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1 Algebra de Boole

2 2.1.Introducción

3 2.1. Introducción El Algebra de Boole es un sistema matemático que utiliza variables y operadores lógicos. Las variables pueden valer 0 o 1. Y las operaciones básicas son OR (+) y AND( ). Luego se definen las expresiones de conmutación como un número finito de variables y constantes, relacionadas mediante los operadores (AND y OR). En la ausencia de paréntesis, se utilizan las mismas reglas de precedencia, que tienen los operadores suma (OR) y multiplicación (AND) en el algebra normal.

4 Algebra de Boole Un algebra de boole es toda clase o conjunto de elementos que pueden tomar dos valores perfectamente diferenciados, suele asignarse los símbolos 0 y 1 Estos símbolos no representan números si no estados diferentes de un dispositivo encendido (1) apagado (0)} Estos elementos están relacionados mediante dos operaciones binarias. Suma Lógica (+) {Conexión en paralelo} Producto Lógico (*) {conexión en serie}

5 2.2. Operaciones en el álgebra de Boole

6 2.2. Operaciones en el álgebra de Boole

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9 Postulados / Propiedades del álgebra de Boole Mediante los circuitos de conmutación implementados con contactos. a b b a a + b = b + a a b b a a b = b a 0 a a 0 + a 1 a = a a 1 a = a

10 2.3. Teoremas fundamentales

11 Postulados del álgebra de Boole Mediante los circuitos de conmutación implementados con contactos. b a b a c a c a (b + c) = a b + a c a a a b c b c a + b c = (a + b) (a + c) a 1 a a a + a a = 1 0 Nueva Operación Inversión ó Complemento a a = 0 Teorema 1 Cada identidad deducida de los anteriores postulados del algebra de Boole permanece valida si las operaciones <<+>> y <<*>> y los elementos 0 y 1 se intercambia entre sí. PRINCIPIO de DUALIDAD.

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18 Axioma: Propiedad Conmutativa A+B = B+A El orden en la OR no importa AB = BA El orden en la AND no importa

19 Axioma: Propiedad asociativa A + (B + C) = (A + B) + C Agrupar variables en la OR no importa A (B C) = (A B) C Agrupar variables en la AND no importa

20 Axioma: Propiedad distributiva I A(B + C) = AB + AC A B C X Y X=Y

21 Axioma: Propiedad distributiva II A+BC = (A+B)(A+C) A B C X Y

22 Axioma: Elemento identidad (0 para +) A+0=A Hacer una operación OR con 0 no cambia nada. A X X=A

23 Axioma: Elemento identidad (1 para ) A 1=A Hacer una operación AND con 1 no cambia nada A X X=A

24 Axioma: Elemento complemento A+A = 1 O bien A o A serán 1, luego la salida será 1 A A X X=1

25 Axioma: Elemento complemento A A=0 Bien A o A son 0 luego la salida será 0. A A X X=0

26 Teorema: A+1=1 (T. Complementación) Hacer una operación OR con 1 da siempre 1. A X X=1

27 Teorema: A 0=0 (T. Complementación) Hacer una operación AND con 0 siempre da 0 A X=0 X

28 Teorema: A+A = A (T. Idempotencia) Hacer una operación OR consigo mismo da el mismo resultado A A A=A X

29 Teorema: A A = A (T. Idempotencia) Hacer una operación AND consigo mismo da el mismo resultado A A A=A X

30 Teorema: A = A (T. Involución) Si negamos algo dos veces volvemos al principio A X X=A

31 Teorema: A + AB = A (T. Absorción I) A B X

32 Teorema A + AB = A + B (T. Absorción II) Si A es 1 la salida es 1 Si A es 0 la salida es B A B X Y X=Y

33 Leyes de De Morgan 1º Ley: El producto lógico negado de varias variables lógicas es igual a la suma lógica de cada una de dichas variables negadas. Si tomamos un ejemplo para 3 variables tendríamos. ~ (a.b.c) = ~a + ~b + ~c (también como: ) El primer miembro de esta ecuación equivale a una compuerta NAND de 3 entradas, representada en el siguiente gráfico y con su respectiva tabla de verdad.

34 Leyes de De Morgan 2º Ley: La suma lógica negada de varias variables lógicas es igual al producto de cada una de dichas variables negadas..(complementario del anterior). ~ (a + b + c) = ~a. ~b. ~c o El primer miembro de esta ecuación equivale a una compuerta NOR de 3 entradas y la representamos con su tabla de verdad...

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37 2.4 Funciones en el álgebra de Boole

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44 2.5 Funciones lógicas elementales y símbolos

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48 Tabla 2-5 Funciones lógicas elementales

49 2.6 Compuertas lógicas

50 Compuertas Lógicas

51 Introducción La electrónica digital es la tecnología que hace posible la creación de dispositivos digitales como relojes, calculadoras y computadoras, entre otros.

52 Interruptores lógicos Los circuitos lógicos digitales son redes complejas de interruptores hechos con transistores. Éstos circuitos lógicos simples se llaman compuertas. Como ejemplo tenemos: A A B B La lámpara enciende si A Y B están cerrados La lámpara enciende si A O B están cerrados

53 Circuitos lógicos con transistores Las siguientes pantallas mostrarán como los interruptores hechos con base a transistores se utilizan para formar cuatro circuitos de decisión o compuertas lógicas básicas, se muestra la tabla de verdad, la cual muestra la salida de todas las combinaciones posibles.

54 Compuertas Lógicas COMPUERTAS. Compuerta NOT Invierte el dato de entrada, por ejemplo; si la entrada es 1 (nivel alto) se obtiene en la salida un 0 (o nivel bajo), y viceversa. Esta compuerta dispone de una sola entrada. Su operación lógica es s igual a a invertida.

55 Compuertas Lógicas Compuerta AND Una compuerta AND tiene dos datos de entrada como mínimo y su operación lógica es un producto entre ambas, no es un producto aritmético. La salida (resultado) es siempre una (es decir un único valor 0 ó 1 *Observar que su salida será alta si (y sólo si) sus dos datos de entradas están a nivel alto*

56 Compuerta AND A 10kW 6V 2N2222 A Tierra Tierra +6V +6V B Tierra +6V Tierra +6V Salida Tierra Tierra Tierra +6V B 2N kW 4.7kW Salida A B Salida

57 Compuertas Lógicas Compuerta OR Al igual que la anterior posee dos entradas como mínimo y la operación lógica, es la suma entre ambas. Se trata de una compuerta O Inclusiva *Es decir, basta que uno de los datos de entrada sea 1 para que su salida sea también 1*

58 Compuertas Lógicas Compuerta OR-EX o XOR Es OR EXclusiva en este caso con dos entradas (puede tener múltiples entradas) esta compuerta lo que hace con los datos de entrada es una suma lógica entre los productos de a por b invertida y a invertida por b. *Al ser O Exclusiva su salida será 1 si uno y solo uno (o un número impar) de sus datos de entradas es igual a 1*

59 Compuerta OR A 10kW 2N2222 6V A Tierra Tierra +6V +6V B Tierra +6V Tierra +6V Salida Tierra +6V +6V +6V B 2N kW Salida A B Salida 4.7kW

60 Compuertas Lógicas Compuertas Lógicas Combinadas Al agregar una compuerta NOT a cada una de las compuertas anteriores los resultados de sus respectivas tablas de verdad se invierten, y dan origen a tres nuevas compuertas llamadas NAND, NOR y NOR-EX...

61 Compuerta NAND A 6V Salida A Tierra Tierra +6V +6V B Tierra +6V Tierra +6V Salida +6V +6V +6V Tierra 10kW 2N2222 B 10kW 2N kW A B Salida

62 Compuerta NOR A 10kW 2N2222 6V Salida A Tierra Tierra +6V +6V B Tierra +6V Tierra +6V Salida +6V Tierra Tierra Tierra B 2N kW A B Salida 4.7kW

63 Resumen Sustituyendo los voltajes y las tierras por los dígitos binarios tenemos: A B A and B A nand B A or B A nor B A xor B A xnor B A B Salida Compuerta XOR A B Salida Compuerta XNOR La secuencia de las entradas corresponden a los cuatro primeros números expresados en el sistema binario

64 Tipos de transistores TTL (Transistor Transistor Logic): Son circuitos fáciles de usar, requieren pocos cuidados en su manejo, soportan 20 MHz o más. Cada transistor gasta mucha energía: 3 ma. La versión LowPower Schottky utiliza 80% de voltaje y es más veloz. Requiere 5 V. Las entradas no conectadas las asume como 1. Colocar las salidas no utilizadas al voltaje de alimentación para ahorrar energía. (éstos son los que vamos a usar, podemos conectar un capacitor de 0.01 a 0.1 mf)

65 Tipos de transistores CMOS (Complementary Metal-Oxide- Silicon): Son circuitos muy sensibles a la estática y no son tan rápidos como los TTL. Gastan poca energía: 0.1 ma. Pueden energizarse con voltajes de 3 a 18V. Las entradas pueden provocar ruido. No conectar las entradas cuando el circuito no tenga corriente.

66 Estructura Interna Circuito Integrado LS Vcc

67 2.7 Aritmética binaria

68 ARITMÉTICA BINARIA La Unidad Aritmético Lógica, en la CPU del procesador, es capaz de realizar operaciones aritméticas, con datos numéricos expresados en el sistema binario. Naturalmente, esas operaciones incluyen la adición, la sustracción, el producto y la división. Las operaciones se hacen del mismo modo que en el sistema decimal, pero debido a la sencillez del sistema de numeración, pueden hacerse algunas simplificaciones que facilitan mucho la realización de las operaciones.

69 SUMA EN BINARIO La tabla de sumar, en binario, es mucho más sencilla que en decimal. Sólo hay que recordar cuatro combinaciones posibles. Recuerda que en el sistema decimal había que memorizar unas 100 combinaciones.

70 Ejemplos:

71 SUSTRACCIÓN EN BINARIO Restar en binario es, nuevamente, igual que la misma operación en el sistema decimal. Pero conviene repasar la operación de restar en decimal para comprender la operación binaria, que es más sencilla. Los términos que intervienen en la resta se llaman minuendo, sustraendo y diferencia.

72 Ejemplos:

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74 MULTIPLICACIÓN BINARIA La multiplicación en binario es más fácil que en cualquier otro sistema de numeración. Como los factores de la multiplicación sólo pueden ser CEROS o UNOS, el producto sólo puede ser CERO o UNO. En otras palabras, la tabla de multiplicar es muy fácil de aprender En un ordenador, sin embargo, la operación de multiplicar se realiza mediante sumas repetidas. Eso crea algunos problemas en la programación porque cada suma de dos UNOS origina un arrastre, que se resuelven contando el número de UNOS y de arrastres en cada columna. Si el número de UNOS es par, la suma es un CERO y si es impar, un UNO. Luego, para determinar los arrastres a la posición superior, se cuentan las parejas de UNOS.

75 DIVISIÓN BINARIA Igual que en el producto, la división es muy fácil de realizar, porque no son posibles en el cociente otras cifras que UNOS y CEROS. Consideremos el siguiente ejemplo:

76 Función de un Algebra de Boole Una función es una variable binaria cuyo valor es igual al de una expresión algebraica En la que se relacionan entre sí una o más variables binarias por medio de la operaciones Básicas producto lógico, sumas lógicas e inversión. F = f (a,b,c, ) El valor lógico de f depende del de las variables a,b,c,.. _ Sea f = (a, b, c). El término a b c es un producto canónico _ Sea f = (a, b, c). El término a + b + c es una suma canónico Para mayor facilidad de representación, cada término canónico, se expresa mediante un número decimal equivalente al binario obtenido al sustituir las variables, ordenadas con un criterio determinado, por 1 o un 0. En nuestro caso a tiene peso 1, b tiene el peso 2, c el peso 3 y así sucesivamente. d c b a = 0110 = 6 d + c + b + a = 1010 = 10

77 Algebra de Boole

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