Relaciones y Funciones

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1 OBJETIVOS Unidad Tema Subtema Objetivos IV Relaciones y funciones 4.1 Relaciones 4.2 Funciones Entender y definir el concepto de relación así como las diferentes representaciones de una relación Entender, aprender y utilizar las propiedades de las relaciones Conocer y clasificar los tipos de relaciones: o De equivalencia o De orden o Función Graficar una relación Entender y definir el concepto de función Conocer y utilizar los tipos de funciones o Biyectiva o Inyectiva o Suprayectiva Conocer y obtener de una función o La función inversa o Una función compuesta Conocer y diseñar funciones recursivas 1

2 4.1 Relaciones Definición de Relación El concepto de relación surge de manera natural en el análisis de un sistema. Un ejemplo, en los números Naturales se establece la relación es menor que.... Bajo esta relación R el número 2 se relaciona con el 3: 2 es menor que 3, pero no así al contrario (3 no es menor que 2). Una relación es binaria cuando se establece entre dos objetos. Un ejemplo: R : x < y. Una relación es un conjunto de pares ordenados. Un par ordenado (también llamada pareja ordenada) consta de dos elementos: (a, b) en donde el orden en que aparece (primero a, después b) indica la relación: a R b de a con b. Una relación asocia un elemento de un conjunto A con un elemento de otro conjunto B o con un elemento del mismo conjunto A. Ejemplos: * Para A= {a, b, c} R 1 = {(a, a) (a, b) (a, c) (b, a) (b, b) (b, c) (c, a) (c, b) (c, c)} 1 R = A A * Para A = {España, Inglaterra, Italia} B= {Paris, Roma, Madrid} R2: (España, Paris) (Inglaterra, Roma) (Italia, Madrid) * R3: (Pepe, María) (Pepe, Laura) (Pepe, Tere) Esta relación puede ser:... hermano de... Otro ejemplo: A = {Familia Rodríguez} Miembro Edad Peso Estatura Papá Alfonso (A) Mamá Beatriz (B) Hijo 1 Carlos (C) Hijo 2 David (D) Hijo 3 Elena (E) R 1 : es papá de (A, C) (A, D) (A, E) R 2 : es mas alto que (C, A) (C, B) (C, D) (C, E) (A, B) (A, D) (A, E) (B, D) (B, E) (D, E). R3: es mas grande que (A, B) (B, C) (C, D) (D, E), (A, C) (B, D) (C, E), (A, D) (B, E) (A, E) 2

3 Representaciones gráficas de relaciones Gráfica de relaciones no numéricas Diagrama de flechas ( x, y) ( y, y) ( y, z) ( z, x) Relación:...es más grande que... Nomenclatura para relaciones (R) R = {( x, y) / x < y} relación: x < y Es menor que = {( x, y) / x < y} R si R:...es menor que... x y Definición: Sea R una relación a R b = ( a, b) Ejemplo: R = {( x, y),( y, z),( y, y),( z, z)} R es verdadera? no z y y R z es verdadera? Si R Si xry, xrz, zry, yrz, zrz, son verdaderas, Cuál es la relación R? R = {( x, y), ( x, z), ( z, y), ( y, z), ( z, z) } 3

4 Clasificación de relaciones - Relaciones de equivalencia - Relaciones de orden - Funciones 1. Relaciones de equivalencia Características (propiedades) 1) Reflexividad: xrx : x S xrx ( x está relacionada con x ) Ejemplo: El conjunto de alumnos que se encuentra en su salón de clase S = {Pedro, Javier, Esteban} R : está en la misma habitación Pedro R Pedro reflexividad 2) Simetría: x, y S. Si x Ry y Rx Ejemplo: Pedro R Javier Javier R Pedro 3) Transitiva: x, y, z S Si xry y yrz xrz Pedro R Javier y Javier R Esteban Pedro R Esteban Definición: Una relación R, definida sobre un conjunto S es una relación de equivalencia tienen las tres propiedades: reflexiva, simétrica y transitiva Ejemplos: R : x < y R : x y S = { a, b, c} R = {( a, a), ( c, c)(, a, c)(, c, a) } Reflexiva? 3 < 3 Reflexiva? 3 3 Reflexiva? ara crc brb Simétrica? 3 < 5 y 5 < 3 Simétrica? 3 5 y 5 3 Simétrica? arc cra Transitiva? 3 < 5 Transitiva? 3 5 Transitiva? arc 5 < 6 3 < crb no arb no Relación equivalente X tiene la misma paridad (que sea par o impar) 3 tiene la misma paridad que 3 Reflexiva 3 tiene la misma paridad que 5 Simétrica 5 tiene la misma paridad que 3 5 tiene la misma paridad que 7 Transitiva 4

5 Relación de orden parcial En matemáticas, una relación binaria R sobre un conjunto X es antisimétrica si se cumple que para todo a y b pertenecientes a X si a está relacionado con b y b está relacionado con a entonces a = b. En notación de conjuntos:. La relación ser más alto que es una relación antisimétrica dado que a es más alto que b y b es más alto que a no pueden cumplirse al mismo tiempo. Nótese que la antisimetría no es lo opuesto de la simetría ( a R b y b R a implican b = a). Existen relaciones que son simétricas y antisimétricas al mismo tiempo (como la relación de igualdad), relaciones que no son simétricas ni antisimétricas (como la relación de divisibilidad), relaciones que son simétricas pero no antisimétricas (como la relación de congruencia módulo n), y relaciones que son antisimétricas pero no simétricas (la relación "es menor que" ). La relación ser menor o igual también es antisimétrica dado que si a es menor o igual que b y b es menor o igual que a es porque a = b. Una relación que es reflexiva, antisimétrica y transitiva es llamada un orden parcial. En resume: cuando en una relación se tiene que elemento a es igual al elemento b. Ejemplo: A = { 1,2,3,4,6,12} conjunto de divisores positivos enteros de 12 a R b y xry x divide exactamente a y A A : xry ( 1,1 )( 1,2)( 1,3)( 1,4 )( 1,6 )( 1,12) ( )( )( )( ) 2,2 2,4 2,6 2,12 R = ( 3,3)( 3,6)( 3,12) ( 4,4)( 4,12) ( )( ) 6,6 6,12 Si x divide a y exactamente y = ax Si y divide a z exactamente z = by z = b(ax) z = bax z x divide exactamente a z Reflexiva sí es porque 1 R 1, 2 R 2,. Si a R b b R a simétrica Si arb y bra a = b antisimétrica Si a está en relación con b b está en relación con a a = b b R a es porque el Transitiva 5

6 4.2 Funciones Intuitivamente una función es una regla que asocia elementos de un conjunto A con elementos de un conjunto B de modo que el elemento del conjunto A se asocia con uno y sólo un elemento del segundo conjunto. En otras palabras, una función es una máquina que transforma elementos en otros elementos y cada elemento puede transformarse en un único elemento, no en dos o tres. Definición: Sean A y B dos conjuntos. Una función de A en B es un conjunto de pares ordenadas de A x B (a, b) con la propiedad de que cada elemento de A es el primer componente de una pareja ordenada y para todo a A, si (a, b) y (a, c) pertenece a f entonces b = c (porque a no se repite en otra pareja) A: Dominio de la función B: Codominio Imagen son los elementos de B que forman el segundo componente de la pareja ordenada. Ejemplo: A= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} = {conjunto de calificaciones en base a 10} B= {NA, S, B, MB} = {conjunto de símbolos que representan un rendimiento escolar A B son todas las posibles relaciones ( 0, NA)( 1, NA)... ( 10, NA) ( )( ) ( ) 0, S 1, S 10, S A B = ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) 0, B 1, B 10, B 0, MB 1, MB 10, MB A B = 44 parejas R : Si NA = no acreditada calificación 0-5 Si S = suficiente calificación 6-7 Si B = bien calificación 8-9 Si MB = muy bien calificación 10 es una función porque a cada elemento de A corresponde solo uno de B a la relación se le llama regla de correspondencia f, entonces, b = f(a) un elemento del conjunto B está en función de un elemento del conjunto A. Nomenclatura y = f (x) Dominio de una función es el conjunto de los valores que puede tomar x o que toma x para que exista la función. Codominio o rango de una función es el conjunto de los valores que se obtienen al sustituir los valores del dominio en la función. 6

7 Tipos de funciones Función Inyectiva: A una función en la que a cualquiera par de elementos diferentes del dominio les corresponde imágenes diferentes se le llama función inyectiva (significa uno a uno) 2 Un ejemplo es la función cuadrática y = ax + bx + c cuyo dominio y cuyo codominio son los reales. Así, para y = 3x 2 + 2x + 1 cuya gráfica es la función no toma los valores menores a -2. Función Suprayectiva: Si todo elemento del codominio de una función f es imagen de al menos un elemento de su dominio, entonces f es una función suprayectiva Las funciones trigonométrica (seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante) son del tipo suprayectiva (o sobreyectiva). El dominio son los reales y el codominio es [-1, 1] por lo que para más de un valor de x le corresponde el mismo valor de y. 7

8 Función Biyectiva: Una función que es suprayectiva e inyectiva se llama Biyectiva. Ejemplo de esta función es la función lineal: y = mx + b cuyo dominio y cuyo codominio son los reales. Para cada valor de x le corresponde solo uno de y. Todos los valores del codominio son la imagen de un valor y solo uno del dominio. Otras funciones Función Entero Mayor x : (función techo) redondea hacia el siguiente entero. Ejemplos: y = 3.01 = 4 y = 3.51 = 4 y = 3.91 = 4 y = 3.01 = 3 y = 3.51 = 3 y = 3.91 = 3 8

9 Función Entero Menor x : (función suelo) redondea hacia el entero. Ejemplos: y = 3.01 = 3 y = 3.51 = 3 y = 3.91 = 3 y = 3.01 = 4 y = 3.51 = 4 y = 3.91 = 4 Función Truncar TRUNC (x) : da como resultado la parte entera. Ejemplos: y = trunc(3.01) = 3 y = trunc(3.51) = 3 y = trunc(3.91) = 3 y = trunc( 3.01) = 3 y = trunc( 3.51) = 3 y = trunc(.3.91) = 3 Función Compuesta: fog Si f : A B y g : B C la función compuesta fog : A C se define fog( a) = f ( g( a) ) a A. Ejemplo: A = { 1,2,3,4,5 } B = { w, x, y, z} C = { a, b, c} Si f = {( 1, w)( 2, x)( 3, y)( 4, z)( 5, z) } y g = {( w, a)( x, b)( y, c)( z, c) } f : A B g : B C fog : A C{ ( 1, a)( 2, b)( 3, c)( 4, c)( 5, c) } Función Inversa Si f es una función uno a uno, entonces la inversa de f, denotada por f = {( y, x) /( x, y) está en f } Propiedades: Si f existe entonces: f es una función uno a uno El dominio de f es el rango de f f es: El rango de f es el dominio de f Determinación de la inversa de una función f : 1. Encontrar el dominio de f y determinar que es una función uno a uno. Si f no es una función uno a uno, entonces no existe f 2. Resolver para x la ecuación y = f (x). El resultado es una ecuación de la forma x = f 1 ( y ). 3. Intercambiar x y y en la ecuación encontrada. Esto expresa a f como una función de x. 4. Encontrar el dominio y el rango de f. 9

10 Ejemplo: Encontrar f para f ( x) = x Solución: 1. Dominio de f : [ 1, ) rango: y 0, por lo tanto 2. Despejar x : y = y 2 x = x x = y f existe Intercambiar: y = f = x Dominio y rango de f : dominio : x 0, rango y 1 f ( x) = x x = y

11 Función Recursiva Una función recursiva es aquella que depende de valores precedentes (anteriores). Debe contener: Condiciones iniciales Procedimiento Condición de término Ejemplos: Subrutina fibonacci ( L, L2, n, L) Definición de variables Si n > 2 entonces L = L 1 + L2 L = L si no regresar L = L n = n llamar fibonacci ( L, L2, n, L) 1 Función factorial ( n, fac) Definición de variables Si n = 0 entonces fac = 1 regresar fac ; Si no si n > 1 entonces fac = fac n n = n = regresar fac ; fac función factorial ( n, fac) 11

12 4.3 Historia 9 La palabra función fue introducida en 1694 por Gottfried Wilhelm Leibniz ( ) para designar una cantidad asociada con una curva. En el año 1718, Bernoulli ( ) consideraba una función como una expresión algebraica formada por constantes y variables. Las ecuaciones o fórmulas con constantes y variables surgieron con Leonahard Euler ( ). Su definición de función es la que generalmente se encuentra en los libros de matemáticas a nivel de enseñanza media. En 1734 Euler y Alexis Clairaut ( ) introdujeron la notación f (x). La idea de Euler permaneció intacta hasta la época de Jean Baptiste Joseph Fourier ( ) quien encontró la necesidad de un tipo más general de función en su estudio de series trigonométricas. En 1837, Meter Gustav Lejeune Dirichlet ( ) estableció una formulación más rigurosa de los conceptos de variable, función y correspondencia entre la variable independiente y la variable dependiente. El trabajo de Dirichlet enfatiza la relación entre dos conjuntos de números y no pide la existencia de una fórmula o expresión que relaciones a los dos conjuntos. Con los desarrollos de la teoría de conjuntos de George Cantor, se llegó a una generalización de la función como un tipo de relación particular. Gottfried Wilhelm Leibniz ( ) 9 [Grimaldi, 308] 12