Inversión en el plano

Transcripción

1 Inversión en el plano Radio de la circunferencia x 2 + y 2 + Ax + By + D = 0 Circunferencia de centro (a, b) y radio r: (x a) 2 + (y b) 2 = r 2. Comparando: x 2 + y 2 2ax 2by + a 2 + b 2 r 2 = 0 con x 2 + y 2 + Ax + By + D = 0, resulta D = a 2 + b 2 r 2 con lo que queda la siguiente relación para el radio: r 2 = A2 4 + B2 4 D Inversión en el plano, de centro en el origen y razón k 2 Es la correspondencia que a un punto A le asocia un punto A, en línea recta con y A, y tal que A A = k 2 A r x A y ξ η x = x ξ = y η = r = r 2 = r2 r = k2 ξ 2 + η 2 = x2 + y 2 k 2 k2 ξ ξ 2 + η 2, y = k2 η ξ 2 + η 2 ; ξ = k2 x x 2 + y 2, η = k2 y x 2 + y 2. Inversas de rectas y circunferencias A una recta que pasa por el centro de inversión le corresponde, obviamente, ella misma. A una recta que no pasa por el centro de inversión (sea éste, el origen de coordenadas), le corresponde una circunferencia que pasa por. a que la ecuación Mx + Ny + P = 0 de tal recta se transforma en: k 2 Mξ ξ 2 + η 2 + k2 Nη ξ 2 + η 2 + = 0 o sea ξ2 + η 2 + k 2 Mξ + k 2 Nη = 0, que es la ecuación de una circunferencia que pasa por el origen y con centro en ( k 2 M/2, k 2 N/2), por lo que el diámetro que pasa por es perpendicular a la recta dada. En consecuencia, a una circunferencia que pasa por el centro de inversión, le corresponde una recta perpendicular al diámetro que pasa por. Una circunferencia que no pasa por, de ecuación x 2 + y 2 + Ax + By + D = 0, que podemos escribir en la forma + Ax x 2 + y 2 + By x 2 + y 2 + D x 2 + y 2 = 0, se transforma en la circunferencia + A k 2 ξ + B k 2 η + D k 4 (ξ2 + η 2 ) = 0, o sea ξ 2 + η 2 + k2 A D ξ + k2 B D η + k4 D = 0. Ésta coincide con la primera (queda invariante), si D/k 2 = k 2 /D o sea si D = ±k 2. La relación entre radio de la circunferencia de partida r 2 = A2 4 + B2 4 D y el de la circunferencia inversa 2 = k4 A 2 4D + k4 B 2 2 4D k4 2 D es = k2 r. () D Inversión Angel Montesdeoca. Agosto 2004

2 La inversión conserva el ángulo entre curvas Establezcamos primero una fórmula relativa a la tangente a una curva dada en coordenadas polares por = (θ). Se trata de la fórmula: tag µ = /, donde µ es el ángulo que forma la tangente con el radio vector. φ=µ+θ µ µ θ tag θ + tag φ = y x = sen θ + cos θ cos θ sen θ = tag θ θ µ y usando la expresión trigonométrica siguiente, se obtiene la fórmula anunciada, tag(θ + µ) = tag θ + tag µ tag µ tag θ En una inversión un punto (θ, ) se transforma en el punto (θ, ), tal que = k 2. Si la curva = (θ) se transforma en la curva = (θ), resulta que + = 0, de donde / = /, con lo que tag µ = tag µ = tag(π µ), o sea µ = π µ. Para otra curva será, análogamente, ν = π ν y, restando de la relación anterior, resulta que µ ν = ν µ; luego el ángulo que forman dos curvas y sus inversas son iguales y de sentido contrario. Aplicaciones de inversiones Tres circunferencias tangentes a una recta, dos de ellas tangentes entre sí y la tercera, entre ellas, tangente a las dos primeras. Qué relación existe entre los radios de las tres circunferencias? r -r 2 r -r r r r r 2 r 2 r 2 -r γ 2 γ 2 r r γ r r γ d Aplicando el teorema de Pitágoras a los tres triángulos rectángulos de la figura anterior izquierda, se obtiene la siguiente expresión (r + r 2 ) 2 (r r 2 ) 2 = (r + r ) 2 (r r ) 2 + (r 2 + r ) 2 (r 2 r ) 2 4r r 2 = 4r r + 4r 2 r. γ Con lo que la relación entre los radios de las tres circunferencias es = + r r2 r Inversión 2 Angel Montesdeoca. Agosto 2004

3 Podemos comprobar la validez de la fórmula (), considerando una inversión de centro en el origen de coordenadas y que deja invariante la circunferencia γ 2. La inversa de la circunferencia es la recta l, paralela al eje y tangente a γ 2, y la inversa de la circunferencia γ (tangente a, γ 2 y al el ) es la circunferencia γ (tangente a l, γ 2 y al eje ), como se muestra en la figura de la derecha. El radio de γ es el mismo que el de γ 2, o sea r 2, y su centro está en el punto (d + 2r 2, r 2 ), donde d, según los cálculo hecho anteriormente, vale 2 r r 2 ; luego la ecuación de la circunferencia γ es (x d 2r 2 ) 2 + (y r 2 ) 2 = r 2 2, x 2 + y 2 2(d + 2r 2 )x 2r 2 y + (d + 2r 2 ) 2 = 0 Así el término independiente es D = (d+2r 2 ) 2 y como la razón de inversión es k 2 = d 2, resulta de la fórmula () que r = k2 D r d 2 r 2 2 = (d + 2r 2 ) 2 = 4r r 2 r 2 (2 r r 2 + 2r 2 ) 2, de donde se obtiene la relación entre los radios de tres circunferencias, ya conocida: r = 2 r r 2 + 2r 2 2r 2 r = r2 + r. 2 En la sucesión de circunferencias negras de la figura, establecer la expresión siguiente, para el radio de la circunferencia n-ésima, a r n = (2n ) Γ γ 0 a- 2 - a 2 y=- 4a a y=a a- L γ γ 2 γ 2 y=- 2a - a - a - 5a - 7a - 9a Dada la circunferencia Γ de radio a y centro en (0, a), se consideran las dos circunferencias γ y γ 0 de radio a/2 y centros respectivamente en los puntos (0, a/2) y (0, a/2) (que son tangentes interiormente a la primera y tangentes entre sí), existe una única circunferencia, tangente a las tres anteriores y que, por la simetría del problema, tiene centro en la recta y = a. La circunferencia, primera de la sucesión de circunferencias negras, es tangente a las tres γ, γ 0,. La siguiente circunferencia de la sucesión γ 2, es tangente a γ,, γ 2 (siendo γ 2, la circunferencia tangente a Γ, γ, ). así sucesivamente. Se considera la inversión de centro el origen de coordenadas y que deja invariante a la circunferencia. Esta inversión transforma las circunferencias Γ y γ, que pasan por el centro de inversión, en sendas rectas paralelas (L y l, respectivamente), perpendiculares al diámetro que coincide con el eje, y tangentes a la circunferencia Inversión Angel Montesdeoca. Agosto 2004

4 (ya que la inversión conserva la tangencia); con lo las ecuaciones de dichas rectas son respectivamente y = 2a/ e y = 4a/. La circunferencia γ 0, tangente a Γ, γ,, se transformará en una circunferencia tangente a las rectas L y l y a la circunferencia, por tanto tiene el mismo radio que ésta y centro en el punto (0, a); se observa además que dicho radio es a/. Por las misma consideraciones, se deduce que la inversa de la circunferencia γ 2 (tangente a Γ, γ, ) se transforma en una circunferencia tangente a las rectas L y l y a la circunferencia. Su radio será, por tanto, a/ y su centro es el punto (4a/, a). Continuando con este proceso las circunferencia γ n se transforman en circunferencias tangentes cada una a la siguiente y tangentes a las rectas L, l. Determinemos ahora las circunferencias inversas de las circunferencias negras γ n. La es tangente a γ, γ 0,, luego su inversa debe ser una circunferencia tangente a l, a la circunferencia inversa de γ 0 y a. La γ 2 es tangente a γ,, γ 2, luego su inversa debe ser una circunferencia tangente a l, a y a la circunferencia inversa de γ 2. bteniéndose así una sucesión de circunferencias de mismos radios y centro de la n ésima (inversa de γ n ) en el punto ((2n )a/, 5a/4). El radio r de estas circunferencias verifica, por el Problema, que = r a + a r = a 2, de donde se deduce claramente las coordenadas de sus centros, puestas arriba. Las ecuación de una de estas circunferencias, inversa de la γ n, es pues ( (2n )a) 2 ( 5a) 2 ( a ) 2, x + y = 4 2 que desarrollando resulta que, el término independiente es D = 25a2 5 + (2n )2 a 2 a = (2n )2 + 4 a 2 9 Como el inverso del punto (a, a), de tangencia de las circunferencias Γ y, es el punto (2a/, 2a/), de tangencia de L con, se tiene que la potencia de inversión es k 2 = 4a2. Utilizando ahora (), obtenemos con radio de las circunferencia γ n r n = k2 D r = 4a2 9 ((2n ) 2 + 4)a 2 a 2 = a (2n ) Dada una circunferencia Γ y dos circunferencias γ y γ 0 inscritas a la anterior, tangentes entre sí y con centros en un mismos diámetro de Γ. Determinar el radio la circunferencia tangente a las tres circunferencias citadas (trazo grueso en la figura). r Γ C γ 0 Denotemos por R, r y r 0 los radios respectivos de Γ, γ y γ 0, con R = r + r 0. Consideramos la inversión de centro en y que deja invariante a γ 0. Las inversas de las circunferencias que pasan por, Γ y γ, son las rectas paralelas L y l, respectivamente, tangentes a γ 0 (la inversión conserva la tangencia) y perpendiculares al diámetro C. La circunferencia a determinar, se transforma en otra circunferencia, tangente a las rectas L y l y a la circunferencia γ 0. Por lo que tiene el mismos radio que ésta, o sea r 0, y su centro estará en el punto (2r + r 0, 2r 0 ), así su ecuación es: γ (x 2r r 0 ) 2 + (y 2r 0 ) 2 = r 2 0, que tiene como término independiente a L D = (2r r 0 ) 2 + 4r 2 0 r 2 0 = 4r 2 + 4rr 0 + 4r 2 0. Inversión 4 Angel Montesdeoca. Agosto 2004

5 Como la inversión en cuestión tiene como razón k 2 = 2(r + r 0 ) 2r, utilizando la fórmula (), se obtiene como radio de, r = k2 D r 0 = (r + r 0)rr 0 4(r 2 + rr 0 + r 2 0 ). Nota: Aplicando este razonamiento al Problema 2, y teniendo que en aquel caso r = r 0, se obtiene que el radio de la es 2r/, que coincide con a/, obtenido allí. 4 Dadas tres circunferencias mutuamente tangentes encontrar el radio de la circunferencia tangente a las tres anteriores. Sean las circunferencias, γ 2 y γ de radios γ r, r 2 y r, respectivamente. Consideremos un sistema coordenado rectangular en el que el eje r pasa por los centros de las circunferencia y γ 2 y el eje es tangente a en el r punto diametralmente opuesto al de contacto con γ 2. Supongamos que γ es tangente a r4 γ γ y γ 2 por la parte positiva de las ordenadas. 4 r r 2 La inversión de centro y que deja invariante a la circunferencia γ 2, transforma la circunferencia γ r en la recta l, perpendicular al eje 4 r 2 y tangente a la circunferencia γ 2 en el punto diametralmente opuesto al de contacto con ; la circunferencia γ (con centro a determinar) se transforma en una circunferencia γ tangente a l y a γ 2, cuyo radio vamos a γ 2 determinar, en función de los radios de las tres dadas. Si r es el radio de la circunferencia γ, el centro de ésta estará en el punto Luego su ecuación será: (2(r + r 2 ) r, (r 2 + r ) 2 (r 2 r ) 2 ) = (2(r + r 2 ) r, 2 r 2 r ). (x 2(r + r 2 ) + r ) 2 + (y 2 r 2 r ) 2 = r 2 Siendo D = 4(r 2 + 2r r 2 + r 2 2 r r ) el término independiente, el radio de γ se obtiene despejando de la fórmula (), r = k 2 r /D, resultando r = (r + r 2 ) 2 r r (r + r 2 + r ) El radio r 4 de la circunferencia γ 4, inversa de la circunferencia pedida γ 4, viene dado, según el Problema, por = + r4 r r2 El centro de γ 4 estará en el punto (2(r + r 2 ) r 4, (r 2 + r 4 ) 2 (r 2 r 4 ) 2 ) = (2(r + r 2 ) r 4, 2 r 2 r 4 ). Con estos datos, podemos determinar la ecuación de la circunferencia γ 4 y por consiguiente también el radio de la circunferencia inversa γ 4 que nos piden. Inversión 5 Angel Montesdeoca. Agosto 2004

6 En el siguiente diagrama se muestra como se puede determinar la inversa de una circunferencia en todos los casos posibles. Las circunferencias de inversión son las de trazo discontinuo. INVERSAS DE CIRCUNFERENCIAS A A k A = k k A Inversión 6 Angel Montesdeoca. Agosto 2004