UNIDAD 1: RECTA NUMERICA

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1 UNIDAD 1: RECTA NUMERICA Todos los números pueden ordenarse en una recta numérica. De esta manera, podemos determinar si un número es mayor o menor que otro, dependiendo del lugar que ocupa en la recta numérica. Para representar números como puntos de una recta puedes proceder de esta manera: -Trazas una recta horizontal y sobre ésta marcas un punto. A ese punto lo llamas 0. - Eliges una medida cualquiera (no demasiado grande para que puedas ubicar varios números) y la utilizas como distancia para marcar el 1 a la derecha del 0, el 2 a la derecha del 1, etcétera. Recuerda, la distancia entre los números debe tener la misma medida: Decimos que un número es menor, cuando está ubicado a la izquierda de otro en la recta numérica, o sea, está más cerca del 0 y, decimos que es mayor, cuando se ubica a la derecha de otro y está más alejado del cero. Puedes ver que el número 3 está más alejado del 0, es el número más grande que ubicamos en la recta. 1.2 LOS NÚMEROS REALES Número real, cualquier número racional o irracional. Los números reales pueden expresarse en decimal mediante un número entero, un decimal exacto, un decimal periódico o un decimal con infinitos cifras no periódicas. A los números naturales se les llama enteros positivos (1, 2, 3, 4.) Enteros: conjunto de números naturales con sus opuestos y el cero ( -2, -1, 0, 1, 2,.) Todos los racionales y los irracionales, los números racionales tienen representaciones decimales respectivas en tanto que los racionales tienen representaciones no repetitivas infinitas. Representación geométrica se pueden representar sobre una recta de la siguiente manera: 1.3 PROPIEDADES DE LOS NUMEROS REALES Tricotomía La ley de tricotomía dice: - Si un número es mayor que otro, no puede ser igual o menor que el. - Si un número es igual que otro, no puede ser mayor o menor que el. - Si un número es menor que otro, no puede ser igual o mayor que el. La propiedad de tricotomía de números reales indica que, para cualquier dos números reales a y b, uno del siguiente es exactamente verdad: a<b, a=b, a>b.

2 La ley de tricotomía y surge cuando se induce un orden en un conjunto como los Enteros (Z), o los números reales (R). Estas leyes dicen que. Sin pérdida de generalidad, puedes suponer que a,b son números reales. Si a!= b (a es distinto de b) entonces solo puede ocurrir una de estas 3 afirmaciones: a < b (a es menor que b) ó a = b (a es igual con b) ó a > b (a es mayor que b) Transitividad Una relación binaria R sobre un conjunto A es igual, transitiva cuando se cumple: siempre que un elemento se relaciona con otro y ese último con un tercero, entonces el primero se relaciona con el tercero. Ejemplo: si a es mayor que b, y b es mayor que c, entonces, a es mayor que c. Una relación R es transitiva si arb y brc se cumple arc Densidad Densidad dados a; b R si a > b entonces existen un elemento x R tal que a > x y x > b. La propiedad de la densidad es consecuencia directa de la definición de NUMERO REAL, el cual fue creado pensando en la necesidad de tener números suficientes" para explicar el mundo real Axioma del supremo Axioma del supremo Sea A R tal que existe k R con la propiedad de que: k > a para toda a R.

3 Entonces existe un elemento s R tal que cumple la propiedad anterior y además si k' es otro número que cumple la propiedad entonces s < k'. 1.4 Intervalos y su representación mediante desigualdades. Es de suma importancia en cálculo la noción de resolver una desigualdad. Resolver una desigualdad es encontrar el conjunto de todos los números reales que hace que la desigualdad sea verdadera, encontrarse con una ecuación cuyo conjunto solución por lo regular consiste de un numero o quizá de un numero finito de números, el conjunto solución de una desigualdad por lo regular es un intervalo completo de números o en algunos casos la unión de tales intervalos. TIPOS DE INTERVALO: *Intervalo Abierto: la doble desigualdad a < x < b. describe un intervalo abierto que consiste en todos los números entre a y b, no incluyendo los puntos extremos a y b. este se denota por medio del símbolo (a, b). Ejemplo: -1, 6] = ] x : -1 < x < 6 Notación Notación de Intervalo conjunto *Intervalo Cerrado: La desigualdad a <= x <= b. describe cliente intervalo cerrado (intervalo) que incluye los extremos a y b, este se denota como [a, b].

4 [-1, 4] = ] x : -1 <= x <= 4 La siguiente tabla indica la amplia variedad de posibilidades de intervalos. Notación de Conjunto Notación de Intervalo Grafica x: a < x < b (a, b) x: a <= x <= b [a, b] x: a <= x < b [a, b) x: a < x <= b (a, b] x: x <= b (-, b] x: x < b (-, b) x: x >= b [a, ) x: x > a (a, ) x: -, R (-, ) Muestre cada uno de los intervalos siguientes en la recta real y denote en forma conjunto. a) (-1, 1] x: -1 <= x <= 1 b) (-4, 1) x: - 4 < x < 1

5 1.5 RESOLUCIÓN DE DESIGUALDADES CON UNA INCÓGNITA DE PRIMER GRADO: 1.- resuelva la desigualdad 2x 7 < 4x 2 y muestre la grafica de su conjunto solución. 2x-7<4x-2 2x 4x < (-2x<5) 22 x> -52 (-5/2, )= x: -5/2 < x < x> -52 = x: x > -5/2 2.- Resuelve -5 <=2x + 6 < 4-5 <= 2x + 6 2x + 6 < 4 N.C) x: -11/2 <= x < <= 2x 2x < 4 6 N.I) [-11/2, -1] -11 <= 2x 2x < -2-11/2 <= x x < -2/2 x < Resuelve 2 + 3x < 5x + 1 < x < 5x + 1 < 16 5x + 1 < 16 ½ < x < 3 = (1/2, 3) 2 + 3x < 5x + 1 5x < x 5x < 1 2 x < 15/5-2 x < -1 x < 3 x > ½ 1.6 VALOR ABSOLUTO Y SUS PROPIEDADES Valor absoluto de un número real a, se escribe a, es el mismo número a cuando es positivo o cero, y opuesto de a, si a es negativo.

6 Ejemplos: 5 = 5-5 = 5 0 = 0 PROPIEDADES DE VALOR ABSOLUTO: 1.- a + b = a + b 2.- a - b = a - b 3.- ab = ab si b ab = a b 5.- x = x2 6.- x 2= x2

7 7.- x < y x2 < y2 Si x < 3, entonces la distancia entre x, y el origen debe ser simultáneamente menor 3 y mayor que -3. Esto es, -3 < x < 3. Por otra parte, si x > 3 entonces la distancia entre x y el origen debe ser mayor que tres. Esto puede suceder cuando x > 3 o x < -3. Estos son casos especiales de las siguientes proposiciones generales: 1) x < a si solo si a < x < a 2) x > a si solo si x < -a o x > a

8 1) -2 < 3 2 < 3-3 < 3 3 < x < 3 3 < 3 2) x > 3 (-, 3) U (3, ) = {x: x < -3 x > 3} RESOLUCIÓN DE DESIGUALDADES QUE INCLUYEN VALOR ABSOLUTO 1.- Resuelva la desigualdad 3x - 5 >= 1 3x - 5 >= 1 o 3x 5 >= 1 3x 5 <= -1 3x >= x <= x >= 6 3x <=4 x >= 6/3 x <= 4/3 x >= 2

9 2.- Resuelva la desigualdad x - 1 < 2 x - 3 x - 1 < 2 x - 3 x - 1 < 2x - 6 (x-1)2 < (2x-6)2 x2-2x + 1 < 4x2-24x + 36 x2-4x2-2x + 24x < 0 (-3x2 + 22x 35 < 0) 1 3x2-22x + 35 > 0 (3x 7) (x 5)

10 UNIDAD 2: FUNCIONES Concepto de variable, función, dominio, condominio y recorrido de una función. La palabra función se usa con frecuencia para indicar la relación de dependencia de una cantidad respectiva de otra. En matemáticas el concepto de función tiene una interpretación semejante, pero ligeramente más especializada. Una función es una regla o una correspondencia que relaciona dos conjuntos de tal manera que a cada elemento del primer conjunto corresponde uno y solo un elemento.

11 Ejemplo: como se muestra en la figura siguiente, la estatura de un niño medida a intervalos anuales es una función de la edad de un niño. DEFINICION: una función f desde un conjunto x hacia un conjunto y es una regla que asigna a cada elemento x en x un elemento único y en y. el conjunto x se llama dominio de f. en el conjunto de elementos correspondientes y en y se denomina contradominio o ámbito de F. VALOR DE UNA FUNCIÓN

12 Sea F una función. El numero y del contradominio q ue corresponde a un numero x escogido en el dominio es el valor de la función en x o la imagen de x en y, y se denota por f(x). El valor de y depende de la elección de x por lo que se le denomina variable dependiente la x se le llama variable independiente. x=dominio F(x)

13 Contradominio ( rango ) El dominio de una función F es el conjunto mas grande de números reales, por el cual la regla tiene sentido. Una función se compara a menudo con una computadora la entrada x es transformada por la maquina f en la salida f(x).

14 Entrada Salida f(x) FUNCIÓN Ejemplo: determinar el dominio y contradominio de la función f(x)= 7 + 3x-6 Solución: el radicando 3x -6 debe ser no negativo al resolver 3x 6 >= 0 se obtiene x >=2, por lo cual el dominio de f es (2, ). Ahora, por definición 3x-6 0 para >=2, y en consecuencia y 7 + 3x-6 7.

15 Puesto que 3x 6y 3x-6 aumentan cuando x, aumenta, se concluye que el contradominio o cambio de f es [7, ) OTROS SÍMBOLOS El uso de f o f(x) para representar una función es una notación natural. Sin embargo, en contextos diferentes de matemáticas, ciencias, ing. Y admon. Las funciones se denotan por símbolos como F, G, H, g, h, p, q, y asi sucesivamente. Letras diferentes como r, s, t, u, v, w, z, independiente como para la dependiente. Asi, la función, podría escribirse w=g(z) o bien v=h(t).

16 Ejemplo: la velocidad mínima de vuelo V de un pájaro es una función de su magnitud 1. V=k1 donde k=constante GRAFICAS

17 La grafica de una función f, es el conjunto de puntos. { (x,y) y= f(x) x en el dominio f } x y En el plano cartesiano como consecuencia de la definición 1.1 una función se caracteriza geométricamente por el hecho de que toda recta vertical que corta su grafica lo hace exactamente en un punto. y x

18 NO ES UNA FUNCIÓN ES UNA FUNCIÓN

19 1) f(x)= x3-9x2 + 24x 7 f(x)=( -3)3-99(-3)2 + 24(3) 7 f(x)= 13 9(1)2 + 24(1) - 7 f(x)=-27-9(9) f(x) f(x)= -187 f(x)= (-2)3-9(-2)2 + 24(-2) 7 f(x)= (2)3 9(2)2 + 24(2) - 7 f(x) = -99 f(x)= 13 f(x)= (-1)3-9(-1)2 + 24(-1) 7 f(x)= 33 9(3)2 + 24(3) - 7

20 f(x)= -41 f(x)= 11 f(x)= 03 9(0)2 + 24(0) 7 f(x)= -7 x f(x)

21 Dominio (-, ) 2) f(x) = x4-8x2 ; x (0, )

22 x f(x) f(1)= (1)4 8(1)2 f(4)=(4)4 8(4)2 f(1)= -7 f(4)= f(4)= 128

23 f(2)=(2)4 8(2)2 f(2)= -16 f(5)= (5)4 8(5)2 f(5)= f(3)= (3)4 8(3)2 f(5)= 425 f(3)= 9 Dominio: (0, )

24 2.2.-Funcion inyectiva, suprayactiva y biyectiva Dados dos conjuntos A y B, y una función f(x) que aplica de A en B, o sea que a cada elemento de A le hace corresponder uno y solo un elemento de B. La función f es inyectiva, si y solo sí dos elementos distintos de A no tienen la misma imagen. Por ejemplo, veamos una función real, el conjunto A formado por los hijos, el conjunto B formado por los padres, y la relación que asigna a cada hijo su padre, Es una función inyectiva? Veamos, vamos a suponer a dos chicos, Juan y Lucas, que son hermanos. A Juan (hijo) le hace corresponder su padre (Pedro) a otro elemento distinto de A, Lucas le hace corresponder su padre (Pedro). En conclusión, dos elementos distintos (Lucas y Juan), tienen la misma imagen (su padre Pedro), o sea la función que asigna a cada hijo su padre no es inyectiva.veamos otro ejemplo, sea A el conjunto de las Personas radicadas en Argentina, y sea B el conjunto de los Números de documento asignados a estas personas. Definimos f(x) como la función que le hace corresponder a cada persona su número de documento. Analicemos, dados dos elementos distintos de A (o sea dos personas distintas), puede corresponderles el mismo elemento de B? (o sea pueden tener la misma imagen? Obviamente no, por ello esta función si es inyectiva. Suprayectividad: Dado un conjunto A y otro conjunto B, definimos una función f(x) que aplica de A en B. f es suprayectiva si y solo si todo elemento de B es imagen de al menos un elemento de A. Aquí me pide que tenga por lo menos una preimagen, esto implica que puede ser mas de una, pero nunca ninguna. Veamos un ejemplo. Sea A el conjunto de productos de un supermercado y sea B el conjunto de códigos de barra de 9 dígitos que pueden formarse. Definimos a f como la función que aplica a cada producto su código de barras. Es esto una función suprayectiva?? Pues no, ya que para que lo sea dijimos que todo elemento de el conjunto B (o sea todos los códigos de barra) deben ser preimagen de algún elemento de A (o sea, deben pertenecer a algún producto) y esto por lo general no ocurre, no se utilizan todos los códigos posibles en un supermercado, por ello hay códigos que quedan sin ser asignados a algún producto. Esta función será inyectiva??analízalo. Un ejemplo de una función suprayectiva podría ser la función que aplica a cada persona su número de llegada en una carrera. Por ultimo una función es biyectiva cuando es suprayectiva e inyectiva a la vez, es decir cuando cada elemento de B es imagen de uno y solo un elemento de A.

25 Por ejemplo la función que asigna a cada persona su código genético, o la función que aplica a cada persona su huella digital Función real de variable real y su representación grafica. FUNCIONES TRIGONOMETRICAS Son valores sin unidades que dependen de la magnitud de un ángulo. Se dice que un ángulo situado en un plano de coordenadas rectangulares está en su posición normal si su vértice coincide con el origen y su lado inicial coincide con la parte positiva del eje x. I (+) (+) II (-) (+) III (-) (-) IV (+) (-) FUNCIONES POLINOMICAS Expresión matemática formada por una suma de productos de números reales, por potencias enteras de una variable generalmente representada por la letra x. Se llama función polinmica de groado cero-constante a la que no depende de ninguna variable, y la podemos representar como una función matemática de la forma: LA FUNCIÓN A FIN f(x)= a donde a es la constante Es aquella que asocia a cada numero ax + b, donde a y b son valores fijos. a se llama pendiente y b ordenada en el origen. Se escribe x ax + b también f(x)= ax + b o y= ax + b

26 Las funciones afines se representan mediante rectas en consecuencia solo se precisan un par de valores para obtener su grafica. FUNCIONES EXPONENCIALES Se llaman todas aquellas funciones de la forma f(x)= bx, en donde la base b ; es una constante y el exponente la variable independiente. FUNCIÓN CUADRÁTICA Decimos que una forma- función es cuadrática si se puede expresar de la forma: f(x)= ax 2 + bx + c Donde a, b, c son constantes y a 0. La grafica de una función cuadrática es una parábola y su dominio es el conjunto de los números reales. Si a>0, se dice que la parábola es positiva y, en este caso, abre hacia arriba. Si < a o la parábola es negativa y abre hacia abajo.

27 FUNCION LOGARITMICA Es una función matemática inversa a la función exponencial. El logaritmo (con base b) de una numero x es el exponente n al que hay que elevar la base dada b, para que dicho numero x log x = n x= b n La base b tiene que ser positiva y distinta de 1 (b>0, b 1) FUNCION RACIONAL: Es una función expresada de la forma f(x)=p(x)q(x) Donde P y Q son polinomios y x es una variable desconocida siendo Q un polinomio diferente de cero. Existe la posibilidad de encontrar valores x tales que Q(x) sea igual a cero; sin embargo una fracción con un denominador igual a cero no se puede desarrollar. Por este motivo las funciones racionales están definidas o tienen su dominio en todos los números que no anulan el polinomio denominador, es decir, que no hacen que el denominador sea 0 (cero).

28 INVERSA FUNCIÓN DE PROPORCIONALIDAD Decimos que una función es de proporcionalidad inversa cuando la relación numérica entre su variable es de proporcionalidad inversa. Su expresión algebraica es y= kx. La grafica de una función de proporcionalidad inversa es una curva simétrica respecto del origen de coordenadas que se llama: Hipérbola: La grafica de estas funciones no pasa por el origen de coordenadas (0,0). FUNCIONES A TROZOS Son funciones definidas por distintos criterios según los intervalos que se consideran. f(x) x 2 : si x < 2 y : si x > 2

29 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSA Son necesarias para calcular los ángulos de un triangulo a partir de la medición de sus lados, aparecen con frecuencia en la relación. FUNCIÓN HIPERBÓLICA Las funciones trigonométricas ordinarias. funciones hiperbólicas son análogas a las La tangente hipérbola tan h(x) = sinxcosh(x) Cotangente hiperbólica sec h(x) = 1cosh(x) Secante hiperbólica csc h(x)= 1sen h(x) TIPOS DE FUNCIONES

30 Función polinomial: En algebra a una expresión como x x 2 2x + 1 se le denomina polinomio de grado 5. Por lo general cuando Q 0. f(x)= a, x 1 + a, - x ax + a. Es donde n, es un entero no negativo se dice es una función polinomial (o polinomica) de grado n. los coeficientes a 1 (=0=0, 1 n) son números reales. Función Racional: Una función f(x)= P(x)Q(x) en donde P y Q son funciones polinomiales. Se denomina función racional. Función potencia: Una función f(x)=k en donde k es constante y n es un numero real. Funciones definidas por secciones o elementos no es necesario que una función esté definida por una sola formula. Ejemplo: Trazar la grafica de la función definida por secuencia, secciones o elemento. f(x) -1, x < 0 0, x = 0 X + 2, x > 0 Solución: Note que f no representa tres funciones sino más bien a una función cuyo dominio es el conjunto de números reales. La grafica de f consta de 3 secciones obtenidas trazando a su vez. La grafica de y= 1 para x < 0 El punto (0,0) y La grafica de y= x + 2 para x >0 Si la grafica y INTERSECCIONES de una función y = f(x) corta el eje entonces su intersección es f(0).

31 Las intersecciones x de la grafica de F son las soluciones reales de la ecuación f(x) = 0. Simetría: La grafica de una función puede tener a la suma de los 3 tipos de simetría. Una función cuya grafica es simetría con resto al eje y se denomina función par. S(x)= x con dominio {-1, 0, 1, 2, 3} x F(x) X f(x) = (0) f(x) = (-1) f(x)= (2) = 1 = = = 2 = 5 F(x)= (3) = = 10 Dada la función f(x) = x2 2x determine y simplifique a) b) f(4) f(4 + h) a) f(x)= x 2 2x b) f(x)= x 2 2x f(4) = (4) 2 2(4) f(4 + h)= (4 + h) 2 2(4 + h) f(4) = 16 8 f(4 + h) = h + h 2 8 2h f(4)= 8 f(4 + h) = h 2 + 8h 2h f(4 + h) = h 2 + 6h + 8

32 Bosqueje las graficas, encuentre las intersecciones con los ejes (si es que los hay), el dominio y el rango de cada función. a)f(x) = x 2 2 x= -3 x= -2 x = -1 f(-3) = (-3) 2 2 f(-2)= (-2) 2 2 f(-1)= (-1) 2-2 f(-3)= 7 f(-2)= 2 f(-1)= 1 x F(x) f(1)= (1) 2 2 f(0)= (0) 2 2 b=0 = -1 f(0)= -2 a= 1 C= -2 Intersecciones: Dominio: {(-, ) : x : R, - } En el eje x: Rango:{ (-2, ) x: x >= -2 } X 1 =

33 X 2 = FUNCIONES TRASCENDENTES Funciones Exponenciales-Trigonométricas TERMINOLOGÍA DEFINICIÓN GRAFICAS DE F PARA A > 1 Función exponencial F(x) = ax para todo x creciente f con base a en R. Donde a > 0 GRAFICAS DE F PARA 0 < A < 1 decreciente y a 1 TEOREMA: Las funciones exponenciales son bionivocas. La función exponencial f dada por f(x)=ax para 0 < a < 1 o a > 1. Bionivoca en consecuencia se satisfacen las siguientes condiciones equivalentes que se cumplen para números reales x 1 y x si x 1 x 2, entonces ax1 ax2 2.- si ax = ax2 entonces x 1 = x 2 Creciente Ejemplo: si f(x) = 32x y g(x)= 3x trace las graficas de f y g en el mismo plano cartesiano. x f(x) = 32x

34 g(x)= 3x Dominio: (-, ): x: x R Rango: (0, ) y: y >=0 FUNCIÓN EXPONENCIAL NATURAL La función exponencial natural, está definida por f(x)= e x donde e= Grafica: f(x)=e x x f(x)

35 Dominio: (-, ) = x: x R Rango: (0, ) y: y > 0 Búsqueda de ceros en una función exponencial: Si f(x) = x 2 (-2e-2x) + 2x-2x hallar los ceros de f. f(x)= x2 (-2e-2x) + 2xe-2x f(0)= : f(x)=-2x 2 e-2x + 2xe-2x f(x)= -2x 2 e-2x (x 1)=0-2xe2x =0 x=1 xe-2x =0-2 xe-2x=0

36 x=0e-2x = 0 x= 0 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS En las matemáticas elementales y en la vida diaria, los ángulos se miden en grados y un ángulo recto mide En el cálculo se usa un sistema más natural y conveniente llamado medida en radianes que se define en términos de cómo el arco de un ángulo corta una circunferencia. Reglas de Conversión: = П radianes = 2П radianes La siguiente tabla muestra algunas conversiones habituales en el cálculo: Gra dos Rad ian es П6 П4 П3 П2 2П 3П 5П П 7П 5П 4П 3П 5П 7П 11 2П П6

37 UNIDAD 3: LIMITES Y CONTINUIDAD CONTINUIDAD El termino continuo tiene el mismo sentido en matemáticas que en el lenguaje cotidiano, decir que la función f es continua en x= c significa que su grafica no sufre interrupciones en C que ni se rompe ni tiene saltos o huecos. Así pues la continuidad de una función en x=c se destruye por alguna de estas reglas: 1.-La función no está definida en x=c. 2.-El lim de f(x) en x=c no existe 3.- el lim de f(x) en x=c este, pero coincide con f(c ). Definición: Una función f se dice continua en C si se verifican las condiciones. 1.- f ( c) es definido 2.- lim f(x) existe x e 3.-lim f(x)= f (c) x c Continuidad de un intervalo cerrado [a,b] Continuidad: si f está definida en un intervalo cerrado [a,b] en (a,b) lim f(x) = f(a) a y lim f(x) = f(b) x b Se dice que f es continua a [a,b] Ejemplo: intervalo [-1, 3] g(x) = 5 x -1 <= x < 2 x2-1 2 < x < 3 G(x)= 5 x -1 <= x < 2 G(x)= x2 1 2 < x < 3

38 x f(x) x f(x) Lim 5 x = 3 x 2 - lim x 2 1 = 3 x 2 + La función es continua en el intervalo (-1, 3)

39 LIMITES EN DONDE INTERVIENE INFINITOS F(x) puede hacerse arbitrariamente grande al tomar valores de x suficientemente cercano pero diferente del número a, tanto por la izquierda o como la derecha de a entonces: lim f(x)= o bien lim f(x) = - x a x a Ejemplo: encuentre el límite de la sig. Función lim f(x) =1(x-2)3 dominio x: x R x 2 x 2 -,, x+2 Acercamiento Izquierdo Acercamiento Derecho lim 1(x-2)3 = - lim 1(x-2)3 =

40 x f(x) x f(x) a) lim x3-1x-1 x 1 b) f(x)=x3-1x-1 lim x3-1x-1 x 1 lim x3-1x-1

41 x 1 x f(x) x f(x)

42 x f(x) PROPIEDADES DE LOS LIMITES: Division: 1) lim fxgx = lim f(x) x alim gx x a x a Suma y Resta 2) lim [f(x) +- g(x)] = lim f(x) + lim g(x) x a x a 3) lim c-c x a 4) lim c f(x) = c lim f(x)

43 x a x a Producto 5) lim [f(x). g(x)]= lim f(x). lim g(x) x a x a x a Variable lim x =a lim x = 3 x a x 3 Constante lim c = c lim 6=6 x a x 3 Ejemplo: lim x-1x2+x-2 x2 + x 2 x 1 lim x-11x-1(x+2) = lim1(x+2) lim1 x 1limx+lim2x 1 x 1 = 11+2 = 13 LIMITES Y CONTINUIDAD

44 Que es un limite? De ordinario hablamos de la velocidad limite de nuestra propia Resistencia o los limites de la tecnologia moderna. Todas esas frases sugieren que el limite es una especie de cota que a veces no puede ser alcanable y otras no solo alcanzable si no superable. En cálculo a menudo desea conocerse el valor limite de una función o medida que una variable independiente se aproxima a valor especifico. Este valor cuando existe recibe el nombre de limite: lim f(x) =1 x a Prueba de resistencia de un límite: Aprox. Lado izquierdo Aprox. Lado derecho Si el lim f(x)=1 lim f(x) = 1 x a- x at Entonces lim f(x)= 1 x a Ejemplo: Encuentre el límite de f(x) = x3 cuando x tiende a 2. lim x3= 8 lim x3 = 8 x 2 x 2- x fx)

45 x f(x) x f(x)

46 ENCUENTRE EL LIMITE UTILIZANDO PROPIEDADES 1) lim 17 lim c=c x -5 lim 17=17 x 5 2) lim (-4)x x 3 lim = -4(3) = -12 x 3 3) lim (x3-4x+1) x -1 lim x3 4 lim x + lim 7= (-1)3-4(-2) + 1 = =6 x -1 x -1 x -1

47 lim f(x)=6 x -1 4) lim (3t 1) (5t 2 + 2) t 1 (lim 3t lim 1) (lim 5t 2 + lim 2) t 1 t 1 (3 (1) 1) ((4 lim + 2) + lim 2) x 1 (3-1) (4 (1) + 2) 2 (4 + 2) (2) (6) = 12 lim f(x) =12 t 1 5) lim Lim = = =285

48 Lim 5 7 UNIDAD 4: DERIVADAS DERIVAR REGLA DEL PRODUCTO: dydx[f(x).g(x)] = f(x) g(x) + g(x) + f(x) =x3-2x2+4f(x) = 8x2+5xg(x) dydx =(x3-2x2+4)(16x + 5) + (8x2+5x)(3x2-4x) = 16x4 + 5x3-32x3-10x2 + 64x x4-32x3 + 15x3-20x4 = 40x4-44x - 30x2 + 64x + 20 REGLA DEL COCIENTE: dydx = [f(x)g(x)] = gxfx- fxg(x)[g(x)2] =3x2-12x3+5x2+7 dydx= 2x3+5x2+76x-3x2-1(6x2+10)2x3+5x2+72

49 dydx =12x4+30x3+42x-[18x4+30x-6x2-10x](2x3+5x2+7)2 dydx =12x4+30x3+42x-18x4-30x+6x2+10x](2x3+5x2+7)2 dydx =-6x4+6x2+52x(2x3+5x2+7)2 Si y=f(u) es una función diferenciable de ѵ y u=g(x) es una función diferenciable de x entonces: dydx.dyda.dvdx =f(gx). g(x) dxdx (u)n=nun-1.u1 Ejemplo: y=x2 dydx=2x y=(2x+3)2u y=(3x2-5x+2)-6

50 u=2x + 3 dudx=-6x-5 u1=2 dudx=-6u-6-1 dydx=2u2-1.u1 dudx=-63x2-5x+2-7.(6x-5) =2(2x+3)-2 dudx=-36x+30(3x2-5x+2)7 =4(2x +3) =8x + 12 Ejemplo: aplicando la regla de la cadena. Y= [(3x2+5x)/(1-5x3)]4 U=3x2+5x1-5x3 U1=3x2+5x U1=6x +6 U1=1-5x3 V1=-15x2 U'=6x+5-30x4-25x3-[-45x4-75x3](1-5x3)2 U'=6x+5-30x4-25x3+45x4-75x3](1-5x3)2 U'=15x4+ 50x3+6x+5(1-5x3)2

51 2.-ddx =(u)4 = 4(u)3.dudx ddx= 4[3x2+5x(1-5x3)2]. [15x4+50x3+6x+5(1-5x3)2] dydx=4(3x2+5x)3.15x4+50x3+6x+5(1-5x3)5 Funciones Trigonométricas y= sen x2+sec x u=sen x u'=cos x v=2+secx v'= secxtanx dydx= 2+secxcosx- (senx)(secxtanx)(2+secx)2 dydx=2cosx+cosxsenx-(senxsecxtanx)(2+secx)2

52 dydx= 2cosx+1-(senx. 1cosxtanx(2+secx)2 dydx= 2cosx+1-(senxcosxtanx)(2+secx)2 dydx=2cos+1-tanxtanx(2+secx)2 dydx= 2cosx+1+ an2x(2+secx)2