LÓGICA MATEMÁTICA. Álgebra de Boole Guía de trabajo

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1 LÓGICA MATEMÁTICA Álgebra de Boole Guía de trabajo Favián Arenas A. y Amaury Camargo Universidad de Córdoba Facultad de Ciencias Básicas e Ingenierías Departamento de Matemáticas

2 4.15 Objetivos Lógica Matemática Guía de trabajo Objetivos El alumno estará en la capacidad conocer, utilizar y aplicar los siguientes elementos básicos para la solución de un problema: Generalidades sobre que es un álgebra de Boole y como se prueba. Generalidades sobre las leyes del álgebra de Boole y demostraciones. Generalidades sobre las funciones de Boole con una o mas variables Recursos de aprendizaje Aula de clases, Auditorios. Videobeam Retroproyector. Foro Chat Correo electrónico Favián Arenas. 115 Camargo Benítez.

3 4.17 Clases de operaciones Lógica Matemática Clases de operaciones Hasta el momento hemos hablado de operaciones entre proposiciones y entre conjuntos Vale la pena clasi car en general las operaciones El primer tipo se llama operación binaria, y no sólo enlaza dos elementos, sino que determina un tercero (el resultado de los otros dos) que pertenece al conjunto que consideramos. Por lo tanto una OPERACIÓN BINARIA es una.operación tal que: si a; b 2 X,entonces también la es a b Ejemplo 28. la Suma en el conjunto de los naturales es una operación binaria Ejemplo 29. pues si m; n 2 N;entonces m + n 2 N: Ejemplo 30. la Resta en el conjunto de los naturales no es una operación binaria pues existen elementos de N; como por ejemplo 7 y 12 tal que 7 12 = 5 =2 N: El segundo tipo de operación se llama operación unitaria, esta en realidad transforma un número en otro, por lo tanto unaoperación UNI- TARIA ' sobre un conjunto B es una.operación tal que: Si a 2 B, entonces '(a) 2 B Ejemplo 31. el operador menos ( ) el conjunto de los enteros es una operación binaria pues si m 2 Z;entonces m 2 Z: Favián Arenas. 116 Camargo Benítez.

4 Ejemplo 32. la Radicación en el conjunto de los números reales es una operación binaria si y solo si es raíz impar; es decir el operador 2n+1p es una operación binaria con n 2 N pero el operador 2np no es una operación binaria con n 2 N nótese que 1 2 R pero 2np 1 =2 R Álgebra de Boole Un conjunto B, junto con las operaciones binarias ; de nidas sobre él es un álgebra de Boole, si se veri can las siguientes Propiedades: Ley conmutativa 1. a) 1) 8a; b 2 B; a b 2 B 2) 8a; b 2 B; a b 2 B Ley distributiva 1. a) 1) 8a; b; c 2 B; a (b c) = (a b) (a c) 2) 8a; b; c 2 B; a (b c) = (a b) (a c) Elementos neutros 1. a) 1) 8a 2 B; 9e 2 B; a e = a (Neutro Aditivo o cero) 2) 8a 2 B; 9i 2 B; a i = a (Neutro Multiplicativo o unidad) Complementación Favián Arenas. 117 Camargo Benítez.

5 1. a) 1) 8a 2 B; 9a c 2 B; a a c = i (complemento a la unidad) 2) 8a 2 B; 9a c 2 B; a a c = e (complemento al cero) mas adelante se probará que a c es el mismo en ambos casos. Ejemplo 33. Sea D 26 = f1; 2; 13; 26g el conjunto de los divisores positivos del 26; de namos las operaciones binarias así: Ejemplo 34. a b = MCM(a; b) ( Mínimo Común múltiplo) cero) a b = mcd(a; b) ( Máximo Común divisor) observe que para que a b = a; b tiene que ser 1(Neutro Aditivo o y unidad) para que a b = a; b tiene que ser 26(Neutro Multiplicativo o por otra parte: para que ab = 26; tiene que ser b = 26 (complemento de la unidad) a y para que a b = 1; depende de quien sea a así: si a = 1 entonces b = 26 si a = 2 entonces b = 13 si a = 13 entonces b = 2 si a = 26 entonces b = 1 Para representar estas operaciones utilizaremos tablas algo parecidas a las de la escuela. Favián Arenas. 118 Camargo Benítez.

6 A continuación se plantearán otras Propiedades de las Algebras de Boole, se realizarán las pruebas de estas propiedades para uno de ellas y la otra la realizará el estudiante con el principio de dualidad. Ley de idempotencia 8a 2 B; a + a = a 1. a) 1) 8a 2 B; aa = a Ley de acotamiento 1. a) 1) 8a 2 B; a + 1 = 1 2) 8a 2 B; a0 = 0 Ley de absorción 1. a) 1) 8a; b 2 B; a + ab = a 2) 8a; b 2 B; a(a + b) = a Ley asociativa 1. a) 1) 8a; b; c 2 B; a + (b + c) = (a + b) + c 2) 8a; b; c 2 B; a(bc) = (ab)c Unicidad del complemento Favián Arenas. 119 Camargo Benítez.

7 1. a) 1) 8a 2 B; (a + x = 1) ^ (ax = 0) ) x = a c Ley de involución 1. a) 1) 8a 2 B; (a c ) c = a Ley de Morgan 1. a) 1) 8a; b 2 B; (a + b) c = a c b c 2) 8a; b 2 B; (ab) c = a c + b c Funciones reales y funciones booleanas Hasta ahora se ha mostrado en qué operaciones se basa el Algebra de Boole y algunas de sus propiedades. Utilizando expresiones booleanas, vamos a de nir Funciones booleanas, que son muy parecidas a las funciones matemáticas a las que estamos acostumbrados pero con la particularidad de que las variables son booleanas y que los valores devueltos por la función también son booleanos, es decir, una función booleana sólo puede tomar los valores 0 ó 1. Como hemos hecho antes, vamos a ver un ejemplo utilizando una función matemática de las que todos conocemos. Por ejemplo esta: f(x) = 2x + 1 Se trata de una función Real que tiene una variable Real (x) es decir el dominio de f es R Favián Arenas. 120 Camargo Benítez.

8 y x -5 hay una in nidad de valores en el dominio de f por esto se obtiene una in nidad de puntos en forma de una recta. También podemos de nir funciones reales de 2 ó más variables, como por ejemplo: f(x; y) = 2x + y 2 f(x; y; z) = z 2 sen(x + y) f(x 1 ; x 2 ; x 3 ; :::; x n ) = 3p x 1 + x 2 + x 3 + ::: + x n Como estamos acostumbrados a trabajar con este tipo de funciones, nos resultan claras. Ahora vamos a de nir funciones booleanas. Para ello hay que tener presente que trabajaremos con variables booleanas y que por tanto usaremos las operaciones + y del Algebra de Boole. Favián Arenas. 121 Camargo Benítez.

9 Ejemplo 35. sea la siguiente función booleana de una variable: f(x) = x c El valor devuelto por la función es el complemento del valor de la variable. Como la variable x es booleana, sólo puede tomar los valores 0 y 1. Los que la función F toma son: f(0) = 0 c = 1 f(1) = 1 c = 0 Ejemplo 36. Ejemplo 37. Sea la siguiente función booleana se dos variables: f(x; y) = x c (x + y) obtenemos: f(0; 0) = 0 c (0 + 0) = 1 0 = 0 f(0; 1) = 0 c (0 + 1) = 1 1 = 1 f(1; 0) = 1 c (1 + 0) = 0 1 = 0 f(1; 1) = 1 c (1 + 1) = 0 0 = 0 Antes de calcular los valores que toma la función, se pueden aplicar algunas propiedades para obtener una función más simpli cada: del ejemplo anterior f(x; y) = x c (x + y) = x c x + x c y (ley distributiva) = 0 + x c y (complemento al cero) = x 0 y Favián Arenas. 122 Camargo Benítez.

10 4.19 Actividades Lógica Matemática en el cual también obtenemos: f(0; 0) = = 1 0 = 0 f(0; 1) = = 1 1 = 1 f(1; 0) = = 0 1 = 0 f(1; 1) = = 0 0 = Actividades 1. Dígase cuáles de las siguientes son operaciones unitarias a) la operación "tomar el inverso de"en el conjunto de los números reales. b) la operación "tomar el inverso de"en el conjunto de los números enteros. c) encuéntrese otro conjunto sobre el cual "tomar el inverso de"sea una operación unitaria. 2. En qué circunstancias son +; ; ; ; operaciones binarias: a) En el sistema de los números reales o subconjuntos de este sistema. b) En el sistema de los números complejos. 2. Probar las siguientes equivalencias de expresiones por los métodos de: a. Tablas de verdad. Ejercicio Favián Arenas. 123 Camargo Benítez.

11 4.19 Actividades Lógica Matemática 2. a) Transformaciones algebraicas(propiedades del álgebra de Boole) ab c + a c b + a c b c = a c + b c a c b c + ac + bc c = a c c c + b c c + ab a c b c + bd + ab c = d + d c b c (a + b c + ab)(a c + b)ab c = 0 (a + b c + ab c )(ab + bc c + a c c) = ab + a c b c c (ab + c + d)(c c + d)(c c + d + e) = abc c + d 1. Favián Arenas. 124 Camargo Benítez.