Series y Probabilidades.

Transcripción

1 Series y Probabilidades Alejandra Cabaña y Joaquín Ortega 2 IVIC, Departamento de Matemática, y Universidad de Valladolid 2 CIMAT, AC

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3 Índice general Sucesiones y Series Numéricas 3 Sucesiones 3 2 Límites Superior e Inferior de una Sucesión 8 3 Subsucesiones 4 Series 5 Series de Términos Positivos 5 5 Pruebas de Convergencia para Series de Términos Positivos 6 52 Pruebas para Convergencia Absoluta 20 6 Series Alternas 2 7 Convergencia Condicional 22 8 Reordenamientos 23 9 Multiplicación de Series 26 2 Sucesiones y Series de Funciones 3 2 Sucesiones de Funciones 3 22 Convergencia Uniforme Convergencia Uniforme y Continuidad Convergencia Uniforme y Diferenciación Integración de Sucesiones de Funciones Series de Funciones Series de Potencias 45 3 Funciones generatrices 53 3 Variables Aleatorias no Negativas 53 3 Sumas de Variables Independientes Funciones Generatrices de Probabilidad Distribución de la Suma de un Número Aleatorio de Sumandos Procesos de Ramificación Distribuciones Límite: el Teorema de Continuidad El Paseo al Azar Simple Retornos al Origen Funciones Generatrices de Momentos 68

4 2 ÍNDICE GENERAL

5 Capítulo Sucesiones y Series Numéricas Sucesiones Un sucesión es un conjunto ordenado de números Por ejemplo 2, 4, 6, 8, 0, 2, es la sucesión de los números pares positivos El primer elemento es 2, el segundo es 4, el quinto es 0 y el elemento que ocupa el lugar n es 2n Vemos en este ejemplo que lo que hemos hecho es asociar a cada número natural, 2, 3, un número par 2, 4, 6, : n n Por lo tanto, una sucesión no es más que una función definida sobre los números naturales que toma valores reales La definición formal es la siguiente Definición Una sucesión de números reales es una función f : N R Si f(n) = x n, decimos que x n es el n-ésimo término de la sucesión Usualmente escribiremos (x n ) n= o {x n, n } para denotar esta sucesión y en algunos casos simplemente (x n ) Observación En algunos casos consideraremos sucesiones que comienzan en cero en lugar de comenzar en uno: {x n, n 0} También consideraremos sucesiones dóblemente infinitas: {x n, n Z} 2 Aunque la mayoría de las sucesiones que veremos serán de números reales, también aparecerán sucesiones de números complejos e incluso sucesiones de funciones La definición en cada caso es totalmente análoga Definición 2 Sea (x n ) n= una sucesión en R y x R Decimos que la sucesión (x n) n= converge a x, si para todo real positivo ɛ existe un entero positivo N = N(ɛ) tal que x n x < ɛ, siempre que n N Si (x n ) n= converge a x escribimos x n x cuando n o lim n x n = x, decimos que x es el límite de la sucesión (x n ) n= y que la sucesión es convergente Una sucesión que no es convergente, es divergente Esta definición formaliza la siguiente idea intuitiva: x es el límite de la sucesión (x n ) si a medida que crece el índice n los elementos x n de la sucesión están cada vez más próximos al límite x Ejemplo x n = n Esta sucesión converge a 0 en R: dado ɛ > 0 escogemos N = N(ɛ) tal que N posible por la propiedad Arquimedeana de N) Entonces tenemos que para todo n N x n x = n 0 = n N < ɛ < ɛ (esto es 3

6 4 Series y Probabilidades Gráficamente (ver figura ), la convergencia equivale a que, para cualquier ε > 0, a partir de un cierto índice N, todos los miembros de la sucesión caigan dentro de una banda de ancho 2ε centrada en el valor del límite, que es cero en este caso ε 0 ε 2 3 N Figura : La sucesión /n 2 x n = n en R Esta sucesión es divergente ya que para cualquier x R y cualquier ɛ > 0 fijo existe N N tal que N > x + ɛ y la condición de la definición no se satisface 3 Consideremos la sucesión (x n ) n=, donde x n = + n para n N Hemos visto en el primer ejemplo que la sucesión ( n ) converge a 0 y por lo tanto nuestra idea intuitiva es que la sucesión x n = + n debe converger a + 0 = Veamos a partir de la definición que esto es efectivamente cierto Sea ɛ > 0, queremos ver que existe N = N(ɛ) tal que si n N, x n < ɛ x n = + n = = n n Al igual que en el ejemplo, basta escoger N de modo que N < ɛ para tener x n = n N < ɛ + ε ε N Figura 2: La sucesión + ( )n n La noción de sucesión convergente es una de las ideas fundamentales del Análisis, y suponemos que el estudiante está familiarizado con ella A continuación presentamos una colección de propiedades, cuya demostración dejamos como ejercicio Teorema (Propiedades) El límite de una sucesión convergente es único 2 Toda sucesión convergente es acotada

7 Capítulo : Sucesiones y Series Numéricas 5 3 (x n ) n= converge a x si y sólo si toda vecindad de x contiene todos los términos de (x n ) n= excepto un número finito de ellos 4 Si E R y x es un punto de acumulación de E, existe una sucesión (x n ) n= en E para la cual x = lim n x n Supongamos que (x n ) e (y n ) son sucesiones de números reales y x n x, y n y Entonces 5 lim(x n + y n ) = x + y 6 Para c R, lim(cx n ) = cx 7 lim(x n y n ) = xy 8 lim(x n /y n ) = x/y si y 0 e y n 0 para n N Definición 3 Sea (x n ) n= una sucesión en R, decimos que esta sucesión tiene límite infinito o tiende a infinito, si dado cualquier a R existe N N tal que si n N entonces x n > a Escribimos x n cuando n o lim n x n = De manera similar decimos que la sucesión tiene límite menos infinito o tiende a menos infinito si dado cualquier a R existe N N tal que si n N, entonces x n < a Escribimos x n cuando n o lim n x n = Estas sucesiones no son convergentes Ejemplos 2 x n = n 2 Esta sucesión tiende a infinito: como los términos de la sucesión son positivos basta considerar a > 0 en la definición En este caso basta tomar N a para obtener que 2 Veamos que la sucesión x n = x n = n N = x n > a también tiende a infinito (2n + ) /2 (2n ) /2 (2n + ) /2 (2n ) = (2n + )/2 + (2n ) /2 /2 (2n + ) (2n ) Dado a > 0 basta tomar N > a2 + 2 para obtener que n > N = = 2 ((2n + )/2 + (2n ) /2 ) 2 (2(2n )/2 ) = (2n ) /2 > a (2n + ) /2 (2n ) /2 Resaltamos la diferencia entre x n x y x n En el primer caso x es un número y podemos medir la distancia entre x y x n En cambio no es un número y la distancia entre y x n siempre vale Si x n la sucesión x n es divergente Las sucesiones que no tienen límite en el sentido que acabamos de describir (finito o infinito), se conocen como sucesiones oscilantes

8 6 Series y Probabilidades Ejemplo 3 Sea x n = ( ) n Si n es par, x n = mientras que si n es impar, x n = ; pero ni ni pueden ser límites de esta sucesión: supongamos que es límite, entonces a partir de un cierto entero N, todos los términos de la sucesión deberían satisfacer x n < /2 Pero si n > N es impar entonces x n = = 2 > /2, y la sucesión no converge a De manera similar se muestra que tampoco converge a Figura 3: La sucesión ( ) n Uno podría pensar que si (x n ) n= es una sucesión convergente con límite x y b es un número real tal que x n < b para todo n N, entonces x < b también, pero esto no es cierto: basta tomar x n = /n para todo n, x = y b = Con este ejemplo vemos que el resultado del próximo teorema es lo mejor que se puede esperar Teorema 2 Sea (x n ) n= una sucesión convergente de números reales con límite x Si b R es tal que x n b para todo n N, entonces x b Demostración Supongamos que x > b, entonces tomando h = x b 2 > 0 existe N h N tal que x n x < h para todo n N h y esto implica lo que contradice la hipótesis x n > x h = x 2 (x b) > b + (x b) > b 2 Corolario Sean (x n ) n= y (y n ) n= sucesiones convergentes de números reales con límites x e y respectivamente Si x n y n para todo n N, entonces x y Corolario 2 Si (x n ) n=, (y n ) n= y (z n ) n= son sucesiones de números reales con y n x n z n para todo n y lim y n = lim z n = l entonces (x n ) n= es convergente y lim x n = l Definición 4 Si x n x n+ para todo n N, decimos que la sucesión (x n ) n= es creciente Es útil considerar el crecimiento de la sucesión en sentido amplio, permitiendo que términos sucesivos sean iguales Si x n < x n+ para todo n N, decimos que la sucesión es estrictamente creciente Si x n+ x n para todo n N, decimos que la sucesión es decreciente y si x n+ < x n para todo n, que es estrictamente decreciente Decimos además que cualquiera de estas sucesiones es monótona Probaremos a continuación una propiedad importante de las sucesiones monótonas: no pueden ser oscilantes Teorema 3 Toda sucesión monotona en R tiene límite en R = R { } Una sucesión monotona en R converge si y sólo si es acotada

9 Capítulo : Sucesiones y Series Numéricas 7 Demostración Consideremos una sucesión creciente (x n ) n= en R : x x 2 y sea x = sup{x n : n N} Veamos que x = lim x n : Caso : x =, es decir (x n ) n= no está acotada superiormente Por lo tanto, dado M > 0 existe N N tal que x N > M Pero como la sucesión es creciente se cumple que n N = x n x N > M es decir, lim x n = Caso 2: x R Dado ɛ > 0 existe N N tal que x N > x ɛ De nuevo, como la sucesión es creciente n N = x ɛ < x N x n x de modo que si n N, d(x n, x) < ɛ y concluimos que lim x n = x La demostración para sucesiones decrecientes es similar tomando x = inf{x n : n N} Corolario 3 Si (x n ) n= es una sucesión creciente en R, lim x n = sup{x n : n N} Si (x n ) n= es una sucesión decreciente en R, lim x n = inf{x n : n N} Ejemplo 4 La sucesión a n Un ejemplo útil e importante es el de la sucesión x n = a n, para a R El comportamiento de esta sucesión cuando n depende del valor de a Si a = 0, x n = a n = 0 y lim x n = 0 2 Si a =, x n = a n = y lim x n = 3 Si a =, la sucesión toma alternadamente los valores + y y es oscilante 4 Si a > la sucesión x n = a n es creciente: x n x n = a n a n = a(a n ) > 0 Por el Corolario 3, lim x n = sup x n Veamos que la sucesión no está acotada Sea k = a y escribamos a = + k Usando el desarrollo binomial obtenemos ( ) n x n = a n = ( + k) n = k j > + nk j Como k > 0, la sucesión ( + nk) n= no está acotada y por lo tanto tampoco lo está (x n ) n= 5 Si 0 < a < entonces < a Sea l > 0 tal que a = + l Entonces 0 < x n = j=0 ( + l) n < + nl Es fácil ver que cuando n, /( + nl) 0, de modo que por el Corolario, x n 0 6 Si a < entonces a = b, con b > y por (4) b n Por lo tanto la sucesión (b n ) n toma alternadamente valores positivos y negativos que son cada vez mas grandes en valor absoluto, es decir la serie es oscilante y no es acotada Resumiendo tenemos () a >, a n (2) a =, a n (3) < a <, a n 0 (4) a =, a n oscila y es acotada (5) a <, a n oscila y no es acotada

10 8 Series y Probabilidades Definición 5 Una sucesión (x n ) n= es una sucesión de Cauchy si para todo ɛ > 0 hay un entero N tal que x n x m < ɛ si n N, m N Toda sucesión convergente es de Cauchy: si lim x n = x y ɛ > 0 exite N N tal que x n x < ɛ 2 Por lo tanto, si n N, m N se tiene para n N x n x m x n x + x m x < ɛ El recíproco también es cierto y es una propiedad muy importante de los números reales con la distancia usual que se conoce como completitud: R con la distancia usual es completo Ejercicios Establezca la convergencia o divergencia de las siguientes sucesiones: x n = n n + ; x n = ( )n n n + ; x n = 2n 3n 2 + ; x n = 2n n 2 + ; x n = 2n 2 n 2 (a) De un valor de N tal que, si n > N, n 2 4n > 0 6 (b) De un valor de N tal que si n > N entonces x n x < 0 00, donde x n = n2 + y x es el límite de esta sucesión n 2 3 Si s > 0 y s n+ Ks n, donde K >, para todos los valores de n, entonces s n + 4 Si para todo n, s n+ K s n, donde 0 < K <, entonces s n 0 La conclusión también es válida si la hipótesis se satisface sólo para n > N 5 Si lim s n+ s n = h, con < h <, muestre que s n 0 6 Demuestre el teorema 7 Discuta el comportamiento de la sucesión a n /n k cuando n, donde k es un entero positivo 8 Dé ejemplos de sucesiones s n para las cuales lim s n+ s n = y (a) s n, (b) s n 5, (c) s n 0 9 Si (x n ) es una sucesión de números reales, (y n ) una sucesión de reales positivos y (x n /y n ) es monótona, demuestre que la sucesión definida por z n = (x + x x n)/(y + y y n) también es monótona 0 Sea 0 < a < b < Definimos x = a, x 2 = b, x n+2 = (x n + x n+ )/2 Es convergente la sucesión (x n )? Si la respuesta es afirmativa, Cuál es el límite? Si (x n ) n N e (y n ) n N son sucesiones tales que {n N : x n y n } es finito, entonces o bien ambas sucesiones convergen al mismo límite o bien ambas divergen 2 Si (x n ) n N es una sucesión, p N, e y n = x n+p entonces o bien ambas sucesiones convergen al mismo límite o bien ambas divergen 3 El número e Para n N sean a n = ( + n )n b n = ( + n )n+ Demuestre que (a n ) n= es creciente, (b n ) n= es decreciente y ambas sucesiones convergen al mismo límite Este límite común se denota por e y se cumple que 2 < e < 4 (Puede usar el siguiente resultado, conocido como la desigualdad de Bernoulli: Si x y k N entonces ( + x) k + kx) 4 Demuestre que R es un espacio métrico completo: toda sucesión de Cauchy en R converge 2 Límites Superior e Inferior de una Sucesión Definición 6 Sea (x n ) n= una sucesión en R Para cada k N definimos α k = sup n k x n ; β k = inf n k x n

11 Capítulo : Sucesiones y Series Numéricas 9 Vemos que la sucesión (α n ) n= es decreciente mientras que (β n ) n= es creciente Definimos el límite superior de la sucesión (x n ) n= : lim n x n ó limsup n x n por lim x n = lim k α k = lim k y el límite inferior: lim n x n ó liminf n x n por sup x n n k lim x n = lim k β k = lim k inf n k x n Ambos límites estan siempre definidos y son elementos de R Por la monotonía de las sucesiones (α k ) y (β k ) tenemos lim x n = lim k x n = inf k x n lim x n = lim k Además como β k α k para todo k se tiene que sup n k inf x n = sup n k k lim x n lim x n sup n k Una forma equivalente de escribir ambas definiciones es la siguiente: lim x n = lim n sup p lim x n = lim n x n+p inf p x n+p inf n k x n Teorema 4 Sea (x n ) n= una sucesión en R y a, b R Entonces lim x n = a si y sólo si se cumplen las siguientes dos condiciones: a) Si α < a el conjunto {n N : x n > α} es infinito b) Si β > a el conjunto {n N : x n > β} es finito 2 lim x n = b si y sólo si se cumplen las siguientes dos condiciones: a) Si α < b el conjunto {n N : x n < α} es finito b) Si β > b el conjunto {n N : x n < β} es infinito Demostración Haremos solo el caso () con a finito Sea α k = sup n k x n y a = lim α k Sea α < a, entonces α k > α para todo k Por la definición de α k, para cada k existe n k k tal que α k x nk > α Por lo tanto {n N : x n > α} {n k : k N} y este último conjunto es infinito Sea ahora a < β Como α k a existe k 0 tal que α k0 < β y por lo tanto si n k 0, x n α k0 < β Esto quiere decir que el conjunto {n N : x n > β} es finito Supongamos que, por el contrario, se satisfacen las condiciones a) y b) Si < a <, dado β > a podemos escoger k 0 N tal que x n β para todo n k 0 Por lo tanto α k α k0 β para todo k k 0 y limsup x n = lim k α k β Como esto es cierto para todo β > a concluimos que limsup x n a Por otro lado, si α < a el conjunto {n N : x n > α} es infinito y por lo tanto α k > α y limsup x n = lim α k α Como esto es válido para cualquier α < a concluimos que limsup x n a Teorema 5 Sea (x n ) n= una sucesión en R Entonces lim x n existe en R si y sólo si lim x n = lim x n En este caso lim x n = lim x n = lim x n

12 0 Series y Probabilidades Demostración Supongamos que lim x n = lim x n = l Si l R entonces ( ) ( ) lim sup x n+p = lim inf x n+p = l n p n p y dado ɛ > 0 existe un entero N tal que sup x n+p l + ɛ p para todo n N Por lo tanto inf x n+p l ɛ para todo n N p l ɛ x n l + ɛ para todo n N + aquí concluimos que x n l cuando n Si l = +, entonces a) del Teorema 4 dice que para cualquier α R, existe N N tal que x n > α para todo n > N, y por lo tanto lim x n = + De manera similar se trata el caso l = Supongamos ahora que lim x n = l Si l R, dado ɛ > 0 existe N tal que Por lo tanto y entonces Como esto es cierto para cualquier ɛ concluimos l ɛ < x n < l + ɛ para todo n N l ɛ inf x n+p sup x n+p l + ɛ para todo n N p p ( ) ( ) l ɛ lim inf x n+p lim sup x n+p l + ɛ p p lim x n = lim x n = l Si lim x n = +, dado M R existe N N tal que si n N entonces x n > M Por lo tanto inf x n+p M p para n N y en consecuencia lim x n = lim inf p x n+p M esto quiere decir que + = lim x n lim x n + De manera similar se muestra el resultado en el caso lim x n = Observación 2 Sea (x n ) n= una sucesión en R Un punto x R es un punto de acumulación de la sucesión si toda vecindad de x contiene a infinitos elementos de la sucesión Es decir, si B = {x n : n N}, x es un punto de acumulación de la sucesión si y sólo si es punto de acumulación de B Sea (x n ) n= una sucesión en R y sea A el conjunto de puntos de acumulación de esta sucesión Entonces lim x n A y lim x n A y además lim x n c lim x n para todo c A Como consecuencia, una sucesión en R tiene límite en R si y sólo si tiene un solo punto de acumulación Ejercicios 2 Sea a n = ( ) n Muestre que limsup a n = liminf a n = 2 Definimos la sucesión (a n) por a 2n = /n, a 2n = 0, n Demuestre que limsup a n = liminf a n = 0

13 Capítulo : Sucesiones y Series Numéricas 3 Si (a n) y (b n) son dos sucesiones de números reales que satisfacen a n b n demuestre que limsup a n limsup b n y liminf a n liminf b n 4 Sean (x n ) e (y n ) sucesiones reales positivas y acotadas, entonces lim x n +lim y n lim (x n +y n ) lim (x n +y n ) lim x n + lim y n De ejemplos que muestren que estas desigualdades pueden ser estrictas 5 Sean (x n ) e (y n ) sucesiones reales acotadas, entonces lim x nlim y n lim (x ny n) lim x nlim y n lim (x ny n) lim x nlim y n 6 Sea (s n) n N una sucesión de números reales positivos Muestre que lim s n+ s n lim n s n lim n s n lim s n+ s n 3 Subsucesiones Definición 7 Sea (x n ) n= una sucesión en R Si n < n 2 < n 3 < es una sucesión estrictamente creciente de números naturales, decimos que la sucesión (x nk ) k= es una subsucesión de (x n) n= Teorema 6 Sea (x n ) n= una sucesión en R, (x n ) n= converge a x R si y sólo si toda subsucesión de (x n ) n= converge a x Demostración Supongamos que x n x y sea (x nk ) k= una subsucesión de (x n) n= Dado ɛ > 0 entonces existe N N tal que si n N, x n x < ɛ Para la subsucesión tomamos K N tal que n K > N Entonces para todo k K se tiene x nk x < ɛ y x nk x cuando k Por otro lado, si toda subsucesión de (x n ) n= converge a x, basta considerar (x n ) n= como subsucesión de sí misma Teorema 7 Toda sucesión acotada en R tiene una subsucesión convergente Demostración Sea E = {x n, n N}, el conjunto de todos los valores que toma la sucesión Por la observación 2, lim x n es punto de acumulación de E y por lo tanto existe una subsucesión (x nk ) k= que converge a lim x n Ejercicios 3 Construya una sucesión divergente en R que tenga una subsucesión convergente 2 Sea (a n ) una sucesión acotada de números reales Demuestre que hay una subsucesión (a ni ) tal que a ni liminf a n cuando i 3 Si (a n ) es una sucesión acotada y (a ni ) es una subsucesión, demuestre que liminf a n liminf a ni limsup a ni limsup a n 4 Series Definición 8 Sea (x n ) n= una sucesión de números reales Para cada n N definimos S n = x k = x + x x n k= La sucesión (S n ) n se conoce como la serie infinita asociada a, o generada por, la sucesión (x n ) n= La notación usual es ó xn n= x n

14 2 Series y Probabilidades Decimos que x n es el n-ésimo sumando y S n es la n-ésima suma parcial de la serie Si la sucesión de sumas parciales (S n ) n converge decimos que x n es una serie convergente En caso contrario la serie es divergente Si lim n S n = S decimos que S es la suma de la serie x n y escribimos x n = S n= Así, para las series convergentes, el símbolo n= x n tiene un doble papel: representa la serie y también su suma Es importante también que el lector distinga claramente entre la sucesión (x n ) n= y la serie n= x n y entienda la relación entre ambas Consideraremos ocasionalmente series de la forma n=p x n donde p Z, las cuales definimos como la serie n= y n donde y n = x n+p Ejemplo 5 Sea x n = /n Las sumas parciales (S n ) correspondientes a esta sucesión son S = ; S 2 = + 2 = 3 2 ; S 3 = = 6 ; En la figura 4 vemos, en la parte inferior, la gráfica de la sucesión x n y en la parte superior, la de la sucesión de sumas parciales S n La primera sucesión es decreciente mientras que la segunda es creciente 3 2 S S 9 S 8 S 7 S 6 x 9 x S 8 5 x 7 S 4 x 6 S x 5 3 x 4 S 2 x 3 x 2 x x 0 x 2 x 3 x4 x5 x6 x7 x8 x Figura 4: La sucesión /n y la serie asociada Está claro a partir de la definición que la sucesión (x n ) n determina totalmente la serie x n y sus propiedades Lo contrario también es cierto ya que la serie x n es la sucesión (S n ) n de sumas parciales y x n = S n S n Por lo tanto, todos los resultados que hemos visto para sucesiones tienen una versión para series En particular, el Criterio de Cauchy para series es el siguiente:

15 Capítulo : Sucesiones y Series Numéricas 3 Teorema 8 (Criterio de Cauchy) La serie x n es convergente si y sólo si para todo ɛ > 0 existe un entero N tal que x k < ɛ siempre que n m N k=m Si x n converge entonces el teorema anterior con m = n nos dice que n N x n < ɛ, es decir Corolario 4 Si x n converge entonces lim n x n = 0 La condición enunciada en el Corolario 4 es sólo necesaria, como lo muestra el siguiente ejemplo Ejemplo 6 Si x n = n /2 entonces x n 0 cuando n pero k= y como n cuando n, x n diverge a x k = + + n n 2 n n Haciendo n con m fijo en el teorema anterior obtenemos Corolario 5 Si x n converge, dado ɛ > 0 existe N N tal que si m N entonces k=m x n < ɛ Observación 3 Si se cambia un número finito de sumandos de una serie no se altera su convergencia o divergencia, pero puede variar el valor de su suma En contraste, el cambio de un número finito de términos de una sucesión no altera su convergencia o divergencia, ni se altera el límite al cual converge, en caso de que sea convergente La diferencia se debe a que el m-ésimo sumando de la serie x n aparece en la k-ésima suma parcial k j= x j = x + x x k si k m y en consecuencia, el cambio en el valor de un sumando de la serie altera el valor de todos los términos de la sucesión de sumas parciales, excepto por una cantidad finita de ellos Ejemplo 7 Consideremos de nuevo el ejemplo de la sucesión x n = /n y supongamos que cambiamos los dos primeros términos de la sucesión: en lugar de y 0, 5 ponemos 0 en ambos casos (Ver figura 5) En el caso de la sucesión x n cambian los valores de estos dos términos pero el resto de la sucesión permanece igual, mientras que en el caso de la serie, el valor de todas las sumas parciales ha sido alterado: en lugar de ;, 5;, 83; 2, 08; 2, 28; tenemos ahora 0; 0; 0, 33; 0, 58; 0, 78; Como veremos más adelante, ambas series son divergentes, pero las sucesiones de sumas parciales son distintas Corolario 6 Si x n y y n son series de términos reales y x n = y n para todo n suficientemente grande, entonces o ambas series convergen o ambas divergen Demostración Para algún N N se tiene que n > N implica que x n = y n Por lo tanto para n m > N se tiene x k = k=m y por el criterio de Cauchy ambas series convergen o ambas divergen Usando los teoremas que hemos visto para sucesiones obtenemos el siguiente resultado para series k=m y k

16 4 Series y Probabilidades 2 0 S S S 9 8 S 7 S 6 S 5 4 S 3 S S x x 2 x 3 x4 x5 x6 x 7 x 8 x 9 Figura 5: La sucesión /n y la serie asociada con los dos primeros términos cambiados Teorema 9 Si x n y y n son series convergentes de términos reales y c R entonces n= cx n = c n= x n 2 n= (x n + y n ) = n= x n + n= y n En particular, las dos series de la izquierda convergen Demostración Ejercicio Teorema 0 (Serie Geométrica) Sean a, x R La serie n=0 axn converge y su suma es a/( x) si x < Si a 0 y x esta serie diverge Demostración La fórmula para progresiones geométricas nos dice que S n = ax k = a xn+ x Aplicando los resultados estudiados para sucesiones, si x < obtenemos lim S n = a n x k=0 Si a 0 y x entonces ax n a > 0 para todo n y el Corolario 4 muestra que la serie no puede converger Definición 9 Una serie x n converge absolutamente (o es absolutamente convergente) si x n converge Teorema Si x n converge absolutamente entonces converge Demostración El resultado sigue de la desigualdad m x k y el criterio de Cauchy k=n m x k Definición Si x n converge pero x n diverge decimos que x n converge condicionalmente k=n

17 Capítulo : Sucesiones y Series Numéricas 5 Ejercicios 4 Muestre que 0 converge a (n+)(n+2) 2 Construya series con las siguientes propiedades a) Σa n converge y Σa 2 n diverge b) Σb n converge y Σb 3 n diverge c) Σc n converge y Σc 2 n y Σc 3 n divergen 3 Si x n converge muestre que x nn también converge 4 Si x n converge y y n diverge demuestre que (x n + y n ) diverge y que z n donde z 2n = x n y z 2n = y n (n N) también diverge 5 Si x n converge a S, demuestre que x n+ converge a S a y que kx n converge a ks 6 Si x n converge a S, demuestre que (x n + x n+ ) converge a 2S x Construya una serie divergente y n tal que (y n + y n+) converja 7 Sea (n k ) una sucesión estrictamente creciente de enteros positivos con n = y sea x n una serie convergente Para k N sea b k = {x n : n k n < n k+ } Demuestre que b n converge y tiene la misma suma que x n 8 Si (x 2n + λx 2n ) y (x 2n + µx 2n ) son series convergentes, donde λ µ, demuestre que x n converge 9 Si x n converge demuestre que x 2 n converge 0 Si x n converge absolutamente e y n satisface (+x n)( y n) =, demuestre que y n converge absolutamente Si x 2 n converge, entonces x nn converge absolutamente 2 Si (x n ) n N es una sucesión decreciente y x n converge, pruebe que nx n 0 cuando n Deduzca que si α entonces n α diverge 5 Series de Términos Positivos Definición 0 Sea x k una serie con términos x k 0 y sea S n = n k= x k su n-ésima suma parcial Como (S n ) n es una sucesión creciente, tiene un límite S R (que puede ser + ) Escribimos k= x k = S S se conoce como la suma de la serie Si S < esta definición coincide con la anterior y decimos que la serie converge Si S = la serie diverge En cualquier caso la serie tiene suma y escribimos xk < ó xk = según el caso Teorema 2 Sea x n una serie con términos positivos x n converge si y sólo si la sucesión de sumas parciales es acotada Demostración Este resultado es consecuencia del Teorema 3 Ejemplo 8 La serie n= /n, conocida como la serie armónica, es divergente Veamos que la sucesión de sumas parciales correspondiente a esta serie no está acotada Usaremos el hecho de que (/n) es una sucesión decreciente S = S 2 = + 2 S 4 = > = S 8 = = S > S = S > S 6 = S > S = S > + 4 2

18 6 Series y Probabilidades y en general S 2 n = S 2 n + 2 n n > S 2n + 2n 2 n = S 2 n + 2 Por recurrencia obtenemos que S 2 n > + n 2 y vemos que esta sucesión no es acotada y por lo tanto la serie no converge Teorema 3 Si y n, x n [0, + ) para todo n N y c 0 entonces n= ca n = c n= a n 2 n= (a n + b n ) = n= a n + n= b n Demostración Si todas las sumas que aparecen son finitas, esto es el Teorema 9 En caso contrario el resultado es consecuencia de la definición 5 Pruebas de Convergencia para Series de Términos Positivos Para las series de términos positivos hay varios criterios que permiten determinar si las series son convergentes Presentamos a continuación cuatro de ellos sin demostración Suponemos que el estudiante está familiarizado con ellos Todos los resultados que presentamos dependen, de manera fundamental, de que los términos de las series sean positivos En esta sección, x n 0 y y n 0 para todo n Teorema 4 (Criterio de Comparación) Si para algún K > 0 y algún N N, se tiene que 0 x n Ky n para todo n N, entonces Si y n converge se tiene que x n converge y n=n x n K n=n y n 2 Si x n diverge, y n también x Corolario 7 Si lim n n yn = K, 0 < K < entonces ambas series convergen o ambas divergen Si K = 0, la convergencia de y n implica la convergencia de x n, mientras que si K =, la divergencia de x n implica la de y n Teorema 5 (Prueba del Cociente, d Alembert) Sea (x n ) n una sucesión de números reales estrictamente positivos Si para algún N N existe un número real α (0, ) para el cual x n+ /x n α siempre que n N entonces x n converge 2 Si para algún N N, se tiene que x n+ /x n siempre que n N entonces x n diverge Corolario 8 Sea (x n ) n una sucesión con x n > 0 para n Si limsup x n+ x n < entonces x n converge 2 Si liminf x n+ x n > entonces x n diverge En general, la prueba del cociente sólo funciona para series que convergen rápidamente y su principal aplicación es a las series de potencias, que estudiaremos más adelante Para poder usar el Criterio de Comparación es necesario conocer el comportamiento de algunas series El próximo resultado es importante en este sentido Teorema 6 La serie n α converge si α > y diverge si α

19 Capítulo : Sucesiones y Series Numéricas 7 Demostración Hemos visto que si α = la serie diverge Si α <, n α > n y por el Criterio de Comparación, n α diverge Supongamos ahora que α > y consideremos la suma para los índices n que satisfacen N + n 2N; entonces n α (N + ) α < N α y 2N n=n+ n α < N α (2N N ) < N α Tomemos ahora N = 2 j, para j = 0,,, k ; obtenemos que 2 k n α k 2 j+ j=0 k n α 2 ( α)j 2 ( α)j = n=2 j j=0 j=0 2 ( α) donde 2 ( α)j es una serie geométrica convergente porque α > y 2 α < Como estamos considerando una serie de términos positivos, la sucesión de sumas parciales es creciente y hemos mostrado que esta sucesión está acotada Por el Teorema 2 la serie es convergente Teorema 7 (Prueba de la Raíz) Definamos β = limsup(x n ) /n Entonces a) Si β <, b) Si β >, xn converge xn diverge c) Si β =, la prueba no da información La prueba de la raíz es más fuerte que la prueba del cociente, como lo muestran los siguientes ejemplos: Ejemplos 9 Para n N definimos x n = { 2 n, si n es par 3 n, si n es impar entonces x n < 2 n < Ahora bien, lim x n+ x n = lim n 3 lim(x n ) /n = lim ( 3 n) /n = 3 lim(x n ) /n = lim ( 2 n) /n = lim x n+ x n = lim 2 ( ) n 2 = 0 () 3 ( 3 2 (2) (3) ) 2 n = (4) Vemos que la prueba de la raíz detecta la convergencia, mientras que la del cociente no nos da información 2 Para n N definimos x n = { 2 n, si n es par 2 n, si n es impar

20 8 Series y Probabilidades entonces x n = y lim(x n ) /n = lim (2 n ) /n = 2 (5) lim x ( ) n+ 2 (n+) = lim x n n 2 n = lim 2 2n+ = 0 (6) lim x ( ) n+ 2 n+ = lim x n 2 n = (7) La prueba de la raíz detecta la divergencia mientras que la prueba del cociente no da información Bajo ciertas circunstancias hay una estrecha relación entre el comportamiento de la integral fdt y el de la serie f(n) Teorema 8 Si f está definida para x 0, es decreciente y positiva entonces tiende a un límite finito cuando N N fdx N f(n) n= Demostración Llamemos Como f es decreciente k N = k N+ k N = N N+ N fdx de modo que la sucesión (k N ) es creciente Llamemos ahora l N = N N f(n) n= fdx f(n + ) 0 N fdx f(n) Un argumento similar muestra que la sucesión (l N ) es decreciente Además n= l N k N = f(n) 0 Por lo tanto k N l N l de modo que k N está acotada superiormente Por lo tanto k N converge a un límite finito Corolario 9 (Prueba de la Integral) Si f está definida para x > 0, es decreciente y positiva, entonces f(n) converge si y sólo si fdx converge Demostración Si f dx converge entonces N fdx tiende a un límite finito cuando N y por lo tanto N f(n) = n= N fdx k N también converge a un límite finito Por otro lado, si N n= f(n) converge a un límite finito cuando N entonces f(n) 0 cuando n y N N fdx = f(n) + k N n=

21 Capítulo : Sucesiones y Series Numéricas 9 también tiende a un límite finito cuando N Si N < x < N + entonces x N fdt fdt = x fdt f(n) N que tiende a cero cuando N y en este caso x Ejemplos 0 Tomemos f(x) = /x en el teorema anterior, entonces converge a un límite finito cuando x n log n tiende a un límite finito cuando n Este límite se conoce como la constante de Euler, se denota por γ y es un número en (0, ) 2 Tomemos ahora donde f(x) = ( x log x log r x (log r (x)) α) log s (x) = log(log s (x)), log 2 (x) = log(log(x)) Sea a suficientemente grande de modo que f esté definida si x > a, entonces x a fdt = α (log r t) x a = { α [ (logr x) α (log r (a)) α] si α log r+ (x) log r+ (a) si α = por lo tanto la serie f(n) converge si α > y diverge si α Estas series son útiles a los efectos de la prueba de comparación El próximo teorema muestra que el orden en el cual aparecen los términos de una serie de términos positivos no afecta su suma Teorema 9 Sea A un conjunto numerablemente infinito y sea {a k, k } una enumeración de A Para cualquier función f : A [0, ] se tiene { } f(a k ) = sup f(a) : F es finito, F A (8) k= a F Nota: El símbolo a F f(a) denota la suma de los valores de f en los puntos del conjunto F En vista del Teorema escribimos el segundo miembro de (4) como f(a) o {f(a) : a A} a A para cualquier A y f : A [0, ] Si A =, a A f(a) = 0 por definición Demostración Sea α < a A f(a) Escogemos F A finito de modo que α < a F f(a) Escogemos ahora k 0 N de modo que F {a k : k k 0 } Por lo tanto α < k 0 f(a) f(a k ) f(a k ) a F k= k=

22 20 Series y Probabilidades y como α es arbitrario, Además, f(a) f(a k ) a A k= f(a k ) = sup{ f(a) k= y esto concluye la demostración k= f(a k ) : n N} a A 52 Pruebas para Convergencia Absoluta Sea x n una serie de números reales La serie x n de los valores absolutos es una serie de números reales positivos y podemos aplicarle los criterios de convergencia que estudiamos anteriormente para obtener de esta manera criterios de convergencia absoluta Por ejemplo, si limsup( x n ) /n <, la serie x n es absolutamente convergente Ejercicios 5 Determinar si las siguientes series convergen o divergen a) Σ n 3 g) Σ πn m) Σ 3 n b) Σ 3 n c) Σ 2 n n h) Σ 2 n + 2 n) Σ n 3 4 n 3 d) Σ n(n + ) i) Σ 3 n + j) Σ 4 n 3 o) Σ 4n 2 n p) Σ 3n 4n e) Σ (n + )(n + 2) k) Σ n n + f) Σ (n + )(n + 2)(n + 3) n l) Σ 2(n + )(n + 2) q) Σ n r) Σ n2 n 3 n (n + 3)3 n 2 Para cada una de las siguientes sucesiones determine si la serie asociada es convergente o no () x k = (2) x 4 + k 2 k = k + k + (4) x k = 32k (k!) 2 (2k)! (3) x k = k2 k! (5) x k = k + k + k k (6) x k = k (9) x k = ( ) k k k 2 + (7) x k = ((k) /k ) k (8) x k = ( ) k k 2k + 3 Sea x n una serie de términos positivos tal que la sucesión (x n) es decreciente y sea y n = 2 n x 2 n para n N Demuestre que ambas series x n y y n convergen o ambas divergen 4 Suponga que la serie de términos positivos x n converge Demuestre que (x n x n+ ) /2 y (x n n δ ) /2, δ > 0 convergen 5 Sean x n y y n series convergentes de términos positivos Demuestre que (x n y n ) /2 converge 6 La sucesión (x n ) es decreciente, x n > 0 y (x n x n+ ) /2 converge Muestre que x n converge De un ejemplo de una serie positiva divergente y n tal que (y ny n+) /2 converge 7 x n es una serie divergente de términos estrictamente positivos (i) Determine si las siguientes series convergen o divergen: ) x n/( + x n) 2) x n/( + nx n) 3) x n/( + n 2 x n) 4) x n/( + x 2 n) con x n acotada (ii) Sea S n = x + + x n Demuestre que x N+ S N+ + + x N+k S N+k S N S N+k (iii) Pruebe que x n Sn 2 S n S n y deduzca que x n S 2 n converge y deduzca que x n Sn diverge

23 Capítulo : Sucesiones y Series Numéricas 2 6 Series Alternas Aunque la noción de convergencia absoluta nos provee una herramienta poderosa para estudiar la convergencia, puede suceder que una serie sea convergente sin ser absolutamente convergente En esta situación hay algunas pruebas que permiten detectar en ciertos casos si la serie es convergente Definición Si una serie es convergente sin ser absolutamente convergente decimos que es condicionalmente convergente El caso más frecuente es el de las series alternas, que son aquellas en las cuales los términos sucesivos cambian de signo (ver figura 6) Para este caso hay una prueba de convergencia sencilla e importante Teorema 20 (Prueba de Leibniz para Series Alternas) Sea (x n ) n una sucesión decreciente de números positivos con x n 0, entonces n= ( )n+ x n es convergente Además, si S k = k n= ( )k+ x k y S = n= ( )n+ x n entonces Demostración Para k y p en N S S k x k+ para todo k S k+p S k = ( ) k+2 x k+ + + ( ) k+p+ x k+p (9) = x k+ x k ( ) p+ x k+p (0) La suma que aparece entre los signos de valor absoluto se puede escribir como { x k+p x k+p, si p es par (x k+ x k+2 ) + (x k+3 x k+4 ) + + x k+p, si p es impar 0 S x S 3 S 5 x 2 x 4 x x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 3 S S 6 S 8 4 S S 7 S 9 x 0 x 2 x 3 x 4 x5 x6 x 7 x 8 x Figura 6: La sucesión x n y la serie alterna asociada Como (x n ) es una sucesión decreciente, esto muestra que esta suma es positiva y por lo tanto podemos eliminar los signos de valor absoluto La suma puede ser reescrita de la siguiente manera: { x k+p, si p es par x k+ (x k+2 + x k+3 ) x k+p x k+p, si p es impar,

24 22 Series y Probabilidades lo cual muestra que Como x k 0, dado ɛ > 0 podemos hallar k N tal que para todo p N S k+p S k < x k+ () S k+p S k < ɛ ya que basta tomar k de modo que x k < ɛ Además, haciendo p en (42) obtenemos lo que concluye la demostración S S k < x k+, Ejemplos La serie n= ( )n+ (/n) es convergente, lo cual se deduce del teorema anterior, pero no es absolutamente convergente ya que al tomar el valor absoluto de los términos obtenemos la serie armónica Este es un ejemplo de una serie condicionalmente convergente 2 Usando la prueba de Leibniz vemos que la serie n= ( )n+ / n también es convergente, pero vimos en el ejemplo 6 que la serie no es absolutamente convergente, igual que en el caso anterior Ejercicios 6 Estudie la convergencia y la convergencia absoluta de las series: () ( ) n ((n 2 + ) /2 n) (2) ( ) n (2n + ( ) n+ ) /2 2 Sea a n una sucesión decreciente de números reales positivos Demuestre que Σa n z n converge si z, z 3 Construya una serie convergente Σa n y una sucesión de números positivos b n con b n 0 de modo que Σa n b n diverja 7 Convergencia Condicional Ya vimos que una serie condicionalmente convergente es aquella que converge pero que no converge condicionalmente En la sección anterior vimos dos ejemplos Sea ahora x n una serie de este tipo y llamemos p, p 2, p 3, los términos positivos de esta serie, en el orden en el cual aparecen, y sean q, q 2, q 3, los términos negativos, también en el orden en el cual aparecen Por ejemplo, para la serie tenemos p =, p 2 = 3, p 3 = 5, p n = 2n q = 2, q 2 = 4, q 3 = 6, q n = 2n, Consideramos ahora las dos series p n y q n que consisten sólo de términos positivos Teorema 2 Si la serie x n es absolutamente convergente, entonces cada una de las series p n y q n es convergente y x n = p n q n En cambio, si la serie x n es condicionalmente convergente, las series p n y q n ambas divergen

25 Capítulo : Sucesiones y Series Numéricas 23 Demostración Supongamos que la serie x n es absolutamente convergente con x n = M, entonces, para cualquier n, x i M (2) i= Si consideramos ahora una suma parcial de la serie de términos positivos, digamos p + + p k, vemos que los términos de esta suma están incluidos en la suma x + + x n para n suficientemente grande, y por (2) concluimos que k p i M i= Como esta desigualdad es cierta para todo k concluimos por el teorema 2 que p n es convergente De manera similar se demuestra que la serie q n de términos negativos es convergente Para la suma parcial x + + x n sea µ n en número de términos positivos y ν n el de términos negativos presentes Entonces x n = i= µ n i= p i ν n i= q i (3) Si la serie es absolutamente convergente hemos visto que ambas series del lado derecho son convergentes, y haciendo n obtenemos x n = p i q i i= i= Es posible que sólo haya una cantidad finita de términos positivos, o de términos negativos, o incluso que no haya sino términos de un solo tipo En estos casos la serie es absolutamente convergente si y sólo si es convergente, porque a partir de un cierto índice todos los términos tienen el mismo signo Consideremos el caso en el cual hay infinitos términos de cada signo, de modo que µ n y ν n cuando n Llamemos S n = x i ; P n = p i ; Q n = q i Con esta notación (3) es S n = P µn Q νn y además tenemos i= i= i= i= x i = P µn + Q νn (4) i= Supongamos ahora que la serie x n es convergente y consideremos las series p n y q n Si alguna de estas últimas es convergente, la otra también debe serlo En efecto, por la relación S n = P µn Q νn, si, por ejemplo, Q n = n q k es convergente, despejando P n de la relación anterior tenemos P µn = S n +Q νn, y como ambos sumandos de la derecha convergen cuando n, también lo hace P µn Esto implica la convergencia de P n por la definición de µ n y porque se trata de una serie de términos positivos Pero si ambas series pn y q n son convergentes la relación (4) implica que x n también lo es Vemos, así, que si x n es condicionalmente convergente, ambas series p n y q n deben ser divergentes 8 Reordenamientos Si tenemos una suma finita de número reales x + + x n, sabemos, por la propiedad conmutativa, que podemos sumarlos en cualquier orden y el resultado de la suma es siempre el mismo Nos preguntamos ahora si esto es cierto en el caso de series infinitas: Si cambiamos el orden en el cual se suman los términos de una serie, obtenemos siempre el mismo resultado?

26 24 Series y Probabilidades La respuesta, que puede resultar sorprendente para el lector, es que no necesariamente las dos series suman lo mismo Más aún, puede suceder que al cambiar el orden de los términos de una serie convergente, obtengamos una serie que diverge Comencemos por ver un ejemplo Ejemplo 2 En un capítulo posterior demostraremos que log 2 = (5) 3 S 2 log 2 S 2 S 3 S 4 S 5 S 6 S 7 S 8 S log 2 S S 2 S 3 S 4 S 5 S 7 S 9 S 6 S Figura 7: La sucesión ( ) n+ n y un reordenamiento Veamos que cambiando el orden de los sumandos de esta serie podemos obtener otro valor para la suma (ver figura 7): 3 2 log 2 = (6) El esquema en este nuevo arreglo de la suma es tomar dos términos positivos y uno negativo y así sucesivamente Para demostrar este resultado observemos que si multiplicamos (5) por /2 obtenemos 2 log 2 = En esta última serie podemos insertar términos iguales a cero sin cambiar su valor: 2 log 2 = (7) y ahora, por el teorema 9 podemos sumar las series (5) y (7) término a término para obtener (6) Definición 2 Sean x n una serie y f : N N una biyección La serie y n donde y n = x f(n) es un rearreglo de x n Como la función inversa f : N N también es biyectiva, x n es un rearreglo de y n

27 Capítulo : Sucesiones y Series Numéricas 25 Hablando informalmente, un rearreglo es un serie que tiene los mismos términos que la serie original pero que se suma en otro orden Ejemplo 3 Las series x n y y n donde x n = n y para k /2k, si n = 3k y k = /(4k 3), si n = 3k 2 /(4k ), si n = 3k son rearreglos En este caso y n = x f(n) donde f está definida para n por f(3n 2) = 4n 3, f(3n ) = 4n, f(3n) = 2n Definición 3 Si x n y todos sus rearreglos convergen a la misma suma decimos que x n converge incondicionalmente Veremos que esto es equivalente a convergencia absoluta El siguiente teorema muestra que las series convergentes de términos positivos son incondicionalmente convergentes Teorema 22 x n converge absolutamente si y sólo si converge incondicionalmente Demostración Supongamos que x n converge absolutamente y y n es un rearreglo que se obtiene por la función f con y n = x f(n) Entonces dado ɛ > 0 existe N N tal que n=n x n < ɛ Sea M = máx n N f(n), entonces para m M, m x n y n x n x n < ɛ n=n y esto muestra que y n converge a x n, y por lo tanto la serie converge incondicionalmente Supongamos ahora que x n converge incondicionalmente pero no absolutamente Definimos la función f de la siguiente manera: sea S = x n y considerando la sucesión (x n ) n llamemos p, p 2, p 3, los términos estrictamente positivos de la sucesión, listados en el orden en el cual aparecen De manera similar llamaremos q, q 2, q 3, los términos estrictamente negativos Las sucesiones (p n ) n y (q n ) n son ambas infinitas pues en caso contrario, al ser convergente la serie x n y tener signo constante a partir de un cierto índice k 0 N, la serie tendría que ser absolutamente convergente Por lo tanto, p n y q n son series de términos estrictamente positivos Si (P n ) n y (Q n ) n son las sucesiones de sumas parciales, al menos una de ellas debe tender a, porque si ambas fueran acotadas, la sucesión de sumas parciales de xn también estaría acotada y la serie sería absolutamente convergente Si, por ejemplo, P n, construimos un rearreglo de la serie de la forma p + p p n q + p n+ + + p n2 q 2 + p n p n3 q 3 + p n3+ + (8) en el cual un grupo de términos positivos va seguido por uno negativo Escogiendo adecuadamente los índices n < n 2 < podemos hacer que esta serie sea divergente, para lo cual basta tomar n de modo que n=n P n = p + p p n > q +, luego n 2 > n de modo que y en general n j de modo que P n2 > 2 + q + q 2, P nj > j + Q j

28 26 Series y Probabilidades para j =, 2, Siempre podemos encontrar una sucesión de índices que satisfaga estas condiciones porque P n La serie (8) es divergente porque las sumas parciales de esta serie cuyo último término es q j, para algún j, son estrictamente mayores que j, y la desigualdad también se satisface para las sumas parciales que siguen Por lo tanto las sumas parciales tienden a y no a S, lo cual es una contradicción En realidad, en la demostración del teorema anterior probamos que si la serie x n converge condicionalmente hay un rearreglo que converge a + Es posible mostrar el siguiente resultado, que es mas fuerte: sean α β + entonces existe un rearreglo y n de x n con sumas parciales (T n ) n tal que lim T n = α lim T n = β La demostración de este resultado puede encontrarse en el libro de W Rudin, teorema 354 Ejercicios 7 La serie x n es condicionalmente convergente Dado S R demuestre que hay un rearreglo de x n cuya suma es S 2 Muestre que las series y ambas convergen y son rearreglos Muestre que la suma de la segunda es la mitad de la primera 9 Multiplicación de Series Consideremos dos series convergentes x n, y n y, para fijar las ideas, supongamos que son series de términos positivos, lo cual nos va a permitir sumar estas series en cualquier orden y obtener siempre el mismo resultado Hemos visto que si formamos una nueva serie z n sumando término a término las series iniciales (z n = x n + y n ), el resultado es una serie convergente cuya suma es la suma de las series x n e y n : zn = x n + y n Queremos ahora definir el producto de las series originales de modo que la serie producto converja al producto de las series iniciales Un primer ensayo podría ser definir z n como el producto término a término de las series originales: z n = x n y n Es fácil ver, sin embargo, que esto no funciona Ejemplo 4 Definimos para n, x n = { 2 n, si n es par, 0, si n es impar y n = { 0, si n es par, 2 n, si n es impar Los productos término a término valen todos 0 mientras que x n = 2 2n () n = = 4 3, n= n= n= de modo que y n = 2 (2n ) = 2 2 2n = 2 3, n= n= n= x n n= n= y n = = 2 9 0

29 Capítulo : Sucesiones y Series Numéricas 27 Supongamos que las series comienzan con el índice 0 y llamemos S n = n i=0 x i, T n = n i=0 y i a las sumas parciales de las respectivas series y S y T a los límites correspondientes, de modo que S n S, T n T, cuando n Si multiplicamos término a término las sucesiones de sumas parciales tenemos que S n T n ST y el producto de las sumas parciales es: ( n )( n ) S n T n = x i y j = x i y j i=0 j=0 i=0 j=0 Vemos que el producto de las sumas parciales es la suma de todos los productos posibles entre pares de términos formados tomando un elemento de cada suma Si hacemos n esta suma converge a ST y por lo tanto, una posible definición del producto entre las series x n e y n es una serie z n en la cual aparezcan todos los productos posibles formados multiplicando un término x n por un término y n, es decir, que aparezcan todos los términos de la tabla 9 y 0 y y 2 y n y n y n+ x 0 x 0 y 0 x 0 y x 0 y 2 x 0 y n x 0 y n x 0 y n+ x x y 0 x y x y 2 x y n x y n x y n+ x 2 x 2 y 0 x 2 y x 2 y 2 x 2 y n x 2 y n x 2 y n+ x n x n y 0 x n y x n y 2 x n y n x n y n x n y n+ x n x n y 0 x n y x n y 2 x n y n x n y n x n y n+ x n+ x n+ y 0 x n+ y x n+ y 2 x n+ y n x n+ y n x n+ y n+ Cuadro : Multiplicación de Series Una manera cómoda de realizar esta suma es hacerla a lo largo de las diagonales Esto equivale a fijar el valor de la suma de los índices en los productos, por ejemplo, a n y y a 0 y n están en la misma diagonal porque en ambos casos los índices suman n Este es el sentido de la siguiente definición Definición 4 El producto de Cauchy de dos series n=0 x n y n=0 y n de términos reales es la serie n=0 z n donde z n = x k y n k La sucesión (z n ) se conoce como la convolución de las sucesiones (x n ) e (y n ) k=0 La figura 8 es una simplificación del cuadro 9 en la cual reemplazamos los términos del margen por sus índices y los productos por puntos El término z n de la definición representa la suma de los productos que aparecen en la figura y que corresponden a la diagonal n (empezando la numeración de las diagonales con el 0, que corresponde al

30 28 Series y Probabilidades 0 2 n n n n n n + Figura 8: Definión de z n término x 0 y 0 ) Queremos demostrar a continuación que, definido de esta forma y bajo ciertas condiciones, el producto de Cauchy de dos series convergentes es convergente y su valor es ST = ( x n )( y n ) Vimos ya que el producto de las sumas parciales S n T n converge, cuando n, al producto ST Por lo tanto, bastaría ver que la diferencia entre la suma parcial para el producto de Cauchy n k= z n y el producto de las sumas parciales tiende a 0 cuando n (ver figura 9) Esto lo haremos en el próximo teorema bajo condiciones ms generales Antes, veamos que no basta con la convergencia de las series que deseamos multiplicar para garantizar que su producto de Cauchy converja Ejemplo 5 Veamos una serie convergente cuyo producto de Cauchy consigo misma es divergente: sea x 0 = 0 x n = ( )n n n entonces x n converge por el Criterio de Leibniz (Teorema 20) Sin embargo, z 0 = z = 0, n z n = x k x n k = ( ) n, k(n k) k=0 k= n n z n = =, k(n k) (n )(n ) k= k= por lo tanto z n 0 y z n diverge Teorema 23 (Mertens) Sean n=0 x n una serie absolutamente convergente de suma S y n=0 y n una serie convergente de suma T Definimos z n = n k=0 x ky n k para n = 0,, 2, Entonces z n = ST n=0

31 Capítulo : Sucesiones y Series Numéricas n n n n n n + Figura 9: Diferencia entre n z j y ( n x j)( n y j) Demostración Sean entonces S n = x k, T n = k=0 y k, U n = k=0 z k, τ n = T n T, k=0 U n = x 0 y 0 + (x 0 y + x y 0 ) + + (x 0 y n + x y n + + x n y 0 ) = x 0 T n + x T n + + x n T 0 = x 0 (T + τ n ) + x (T + τ n ) + + x n (T + τ 0 ) = S n T + x 0 τ n + x τ n + + x n τ 0 Queremos ver que esta expresión converge a ST Como S n T ST basta mostrar que η n = x 0 τ n + x τ n + + x n τ 0 0 Llamemos σ = n=0 x n y sea ɛ > 0 Como y n converge a T, lim τ n = 0 y existe N N tal que τ n < ɛ para n N y entonces η n x 0 τ n + + x n N τ N+ + x n N τ N + + x n τ 0 ɛ x 0 + x + + x n+n + x n N τ N + + x n τ 0 ɛσ + x n N τ N + + x n τ 0 Como x n 0, manteniendo N fijo y haciendo n obtenemos limsup η n ɛσ Teniendo en cuenta que ɛ es arbitrario se obtiene el resultado El siguiente teorema lo enunciamos sin demostración Teorema 24 (Abel) Si las series x n, x 0 y n + + x n y 0 entonces U = ST yn y z n convergen a S, T y U respectivamente y z n =

32 30 Series y Probabilidades Ejercicios 8 Para las series Σa n y Σb n calcule su producto de Cauchy Σc n Determine cuáles de estas series con convergentes y si todas lo son, calcule Σc n en términos de Σa n y Σb n i) a n = b n = para todo n ii) a 0 = a = /2, a n = 0 para n > ; Σb n convergente iii) a 0 =, a =, a n = 0 para n > ; b n = /n iv) a n = x n /n!, b n = y n /n! 2 x n converge absolutamente e y n 0 cuando n Muestre que x y n + x 2 y n + + x n y tiende a 0 cuando n 3 Pruebe que si x < entonces [ + x + x 2 + x 3 + ] 2 = + 2x + 3x 2 + 4x Demuestre por multiplicación de series que si f(x) = x n n=0, entonces f(x)f(y) = f(x+y) para cualesquiera n! x e y 5 Demuestre que el producto de Cauchy de las dos series divergentes converge absolutamente ( )( )

33 Capítulo 2 Sucesiones y Series de Funciones 2 Sucesiones de Funciones En el capítulo anterior vimos que una sucesión de números reales es, simplemente, una colección numerable y ordenada de números reales De manera similar, una sucesión de funciones es una colección numerable y ordenada de funciones En general supondremos que el conjunto de índices es N, aunque ocasionalmente usaremos los enteros no-negativos o Z Usaremos la notación (f n ) n o {f n : n N} para indicar una sucesión de funciones Ejemplos 2 Las funciones f n : [0, ] R, n definidas por f n (x) = x n forman una sucesión cuyo conjunto de índices es N 2 Las funciones f : R R, n Z definidas por f n (x) = nx, también forman una sucesión pero con índices en Z Definición 2 Sea S R un conjunto y (f n ) n una sucesión de funciones f n : S R y sea también f una función de S en R Decimos que la sucesión (f n ) n converge puntualmente a f en S si, para todo s S, la sucesión (f n (s)) n converge a f(s): f(s) = lim n f n(s) y entonces escribimos f n f (puntualmente) Desarrollando esto en detalle, para cada s S y cada ɛ > 0 existe N N tal que f n (s) f(s) < ɛ siempre que n N Es fundamental observar que la selección de N se hace luego de conocer s y ɛ, de modo que N puede depender de ambos Ejemplos 22 S = [0, ], f n : S R definida por y sea f : S R definida por f n (s) = f(s) = { ns si 0 s /n 0 si /n < s, { 0 si 0 < s si s = 0 Es trivial ver que f n (0) converge a f(0), mientras que si 0 < s y ɛ > 0 tenemos f n (s) f(s) = f n (s) = 0 < ɛ si n > /s, por lo tanto f n f puntualmente en S 3

34 32 Series y Probabilidades f(x) f f 2 f x Figura 2: Ejemplo 22, la sucesión f n 2 S = [0, ] y para n N, f n : S R está definida por f n (s) = s n Sea f : S R definida por f(s) = { 0 si 0 s < si s = f(x) Figura 22: Ejemplo 222, la sucesión f n x Es fácil ver que f n () f(), mientras que si 0 s < f n (s) f(s) = s n < ɛ si n > log ɛ/ log s En este caso la dependencia de N en ɛ y s es clara 3 S = R y para n N sea f n : S R definida por f n (s) = s/n Definimos f : S R por f(s) = 0 para s R De nuevo es claro que f n f puntualmente en R: si s R y ɛ > 0, f n (s) f(s) = s n < ɛ s si n > ɛ f(x) ε ε f f 2 f 3 f 4 f 5 x Figura 23: Ejemplo 223, la sucesión f n

35 Capítulo 2: Sucesiones y Series de Funciones 33 Por lo tanto el menor valor de N para el cual la afirmación: f n (s) f(s) < ɛ cuando n > N es cierta es la parte entera de s /ɛ, y está claro que dado ɛ > 0 no podemos escoger un solo N que haga cierta la afirmación anterior para todo s 4 Si en el ejemplo anterior tomamos S = [0, ] tenemos, por supuesto, que f n f en S, pero en este caso si ɛ > 0 y N = [/ɛ] entonces f n (s) f(s) < ɛ para n > N y todo s S La diferencia es que ahora, dado ɛ podemos hallar un solo N que sirve para todo s S f(x) f ε f 2 f 3 x Figura 24: Ejemplo 224, la sucesión f n El problema principal que nos planteamos ahora es determinar si ciertas propiedades de las funciones de la sucesión, también son compartidas por la función límite, en particular, si las funciones f n son continuas, diferenciables o integrables, es lo mismo cierto para f? qué relación hay entre f n y f, o entre las integrales de las funciones f n y la de f? Por ejemplo, si f n f puntualmente, decir que f es continua en x quiere decir que o sea lim f(t) = f(x) t x lim lim f n(t) = lim f n(x) t x n n de modo que si las funciones f n son continuas en x esto es lim lim f n(t) = lim lim f n(t) t x n n t x y la pregunta que nos estamos haciendo es si da lo mismo tomar los límites en cualquier orden En general esto no es posible sin afectar el resultado: en los ejemplos 22 y 2 vemos funciones discontinuas que son límite de sucesiones de funciones continuas Ejemplos 23 Para m y n N definimos f m (x) = lim (cos m!πx)2n n Cuando m!x es entero, f m (x) = Para cualquier otro valor de x, f m (x) = 0 Sea f(x) = lim m f m(x)

36 34 Series y Probabilidades Para x irracional, f m (x) = 0 y por lo tanto f(x) = 0 Para x racional, x = p/q digamos, vemos que m!x es entero si m q y entonces f(x) = Por lo tanto lim lim (cos m n m!πx)2n = { 0 si x es irracional si x es racional 2 Sea f n (x) = n sennx x R, n N f(x) = lim n f n(x) = 0 entonces f (x) = 0 y f n(x) = n cos nx, de modo que f n no converge a f, por ejemplo, mientras que f (0) = 0 f n(0) = n (n ) 3 Sea f n (x) = n 2 x( x 2 ) n para x [0, ], n N Podemos escribir x 2 = lo tanto ( x 2 ) n = ( + y) n +y donde y = x2 x 2 y por Por el teorema binomial ( + y) n = k=0 ( ) n y k > k ( ) n y j para cualquier 0 j n j Si j > 2 n 2 ( x 2 ) n n 2 = ( + y) n < n2 ) = n 2 y j ( n j n! k!(n j)! yj y como j está fijo, j > 2, esto tiende a 0 cuando n Por lo tanto, lim n f n (x) = 0 Por otro lado es fácil ver que de modo que 0 x( x 2 ) n dx = 0 2(n + ) ( x2 ) n+ 0 = 2n + 2 f n (x)dx = n2 2n + 2 Si en lugar de f n (x) = n 2 x( x 2 ) n tenemos nx( x 2 ) n entonces lim n 0 n f n (x)dx = lim n 2n + 2 = 2

37 Capítulo 2: Sucesiones y Series de Funciones 35 Ejercicios 2 Halle el límite puntual (si existe) de la sucesión (f n ) de funciones de S en R en cada uno de los siguientes casos: { nx n si n x n, i) S = R, f n(x) = ii) S = R, f n(x) = + n 2 x 2 0 si x > n { si n x n, iii) S = R, f n (x) = iv) S = [0, ], f n (x) = nx( x 2 ) n 0 si x > n v) S = [0, ], f n(x) = xn n { nx si 0 x /n vii) S = [0, ], f n(x) = n( x) si /n < x n ix) S = [0, ], f n (x) = xn n + x n xn vi) S = [0, ], f n(x) = + x n viii) S = [0, ), f n(x) = { x n x) S = R, f n (x) = x2 + nx x si 0 x n si x > n 22 Convergencia Uniforme Definición 22 Sea S R un conjunto, (f n ) n una sucesión de funciones de S en R y f : S R Decimos que la sucesión (f n ) n converge uniformemente a f en S si para cada ɛ > 0 existe N N tal que f n (s), f(s) < ɛ si n > N y s S (2) Decimos que f es el límite uniforme de (f n ) y que f n f uniformemente en S Es importante observar que en este caso el valor de N a partir del cual vale la relación (2) es el mismo para todo s S Ejemplo 24 Sea S = {s: s > 0} y para n N definimos Si s S tenemos f n (s) = s ; f(s) = 0 + ns f n (s) f(s) = s + ns < s ns = n < ɛ para n > /ɛ Por lo tanto (f n ) converge uniformemente a f en S f(x) f(x) ε f(x) f(x) + ε Figura 25: Convergencia Uniforme x Si Y R podemos ilustrar la noción de convergencia uniforme con un diagrama Si f n : [a, b] R converge uniformemente a f, dado ɛ > 0 existe N tal que f(x) ɛ < f n (x) < f(x) + ɛ

38 36 Series y Probabilidades siempre que x [a, b] y n > N Esto quiere decir que si n > N la gráfica de la función f n debe estar dentro de la banda del diagrama Es evidente a partir de las definiciones que si (f n ) n converge uniformemente a f entonces también converge puntualmente Teorema 2 (Condición uniforme de Cauchy) La sucesión de funciones (f n ) definidas en S con valores en R converge uniformemente en S si y sólo si para cada ɛ > 0 existe un entero N tal que si m N, n N, y s S entonces f n (s) f m (s) < ɛ (22) Demostración Supongamos que f n f uniformemente en S, entonces existe N N tal que si n N y s S f n (s) f(s) ɛ 2 de modo que f n (s) f m (s) f n (s) f(s) + f(s) f m (s) ɛ siempre que n N, m N y s S Supongamos ahora que la condición de Cauchy es válida Por la completitud de los números reales, para cada s S la sucesión (f n (s)) converge a un límite en R que llamaremos f(s) Por lo tanto la sucesión (f n ) converge a f en S Falta ver que la convergencia es uniforme Sea ɛ > 0 dado y tomemos N de modo que (22) sea cierto Fijando n y haciendo m obtenemos para todo n N y todo s S f n (s) f(s) < ɛ Teorema 22 Supongamos que f n f puntualmente en S y sea M n = sup s S f n (s) f(s) Entonces f n f uniformemente en S si y sólo si M n 0 cuando n Demostración Inmediato a partir de la definición Ejercicios 22 En cada uno de los casos del ejercicio 2 determine si la convergencia es uniforme o no 2 Estudiar la convergencia uniforme de la sucesión f n (x) = x n i) en X = [0, η] para 0 < η < ; ii) en X = [0, ]; iii) en [0, ) 3 Verifique que la convergencia uniforme a 0 sobre un intervalo I de una sucesión de funciones es equivalente a la condición siguiente: Existe una sucesión (a n) de números reales que tienden a 0 tal que para n suficientemente grande y para todo x I se tiene que f n (x) a n 4 Suponga que f : R R es uniformemente continua y para n N definimos f n (x) = f(x + /n) sobre R Demuestre que (f n ) converge uniformemente 5 Sea K un conjunto compacto y (f n ) una sucesión de funciones reales continuas definidas sobre K que convergen puntualmente en K a la función f Si f n+(x) f n(x) para todo x K y todo n N entonces f n converge uniformemente a f 23 Convergencia Uniforme y Continuidad Teorema 23 Si (f n ) es una sucesión de funciones continuas de S R en R que convergen uniformemente a f : S R entonces f es continua

39 Capítulo 2: Sucesiones y Series de Funciones 37 cerca por convergencia uniforme f(s) f n (s) cerca por continuidad f(t) f n (t) cerca por convergencia uniforme Figura 26: Convergencia Uniforme y Continuidad Demostración Tenemos que mostrar que si x S y ɛ > 0 entonces para algún δ > 0 f(x) f(t) < ɛ si x t < δ Supongamos que x S y ɛ > 0, como f n f uniformemente en S, existe N N tal que f n (t) f(t) < ɛ 3 si n > N y t S Escogemos n > N, como f n es continua existe δ > 0 tal que f n (x) f n (t) < ɛ 3 si x t < δ Por lo tanto, si d x t < δ f(x) f(t) f(x) f n (x) + f n (x) f n (t) + f n (t) f(t) y cada uno de los términos de la derecha es menor que ɛ/3, el primero y el último por (23), ya que n > N, y el segundo por (23), ya que x t < δ Por lo tanto y esto concluye la demostración f(x) f(t) < ɛ si x t < δ Observación 2 En el ejemplo 223 la convergencia no es uniforme pero la función límite es continua Esto muestra que la condición del teorema es suficiente pero no necesaria Para S R llamaremos C(S) a la familia de las funciones reales continuas y acotadas definidas en S Si S es compacto entonces basta con pedir que las funciones sean continuas Para cada función f C(S) definimos la norma supremo de f por f = sup f(x) x S Como hemos supuesto que f es acotada, f < Además, f = 0 si y sólo si f(x) = 0 para todo x S Finalmente, si g C(S) y definimos h(x) = f(x) + g(x) entonces h C(S) y tenemos para cualquier x S Por lo tanto h(x) = f(x) + g(x) f(x) + g(x) f + g f + g f + g Estas tres propiedades muestran que la función : C(S) R + es una norma Para f, g C(S) definimos la distancia entre ellas por ρ(f, g) = f g = sup f(x) g(x) x S Lo anterior muestra que ρ es una métrica sobre el espacio C(S) y el Teorema 22 nos dice que la sucesión (f n ) en C(S) converge a f C(S) si y sólo si f n f uniformemente en S

40 38 Series y Probabilidades Teorema 24 (C(S), ρ) es un espacio métrico completo Demostración Usar los Teoremas 2 y 23 Ejercicios 23 Dé contraejemplos que muestren que si la convergencia no es uniforme, el límite no tiene por que ser continuo 2 Suponga que (f n ) es una sucesión de funciones continuas de [0, ] en R que converge uniformemente a una función f : [0, ] R Para n N definimos g n(x) = f n(x + /n) Demuestre que la sucesión (g n) converge puntualmente a f 3 Si (f n) es una sucesión de funciones continuas de R en R que converge uniformemente a la función f : R R, entonces para todo x R y cualquier sucesión (x n ) que converja a x, se tiene que (f n (x n )) converge a f(x) 24 Convergencia Uniforme y Diferenciación Sea I R un intervalo y f n : I R, n N una sucesión de funciones que convergen puntualmente a f : I R Si para algún a I y para todo n N, f n es diferenciable en a, es natural preguntarse si f es diferenciable en a y si (f n(a)) converge a f (a) Planteadas de esta manera, la respuesta a ambas preguntas es negativa Es posible que f no sea diferenciable en a y si lo es, puede suceder que (f n(a)) no converja a f (a) o simplemente que no converja en absoluto Ejemplos 25 Sea I = R, f n (x) = x +nx para x R y n N, y f(x) = 0 para x R Entonces si x 0, f 2 n (x) n x 0 cuando n y como f n (0) = 0, vemos que f n f puntualmente en R Evidentemente f (0) = 0 y f n(x) = nx2 (+nx 2 ), f n(0) = de modo que f n(0) no converge a f (0) aún cuando (f n(0)) 2 converge 2 Sea I = R, f n (x) = nx +n 2 x 2 para x R, n N y f(x) = 0 para todo x R Es fácil ver de nuevo que f n f puntualmente en R y que además f n(0) = n En este caso f es diferenciable en 0 pero f n(0) no converge 3 Sea I = (0, ), f n (x) = x +x n para x I, n N y f : I R definida por f(x) = { x si 0 < x 0 si x > No es difícil ver que f n f puntualmente en I y que f no es diferenciable en Como f n() = /2, (f n()) converge pero f no es diferenciable en 4 Sea I = (0, ), f n (x) = xn +x n para x I, n N y 0 si 0 < x < f(x) = /2 si x = si x > De nuevo es posible mostrar que f n f puntualmente en I y que f n() = n/4 de modo que f no es diferenciable en y (f n()) no converge

41 Capítulo 2: Sucesiones y Series de Funciones 39 Teorema 25 Sea (f n ) n una sucesión de funciones diferenciables en [a, b] con valores en R y tales que (f n (x 0 )) n converge para algún punto x 0 [a, b] Si (f n) converge uniformemente en [a, b] entonces (f n ) converge uniformemente en [a, b] a una función f y f (x) = lim n f n(x) para todo x [a, b] Demostración Veamos primero la convergencia uniforme de (f n ): Para ɛ dado, escogemos N de modo que si n N y m N entonces f n (x 0 ) f m (x 0 ) < ɛ (23) 2 y f n(t) f m(t) < ɛ 2(b a) para t [a, b] Una aplicación del Teorema del Valor Medio a la función f n f m muestra que para algún ξ entre x y t se tiene f n (x) f m (x) f n (t) + f m (t) x t f n(ξ) f m(ξ) < x t ɛ 2(b a) ɛ 2 (24) para cualesquiera x y t en [a, b] si n y m N Usando (23) y (24) en la siguiente desigualdad obtenemos f n (x) f m (x) f n (x) f m (x) f n (x 0 ) + f m (x 0 ) + f n (x 0 ) f m (x 0 ) < ɛ siempre que x [a, b] y n, m N, de modo que f n converge uniformemente en [a, b] Llamemos f(x) = lim n f n(x), x [a, b] Veamos ahora la convergencia de las derivadas: fijemos un punto x [a, b] y definamos para t [a, b], t x Entonces ϕ n (t) = f n(t) f n (x) t x ϕ(t) = f(t) f(x) t x lim ϕ n(t) = f n(x) para todo n N t x Usando (24) obtenemos ϕ n (t) ϕ m (t) = f n (t) f n (x) f m (t) + f m (x) t x ɛ 2(b a) para n N, m N, de modo que (ϕ n ) converge uniformemente para t x Como f n f concluimos que uniformemente para t [a, b], t x, Por lo tanto lim t x pero lim t x ϕ(t) = f (x) lim ϕ n(t) = ϕ(t) n ϕ(t) = lim t x lim n ϕ n(t) = lim n lim t x ϕ n(t) = lim n f n(x) (25) Observación 22 Las condiciones del teorema son suficientes pero no necesarias Por ejemplo, en el intervalo [0, ], f n (x) = x n /n converge a f(x) = 0 para todo x [0, ] y f n f puntualmente pero no uniformemente

42 40 Series y Probabilidades Ejercicios 24 Para n N definimos f n : R R por f n(x) = x/( + nx 2 ) Muestre que (f n) converge uniformemente a una función f y que la ecuación f (x) = lim f n(x) es válida 2 Estudie la convergencia de la serie Σe n cos n 2 x y demuestre que su suma es una función infinitamente diferenciable en R 3 Demuestre la convergencia uniforme en R de la serie Converge uniformemente la serie de derivadas? cos n 2 x n 2 25 Integración de Sucesiones de Funciones Antes de presentar los resultados de esta sección recordemos la definición de la integral de Riemann Definición 23 Una partición del intervalo [a, b] es un subconjunto finito {x 0, x,, x n } de [a, b] tal que a = x 0 < x < < x n < x n = b, es decir, es un subconjunto finito de [a, b] que contiene los puntos a y b Escribimos x i = x i x i i, i =,, n La familia de las particiones de [a, b] la denotaremos por P[a, b] y llamaremos P a un miembro genérico de esta familia Sea f : [a, b] R acotada y P = {x 0, x,, x n } P[a, b], definimos M i (f) = M i = sup{f(x) : x i x x i }; m i (f) = m i = inf{f(x) : x i x x i } (26) para i =,, n y además las sumas superior S(P, f) e inferior I(P, f) correspondientes a la partición P por S(P, f) = M i x i ; I(P, f) = m i x i (27) j= La integral superior de Riemann de f sobre [a, b] se define por j= b y la integral inferior de Riemann de f sobre [a, b] por a b a f(x)dx = inf{s(p, f) : P P[a, b]} f(x)dx = sup{s(p, f) : P P[a, b]} Si b a f(x)dx = b f(x)dx decimos que f es integrable según Riemann sobre el intervalo [a, b], escribimos a f R[a, b] y denotamos el valor de la integral por b a f(x)dx ó b a fdx

43 Capítulo 2: Sucesiones y Series de Funciones 4 El criterio de Riemann dice que una función f : [a, b] R acotada es integrable si y sólo si dado ɛ > 0 existe una partición P P[a, b] tal que 0 S(P, f) I(P, f) ɛ Después de la discusión anterior es natural plantearse si dada una sucesión f n R[a, b] con límite puntual f es cierto que f R[a, b] y si lim n b a f n dx = Ejemplos 26 Sea {q n, n } una enumeración de los racionales en [0, ] Para n N definimos f n : [0, ] R por f n (x) = b a fdx { si x {q,, q n } 0 si no Para cada n tenemos que 0 f ndx = 0, pero la sucesión f n converge puntualmente a la función f : [0, ] R definida por { si x es racional f(x) = 0 si x es irracional y f / R[a, b] 2 Definimos f n : [0, ] R por f n (x) = { n si x (0, /n) 0 si no entonces f n R[0, ] y 0 f ndx = Por otro lado f n f en [0, ] donde f(x) = 0 para x [0, ] En este caso f R[0, ] pero lim n 0 f n dx = 0 Teorema 26 Sea f n una sucesión en R[a, b] que converge uniformemente en [a, b] a f : [a, b] R Entonces f R[a, b] y lim n Demostración Sea ɛ > 0, para algún N N de donde obtenemos f n (x) f(x) < b a f n dx = ɛ 4(b a) f(x) < f N (x) + b a 0 fdx fdx si n N, x [a, b] (28) ɛ 4(b a) para todo x [a, b], de modo que f es acotada Para n N definimos g n = f f n a partir de (28) obtenemos que si E [a, b] no es vacío, ɛ 2(b a) m(g ɛ n, E) M(g n, E) 2(b a) si n N, donde m(g n, E) = inf{g n (x): x E} y M(g n, E) = sup{g n (x): x E} Por lo tanto para cualquier P P[a, b] S(P, g n ) I(P, g n ) ɛ 2

44 42 Series y Probabilidades si n N y además S(P, f n + g n ) S(P, f n ) + S(P, g n ) I(P, f n + g n ) I(P, f n ) + I(P, g n ) Escogemos n N y lo fijamos, Como f n R[a, b] existe P P[a, b] tal que S(P, f n ) I(P, f n ) < ɛ 2 de donde obtenemos S(P, f) I(P, f) = S(P, f n + g n ) I(P, f n + g n ) S(P, f n ) I(P, f n ) + S(P, g n ) I(P, g n ) < ɛ de modo que f R[a, b] Además, por (28) y monotonía, si n N y entonces si n N Por lo tanto y esto concluye la demostración b a b a f f n dx (f f n )dx b a b a f n dx b a ɛ 4(b a) dx = ɛ 4 b f f n dx < ɛ a fdx Corolario 2 Si (f n ) es una sucesión de funciones en C[a, b] que converge uniformemente en [a, b] a f : [a, b] R, entonces f R[a, b] y lim b f n dx = b a a fdx Ejercicios 25 Sea (f n) una sucesión de funciones reales y continuas que converge uniformemente en [a, b] a f Definimos F n y F en [a, b] por F n (x) = x f a ndt, F (x) = x fdt para x [a, b] Demuestre que F a n converge uniformemente a F en [a, b] 2 Considere las siguientes sucesiones de funciones en [0, ] f n (x) = n 2 x si 0 x n ; f n(x) = n 2 (x 2 n ) si n x 2 n : f n(x) = 0 si 2 n x En cada caso dibuje la gráfica de f n, halle el límite de la sucesión (f n ) y calcule 0 f n(x)dx Qué concluye? 3 Si g es una función real y continua definida sobre [a, b] y (f n ) es una sucesión de funciones reales y continuas que converge uniformemente en [a, b] a f, entonces lim n b a f n(x)g(x)dx = b a f(x)g(x)dx 4 Suponga que g y f n, n N, están definidas sobre (0, ), son integrables sobre [t, T ] para cualesquiera 0 < t < T <, f n g, f n f uniformemente en cualquier subconjunto compacto de (0, ) y g(x)dx < 0 Pruebe que lim n f 0 n (x)dx = f(x)dx 0

45 Capítulo 2: Sucesiones y Series de Funciones Series de Funciones Definición 24 Sea X R y (f n ) n N una sucesión de funciones reales sobre X Para n N definimos S n : X R por S n (x) = f j (x) Llamamos a (S n ) n N la serie infinita asociada a (f n ) n N y usamos la notación j=0 n=0 f n o fn Hay dos nociones de convergencia que podemos usar, si (S n ) converge puntualmente a f : X R decimos que la serie f n converge puntualmente a f en X Si (S n ) converge uniformemente a f, entonces f n converge uniformemente a f Los teoremas que hemos obtenido anteriormente para sucesiones de funciones pueden aplicarse a las series de funciones Teorema 27 Sea f n una serie de funciones reales continuas definidas sobre X R, que converge uniformemente a f en X entonces f es continua Demostración (S n ) n N es una sucesión de funciones continuas que convergen uniformemente a f en X Por el Teorema 23 f es continua De manera similar pueden obtenerse los siguientes teoremas a partir de los resultados correspondientes de las secciones anteriores Teorema 28 Sea I R un intervalo abierto y para n N f n : I R una función diferenciable en I Si fn converge puntualmente a f en I y si f n converge uniformemente en I entonces f es diferenciable en I y f es la suma uniforme de f n Teorema 29 Si (f n ) n N es una sucesión de funciones en R[a, b] tal que f n converge uniformemente a f en [a, b] entonces f R[a, b] y b a fdx = n b a f n dx El siguiente teorema nos provee un criterio para determinar si una serie de funciones converge absolutamente Teorema 20 (Weierstrass) Sea (f n ) una sucesión de funciones reales definidas sobre X y tales que sup x X f n (x) M n para todo n N Si M n converge entonces f n converge uniformemente en X Demostración Como M n converge, dado ε > 0 existe N tal que si n > m > N n f i (x) f i (x) M i < ε para todo x X i=m i=m i=m Una aplicación del Teorema 2 completa la demostración Ejemplo de una función continua en R que no es diferenciable en ningún punto Sea ϕ(x) = x para x y extendemos periódicamente esta función a todo R requiriendo que ϕ(x+2) = ϕ(x) Entonces, para todo x, y ϕ(x) ϕ(y) x y (29)

46 44 Series y Probabilidades y concluimos que ϕ es continua en R Definimos f(x) = n=0 ( ) n 3 ϕ(4 n x) 4 Como 0 ϕ(x) para todo x R, el teorema anterior muestra que esta serie converge uniformemente en R, y por el Teorema 23, f es continua en R Fijemos ahora x R y m N Sea δ m = ±/2(4 m ) donde el signo se escoge de modo que no haya ningún entero entre 4 m x y 4 m (x + δ m ) Esto es posible ya que 4 m δ m = /2 Definimos γ n = [ϕ(4n (x + δ m )) ϕ(4 n x)] δ m cuando n > m, 4 n δ m es un entero par y γ n = 0 cuando 0 n m, (29) implica y además γ n = ϕ(4n (x + δ m )) γ(4 n x) δ m 4 n γ m = ϕ(4m (x + δ m )) ϕ(4 m x) 2 4 m = 24 m ϕ(4 m x ± 2 ) ϕ(4m x) = 4Im por la forma como se escogió el signo de δ m Por lo tanto f(x + δ m ) f(x) δ m = m ( ) n 3 = γ n 4 n=0 m 3 m 3 n = 3 m ( 3m ) 3 n=0 = 2 (3m + ) cuando m 0, δ m 0 y por lo tanto f no es diferenciable en x Ejercicios 26 Demuestre que Σ/(n 2 + x 2 ) converge uniformemente en el conjunto {x: x 0} 2 Investigue la convergencia puntual y uniforme en R de la serie 3 Demuestre que la serie ( + x 2 ) n nx 2 n 2 + x 3 es uniformemente convergente en [0, a], para cualquier a > 0 4 Demuestre que la serie 0 xn converge uniformemente en [ η, η] para 0 < η < pero que esto no es cierto en (, ) 5 Muestre que si (f n ) es una sucesión de funciones reales definidas en S R, entonces Σf n converge uniformemente en X si y sólo si para cualquier ε > 0 existe un entero n 0 tal que si m n n 0 y x X m f r (x) < ε r=n

47 Capítulo 2: Sucesiones y Series de Funciones 45 6 Investigue la convergencia puntual y uniforme de la serie Σf n en el conjunto X y sus subconjuntos en cada uno de los siguientes casos: f n (x) = xn x n +, X = [0, ); f n(x) = (nx), X = R \ {0} 2 f n (x) = x n +, X = [0, ); f n(x) = ( )n, X = [0, ) n + x 7 Si (f n ) es una sucesión acotada de funciones reales sobre un conjunto X y Σa n es absolutamente convergente, entonces Σa n f n es uniformemente convergente en X 27 Series de Potencias Sea (a n ) n N una sucesión de números reales y para cada n N sea f n : R R la función definida por f n (x) = x n La serie a n f n = a n x n n=0 es una serie de potencias y a n se llama el n-ésimo coeficiente de la serie Escribiremos Σa n x n para denotar esta serie, (a n ) n N es la sucesión de coeficientes asociados a ella Teorema 2 Si para x 0 0, Σa n x n 0 converge e y < x 0 entonces Σa n y n es absolutamente convergente Demostración Si Σa n x n 0 converge, la sucesión (a n x n 0 ) converge a 0 y es acotada, es decir, existe M que depende de x 0 tal que a n x n 0 M, para n N Si y < x 0 entonces a n y n M y/x 0 n y por el criterio de Weierstrass (teorema 20) la serie Σa n y n converge absolutamente ya que y/x 0 < Teorema 22 Para cualquier serie de potencias Σa n x n ocurre alguna de las siguientes posibilidades: Σa n x n converge puntualmente en R 2 Existe ρ > 0 tal que la serie converge puntualmente en ( ρ, ρ) y diverge puntualmente en {x : x > ρ} 3 Σa n x n converge únicamente para x = 0 Demostración Si no ocurren ni ni 3 entonces existen reales x 0 y x distintos de 0 tales que Σa n x 0 converge y Σa n x n diverge Sea A = {x : Σa n x n converge} A no es vacío porque x 0 A y es acotado ya que, por el teorema 20, si x > x entonces Σa n x n diverge, de modo que A ( x, x ) Sea ρ = sup A, supongamos que y < ρ y escojamos x A, y < x A Por el teorema 20, como Σa n x n converge, también lo hace Σa n y n e y A, de modo que ( ρ, ρ) A Para ver el recíproco supongamos que y > x > ρ y Σa n y n converge, entonces por el teorema 20, Σa n x n converge y x A, lo cual contradice la definición de ρ Por lo tanto Σa n y n diverge si y > ρ n=0 Definición 25 El radio de convergencia de una serie de potencias Σa n x n es infinito en el caso, ρ en el caso 2 y 0 en el caso 3) El círculo de convergencia es R en el caso y ( ρ, ρ) en el caso 2 Teorema 23 Sea Σa n x n una serie de potencias con radio de convergencia distinto de 0 Entonces La serie converge absolutamente en cada punto de su círculo de convergencia 2 La serie converge uniformemente en todo intervalo cerrado contenido en su círculo de convergencia

48 46 Series y Probabilidades Demostración Supongamos que y está en el círculo de convergencia de Σa n x n y escojamos z en el círculo de convergencia de modo que y < z Por el Teorema 20, Σ a n y n converge lo cual muestra el primer resultado 2 Supongamos que [α, β] es un intervalo cerrado contenido en el círculo de convergencia de Σa n x n : Sea γ = máx( α, β ) entonces γ está en el círculo de convergencia de a n x n y por la parte, Σ a n γ n converge Por lo tanto, si ε > 0 existe N N tal que r=m+ En consecuencia, si x [α, β] y S n (x) = Σ n r=0a r x r S m (x) S n (x) a r γ r < ε si n > m N r=m+ a r x r r=m+ a r γ r < ε si n > m > N Por lo tanto (S n ) es una sucesión de Cauchy y en consecuencia converge Ejemplos 27 Tomemos la sucesión (a n ) n N donde a n = n N y sea x R La serie de potencias en x con coeficientes (a n ) es la serie geométrica Σ n=0x n, que como sabemos es convergente si x < y es divergente si x Así, el radio de convergencia de esta serie es y observamos que ella no converge ni en ni en 2 Consideramos la sucesión (a n ) n N con a n = /n! n N Sea x R y consideremos la serie Σx n /n! Aplicando el criterio del cociente a la serie Σ x n /n! obtenemos x n+ n! x n (n + )! = x 0 (n ) n + y por lo tanto la serie en cuestión es convergente Esto es cierto para todo x R y esta serie de potencias tiene radio de convergencia 3 Consideremos ahora la sucesión (a n ) n N con a n = n! n N Sea x 0, x R Para ver que la serie Σa n x n no converge mostraremos que a n x n no tiende a 0 cuando n Sea t = / x y n 0 el menor entero positivo mayor que t Para todo entero n > n 0 tenemos a n x n = n! t n = n 0! t n0 (n 0 + )(n 0 + 2) n t n n0 n 0! t n0 Por lo tanto la sucesión (a n x n ) no tiende a 0 y Σa n x n no converge El radio de convergencia de esta serie es 0 Corolario 22 Si Σa n x n tiene radio de convergencia distinto de cero, entonces converge puntualmente en su círculo de convergencia a una función que es continua en el círculo de convergencia Demostración Sea C el círculo de convergencia de Σa n x n y f la función a la cual converge la serie de potencias Si x C podemos escoger un intervalo cerrado [α, β] tal que x [α, β] C, y como Σa n x n converge uniformemente en [α, β], obtenemos que la función f es continua en x El estudio de la continuidad de una serie de potencias en un punto del borde de su círculo de convergencia es más delicada Presentamos a continuación un resultado conocido como el Teorema de Abel, cuya demostración no incluiremos

49 Capítulo 2: Sucesiones y Series de Funciones 47 Teorema 24 (Abel) Supongamos que la serie Σa n x n tiene radio de convergencia ρ positivo y supongamos que converge en uno de los extremos x 0 del intervalo de convergencia: Σa n x n 0 = s Entonces la función f(x) = Σa n x n para x < ρ tiende a s cuando x x 0 Teorema 25 Si Σa n x n tiene radio de convergencia distinto de cero y converge puntualmente en su círculo de convergencia a la función f, entonces f es diferenciable en cada punto x de su círculo de convergencia y f (x) = na n x n n= Demostración Sea C el círculo de convergencia de Σa n x n, x C y escojamos y C de modo que y > x Entonces Σ a n y n es convergente y para algún k R, a n y n k para n N y se tiene (n + )a n+ x n = (n + ) x y n a n+ y n k y (n + ) x y En consecuencia, como Σ(n + ) x/y n converge, lo cual se ve fácilmente usando el criterio de la razón, podemos concluir por el criterio de comparación que Σ(n + )a n+ x n converge Por lo tanto el círculo de convergencia C de Σa n x n está contenido en el círculo de convergencia C de Σ(n + )a n+ x n, de manera que si x C, existe δ > 0 tal que [x δ, x+δ] C C Por el Teorema 23, tanto Σa n x n como Σ(n+)a n+ x n convergen uniformemente en [x δ, x + δ] y por el Teorema 25, para t (x δ, x + δ) f (t) = (n + )a n+ t n Teorema 26 Bajo las hipótesis del Teorema 25 f tiene derivadas de todos las ordenes en su círculo de convergencia C que están dadas por f (k) (x) = n(n ) (n k + )a n x n k (20) n=k y en particular f (k) (0) = k!a k k = 0,, (2) Demostración La ecuación (20) se obtiene aplicando sucesivamente el teorema anterior a f La ecuación (2) nos muestra que los coeficientes en el desarrollo de f en serie de potencias están determinados por los valores de f y sus derivadas en el origen Por otra parte, si conocemos los coeficientes en el desarrollo de la función tenemos de inmediato los valores de las derivadas de f en el origen Observamos sin embargo que aún cuando una función f puede tener derivadas de todos las ordenes, la serie Σa n x n donde a n se obtiene usando (2) no necesariamente converge a f(x) para x 0 En este caso f no puede ser desarrollada en serie de potencias ya que tendríamos f(x) = Σc n x n, en consecuencia n!c n = f (n) (0) y necesariamente c n = a n Ejemplo 28 f(x) = { e /x 2 x 0 0 x = 0 es posible mostrar que f tiene derivada de todos los ordenes en x = 0 y f (k) (0) = 0 para n

50 48 Series y Probabilidades Teorema 27 Si Σa n x n tiene radio de convergencia distinto de cero y converge puntualmente en su círculo de convergencia a la función f, entonces f es integrable según Riemann en cualquier subintervalo cerrado [a, b] del círculo de convergencia y b fdx = a n n + (bn+ a n ) a Demostración Sea [a, b] un subintervalo del círculo de convergencia de Σa n x n Por el Teorema 23 Σa n x n converge uniformemente en [a, b] y por el Teorema 26 f R[a, b] y de donde se obtiene el resultado b a fdx = b a n x n dx Sea f una función real definida sobre un intervalo abierto de R que contiene al 0, y supongamos que f tiene derivadas de todas los ordenes en 0 Podemos entonces escribir la serie de potencias f (n) (0) x n n! n=0 donde f (0) (0) = f(0) Esta serie se conoce como la serie de Maclaurin de f Consideremos ahora la serie de potencias Σa n x n Si esta serie tiene radio de convergencia distinto de 0 y converge a f en su círculo de convergencia, entonces, por el Corolario 22, a n = f (n) (0)/n!, de modo que Σa n x n es la serie de Maclaurin correspondiente a f Otro tipo de series de potencias de gran interés son las series de la forma: a n (x x 0 ) n n=0 con a n = f (n) (x 0 )/n! Esta serie se conoce como la serie de Taylor de f alrededor del punto x 0 Por el Teorema de Taylor sabemos que f(x) = n k=0 f (k) (x 0 ) k! a (x x 0 ) k + f (n) (ξ) (x x 0 ) n ξ entre x 0 y x n! Esta serie converge a f si y sólo si el resto tiende a 0 cuando n : lim f (n) (ξ) (x x 0) n = 0 n n! Teorema 28 Supongamos que f tiene derivadas de todos los ordenes en un intervalo de la forma (x 0 r, x 0 + r) y que existe una constante M (que puede depender de x 0 ) tal que f (n) (x) M x (x 0 r, x 0 + r) y n N (algún N N) Entonces, para todo x (x 0 r, x 0 + r) la serie de Taylor de f alrededor de x 0 converge a f(x): f (k) (x 0 ) f(x) = (x x 0 ) k k! k=0 Demostración En cada uno de estos puntos tenemos un desarrollo de Taylor cuyo resto puede estimarse: f (n) (ξ)(x x 0 ) n n! M x x 0 n = M an con a = x x 0 n! n! pero an n! 0 y el límite del resto tiende a 0

51 Capítulo 2: Sucesiones y Series de Funciones 49 Ejemplo 29 (Las funciones esponencial y logarítmica) Definimos x n E(x) = n! n=0 (22) Por la prueba del cociente sabemos que esta serie converge para todo x R Aplicando el teorema sobre multiplicación de series absolutamente convergentes obtenemos E(x)E(y) = Como consecuencia tenemos que x R = n=0 n=0 x n n! n! m=0 k=0 y m m! = ( n k n=0 k=0 ) x k y n k = x k y n k k!(n k)! (x + y) n n=0 = E(x + y) (23) E(x)E( x) = E(x x) = E(0) = (24) y por lo tanto E(x) 0 x R A partir de la definición observamos que E(x) > 0 si x > 0 y por lo tanto E(x) > 0 para todo x R A partir de (22) vemos que E(x) + si x + y (24) nos dice que E(x) 0 cuando x A partir de (22) vemos que 0 < x < y E(x) < E(y) y por (24) obtenemos E( y) < E( x), de modo que E es estrictamente creciente en R Además por (24): E(z + h) E(z) E(h) lim = E(z) lim = E(z) n 0 h h 0 h Iterando (23) obtenemos Como E() = e obtenemos Si ρ = n/m, n, m N entonces es decir, y por (24) sabemos que Si definimos E(z + z z n ) = E(z ) E(z n ) E(n) = e n [E(ρ)] m = E(mρ) = E(n) = e n E(ρ) = e ρ ρ > 0, ρ Q E( ρ) = e ρ si ρ > 0, ρ Q e x = sup{e ρ : ρ < x, ρ Q} las propiedades de continuidad y monotomía de E implican Resumiendo tenemos E(x) = e x, x R Teorema 29 a) e x es continua y diferenciable para todo x b) e x es estrictamente creciente y estrictamente positiva c) e x+y = e x e y n!

52 50 Series y Probabilidades d) e x + (x + ), e x 0, (x ) e) lim x xn e x = 0 n N Demostración Sólo demostraremos e) A partir de e x > xn+ (n+)! para x > 0, obtenemos x n e x > (n + )! x Como E es estrictamente creciente y diferenciable en R, tiene una función inversa L que también es estrictamente creciente y diferenciable y cuyo dominio es (0, ) L está definida por Derivando obtenemos Poniendo y = E(x), L(E(x)) = x x R (25) L (E(x))E(x) = L (y) = /y y > 0 Tomando x = 0 en (25) vemos que L() = 0 y en consecuencia Si u = E(x), v = E(y) L(y) = y dx x L(uv) = L(E(x)E(y)) = L(E(x + y)) = x + y = L(u) + L(v) Usualmente escribimos log x en lugar de L(x) Tenemos log x x, log x x 0 Es posible mostrar como antes que derivando x α = E(αL(x)) = e α log x (x α ) = E(αL(x)) α x = αxα Veamos que x α log x 0 (x ), α > 0 Si 0 < ε < α y x > x x α log x = x α dt < x α t x α xε = x ε < xε α ε y como α > ε esta expresión tiende a 0 cuando x x t ε dt Ejercicios 27 Verificar que i) el círculo de convergencia de Σβ n x n es ( /β, /β); ii) Σx n /n 2 converge si x y diverge si x > 2 Hallar el radio de convergencia de las siguientes series y determinar su comportamiento en los extremos del intervalo de convergencia

53 Capítulo 2: Sucesiones y Series de Funciones 5 ) (n + )x n 2) n=0 n= (x 2) n n n 3) n= (3/2) n x n n + 4) ( ) n+ x n n= n 2 5) n= x 2n 2 (2n 2)! 6) ( ) n+ n n n n= x n 7) x n2 8) n n= n= 9) ( ) n+ x 2n 2 (2n 2)! n= 0) n= 2 n x n n Sea c n x n una serie de potencias y γ = limsup n n c n Definimos ) n=0 /γ cuando 0 < γ < ρ = si γ = 0 0 si γ = x n 2 n (n ) 2) n= nx n 2 n 3 n Demuestre que ρ es el radio de convergencia de la serie Esta es la fórmula de Hadamard 4 Si en el enunciado del ejercicio anterior cambiamos la definición de ρ por ρ = limsup n c n+ c n demuestre que la conclusión sigue siendo cierta 5 Hallar el radio de convergencia de las siguientes series y determinar su comportamiento en los extremos del intervalo de convergencia ) ( ) n+ n(x ) n (x 2) n, 2), 3) n! n= n=0 n= (x + 4) 2n 2 (2n 2)!, 4) ( ) n+ (x + 3) 2n 2 6 Halle la serie de MacLaurin para las siguientes funciones y determine su radio de convergencia n= ) sen x, 2) cos x, 3)( + x) α, 4) log( + x) Observe que en tercer caso el intervalo de convergencia de la serie y el dominio de la función no coinciden 7 A partir de la relación arcsin x = x 0 dt x, desarrolle el integrando en una serie de potencias e integre para 2 obtener la serie de MacLaurin de arcsin x El mismo procedimiento aplicado a la relación log( + x) = x dt 0 +t permite obtener la serie para log( + x) 8 Sea c n una serie convergente y definamos f(x) = n=0 cnxn para < x < Demuestre que es decir, que la serie de potencias es continua en lim f(x) = c n, x n=0

54 52 Series y Probabilidades

55 Capítulo 3 Funciones generatrices 3 Variables Aleatorias no Negativas Supongamos que X es una variable aleatoria que toma valores en el conjunto {0,, 2, 3,, + }, por ejemplo, el tiempo que transcurre hasta que ocurra un determinado suceso aleatorio (podría no ocurrir, de ahí que + sea un valor posible para X) Todas las variables aleatorias que vamos a considerar en el resto del curso serán enteras y no negativas, aunque muchos de los resultados que expondremos se pueden generalizar a variables aleatorias con valores en conjuntos más generales Llamemos P(X = k) = p k, k = 0,, 2,, de modo que P(X < + ) = k=0 p k, y p = P(X = + ) = k=0 p k define la probabilidad p de que X tome el valor + Si p > 0, definimos la esperanza de X, E X =, si no, E(X) = k p k = P (X > k) k=0 Algunas consecuencias de la definición precedente son que E tenga las siguientes propiedades: E es lineal k=0 Si X, Y son variables aleatorias independientes (es decir, si para cada par x, y con x en el recorrido de X e y en el recorrido de Y, se cumple P(X = x, Y = y) = P(X = x)p(y = y)) entonces E(XY ) = E(X) E(Y ) Si X, X k son tales que E(X i ) 2 <, Cov(X i, X j ) = 0 para todo i j, entonces Var( k i= a i X i ) = k i= a2 i Var(X i) 3 Sumas de Variables Independientes Si X, Y son variables aleatorias independientes, no negativas, que solamente toman valores enteros, entonces P(X + Y = n) = P(X = i, Y = n i) = P(X = i)p(y = n i) i=0 Ejemplo 3 Si X Poiss(λ) e Y Poiss(µ), y son independientes, entonces X + Y Poiss(λ + µ) 53 i=0

56 54 Series y Probabilidades Si X tiene distribución de Poisson con parámetro λ, entonces, para cada k = 0,,, P(X = k) = λ k e λ /k!, de manera que para cada n 0, P(X + Y = n) = P(X = k)p(y = n k) = k=0 = e (λ+µ) n! k=0 λ k e λ k=0 k! µ n k e µ (n k)! ( n )λ k µ n k (λ+µ) (λ + µ)n = e, k n! es decir, es la probabilidad de que una variable con distribución de Poisson de parámetro λ + µ valga n Ejercicios 3 Si X Bin(n, p) e Y Bin(m, p), y son independientes, entonces X + Y Bin(n + m, p) 32 Funciones Generatrices de Probabilidad Si X F es una variable aleatoria entera, no negativa, con función de distribución F (ie F (x) = P(X x) para x R), vamos a definir la función generatriz de probabilidades de X (o de su distribución) así: g(t) = E t X = k t k P(X = k) Esta es una serie geométrica con coeficientes P(X = k) y como g() = k P(X = k) entonces, el radio de convergencia de la serie es al menos El coeficiente del término t k es precisamente P(X = k), de ahí que se la conozca como función generatriz de probabilidades Es claro que, como se trata de un polinomio (si el recorrido de X está acotado) o de una serie de potencias, g caracteriza a la distribución de X Ejemplos 32 Si X Poiss(λ) entonces g(t) = e λ(t ) En efecto, g(t) = k=0 tk λ k e λ /k! = e λ e λt = e λ(t ) 2 Si X Bern(p), es decir, si P(X = ) = p = P(X = 0), entonces g(t) = pt + ( p) En este caso, g(t) = t 0 P(X = 0) + tp(x = ) = pt + ( p) 3 Si X representa el número de fracasos antes del primer éxito en una sucesión de ensayos de Bernoulli independientes diremos que X tiene distribución geométrica, entonces g(t) = p/( ( p)t) Ahora tenemos que P(X = k) = ( p) k p, para k = 0,, 2,, de manera que g(t) = p( p) k t k = p ( p)t k=0 Como vimos en el capítulo precedente, dentro del radio de convergencia de la serie, se puede intercambiar el orden de la suma y la derivada, de manera que y, en general, d n g(t) dt n = k dg(t) dt = d t k P(X = k) = dt k k k(k ) (k n + )t k n P(X = k) = k k t k P(X = k) k! (k n)! tk n P(X = k)

57 Capítulo 3: Funciones Generatrices 55 Observación 3 d n g(t) dt n = n!p(x = n) t=0 de modo que, en efecto, g caracteriza la distribución de X En particular, g(0) = P (X = 0) Observación 32 d n g(t) dt n = t= k d 2 g(t) dt 2 dg(t) dt = kp(x = k) = E(X), t= k = k(k )P(X = k) = E(X(X )), t= k k(k ) (k n + )P(X = k) = E(X(X ) (X n + )) Por esta razón, también se la llama función generatriz de momentos factoriales Observación 33 Es importante notar que podría ser un punto del borde del círculo de convergencia, pero en este caso, si las series anteriores convergen, el Teorema de Abel garantiza que las igualdades anteriores son correctas Observación 34 Si X, Y son variables aleatorias independientes, entonces g X+Y, la función generatriz de X + Y y las generatrices de X, g X y de Y, g Y se relacionan de la siguiente forma: g X+Y (t) = g X (t) g Y (t) Esto ocurre porque si X,Y son independientes, también lo son t X y t Y, de manera que g X+Y (t) = E(t X+Y ) = E(t X ) E(t Y ) = g X (t)g Y (t) Evidentemente, esto se extiende a cualquier número finito de sumandos independientes: g X + +X n (t) = n g Xi (t) Ejemplos 33 Con esta observación podemos volver a verificar que la suma de dos variables independientes X Poiss(λ) e Y Poiss(µ), tiene distribución de Poisson con parámetro λ + µ De acuerdo con la observación anterior, i= g X+Y (t) = g X (t)g Y (t) = e λ(t ) e µ(t ) = e (λ+µ)(t ) 2 Si S n Bin(n, p), la función generatriz de S n es g Sn (t) = ( p + pt) n La variable aleatoria S n con distribución Bin(n, p) puede pensarse como una suma de n variables X i independientes con distribución de Bernoulli de parámetro p, por lo tanto, g Sn (t) = n i= g X i (t) = ( p + pt) n Ejercicios 32 Si X, X 2,, X n son variables independientes, con distribución N(0,), calcular E(X 2 + +X 2 n) y Var(X X 2 n) Nota: La distribución de Y = X X 2 n se conoce como χ 2 n (Ji-cuadrado con n grados de libertad)

58 56 Series y Probabilidades 2 La generatriz de las colas Suponga que X toma valores enteros no negativos, y tiene función generatriz g X (s) Defina t n = P(X > n) = k=n+ P(X = k) y la función generatriz de la cola de X como T (s) = n=0 sn t n () Muestre que ( s)t (s) = g X(s) cuando ambos lados de la igualdad están bien definidos Deduzca de allí que j=0 s j P(X j) = g X(s) s (2) Muestre que E X = T (), y si E X <, VarX = 2T () + T () T 2 () 3 Considere una sucesión X, X 2, de variables aleatorias independientes con distribución uniforme en el conjunto {, 2,, n}, llame S k a la suma de las primeras k variables, S k = k i= X i, y defina T n = min{k : S k > n}, es decir, el menor número de X i necesario para conseguir que la suma pase de n Encuentre la función generatriz de T n y calcule su esperanza y varianza 4 Dados: Suponga que va a jugar un juego de dados cuyo resultado depende sólo de la suma obtenida al lanzar dos dados Su rival insiste en jugar con unos dados que tienen los puntos sobre las caras como se indica en el dibujo Su argumento es que la distribución de la suma con estos dados es la misma que si se usaran dados corrientes, y con estos dados no se corre el riesgo de que alguien subrepticiamente los cambie por dados desbalanceados Tiene razón? Distribución de la Suma de un Número Aleatorio de Sumandos Supongamos que X, X 2, es una sucesión de variables aleatorias independientes, y N es otra variable aleatoria, independiente de las anteriores, que solamente toma valores en {0,, 2, } Veamos cómo es la función generatriz de S N = X + X X N : g SN (t) = E(t S N ) = i=0 k=0 t i P(S N = i) i=0 ( ) = t i P(S k = i, N = k) = k=0 i=0 i=0 t i k=0 P(S k = i)p(n = k) ( ) = t i P(S k = i) P(N = k) = g Sk (t)p(n = k) = (g X (t)) k P(N = k) = g N (g X (t)) k=0 Ejemplos 34 Cierta pizzería tiene un servicio de entrega a domicilio El sábado en la noche se recibe un número N Poiss(λ) de órdenes El encargado de recibir los pedidos ha tomado unos tragos de más, y con k=0

59 Capítulo 3: Funciones Generatrices 57 probabilidad p anota mal la dirección de entrega que le da cada cliente Cada anotación es independiente de las anteriores y de cuántos clientes llamen Cuál es la distribución del número de pizzas repartidas correctamente? Consideremos variables aleatorias X i, con X i =, si la dirección del i-ésimo cliente fue anotada correctamente y X i = 0 en caso contrario Las X i son independientes y X i Bern(p) Si N Poiss(λ), independiente de las X i, entonces el número de pizzas repartidas correctamente es S N = X + +X N De acuerdo con el resultado anterior, como g X (t) = pt + ( p) y g N (t) = e λ(t ), entonces g SN (t) = g N (g X (t)) = e λ(pt+ p ) = e λp(t ) lo cual indica que la distribución de un número N Poiss(λ) de sumandos independientes con distribución Bern(p) tiene distribución de Poisson con parámetro λp 2 El encargado de la pizzería tiene tendencia a manejar a exceso de velocidad, y lo paran los agentes de tránsito La mitad de las veces que ésto ocurre, le ponen una multa de $ 50, y la otra mitad, de $ 00 Además, suele pelearse con los agentes de tránsito, de modo que con probabilidad p, además de multarlo, le quitan la licencia Cuál es la esperanza de la cantidad que tiene que pagar en multas antes de quedarse sin licencia? Llamemos N al número de veces que lo paran antes de quitarle la licencia Así, P(N = k) = ( p) k p, y el recorrido de N es {, 2, 3, } La función generatriz de N es g n (t) = t k ( p) k p = pt (t( p)) k = pt (t( p)) k pt = t( p) k= k= Por otro lado, si X i representa la cantidad que tiene que pagar en multas la i-ésima vez que lo paran, { 50 con probabilidad /2 X i = 00 con probabilidad /2 y g Xi (t) = t50 + t 00, de modo que, si llamamos S N = X + X N a la cantidad que tiene que pagar 2 en multas antes de quedarse sin licencia, g SN (t) = g N (g X (t)) = k=0 p(t 50 + t 00 ) (2 (t 50 + t 00 )( p)) La esperanza de S N es dg S N (t) dt, y es sencillo dar una fórmula general para para ella: como t= g S N = g N (g X (t))g X (t) y g X () = y g X () =, entonces E(S N ) = dg N (g X (t))(t) dt = E(N) E(X ) t= En el ejemplo anterior, E(N) = /p, y E(X ) = 75, de modo que la esperanza de la cantidad que tiene que pagar en multas antes de quedarse sin licencia es de $ 75/p Ejercicios 33 Suponga que se lanzan misiles inteligentes contra un blanco particular, y la probabilidad de acertar en cada lanzamiento es p Suponga demás que por cada intento fallido se destruye un número X de blancos civiles, con distribución de Poisson con parámetro λ Calcule la esperanza del número de blancos civiles destruidos antes de conseguir destruir el objetivo del ataque

60 58 Series y Probabilidades 2 Una tarjeta de circuito impreso tiene un cierto número de huecos que se hacen usando un taladro numérico controlado automáticamente El control tiene un número de fallas aleatorio, k con distribución de Poisson(λ) Si el control falla, la probabilidad de que el taladro no haga el hueco correspondiente es p La tarjeta se descarta cuando le falta al menos un hueco Calcule la probabilidad de que una tarjeta resulte aceptable Aprovechar el resultado anterior para deducir la distribución del número de tarjetas aceptables 3 Se lanza una moneda balanceada repetidamente, cada vez que salga AGUILA se lanza un dado balanceado y se anota el número obtenido El proceso se para la primera vez que aparezca un SOL al lanzar la moneda Escriba la función generatriz de la suma total de las caras del dado 33 Procesos de Ramificación Vamos a mirar un ejemplo muy sencillo de lo que se conoce como procesos de ramificación, el proceso de Galton-Watson, que puede describirse así: Comenzamos con un progenitor, que constituye la generación 0 Este progenitor da origen a k descendientes con probabilidad p k ( i=0 p i = ) Estos descendientes forman la primera generación Cada uno de ellos en forma independiente da origen a un número aleatorio de descendientes, con la misma distribución de probabilidades anterior, es decir, la probabilidad de que cada uno de los individuos de esta generación tenga k descendientes es p k Este proceso continúa desarrollándose hasta la extinción, es decir, cuando todos los miembros de una generación tienen 0 descendientes Este modelo puede usarse como el modelo para el crecimiento de una población en la cual no hay amenazas del medio ambiente, depredadores, etc Originalmente apareció en el contexto de la supervivencia de los apellidos También se usa este tipo de procesos para el estudio de ciertos tipos de colas : la descendencia de un cliente del sistema es el número de clientes que llegan mientras él está siendo atendido Z 0 = Z = 3 Z 2 = 7 Z 3 = 0 Z 4 = Figura 3: Proceso de Ramificación Para definir formalmente este proceso, consideramos una colección de variables aleatorias enteras, no negativas {Z n,j, n, j }, independientes e idénticamente distribuidas (iid), donde cada Z n,j {p k } Definimos el proceso de ramificación {Z n, n 0}, donde cada Z n representa el número de individuos de la n-ésima generación así: Z 0 = número de individuos en la generación 0 Z = Z, número de individuos en la generación Z 2 = Z 2, + Z 2,2 + + Z 2,Z número de individuos en la generación 2 Z n = Z n, + Z n,2 + + Z n,zn número de individuos en la generación n donde Z n,j es el número de individuos de la generación n que descienden del individuo j de la generación anterior

61 Capítulo 3: Funciones Generatrices 59 Si Z n = 0, entonces Z n+ = 0, por lo tanto, cuando la sucesión {Z n } llega a 0, allí se queda Por la construcción, Z n es independiente de las {Z n,j, j } Vamos a estudiar la función generatriz de probabilidades de Z n para poder determinar su distribución y sus momentos Definamos, para n 0, g n (s) = g Zn (s) = E(s Z n ), y llamemos g(s) = E(s Z ) = k=0 p ks k Observemos que Z n es una suma de Z n sumandos, cada uno de ellos con distribución dada por la sucesión {p k } Así que tenemos g 0 (s) = E(s Z0 ) = E(s ) = s g (s) = g(s) = p k s k k=0 g 2 (s) = g (g(s)) = g(g(s)) g n (s) = g n (g(s)) = g(g n (s)), es decir que el efecto de la ramificación se refleja en la composición funcional En principio un cálculo explícito no tiene por qué ser fácil de hacer, pero en algunos ejemplos concretos lo es Ejemplo 3 Cada individuo puede tener un sólo descendiente con probabilidad p o ninguno con probabilidad q = p, es decir, Z n,j Bern(p) En este caso, g(s) = p + ps = q + ps g 2 (s) = q + p(q + ps) = q + pq + p 2 s g n (s) = q + pq + + p n q + p n s Observemos que la probabilidad de que en la n-ésima generación la población se haya extinguido es P(Z n = 0) = g n (0), y como lim n g n (0) = q j=0 pj = q p =, entonces con probabilidad esta población se extinguirá en algún momento Volveremos a hablar sobre este tema un poco más adelante Cálculo de momentos Supongamos que la esperanza y la varianza de Z son finitas, digamos, E(Z ) = µ, Var(Z ) = σ 2 Definamos µ n = E(Z n ) = g n() Como g n(s) = (g n (g(s))) = g n (g(s))g (s) = g n 2(g(s))(g (s)) 2, si ponemos s =, obtenemos µ n = µ n µ = µ n 2 µ 2 = = µ µ n = µ n Volviendo al ejemplo de las Z n,j Bern(p), la esperanza del tamaño de la n-ésima generación es p n Probabilidad de extinción Queremos calcular n= ( ) π = P {Z n = 0} Como {Z n = 0} {Z n = 0}, para n =, 2,, entonces ( ) ( n ) P {Z n = 0} = lim P {Z k = 0} = lim P{Z n = 0} = lim g n(0) n n n k= n= Llamemos π n = g n (0) = P{Z n = 0}, es decir, a la probabilidad de que la extinción ocurra en la n-ésima generación o antes

62 60 Series y Probabilidades Teorema 3 Si la esperanza µ de Z es finita, entonces π =, si en cambio µ > entonces π < y es la menor de las soluciones de la ecuación g(s) = s Demostración Comenzaremos mostrando que π es solución de g(s) = s Ya observamos que {Z n = 0} {Z n+ = 0} de manera que la sucesión {π n } es no decreciente y está acotada, por lo tanto tiene un límite al que llamaremos π Como g n+ (s) = g(g n (s)) para todo s, en particular, con s = 0, resulta que π n+ = g(π n ) Como g es continua, pasando al límite cuando n tiende a, tenemos que π = g(π) Veamos ahora que π es la menor de las soluciones de g(s) = s en [0, ] Tomemos x en [0, ] solución de g(s) = s Observemos que tanto g como g son positivas, por lo tanto g es creciente y convexa Como g es creciente, π = g(0) g(x) = x, π 2 = g 2 (0) = g(g(0)) = g(π ) g(g(x)) = x, y con el mismo razonamiento se obtiene que π n x para todo n, por lo tanto π x, es decir, π es la menor de las soluciones de g(s) = s Como g es convexa y g(0) > 0, los gráficos de g(s) y s tienen a lo sumo dos puntos en común Uno de ellos es el, pues g() = Si µ = g (), a la izquierda de, g crece más lentamente que f(x) = x, por lo tanto, como g es convexa, no puede haber una raíz de g(x) = x menor que, de modo que π = En cambio, si µ >, hay otra raíz menor que, y como observamos antes, π tiene que ser la más chica Por ejemplo, en el caso de las Bernoulli, como g(s) = p + ps = s tiene solución única s =, la probabilidad de extinción π es (observe que µ = p < ) En realidad, hay un resultado un poco más fuerte (que no estudiaremos en estas notas): P{Z n 0 ó Z n + } =, es decir, que con probabilidad la población, o se extingue o explota Ejemplo 35 El cajero de un banco quiere irse a tomar café, pero no puede dejar la caja vacía mientras haya clientes Tarda en promedio 3 minutos en atender a cada cliente, y mientras atiende a cada uno, hay probabilidad p j de que lleguen j clientes más a la cola Suponga que p 0 = 2, p = 2 y p 3 = 6 Si esta situación no cambia, cuál es la probabilidad de que el cajero pueda irse a tomar café en algún momento? Pensemos la cola como un proceso de ramificación, con distribución para los descendientes dada por {2, 2, 6, 0, 0, } El cajero se puede ir a tomar café si y sólo si el proceso se extingue, por lo tanto, basta calcular la probabilidad π de extinción La discusión anterior conduce a que π es la menor de las soluciones de la ecuación t = g(t), donde g(t) = 2 + 2t + 6t 2 Observemos que g (t) = 2 + 2t de manera que µ = 4 La menor de las soluciones de t = 2 + 2t + 6t 2 es /3, de manera que, con probabilidad /3 el cajero podrá ir a tomar café g 3 g(s) 0 3 s Figura 32: Probabilidad de Extinción

63 Capítulo 3: Funciones Generatrices 6 Ejercicios 34 Encontrar la probabilidad de extinción, y dar condiciones para la extinción segura en un proceso de ramificación con distribución de la descendencia dada por: p n = p( p) n, n 0, 0 < p < 2 Ramificación en ambiente variable Vamos a considerar un modelo como el de ramificación simple estudiado antes, excepto que ahora los individuos en la n-ésima generación se reproducen de acuerdo a la ley {p nk, k 0}, con función generatriz g n(t) = k p nkt k Llamemos, como antes Z n al número de individuos de la n-ésima generación () Construir un modelo para esta población (es decir, describir las variables Z n ) (2) Escribir la función generatriz E t Zn, en términos de g n (t) (3) Calcular E Z n en función de µ i = g i() 34 Distribuciones Límite: el Teorema de Continuidad Muchas veces resulta interesante obtener convergencia en distribución de cierta sucesión de variables aleatorias Diremos que la sucesión {X n, n 0} converge en distribución a una variable aleatoria X y lo denotaremos D por X n X si la sucesión de las funciones de distribución de las Xn, F Xn, converge a la función de D distribución de la X, F X en cada punto de continuidad del límite: X n X si y sólo si FXn (x) F X (x) para cada x donde F X sea continua En el caso de variables aleatorias que solamente toman valores en un conjunto discreto, ésto se traduce en que P(X n = k) P(X = k) para k = 0,, Vamos a mostrar que ésto es equivalente a que g Xn (s) n g X (s) para 0 s, es decir, basta ver que las funciones generatrices convergen En muchos ejemplos resulta más simple ver que las funciones generatrices convergen que ver lo que ocurre con las funciones de distribución El siguiente teorema se conoce como el Teorema de continuidad Teorema 32 Supongamos que para cada n =, 2, la sucesión {p (n) k, k 0} es una función de masa, es decir, hay variables aleatorias X, X 2, tales que p (n) k = P(X n = k) y por lo tanto k=0 p(n) k =, y la función generatriz g n (t) = E t X n está definida Entonces, existe una sucesión {p k, k 0} tal que lim n p(n) k = p k para k = 0,, sí y sólo si existe una función g(t), 0 t tal que para todo t (0, ) lim g n(t) = lim n n k=0 t k p (n) k = g(t) En este caso, g(t) = k=0 tk p k, y k=0 p k = sí y sólo si lim t g(t) = Nota: Si lim n p (n) k = p k, 0 p k, pero de allí no se deduce que k=0 p k =, porque podría estar = para k = n y p (n) k = 0 para k n : para k fijo, concentrándose masa en +, por ejemplo, si p (n) k lim n p (n) k = 0, por lo tanto p 0 = p = = 0 Antes de dar una demostración del teorema de continuidad, veamos un ejemplo

64 62 Series y Probabilidades Ejemplo 36 (Aproximación de Poisson a la binomial) Si X n Bin(n, p(n)), y lim n np(n) = λ entonces X n converge en distribución a una variable aleatoria X con distribución Poiss(λ) Esta es una forma razonable para introducir las variables aleatorias con distribución de Poisson: pensemos que queremos contar el número de accidentes que se producen en un intervalo de tiempo [0, T ], cuando la propensión a que ocurran accidentes permanece constante en el tiempo Vamos a partir el intervalo en n pedacitos tales que P(ocurra exactamente un accidente en un pedacito) = p(n) P( no ocurra ningún accidente ) = p(n) P(ocurran 2 o más accidentes) = 0 Con estas consideraciones, el número X de accidentes en [0, T ] será la suma de los pedacitos en los cuales hubo accidentes, de modo que X n Bin(n, p(n)), es decir, P(X = k) = ( nk ) p(n) k ( p(n)) n k n! = k!(n k)! p(n)k ( p(n)) n k y poniendo p(n) λ/n y pasando al límite cuando n, tenemos que P(X = k) λk e λ k! Una forma alternativa de verificar el resultado anterior es usar el resultado del teorema de continuidad: ( ) n lim ( p(n) + (t )p(n)n n p(n)t)n = lim + = e λ(t ) n n Demostración del Teorema de Continuidad Supongamos que hay convergencia en distribución, es decir, que lim n p (n) k = p k para k =,, veamos que entonces las funciones generatrices convergen Fijemos t (0, ) Dado ε > 0, arbitrario, podemos elegir m tal que i=m+ ti < ε, y escribir: g n (t) g(t) k= m k= p (n) k p k t k = p (n) k p k + m k= k=m+ de manera que haciendo tender n a infinito obtenemos p (n) k p k t k + t k m k= lim sup g n (t) g(t) < ε p (n) k k=m+ p k + ε p (n) k p k t k El recíproco es la parte más interesante del teorema: si convergen las funciones generatrices, entonces hay convergencia en distribución Supongamos entonces que p (n) k tk converge La sucesión {p (n) k } es acotada, de manera que tiene una subsucesión convergente Supongamos que para dos subsucesiones convergentes {p (n ) k } y {p (n ) k } el límite es diferente: como las funciones generatrices convergen, ocurre que lim n k= lim n k= p (n ) k s k = lim g n n (s) = g(s), p (n ) k s k = lim g n n (s) = g(s),

65 Capítulo 3: Funciones Generatrices 63 de manera que el límite de las funciones generatrices es el mismo para cualquier subsucesión Como las funciones generatrices determinan en forma única a la sucesión {p (n) k }, los límites de todas las subsucesiones convergentes tienen que coincidir Por lo tanto, {p (n) k } tiene límite y el límite tiene función generatriz g(s) Ejemplo 37 (Sucesos Raros) Supongamos que queremos estudiar el número de sucesos raros que ocurren, donde denominamos raro a un suceso cuando tiene probabilidad chica de ocurrir: tenemos un arreglo {X n,k, k }, n =, 2, de variables de Bernoulli independientes, donde cada fila (k)del arreglo es iid, pero el parámetro de las variables de las distintas filas no es necesariamente el mismo P(X n,k = ) = P(X n,k = 0) = p k (n) y además, la probabilidad de que X n,k valga uno es uniformemente pequeña en k: Supongamos también que para algún λ positivo Entonces, máx p k(n) = δ n n 0 k n ( n ) p k (n) = E X n,k n λ k= k= D X n,k X Poisson(λ) k= Podemos pensar en X n,k como la indicatriz de un suceso raro A n,k El enunciado anterior dice que cuando en una serie grande de sucesos cada uno de ellos tiene probabilidad pequeña de ocurrir, el número de sucesos que ocurren tiene distribución de Poisson Para verificar que el resultado es cierto, basta mirar la función generatriz de n k= X n,k, que es g(t) = n g Xn,k (t) = k= n ( p k (n) p k (n)t) k= Querríamos ver que esta expresión tiende a e λ(t ) Tomemos logaritmos en la expresión anterior, y observemos que log( x) es como x + R(x), donde R(x) = n=2 xn /n es el resto de la serie de Taylor de log( x), de modo que para x < /2, R(x) < x 2 Así, basta calcular el límite de log(p k (n)( t)) = k= p k (n)( t) + k= R(p k (n)( t)) Como n k= p k(n)( t) λ( t), lo único que nos queda por verificar es que n k= R(p k(n)( t)) 0 Observemos que R es monótona, por lo tanto, R(p k (n)( t)) k= porque δ n 0 y n k= p k(n) λ k= k= R(p k (n)) 2 p 2 k(n) 2 máx k n p k(n) 2δ n n k= k= p k (n) k= p k (n) 0,

66 64 Series y Probabilidades Ejercicios 35 Recuerde la función generatriz de T n del ejercicio 3 Qué ocurre cuando n? Cómo se interpreta ésto? 35 El Paseo al Azar Simple Se llama paseo al azar simple a la sucesión de sumas parciales S n = X + + X n correspondiente a una sucesión de variables aleatorias {X i, i } que sólo pueden tomar valores + y - : P(X i = ) = p, P(X i = ) = q, p + q = Suponemos además que S 0 = 0 con probabilidad Se puede pensar en el paseo al azar asociándolo al juego de azar que consiste en lanzar una moneda Si sale aguila se gana, si sale sol se pierde, y S n representa el capital del jugador al cabo de n jugadas Las X i pueden representarse en términos de variables Y i con distribución de Bernoulli(p), mediante la relación X i = 2Y i, de manera que S n = 2B n n, donde B n Bin(n, p) A partir de esta observación se deduce que los incrementos S nj S mj para j =, k correspondientes a intervalos disjuntos con m < n m 2 < n 2 m k < n k son independientes y tienen distribución Bin(n j m j, p) También se deduce que ( ) n + n 2 P(S n +n 2 = n n 2 ) = P(2B n +n 2 (n + n 2 ) = n n 2 ) = p n q n 2 Observemos que este resultado también se obtiene notando que cada una de las ( n +n 2 ) n trayectorias que unen el (0, 0) con el (n + n 2, n n 2 ) tienen la misma probabilidad: p n q n 2 Vamos a llamar p n,x a la probabilidad de que en el instante n el paseo se encuentre en x, de manera que p n,x = P(S n = x) = n ( ) n n+x p n+x n x 2 q 2 (3) 2 Este mismo resultado puede obtenerse usando funciones generatrices de la siguiente forma: llamemos ψ n (t) = E t S n = x tx P(S n = x) = x tx p n,x Recordemos que S n = n i= X i, así que ψ n (t) = (E t X i ) n = ( pt + q t ) n = n h=0 ( n )p h t h qn h h t n h = n h=0 ( ) n t 2h n p h q n h h De manera que tenemos ψ n (t) = x tx p n,x = n h=0 ( n h) t 2h n p h q n h, así que igualando los coeficientes de las potencias de t, con 2h n = x se obtiene nuevamente (3) Una pequeña variante de esto último es la siguiente: ψ n (t) = x t x p n,x = x = p t t x p n,x + q t x ( = pt + q ( t = pt + q ) n, t es decir, obtenemos una vez más (3) t x (p p n,x + q p n,x+ ) t x+ p n,x+ = p tψ n (t) + q t ψ n (t) x ) ( ψ n (t) = pt + q ) 2 ψn 2 (t) = = t ( pt + q t ) n ψ0 (t)

67 Capítulo 3: Funciones Generatrices Retornos al Origen Vamos a estudiar ahora algunas cosas relacionadas con los retornos del paseo al cero, por ejemplo, la esperanza del tiempo de retorno Llamemos τ 0 al instante (aleatorio) en que el paseo regresa por primera vez al origen, es decir observemos que τ 0 es par Introducimos la siguiente notación: τ 0 = min{n > 0 : S n = 0}, (32) u 2n = p 2n,0 = P(S 2n = 0), (33) de modo que u 2n es la probabilidad de que el paseo esté en el origen al cabo de 2n pasos, y llamamos f 2n a la probabilidad de que el paseo esté en el origen por primera vez al cabo de 2n pasos f 2n = P(S 2n = 0, S i 0 para 0 < i < 2n) = P(τ 0 = 2n) (34) Es fácil ver que en el caso del paseo simétrico, con p = q = /2, f 2n = u 2n 2 u 2n Veamos qué ocurre en el caso asimétrico: Teorema 33 Para un paseo al azar asimétrico, la probabilidad de ir de (0, 0) a (2n, 0) pasando por el 0 por primera vez en el instante 2h es f 2h u 2n 2h Observemos que {S 2h = 0, S i 0 0 < i < 2h, S 2n = 0} es el evento que indica que se regresa al 0 por primera vez en el instante 2h De esta forma, u 2n = P(S 2n = 0) = P( h {S 2h = 0, S i 0 0 < i < 2h, S 2n = 0}) = P( h {S 2h = 0, S i 0 0 < i < 2h} {S 2n = 0}) = f 2h P(S 2n = 0 S 2h = 0, S i 0 0 < i < 2h) = h=0 Como u 0 =, la fórmula anterior no vale para n = 0 Notemos que u 2 = f 2 u 0, u 4 = f 2 u 2 + f 4 u 0, u 6 = f 2 u 4 + f 4 u 2 + f 6 u 0, etc Definamos ahora las funciones generatrices el producto de estas funciones es de manera que Observemos además que U(z) = F (z) = u 2n z 2n = + u 2 z 2 + u 4 z 4 + n=0 f 2n z 2n = f 2 z 2 + f 4 z 4 +, n= f 2h u 2n 2h U(z)F (z) = f 2 u 0 z 2 + (f 4 + f 2 u 2 )z 4 + (f 6 + f 4 u 2 + f 2 u 4 )z 6 + = U(z) n=0 h=0 F (z) = U(Z) (35) ( ) 2n U(z) = u 2n z 2n = p 2n,0 z 2n = p n q n z 2n n n=0 n=0

68 66 Series y Probabilidades A partir de los cálculos precedentes se puede calcular la probabilidad de retornar al origen: Y qué se sabe de U()? Si p = q = /2, P(τ 0 < ) = u 2n = f 2n = F () = U() n= ( ) 2n 2 n = (2n)! n (n!) 2 2 n, πn donde esta última aproximación se obtiene de usar la fórmula de Stirling: n! = 2πn n+/2 e n+θ n/2n, con 0 < θ n < Observamos entonces que si p = q = /2, U() es una serie divergente, por lo tanto (ver 34) F () =, es decir, el retorno al 0 ocurre con probabilidad Sin embargo, ocurre en un instante aleatorio cuya esperanza es + : U(z) = n=0 ( ) 2n (pq) n z 2n = n n=0 (2n)! n!n! (pqz2 ) n 2n 2 n = = 3 5 (2n ) (2pqz2 ) n n! n=0 ( = ) ( 3 ) ( 2n ) (4pqz 2 ) n n! n=0 = ( 4pqz 2 ) /2 Del cálculo anterior se deduce que F (z) = 4pqz 2, así que F () = si p = q 4pq = 2q si p > q 2p si p < q n=0 (2n)! (2pqz 2 ) n n!2 n = n! Así, si p = q = /2, F (z) = z 2, y la derivada F (z) = z, de manera que F z () = +, de 2 modo que aún en el caso simétrico, la esperanza del tiempo de retorno al origen es infinita Ejercicios 36 Si S y S son dos paseos al azar simétricos simples independientes entre sí, calcular P{S n S n = 2k} (k = n, n +,, n) Sugerencia: Si p n,x = P{S n S n = x}, ψ n(z) = x zx p n,x, obtener una relación entre ψ n y ψ n que permita calcular ψ por recurrencia 2 Dado el paseo al azar simétrico simple S n, (n = 0,, ), (i) Cuánto vale P ) {S n > S i }? (ii) Cuánto vale P i<n 0<i<n (iii) Cuánto vale P{ máx 0 i n S i = a}? {S i > 0} S 2n > 0 )?

69 Capítulo 3: Funciones Generatrices 67 3 Paseo truncado Considere un paseo al azar simétrico simple S n, (n = 0,, ), con S 0 = 0, y τ 0 = min{n > 0 : S n = 0}, defina τ 0 2m = min{τ 0, 2m} Muestre que E(τ 0 2m) = 4mu 2m = 2 E( S 2m ) Sugerencia: Muestre que los tres términos de la igualdad tienen la misma función generatriz Comentario: El paseo al azar es el más sencillo de los procesos aleatorios que pueden estudiarse, y permite plantearse preguntas de gran interés no sólo para este proceso sino para cualquier proceso aleatorio En muchos casos, las respuestas a estas preguntas son fáciles de responder con herramientas al alcance de estas notas, por ejemplo, la esperanza del tiempo de retorno al origen Hay otras propiedades que se deducen simplemente de contar las trayectorias Algunos ejemplos de estas propiedades (que no discutiremos en estas notas porque las técnicas de enumeración que se usan para demostrarlas no están vinculadas directamente con las funciones generatrices) son : El célebre Principio de Reflexión que establece que la probabilidad de que el paseo hasta el instante n esté en el nivel m, con m < k pero el máximo hasta ese instante haya sobrepasado el nivel k es igual a la probabilidad de que en el instante n el paseo esté en 2k m : P(S n = m, máx j n S j k) = P(S n = 2k m) El llamado Lema del Escrutinio que establece que dado que el paseo en el instante 2n está en el 2n nivel 2r, la probabilidad de que siempre haya permanecido por encima del nivel 0 es r/n: P( S i 0 S 2n = 2r) = r El nombre del lema se debe a esta interpretación del resultado: si en una elección con n solamente dos candidatos, el candidato A obtiene a votos y el candidato B obtiene b votos, entonces si a > b la probabilidad de que durante el escrutinio A siempre aventaje a B es (a b)/(a + b) El hecho de que, sea cual sea la longitud del paseo, la probabilidad de que en la segunda mitad no ocurran retornos al origen es /2 i= 36 Funciones Generatrices de Momentos Dada una variable aleatoria X, o su función de distribución F, vamos a definir otra función generatriz, definida como p(t) = E e tx Notemos que cuando el recorrido de X es discreto, p(t) = g(e t ) Si X está acotada, p X está bien definida para todo t real, en cambio, si X no está acotada, es posible que el dominio de p no sean todos los reales En todo caso, p siempre está definida en cero, y p(0) = Si la función generatriz está definida en un entorno de t = 0, entonces como las series p(t) = E e tx = E t n X n = t n E X n n= n= son convergentes, se puede derivar término a término y obtenemos p (0) = E X p (0) = E X 2 y en general p (n) (0) = E X n Es por esta última propiedad que esta función se conoce como función generatriz de momentos (fgm) Ejemplos 38 Si X Bin(n, p) entonces p(t) = (pe t + p) n )

70 68 Series y Probabilidades Un cálculo directo permite ver que p(t) = ( ) n e jt p j ( p) n j = (pe t + p) n, j j=0 que es el resultado que se obtiene al reemplazar t por e t en el ejemplo 2 2 Si X exp(λ), es decir, si P(X x) = e λx, para x 0, entonces p(t) = /λ t El resultado se obtiene a partir del cálculo p(t) = 0 e λx e tx dx = e(t λ)x t λ Observamos que en este caso, p(t) no está definida si t λ 3 Si X N(0, ), es decir, si P(X x) = 2π x Calculemos p(t) = 2π e tx e x2 /2 dx = 2π 0 = t λ e x2 /2 dx, entonces p(t) = e t2 /2 e 2 (x t)2 e t2 /2 dx = e t2 /2 ya que 2π e 2 (x t)2 dx = puesto que el integrando es la densidad de una variable aleatoria con distribución N(t, ) Observación 35 Por la forma en que hemos definido la función genetratriz de momentos, cuando las fgm de dos variables aleatorias X, X 2 coinciden para todos los valores de t en un entorno de t = 0, entonces las distribuciones de probabilidad de X y X 2 deben ser idénticas Vamos a aprovechar la función generatriz de momentos para dar una demostración del célebre Teorema Central del Límite para sumas de variables aleatorias iid con segundo momento finito En realidad el resultado anterior se cumple bajo condiciones más generales, y la demostración no es muy diferente de la que presentaremos aquí Teorema 34 Dada una sucesión de variables aleatorias X, X 2,,independientes, idénticamente distribuidas, con media µ y varianza σ 2 finitas, para las cuales existe la fgm, definimos para cualquier entero n: S n = X + + X n Entonces, S n nµ converge en distribución a una variable aleatoria con distribución nσ normal típica Llamemos S n = S n nµ nσ, y observemos que para a y b constantes cualesquiera, se cumple que p a+bx = E(e t(a+bx) ) = e ta p X (bt) de modo que ( ) { t p S n (t) = p Sn σ exp tµn } { n σ = exp tµ } ( n t p X ( n σ σ n ) { t = exp n log p x ( σ n ) tµ } n σ Para finalizar la demostración del teorema lo único que queda es verificar que para cualquier p X suficientemente regular { } t exp n log p x ( σ n ) t 2 n 2, ) n

71 Capítulo 3: Funciones Generatrices 69 es decir, que la sucesión de funciones generatrices converge a la función generatriz de una variable aleatoria con distribución N(0,) (ver ejemplo 3) Llamemos x = / n, de manera que cuando n, x 0 Con este cambio de variables, usamos la regla de L Hôpital, para calcular log ( ( p tx )) X σ tµx σ lim x 0 x 2 = lim x 0 p X (tx/σ)t p x (tx/σ)σ tµ σ 2x t 2 p X = lim (tx/σ) p X(tx/σ) (p X (tx/σ))2 x 0 2 σ 2 (p X (tx/σ)) 2 = t2 2, porque p X (0) +, p X (0) = E X = µ, y p X (0) = E X2 = σ 2 + µ 2 La regularidad que le estamos exigiendo a p X es entonces, que sea al menos 2 veces diferenciable Ejercicios 37 Si X Uniforme(a,b), cuánto vale el momento central de orden cinco de X? 2 Suponga que X es una variable aleatoria para la cual E X 2 < Muestre que E X 2 (E X) 2 Muestre también que E X 2 = (E X) 2 sí y sólo si existe una constante c para la cual P(X = c) = 3 Suponga que X es una variable aleatoria con media µ y variancia σ 2, y que el momento de cuarto orden de X es finito Muestre que E(X µ) 4 ) σ 4 4 Suponga que la distribución del número de defectos en un determinado rollo de tela tiene distribución de Poisson con media 5, y para una muestra aleatoria de 25 rollos se cuenta el número de defectos en cada rollo Determinar la probabilidad de que el promedio de defectos por rollo en la muestra sea menor que 55