada en x 0 es una serie infinita de la forma f(x) = (x x 0 ) n = a 0 + a 1 (x x 0 ) + a 2 (x x 0 ) 2 + a 3 (x x 0 ) 3 + Teorema (Convergencia de las series de potencias) Una serie de potencias en x 0 verifica uno y sólo uno de los siguientes apartados: 1. La serie converge sólo en x 0 2. Existe un número real ρ > 0 tal que la serie es absolutamente convergente en x c < ρ divergente en x c > ρ 3. La serie es absolutamente convergente para todo x R Nota. ρ es el radio de convergencia de la serie de potencias. ρ = 0, ρ < ó ρ =. El conjunto de todos los valores de x para los cuales la serie converge es el intervalo de convergencia de la serie. El radio se puede obtener mediante las siguientes formulas: 1 n = sup an ρ 1 ρ = +1, si el ite existe

6 6 Sucesiones y Series Teorema Si la serie de potencias f(x) = (x x 0 ) n tiene radio de convergencia ρ > 0, entonces f(x) es continua, derivable e integrable en (x 0 ρ, x 0 + ρ). La derivada y la integral se calculan término a término. Ambas tienen el mismo radio de convergencia que f. El intervalo de convergencia puede ser diferente, debido al comportamiento en los extremos (x = x 0 ± ρ). Propiedades. Sean f(x) = x n y g(x) = b nx n. 1. f(kx) = k n x n 2. f(x N ) = x Nn 3. c 1 f(x) + c 2 g(x) = (c 1 + c 2 b n )x n Definición Si existen todas las derivadas de f en x 0, entonces la serie f (n) (x 0 ) (x x 0 ) n n! se llama la serie de Taylor de f centrada en x 0 (para x 0 = 0 también se llama la serie de Mac Laurin de f). Teorema Si existen todas las derivadas de f en un intervalo abierto I que contiene a x 0 entonces f (n) (x 0 ) f(x) = (x x 0 ) n n! si y solo si existe ξ entre x y x 0 tal que R f (n+1) (ξ) n(x) = (n + 1)! (x x 0) n+1 = 0, x I. SERIES DE TAYLOR e x = 1 + x + x2 2! + x3 3! + + xn n!, < x < sen x = x x3 3! + x5 5! x7 x2n ( 1)n 7! (2n + 1)!, < x < cos x = 1 x2 2! + x4 4! x6 x2n + + ( 1)n 6! (2n)!, < x < arctan x = x x3 3 + x5 5 x7 x2n ( 1)n 7 (2n + 1), 1 x x = 1 + x + x2 + x x n, 1 < x < 1 ln (1 + x) = x x2 2 + x3 xn + ( 1)n+1 3 n, 1 < x 1