ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS

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1 Fundamentos de la Matemática 1 Operaciones Binarias Dado un conjunto A, A, decimos que es una operación binaria en A si, y sólo si, : A A A es una función. Investigar si los siguientes son ejemplos de operaciones binarias 1) A= { 0,1,2}, ) : Q a b= a+ b ab a+ b Ejercicio: : Z a b= es una operación binaria? 2 Propiedades de las operaciones Consideramos un conjunto A, A, y una operación binaria en A. Asociativa es asociativa x, y, z, x A, y A, z A, ( x y) z= x ( y z) Ejercicio: Investigar en los ejemplos anteriores 1) y 2) si se cumple esta propiedad. Existencia de neutro Existe neutro de e, e A, x, x A,( x e= e x= x) Ejercicio: Investigar en los ejemplos anteriores 1) y 2) si se cumple esta propiedad. Instituto de Profesores Artigas

2 Existencia de simétrico Para cada elemento de A existe simétrico x, x A, x ', x ' A, ( x x ' = x ' x= e) Nota: cuando la operación es adición el simétrico se denomina opuesto y si la operación es multiplicación se denomina inverso. Ejercicio: Investigar en los ejemplos anteriores 1) y 2) si se cumple esta propiedad. Conmutativa es conmutativa x, y, x A, y A, ( x y= y x) Ejercicio: Investigar en los ejemplos anteriores 1) y 2) si se cumple esta propiedad. Cancelativa cumple la propiedad cancelativa a, b, c, a A, b A, c A, ( a b= a c b= c) Teoremas I) Dado A, A, y una operación binaria en A. Si existe neutro de, entonces es único. II) Dado A, A, y una operación binaria asociativa en A. Si existe simétrico de a, a A, entonces es único. 2 Grupo Dado el conjunto G, G : es una operación binaria en G es asociativa ( G, ) es un grupo Existe neutro de Para cada elemento de G existe su simétrico Fundamentos de la Matemática

3 Ejercicio: Investigar si los ejemplos 1) y 2) del comienzo constituyen una estructura de grupo. Propiedades que se cumplen en una estructura de grupo 1) El neutro y el simétrico son únicos 2) a, a G, ( a ')' = a 3) cumple con la propiedad cancelativa 4) Las ecuaciones b x= a y x b= a tienen una única solución 5) a, b, a G, b G, (( a b)' = ( b ' a ')) a, n, a G, n N, ( a a... a )' = a ' a '... a ' 6) i i 0 1 n n n 1 0 Teorema es operación binaria en G es asociativa (H) ( G, ) cumple: e, e G, x, x G, x e = x x, x G, x ', x ' G, x x ' = e (T)( p p= p p= e) Teorema es operación binaria en G es asociativa ( G, ) es un grupo ( G, ) cumple: e, e G, x, x G, x e = x x, x G, x ', x ' G, x x ' = e Grupo conmutativo ( G, ) es un grupo conmutativo ( G, ) es grupo es conmutativa Fundamentos de la Matemática

4 3 Anillo ( A,, ) es un anillo ( A, ) es un grupo conmutativo es una operación binaria en A es asociativa es distributiva respecto de Nota: De ahora en más, para simplificar la notación, notaremos en general cualquier anillo como ( A+,, ). Por tanto, el simétrico del elemento a con respecto a la primera operación lo notaremos a, y al simétrico de a con respecto a la segunda operación lo notaremos 1 a. Teorema Si ( A+,, ) es un anillo, se cumplen las siguientes propiedades: 1. a 0= 0 a= 0, a, a A (siendo 0 el neutro de +) 2. ( ( a ) b= a ( b) = ( a b), a, b, a A, b A 3. ( a ) ( b) = a b, a, b, a A, b A (: a b= a+ ( b), a, b, a A, b A 4. a ( b c) = a b a c ( a b) c= a c b c a, b, c, a A, b A, c A Anillo sin divisores de cero ( A+,, ) es un anillo sin divisores de cero si, y sólo si, el producto de elementos no nulos es no nulo. El anillo ( A+,, ) no tiene divisores de cero x, y, x A, y A, ( x 0 y 0 x y 0) Fundamentos de la Matemática

5 O bien: El anillo ( A+,, ) no tiene divisores de cero x, y, x A, y A, ( x y= 0 x= 0 y= 0) Esta última se denomina en general propiedad Hankeliana. O sea que el anillo ( A+,, ) tiene divisores de cero x, y, x A, y A, ( x 0 y 0 x y= 0) Propiedad cancelativa de la multiplicación a b = a c a 0 b = c es cancelativa b a= c a a 0 b= c Teorema Un anillo no tiene divisores de cero si, y sólo si, se cumple la propiedad cancelativa de la multiplicación. Demostración del directo x z= y z x z y z= 0 ( x y) z= 0 x y= 0 x= y ( z 0) Demostración del recíproco Si x y= 0, supondremos que y 0 y demostraremos que x= 0: z, z A, z y= z y+ 0 z y= z y+ x y z y= ( z+ x) y z = z + x x = 0 y 0 Anillo conmutativo ( A, +.) es un anillo ( A, +, ) es un anillo conmutativo es conmutativa Fundamentos de la Matemática

6 Anillo conmutativo con unidad ( A, +.) es un anillo conmutativo ( A, +, ) es un anillo conmutativo con unidad tiene elemento neutro 4 Dominio de Integridad Todo anillo conmutativo con unidad y sin divisores de cero se denomina dominio de integridad. Ejercicio Investigar si (,, ) P+ es un dominio de integridad siendo P= { x x Z, x= 2 h, h Z } 5 Cuerpo ( K+,, ) es un cuerpo si, y sólo si, ( K+,, ) es un anillo conmutativo con unidad tal que todos los elementos de K (excepto el neutro de la primera operación) tienen inverso. Teoremas Los cuerpos no admiten divisores de cero En todo cuerpo vale la cancelativa de la multiplicación para elementos no nulos. Si b 0, la ecuación b x= a admite solución única en K. 1 1 ( x ) = ( x), x, x K, x 0. Sean x, y, x ', y ' elementos de un cuerpo con y e y ' no nulos: x y x = x y = y x y siendo x y 1 = x y por notación. Fundamentos de la Matemática

7 6 Ejercicios 1) Completar las siguientes tablas sabiendo que corresponden a operaciones binarias con neutro y conmutativas. a b c d a b c a a b d a c b c d Cuántas soluciones hay? b b c c a c b d a 2) La tabla define la operación en A= { 0,1,2,3,4,5} a) Es conmutativa? b) Existe neutro? c) Existe simétrico? a+ b 3) En el conjunto Q se define tal que a b= 2 a) Investigar si se trata de una operación. b) Estudiar si es asociativa y conmutativa. 4) En N se definen las operaciones y tales que a b= a+ 2b y a b= 2ab. a) Son conmutativas? b) Son asociativas? c) Es distributiva una operación con relación a la otra? 5) Estudiar la existencia de neutro de en los siguientes casos: ab a) En Q, con a b= 2 2 b) En Z, con a b= a + b c) En N, con a b= 2a+ ab d) EnN, con a b= a Fundamentos de la Matemática

8 6) Dado el conjunto Z y la operación a b= a+ ( b+ 1), probar que ( Z, ) es un grupo conmutativo. 7) En el conjunto de los puntos de un plano se consideran la transformación idéntica ( I ) y la simetría axial de eje e ( S ). Sea C= { I, S}. Se considera la composición de funciones ( ) restringida al conjunto C. Crear la tabla correspondiente a la operación y probar que ( C, ) es un grupo conmutativo. 8) Demostrar que la estructura formada por el conjunto de todas las funciones biyectivas de A en A y la composición de funciones es un grupo. 9) Sobre el conjunto Q Q se define la operación ( a, b) ( x, y) ( ax, bx y) = +. Demostrar que ( Q Q, ) es un grupo. 10) Dado el conjunto Z Z se definen las operaciones: ( a, b) ( c, d) = ( a+ c, b+ d) y ( a, b) ( c, d) = ( ac,0). Investigar si es un anillo. 11) Se considera el conjunto A= { 0,1} y las operaciones dadas por las tablas Comprobar que ( A+,, ) es un cuerpo. 12) Sabiendo que ( A, ) es un grupo conmutativo siendo A= { a, b, c, d} y a b= c, a c= c y b d= a : a) Realizar la tabla de la operación. b) Resolver: i) a ( x b) = d ii) [ b ( x d) ] ( x a) = c 13) Sea ( A, ) un grupo conmutativo. Probar que para todo u, x, y, z pertenecientes a A se verifica ( u x) ( y z) = ( u ( x y)) z= u ( x ( y z)) = ( x z) ( y u) Bibliografía recomendada Álgebra I. Armando Rojo Estructuras Algébricas I. Enzo Gentile (Monografía de la OEA) Fundamentos de la Matemática

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