FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

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1 UNIDAD 3 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Concepto clave: 1. Razones trigonométricas Si A es un ángulo interior agudo de un triángulo rectángulo y su medida es, entonces: sen longitud del cateto opuesto al A longitud de la hipotenusa cos longitud del cateto adyacente al longitud de la hipotenusa A tan longitud del cateto opuesto al A longitud del cateto adyacente al A Figura 1 Ejemplo 3.1 Si en un triángulo rectángulo se mantiene constante la longitud de la hipotenusa y se varía la medida de alguno de sus ángulos agudos, qué pasará con las longitudes de los catetos, varían o permanecen constantes? Para explorar la situación, supongamos que la longitud de la hipotenusa es h que permanecerá constante, y que el ángulo agudo de medida variable es el indicado en la figura Unidad 3. Funciones Trigonométricas 3-1

2 . También representemos a la longitud del cateto horizontal con la letra a, y a la longitud del cateto vertical con la letra b. Figura Observa con cuidado la figura 3, donde el triángulo correspondiente a la figura es el sombreado, y responde las preguntas que le siguen. Figura 3 P1. Al variar la medida, cambia la longitud del cateto horizontal? P. Al variar la medida, cambia la longitud del cateto vertical? P3. Cuando la medida disminuye, qué sucede con la longitud del cateto horizontal? P4. Cuando la medida aumenta, qué sucede con la longitud del cateto horizontal? 3 - Unidad 3. Funciones Trigonométricas

3 P5. Cuando la medida disminuye, qué sucede con la longitud del cateto vertical? P6. Cuando la medida aumenta, qué sucede con la longitud del cateto vertical? P7. Cuáles son los posibles valores en grados que podría tomar? El análisis anterior nos permite concluir que las longitudes a y b de los catetos del triángulo de la figura están variando y dependen de la medida del ángulo interior agudo. Ejemplo 3. Encuentra expresiones matemáticas que indiquen cómo están relacionadas las variables del ejemplo anterior, la independiente con la dependiente a, y la independiente con la dependiente b. Recuerda que la longitud de la hipotenusa es constante. Para responder, tomemos como referencia el triángulo rectángulo de la figura. P8. Cuál razón trigonométrica de las que aparecen en el concepto clave 1 relaciona la longitud a del cateto horizontal, la longitud h de la hipotenusa y la medida del ángulo agudo en el triángulo de la figura? P9. De las razones trigonométricas que aparecen en el concepto clave 1, cuál relaciona la longitud b del cateto vertical, la longitud h de la hipotenusa y la medida del ángulo agudo en el triángulo de la figura? Unidad 3. Funciones Trigonométricas 3-3

4 Considerando la respuesta P8, tendremos la siguiente relación: a cos, de donde la expresión matemática que establece la relación entre h la variable independiente y la variable dependiente a es a h cos. De manera análoga, al considerar la respuesta P9, obtenemos el siguiente resultado: b Como sen, de ahí se concluye que la relación que hay entre la h variable independiente y la variable dependiente b, está dada por la expresión matemática b h sen. Ejercicio 3.1 Suponiendo que h 5 y utilizando las relaciones: a h cos y b h sen Completa sin hacer redondeos la tabla siguiente: a 5 cos b 5 sen Unidad 3. Funciones Trigonométricas

5 Observa que a cada valor de la variable independiente le has hecho corresponder un y sólo un valor a de la variable dependiente, por lo tanto en el triángulo rectángulo de la figura, la relación que existe de la medida del ángulo a la longitud a del cateto horizontal, es una función. Por la misma razón, la relación de la medida del ángulo a la longitud b del cateto vertical, también es una función. Lo anterior es porque, como recordarás, una función es una relación entre un par de variables, dependiente e independiente, tal que a cada valor de la variable independiente le corresponde un y sólo un valor de la variable dependiente. Responde las siguientes preguntas, referentes a los componentes de una función. P10. Cómo se le llama a la expresión algebraica que indica cómo asignar a cada valor de la variable independiente su correspondiente valor de la variable dependiente? P11. Cuál es el nombre que recibe el conjunto de todos los posibles valores que puede tomar la variable independiente? P1. Con qué nombre se identifica al conjunto de todos los valores que toma la variable dependiente? Por ejemplo, en la relación a h cos obtenida en el ejemplo 3. que como ya vimos es una función, la expresión h cos es su regla de correspondencia. También es conveniente recordar que cuando una relación es una función se acostumbra utilizar una notación especial para enfatizar la relación entre las variables independiente y dependiente, por ejemplo en la relación a h cos sabemos que el valor de a depende del valor de, este hecho lo simbolizamos con a que se lee a de, así en lugar de a h cos escribiremos a h cos. Unidad 3. Funciones Trigonométricas 3-5

6 Ejemplo 3.3 Suponiendo que h 5, encuentra el dominio y el rango de la función a h cos del ejemplo 3.. Puesto que 5 h, la función será a 5 cos. Por la respuesta P11, el dominio debe ser el conjunto formado con todos los valores posibles que podría tomar la variable independiente, que en este caso es la variable, correspondiente a la medida de un ángulo agudo, por lo cual afirmamos que el dominio de la función es el conjunto de valores que satisfacen la desigualdad 0 90, la cual define al intervalo abierto 0,90. Atendiendo la respuesta P1, para encontrar en este caso el rango de la función, indaguemos de manera tabular lo que sucede con el valor de a cuando el valor de se aproxima a los extremos del intervalo que conforman el dominio. P13. A qué valor se aproxima a, cuando el valor de es cada vez más cercano 0? Conviene mencionar que utilizaremos la expresión 0 para representar simbólicamente el hecho que el valor de es cada vez más cercano a cero. Para observar que sucede con el valor de completar una tabla como la siguiente: a, cuando 0, podemos cos La conclusión que podemos inferir del llenado de la tabla anterior es que cuando 0, sucede que 5 a es cada vez más próximo a cinco. a, es decir que el valor de P14. A qué valor se aproxima a, cuando el valor de es cada vez más a, si 90? cercano a 90? O bien, qué pasa con el valor de 3-6 Unidad 3. Funciones Trigonométricas

7 Para responder podemos proceder de manera análoga al caso anterior, completando una tabla como la que sigue: cos En conclusión, cuando 90, sucede que a 0. Por las respuestas P13 y P14, deducimos que para cualquier valor de, el de a debe estar entre cero y cinco, es decir que el rango debe ser el conjunto formado con los valores que cumplen con la desigualdad determina al intervalo abierto 0,5. En resumen, la función del ejemplo 3.3 cumple con lo siguiente: Regla de correspondencia Dominio Rango 5 cos El intervalo0,90 0a 5, la cual El intervalo 0,5 Ejemplo 3.4 Encuentra el rango de la función a 7 cos, si su dominio es el intervalo cerrado 10,80, es decir cuando el valor de cumpla con la desigualdad P15. Cuál es el valor de a 10? P16. Cuál es el valor de a 80? Para responder bastará con encontrar la imagen de cada uno de los extremos del intervalo dado como 10 a 80. dominio, es decir el valor de a y el valor de Unidad 3. Funciones Trigonométricas 3-7

8 Puesto que el dominio es un intervalo cerrado, el rango también será un intervalo cerrado cuyos extremos son los valores calculados en la P15 y en la P16, esto es el intervalo , Ejercicio 3. Determina el rango de la función b 3 dominio es: a) El intervalo abierto 0,90 b) El intervalo cerrado 5,85 sen, si su Las funciones hasta aquí expuestas, a h cos y b h sen con h constante son ejemplos de un tipo especial de funciones, que como recordarás son llamadas funciones trigonométricas. En particular, si h 1, tendremos las funciones a cos y b sen que reciben el nombre de función básica del coseno y función básica del seno, respectivamente. Ejemplo 3.5 Si suponemos que en el triángulo rectángulo de la figura quien permanece constante es la longitud a del cateto horizontal, entonces al variar la medida del ángulo sombreado también variarán las longitudes b y h, del cateto vertical y de la hipotenusa, respectivamente, y dichas longitudes dependerán de la medida del ángulo. Cuál será la expresión matemática que indica cómo se relacionan la variable independiente con la variable dependiente b? 3-8 Unidad 3. Funciones Trigonométricas

9 P17. De las razones trigonométricas expuestas en el concepto clave 1, cuál relaciona la longitud a del cateto vertical, la longitud b del cateto vertical y la medida del ángulo agudo sombreado? Aplicando al triángulo de la figura la razón trigonométrica de la respuesta b P17, obtenemos la relación tan, de donde b a tan. a Afirmamos que la relación de la medida del ángulo a la longitud b del cateto vertical obtenida es una función, y como el valor de b depende del valor de, podemos escribir la relación anterior como b a tan, donde a es constante y el valor de es cualquiera que esté en el intervalo abierto 0,90. La función obtenida en este ejemplo también es una función trigonométrica y si a 1, tendremos la función b tan conocida como la función básica de la tangente. Ejercicio 3.3 Utilizando los mismos supuestos del ejemplo 3.5, encuentra la función trigonométrica que establece la relación de la medida del ángulo a la longitud h de la hipotenusa. De todo el análisis anterior podemos concluir que las razones trigonométricas seno, coseno y tangente, se pueden considerar funciones trigonométricas con dominio en el intervalo abierto 0,90, el cual como se verá más adelante está restringido. Unidad 3. Funciones Trigonométricas 3-9

10 Ejercicio 3.4 Indica cuál es el rango de las funciones básicas del seno, coseno y tangente para el dominio 0,90. Te sugerimos explorar de manera tabular a cuál valor se aproxima cada una de ellas cuando el valor de es cada vez más cercano a 0 y a 90, puedes utilizar tablas como las que aparecen en el ejemplo 3.3. A partir de los resultados obtenidos en el ejercicio 3.4, establece en cada caso una conjetura de cómo será el comportamiento gráfico de cada una de las funciones trigonométricas básicas del seno, coseno y tangente en el intervalo 0,90, creciente o decreciente? Más adelante verificarás si tus conjeturas son ciertas. Recordemos que un ángulo es el conjunto de puntos barridos al girar un rayo en el plano sobre su punto de origen desde una posición inicial hasta una posición final. En la definición no se restringe ni la magnitud ni el sentido de giro, por lo tanto es posible que el rayo de varias vueltas o que el giro sea en sentido de las manecillas del reloj o en sentido contrario, dando lugar a situaciones como las mostradas en las figuras 4 y 5. Figura 4 Figura Unidad 3. Funciones Trigonométricas

11 Concepto clave. El ángulo como rotación del radio de una circunferencia. No pierde sentido la definición anterior de ángulo, al ubicar el vértice del ángulo en el origen del plano cartesiano y considerar el lado inicial como el radio de una circunferencia con centro en el origen que coincida con la parte positiva del eje de abscisas como se ilustra en la figura 6. Figura 6 Es decir, que podemos pensar que un ángulo es el giro positivo o negativo del radio que está sobre la parte positiva del eje de abscisas de una circunferencia con centro en el origen. La medida de un ángulo depende de la magnitud del giro y generalmente se utilizan las siguientes unidades de medición: El grado El radián Unidad 3. Funciones Trigonométricas 3-11

12 Concepto clave 3. El grado Si la circunferencia de la figura 6 se divide en 360 partes iguales, entonces el ángulo central subtendido por cada arco, corresponderá a un grado sexagesimal. Es decir, un grado sexagesimal es la medida del ángulo central subtendido 1 por un arco cuya longitud es igual a de la circunferencia. 360 El grado tiene un par de submúltiplos: El minuto, correspondiente al 1 ángulo central subtendido por un arco cuya longitud es igual a de la 1600, que corresponde al ángulo central subtendido por circunferencia y el segundo un arco cuya longitud es igual a de la circunferencia. De lo anterior se obtienen las siguientes equivalencias: 1 1. O bien que, 1 60, 1 60 y y y 60 Ejercicio 3.5 Aplica estas equivalencias para completar lo que sigue: a) 5 b) 1 c) 40 d) 400 e).5 Existen dos tipos de notación para expresar la medida de un ángulo en grados, la llamada decimal y la sexagesimal, como se muestra en la tabla siguiente: 3-1 Unidad 3. Funciones Trigonométricas

13 Notación decimal Notación sexagesimal Las calculadoras modernas permiten transitar entre estas notaciones de una manera sencilla, utilizando la tecla grados, minutos, segundos. Ejercicio 3.6 Completa la tabla siguiente: Notación decimal Notación sexagesimal La razón de introducir aquí el concepto de medición de un ángulo en grados es simplemente para compararlo con otro sistema de medición, que será el que utilizaremos, por ser el más adecuado, para realizar el análisis de las funciones estudiadas en esta unidad. Si nos remitimos a la figura 6 y representamos con la letra A al punto donde intersecta el lado inicial del ángulo a la circunferencia, con la letra O al vértice del ángulo que coincide con el origen del plano cartesiano y con la letra B al punto de intersección del lado final del ángulo con la circunferencia, se formará el ángulo central AOB cuya medida se puede determinar comparando mediante una razón a la longitud del arco AB que subtiende, con la longitud del radio OA de la circunferencia, siempre que estén expresadas en las mismas unidades. AOB AB OA En este contexto, la magnitud del giro del radio para formar el ángulo se define con el uso de cantidades relacionadas con medidas de longitud. Unidad 3. Funciones Trigonométricas 3-13

14 Concepto clave 4. El radián Cuando en la relación AOB AB OA, la longitud del arco AB es igual a la longitud del radio OA, se obtiene la unidad de medida del ángulo en este sistema y se conoce como radián. Es decir, un radián es la medida del ángulo central de una circunferencia que abarca un arco de longitud igual a la de su radio. Ejemplo 3.6 Si AOB es positivo de una vuelta completa, cuál será su medida en radianes? Para dar la respuesta, antes contesta las siguientes preguntas: P18. Cuánto medirá en grados dicho ángulo? P19. Si OA r cm, cuál será la longitud del arco AB? Por el concepto clave 4, AB r cm AOB. OA r cm Este último resultado está dado en radianes. Hemos así establecido en el ejemplo 3.6 una equivalencia entre los distintos sistemas de medida, 360 es equivalente a radianes. Es importante notar que en el sistema de medición en radianes, como ya se mencionó anteriormente, las unidades de longitud del radio y del arco son iguales, por lo que éstas se cancelan obteniendo un resultado cuyas unidades serán radianes. Por tal razón, la palabra radianes generalmente se omite y sólo se usa para ser enfático Unidad 3. Funciones Trigonométricas

15 Ejercicio 3.7 Si AOB es positivo, completa la tabla siguiente: AOB en grados AOB en radianes P0. A cuántos radianes equivale un grado? P1. A cuántos grados equivale un radián? Si G es el número de grados y R es el número de radianes, dichas cantidades son directamente proporcionales, ya que se puede ver que para cualquier par de valores correspondientes la razón R G permanece constante. P. Cuál es el valor constante para la razón R G? El resultado anterior permite transitar entre ambos sistemas de medición. De grados a radianes: Si G es el número de grados, entonces el número correspondiente de R G 180. radianes está dado por Unidad 3. Funciones Trigonométricas 3-15

16 De radianes a grados: Si R es el número de radianes, entonces el número correspondiente en G R. grados está dado por 180 Ejercicio 3.8 Completa la tabla siguiente: Medida en grados Medida en radianes La principal diferencia entre estos dos sistemas de medición, es que en el caso de radianes, la medida será un número real, razón por la cual de aquí en adelante, en todos los análisis que realicemos, sólo consideraremos al sistema de medición en radianes. Esto es adecuado, ya que todas las funciones que se estudian en el curso de Matemáticas IV son funciones reales de variable real, es decir funciones cuyo dominio y rango, o son el conjunto de los números reales o bien un subconjunto de él. Bajo este contexto, la conclusión establecida en la página 3-9 la podemos reescribir de la siguiente manera: Las razones trigonométricas seno, coseno y tangente, se pueden considerar funciones trigonométricas con dominio el intervalo abierto 0, que es un subconjunto de los números reales Unidad 3. Funciones Trigonométricas

17 Otra ventaja de considerar al sistema de medición en radianes es que podemos observar el comportamiento de la función de una manera gráfica, por ejemplo en las figuras 7, 8 y 9 aparecen las graficas de las funciones básicas del seno, coseno y tangente, respectivamente, para el dominio 0,. Observa que hemos cambiado el símbolo de la variable independiente por la letra minúscula x, pues la estamos considerando un número real, por las razones expuestas. Figura 7 Figura 8 Unidad 3. Funciones Trigonométricas 3-17

18 Figura 9 Es el momento para que verifiques a través de las gráficas anteriores la validez de tus respuestas al ejercicio 3.4 y de las conjeturas que estableciste inmediatamente después de dicho ejercicio. En las gráficas se observa que en el intervalo abierto 0, : Figura Función básica Rango La función es: 7 sen x Intervalo abierto 0,1 Creciente 8 cos x Intervalo abierto 0,1 Decreciente 9 tan x Intervalo abierto 0, Creciente Con el fin de generalizar el concepto de función trigonométrica de un ángulo agudo a un ángulo cualquiera, es importante señalar que cuando el ángulo se considera como la rotación de un radio de una circunferencia (ver concepto clave ), la medida del ángulo es independiente de la longitud del radio de la circunferencia, de tal suerte que podemos trabajar en lo que sigue bajo el supuesto que la longitud del radio de la circunferencia es la unidad, en cuyo caso tendremos un modelo geométrico llamado circunferencia unitaria. En tal modelo (ver figura 10) se tiene la particularidad de que si x es la distancia que se recorre sobre la circunferencia desde el punto 1,0 hasta el punto P, positiva si el recorrido se hace en sentido contrario a las manecillas del reloj o negativa en sentido inverso, entonces dicha distancia será la medida en radianes del ángulo central que se forma Unidad 3. Funciones Trigonométricas

19 La relación anterior permite omitir en las definiciones de las funciones trigonométricas el concepto de ángulo, razón por la cual a las funciones trigonométricas también se les conoce como funciones circulares. Concepto clave 5. Triángulo y ángulo de referencia en la circunferencia unitaria. Para un punto P sobre la circunferencia y el lado final del ángulo que no esté sobre alguno de los ejes de coordenadas: 1. El triángulo de referencia es aquel que se forma al trazar una perpendicular desde el punto P hasta el eje de abscisas.. El ángulo de referencia es el ángulo agudo que se forma con el lado final del ángulo y el eje de abscisas, siempre se considera positivo. Por ejemplo, en la figura 10 se muestra el triángulo de referencia para un ángulo positivo con P en el primer cuadrante, el AOP es el ángulo de referencia cuya medida es AOP x. Figura 10 Unidad 3. Funciones Trigonométricas 3-19

20 Ejemplo 3.7 Construye en la circunferencia unitaria el triángulo de referencia para un ángulo positivo con P en el tercer cuadrante (ver figura 11) e indica cuál es el ángulo de referencia y encuentra su medida. Por el concepto clave 5.1, para construir el triángulo de referencia debemos trazar una perpendicular desde el punto P hasta el eje horizontal como se muestra en la figura 1. Figura 11 Figura 1 Atendiendo el concepto clave 5., el ángulo de referencia es AOP. Para determinar su medida, en la figura 1 se observa que x AOP, de donde AOP x. Ejercicio 3.9 Construye en la circunferencia unitaria el triángulo de referencia para un ángulo positivo e indica cuál es el ángulo de referencia y encuentra su medida, si a) El punto P está en el segundo cuadrante, figura 13. b) El punto P está en el cuarto cuadrante, figura Unidad 3. Funciones Trigonométricas

21 Figura 13 Figura 14 A continuación considera el triángulo y ángulo de referencia de la figura 10 para responder las preguntas siguientes: P3. A qué es igual sen x? P4. A qué es igual cos x? P5. A qué es igual tan x? De las respuestas anteriores concluimos que el punto P tiene coordenadas P cos x, sen x, lo cual es válido para cualquier punto P sobre la circunferencia unitaria y que sen x tan x. cos x La importancia de este resultado es que con él extendemos el dominio restringido de las funciones básicas trigonométricas, seno, coseno y tangente, de medidas de ángulos agudos o números reales en el intervalo abierto 0, a cualquier medida de ángulo que puede ser cero, positivo o negativo, en pocas palabras, a cualquier número real, lo cual como se verá más adelante no aplica a todas las funciones mencionadas. Unidad 3. Funciones Trigonométricas 3-1

22 Ejemplo 3.8 Utilizando la circunferencia unitaria, encuentra el valor de las funciones trigonométricas seno, coseno y tangente, 3 para x 0 y para x. Te sugerimos que compares los resultados que vamos a obtener, con los que te arrojen una calculadora científica, teniendo la precaución de que esté en el modo radianes. Para responder, primero ubiquemos la posición del punto P sobre la circunferencia unitaria, para los valores de x dados. Observa que si x 0, entonces el punto P está en la parte positiva del eje 3 x, entonces P P 0, 1. de abscisas y sus coordenadas son P 1,0, mientras que si está en la parte negativa del eje de ordenadas y sus coordenadas son Aplicando las conclusiones derivadas de las respuestas P3, P4 y P5, tenemos los resultados siguientes: a) Para 0 x, consideramos el punto 1,0 P. 1) sen 0 0, correspondiente a la ordenada de P. ) cos 0 1, que es la abscisa de P. 3) b) Para 1) ) 3) sen 0 0 tan 0 0. cos 0 1 x sen cos 3, consideramos el punto 0, 1 P. 3 1, que es la ordenada de P. 3 0, esto es la abscisa de P. 3 sen 3-1 tan, cuyo valor no está definido, pues como 3 cos 0 recordarás la división entre cero no está permitida. 3 - Unidad 3. Funciones Trigonométricas

23 Este último resultado nos dice que la función básica de la tangente no está 3 definida para el valor x, es decir que dicho valor no pertenece al dominio de dicha función, pero será el único valor para el cuál no está definida está función? Ejercicio 3.10 Utilizando la circunferencia unitaria, encuentra el valor de las funciones trigonométricas seno, coseno y tangente. a) Para x b) Para x P6. Encontraste algún otro valor donde no esté definida la función básica de la tangente? De los resultados obtenidos en el ejemplo 3.8 y en el ejercicio 3.10, afirmamos que de las tres funciones trigonométricas básicas estudiadas, la del seno y la del coseno están definidas en todo el intervalo cerrado 0,, mientras que la de la tangente no está definida para los valores 3 y de dicho intervalo. Ahora analicemos algunas otras características de estas funciones en el intervalo cerrado 0, apoyándonos de la circunferencia unitaria, observa que el intervalo corresponde a las distancias de los recorridos desde el punto de coordenadas 1,0 hasta el punto P, en sentido positivo (contrario a las manecillas del reloj), completando una vuelta. Veamos lo que pasa con la función básica del seno: Unidad 3. Funciones Trigonométricas 3-3

24 1) El valor mínimo que toma es 1, lo que sucede cuando el punto P tiene 3 abscisa x. ) El valor máximo que toma es 1, esto cuando el punto P tiene abscisa x. 3) Es cero cuando el punto P tiene abscisa x 0, x y x. Estas primeras tres propiedades las podemos llevar a un sistema de coordenadas cartesianas donde se utiliza en el eje de abscisas una escala en términos de, al que llamaremos Plano Trigonométrico, como se muestra en la figura 15. Figura 15 4) En el primer cuadrante es positiva y varía continuamente desde 0 hasta 1, lo cual quiere decir que es continua (no tiene interrupciones), creciente y positiva en el intervalo abierto 0, como se ve en la figura Unidad 3. Funciones Trigonométricas

25 Figura 16 5) En el segundo cuadrante es positiva y varía continuamente desde 1 hasta 0, lo cual quiere decir que es continua, decreciente y positiva en el intervalo abierto,, tal como se muestra en la figura 17. Figura 17 6) En el tercer cuadrante es negativa y varía continuamente desde 0 hasta 1, lo cual quiere decir que es continua, decreciente y negativa en el 3 intervalo abierto,, lo que se muestra gráficamente en la figura 18. Unidad 3. Funciones Trigonométricas 3-5

26 Figura 18 7) Por último en el cuarto cuadrante es negativa y varía continuamente desde 1 hasta 0, lo cual quiere decir que es continua, creciente y 3 negativa en el intervalo abierto,, lo que se ve en la gráfica de la figura 19. Figura 19 Si reunimos las graficas que aparecen en las figuras 16, 17,18 y 19, tendremos la gráfica mostrada en la figura 0, que es la gráfica de la función básica del seno desde 0 hasta, correspondiente a las distancias recorridas 3-6 Unidad 3. Funciones Trigonométricas

27 por un punto P de la circunferencia unitaria, iniciando en punto 1,0 y hasta completar una vuelta completa en sentido contrario a las manecillas del reloj. Figura 0 Como estrategia de aprendizaje te sugerimos realizarle a la función básica del coseno un análisis como el que se efectuó con la función básica del seno, para que obtengas su gráfica en el intervalo cerrado 0,, la cual aparece en la figura 1. Figura 1 Unidad 3. Funciones Trigonométricas 3-7

28 Con respecto a la función básica de la tangente, podemos hacer uso del sen x hecho que tan x para concluir que en el intervalo cerrado 0,, la cos x función será cero para los valores de x que hacen cero a la función básica del seno y que no estará definida para aquellos valores x que hacen cero a la función básica del coseno. es cero? P7. Para qué valores de x en el intervalo 0, la función básica del seno P8. Para qué valores de x en el intervalo 0, la función básica del coseno es cero? En la figura aparece la gráfica de la función básica de la tangente en el intervalo cerrado 0,, observa que en efecto sus ceros coinciden con los de la función básica del seno, en tanto que en aquellos valores donde la variable independiente hace cero a la función básica del coseno, la función básica de la tangente no está definida, es discontinua y tiene en cada uno de ellos una asíntota vertical Figura 3-8 Unidad 3. Funciones Trigonométricas

29 Hasta aquí hemos analizado las características y comportamiento de las funciones trigonométricas básicas, del seno, coseno y tangente, considerando las distancias sobre la circunferencia unitaria de los recorridos desde el punto de coordenadas 1,0 hasta el punto P, en sentido positivo hasta completar sólo una vuelta. También en este contexto, tal como sucede con los ángulos, no se restringe ni la magnitud ni el sentido del recorrido del punto P sobre la circunferencia unitaria, por lo tanto es posible que el punto de varias vueltas a la circunferencia iniciando en el punto 1,0, o que el sentido del recorrido sea positivo o negativo. Veamos lo que sucede con la función básica del seno en una segunda vuelta positiva completa: Primero observamos que la distancia recorrida por el punto P iniciará en y terminará en 4, tal como se modela en la figura. Figura Apoyándote de la figura, responde las siguientes preguntas, respecto a la función básica del seno: P9. En la segunda vuelta, cuál es el valor máximo que toma la función y para qué valor de x se logra? P30. En la segunda vuelta, cuál es el valor mínimo que toma la función y para qué valor de x se logra? P31. Para qué valores de x la función es cero? Unidad 3. Funciones Trigonométricas 3-9

30 Además no es difícil observar que el comportamiento de la función será: En el intervalo 5, el mismo que en el intervalo 0,. 5 En el intervalo,3 el mismo que en el intervalo,. En el intervalo En el intervalo 7 3, el mismo que en el intervalo 3,. 7,4 el mismo que en el intervalo 3,. Trasladando toda esta información al Plano Trigonométrico, obtendremos la gráfica de la función básica del seno en el intervalo cerrado,4 tal como aparece en la figura 3. Figura Unidad 3. Funciones Trigonométricas

31 Realizando un análisis similar y apoyándonos de la figura 4, la gráfica de la función básica del seno en el intervalo cerrado,0 es la que aparece en la figura 5. Figura 4 Figura 5 Unidad 3. Funciones Trigonométricas 3-31

32 Si reunimos las gráficas de las figuras 0, 3 y 5 tendremos la gráfica de la f x sen x, desde x hasta x 4, ver figura 6. función trigonométrica Figura 6 Este proceso se puede repetir una infinidad de veces, ya que como se mencionó anteriormente, en el recorrido del punto P sobre la circunferencia unitaria no se limita ni el número de vueltas ni el sentido de ellas. Lo anterior nos lleva a concluir que el dominio natural de la función básica del seno son todos los números reales 1. Responde las siguientes preguntas, referentes a la función básica del seno con dominio el conjunto : P3. Cuál es su valor máximo y su valor mínimo? P33. Cuál es su rango? P34. Cuál es la forma general de sus ceros? 1 Recordemos los símbolos que representan a los distintos conjuntos de números: Números naturales: Números enteros: Números racionales: Números irracionales: Números reales: Números complejos: 3-3 Unidad 3. Funciones Trigonométricas

33 Todo el análisis anterior respecto a la función básica del seno lo resumimos en el concepto clave 6. Concepto clave 6. Gráfica de la función f x sen x y sus características básicas 1. Dominio:. Máximo: 1 3. Mínimo: 1 4. Rango: 1,1 Figura 7. Onda senoidal básica 5. Intersección con el eje de ordenadas: f x 0 6. Intersección con el eje de abscisas (ceros): valores de x k, k 7. Es continua (no tiene interrupciones). Unidad 3. Funciones Trigonométricas 3-33

34 Otra vez, como estrategia de aprendizaje te sugerimos realizar a la función básica del coseno y a la función básica de la tangente, un análisis similar al realizado con la función básica del seno, y luego compara tus resultados con lo expuesto en los conceptos claves 7 y 8. Conceptos clave 8. Gráfica de la función f x cos x y sus características básicas 1. Dominio:. Máximo: 1 3. Mínimo: 1 4. Rango: 1,1 Figura 8. Onda cosenoidal básica 5. Intersección con el eje de ordenadas: f x 1 6. Intersección con el eje de abscisas (ceros): valores de 7. Es continua (no tiene interrupciones). k 1 x, k 3-34 Unidad 3. Funciones Trigonométricas

35 9. Gráfica de la función f x tan x con asíntotas verticales y sus características básicas 1. Dominio: valores de x k, k. No tiene máximo ni mínimo. 3. Rango: Figura 9 { } 4. Intersección con el eje de ordenadas: f x 0 5. Intersección con el eje de abscisas (ceros): valores de x k, k 6. Asíntotas verticales: rectas 7. Es discontinua (tiene interrupciones). k 1 x, con k Ejercicio 3.11 Para su dominio natural, cuáles de las afirmaciones siguientes son verdaderas? a) La función básica del seno alcanza su valor máximo una infinidad de veces. b) La ecuación tan x 0 no tiene solución. c) La función básica del coseno tiene un número finito de ceros. d) La ecuación sen x 0 tiene una infinidad de soluciones. Unidad 3. Funciones Trigonométricas 3-35

36 Otra característica que tienen las funciones trigonométricas y que no aparece en los conceptos clave 6, 7 y 8, es, como seguramente te has percatado, su comportamiento repetitivo. A las funciones que tienen dicho comportamiento se les conoce como funciones periódicas. Concepto clave 10. Función periódica 1. Si para todo valor de x en el dominio de una función f existe algún número real p tal que f x p f x, entonces la función f es periódica.. Al menor número positivo p se le conoce como el periodo de la función f. Ejemplo 3.9 Verifica que la función básica del seno y del coseno son ambas periódicas y determina su periodo. Para responder nos apoyaremos de la circunferencia unitaria, donde consideraremos de inicio cierta posición de un punto P de ella durante su primera vuelta en recorrido positivo, y a partir de ella determinaremos cuáles serán sus coordenadas cuando éste logre en su recorrido exactamente la misma posición. La posición que consideraremos de inicio para el punto P en la circunferencia unitaria, será la que se muestra en la figura 30 de la página siguiente, conviene recordar que por las respuestas P3 y P4 concluimos que P cos x, sen x, donde x, que llamaremos el este punto tiene coordenadas argumento de las coordenadas del punto, es la distancia (recorrida) desde el punto de coordenadas 1,0 hasta el punto P Unidad 3. Funciones Trigonométricas

37 Figura 30 P35. Por lo menos, cuántas unidades tendrá que recorrer de manera positiva el punto P de la figura 30 para que quede exactamente en la misma posición? Es decir, que deberá recorrer al menos una vuelta completa, en cuyo caso tendríamos que considerar las nuevas coordenadas de P suponiendo que este se encuentra en la segunda vuelta. Cambiará el argumento de las coordenadas del punto? P36. Cuál será la distancia total recorrida por P desde la primera vuelta hasta su posición en la segunda vuelta? Unidad 3. Funciones Trigonométricas 3-37

38 De la respuesta P36 concluimos que en la nueva posición del punto P, aunque queda exactamente en la posición inicial, cambia el argumento de sus coordenadas, ya que en lugar de recorrer sobre la circunferencia x unidades, ha recorrido x unidades, de tal manera que sus nuevas coordenadas son las que aparecen en la figura 31. Figura 31 De lo mostrado en la figuras 30 y 31, deducimos que las coordenadas del punto P deben ser las mismas en ambos casos, puesto que tiene exactamente la misma posición. Lo anterior nos lleva a la conclusión siguiente: cos x cos x y sen x sen x Procediendo de la misma manera, se puede ver que para que el punto P quede exactamente en la misma posición que en la figura 31, tendría que recorrer otra vez al menos unidades, lo cual ubicaría al punto en la tercera vuelta, cambiando con ello el argumento de sus coordenadas a x 4. En otras palabras, que también cos x 4 cos x y sen x 4 sen x. En general, si sumamos al argumento x de las coordenadas del punto P de la figura 30 cualquier múltiplo de, regresaremos exactamente a la misma posición, lo cual también es válido si en lugar de sumarlo, lo restamos Unidad 3. Funciones Trigonométricas

39 Lo anterior lo expresamos de manera matemática como sigue: Para cualquier x : cos x k cos x y sen x k sen x, con k. Por el concepto clave 10.1, concluimos que las funciones básicas del seno y del coseno son periódicas. Por el concepto clave 10., el periodo de cada una de ellas será el menor número positivo de la forma k, con k. P37. Cuál es el menor número positivo de la forma k, con k? Por la respuesta P37, el periodo de las funciones básicas del seno y del coseno es. Ejercicio 3.1 Sabiendo que para cualquier x donde está definida la función básica de la tangente se cumple con la relación tan x k tan x, con k, responde las siguientes preguntas: a) Indica esto que la función básica de la tangente es periódica? b) En caso afirmativo, cuál es su periodo? La solución del ejemplo 3.9, conjuntamente con la respuesta del ejercicio 3.1, nos muestran que las funciones básicas del seno, del coseno y de la tangente son funciones periódicas, característica tienen todas las funciones trigonométricas. En las gráficas que aparecen en los conceptos clave 7 y 8, hemos anotado al pie de cada una de ellas los términos onda senoidal y onda cosenoidal, estos términos los utilizaremos de aquí en adelante para referirnos a las gráficas de la función seno y coseno, respectivamente. Unidad 3. Funciones Trigonométricas 3-39

40 Concepto clave 11. Amplitud de las ondas senoidales y cosenoidales Es el valor de la máxima distancia que separa a la onda senoidal o cosenoidal del eje de abscisas. Ejemplo 3.10 Cuál es la amplitud de las funciones básicas del seno y del coseno? Para responder observa sus gráficas en los conceptos clave 7 y 8, y responde la pregunta que sigue: P38. Cuál es el valor de la máxima distancia que separa a cada una de las ondas del eje de abscisas? En la figura 3 podemos ver gráficamente la amplitud de la onda correspondiente a la función básica del seno, la de la función básica del coseno es análoga. Figura Unidad 3. Funciones Trigonométricas

41 A continuación se muestran las transformaciones que sufre la onda senoidal correspondiente a la función básica del seno, cuando esta es multiplicada por una constante positiva. Concepto clave 1. La función f x A sen x, con A 0 1. Si A 1, la onda senoidal sen x se expande verticalmente. Figura 33. Si 0 A 1, la onda senoidal sen x se contrae verticalmente. Figura 34 Unidad 3. Funciones Trigonométricas 3-41

42 Ejercicio 3.13 Observa con cuidado las ondas senoidales mostradas en las figuras 33 y 34 para completar la tabla siguiente: Dominio Amplitud Rango Periodo Ceros sen x sen x 1 sen x A continuación generalizamos la respuesta al ejercicio La función trigonométrica f x A sen x, con A 0 tiene: 1. Dominio: Conjunto (el mismo que el de la función básica del seno). Amplitud: A 3. Rango: Intervalo AA, 4. Periodo: (el mismo que el de la función básica del seno) 5. Ceros: Valores x k, donde k (los mismos que los de la función básica del seno) La función básica del coseno sufre al ser multiplicada por una constante positiva exactamente las mismas transformaciones que la función básica del seno, de tal suerte que se tiene el resultado general siguiente: La función trigonométrica f x A cos x, con A 0 tiene: 1. Dominio: Conjunto (el mismo que el de la función básica del coseno). Amplitud: A 3. Rango: Intervalo AA, 4. Periodo: (el mismo que el de la función básica del coseno) 5. Ceros: Valores del coseno) xk, con k (los mismos que los de la función básica 3-4 Unidad 3. Funciones Trigonométricas

43 En el siguiente concepto clave se muestran las transformaciones que sufre la onda senoidal correspondiente a la función básica del seno, cuando su argumento x es multiplicado por una constante positiva. Concepto clave 13. La función f x sen Bx con B 0 1. Si B 1, la onda senoidal sen x se contrae horizontalmente. Figura 35. Si 0B 1, la onda senoidal sen x se expande horizontalmente. Figura 36 Unidad 3. Funciones Trigonométricas 3-43

44 P39. Al comparar las ondas senoidales de las gráficas 35 y 36, de las características amplitud, ceros y periodo, cuáles de ellas cambian? Ejemplo 3.11 Determina el periodo y expresa de manera general la forma de los ceros de la onda senoidal sen x que aparece en la figura 35. Aunque podríamos inferir cual es su periodo a través de la gráfica, recurramos a un procedimiento algebraico que nos permitirá determinar el periodo que inicia en el origen. Sabemos que la onda senoidal sen x tiene periodo, por lo tanto, el periodo que inicia en x 0 debe terminar en x, observa que en estas relaciones se iguala el argumento de la función con los números 0 y. Si procedemos de manera análoga con la onda senoidal sen x, tendremos que el periodo que inicia en x 0, debe terminar en x, despejando x de estas igualdades, deducimos que el periodo que inicia en x 0, termina en x. Por lo tanto, la onda senoidal sen x tiene periodo. En la figura 35 se observa que estos resultados son ciertos. También en la figura 35, se aprecia que los valores de x donde la onda senoidal sen x intersecta al eje de abscisas son: 3, 5,, 3,,, 0, 3 5,,,, y 3 Pero estos son sólo algunos de los ceros de la onda senoidal, ya que realmente tiene una infinidad de ceros. En conclusión tenemos que los ceros de la onda senoidal sen x son todos k los valores de x, donde k Unidad 3. Funciones Trigonométricas

45 Ejemplo 3.1 Determina algebraicamente el periodo de la onda 1 x senoidal sen x sen que aparece en la figura 36 y expresa de manera general a sus ceros. Para encontrar el periodo, apliquemos el procedimiento algebraico incluido en el ejemplo anterior, esto es, igualando el argumento de la función con 0 y con. x x En este caso, el periodo que inicia en 0 debe terminar en. Al despejar x de ambas igualdades, tendremos que el periodo que inicia en x x 0, termina en x 4, por lo tanto, el periodo de sen es igual a 4. En la figura 36, se observan algunos de sus ceros:, 0, y 4. Generalizando la forma de estos números, tenemos que los ceros de son los valores x k, con k. sen x Ejercicio 3.14 Utilizando el procedimiento algebraico, encuentra el periodo de las siguientes funciones trigonométricas: a) f x sen 4x f x sen b) f x sen c) x 4 3 x 7 Los resultados obtenidos en los ejemplos 3.11 y 3.1, y en el ejercicio 3.14 se generalizan a continuación, te sugerimos que los apliques a las funciones de estos ejemplos y ejercicio para que verifiques que se obtienen los mismos resultados. Unidad 3. Funciones Trigonométricas 3-45

46 La función trigonométrica f x sen Bx 1. Periodo igual a. B. Ceros en los valores, con B 0, tiene: k x, con k. B Para el caso de la función trigonométrica coseno se tienen los siguientes resultados generales, los cuales se pueden verificar con las ondas cosenoidales que aparecen en la figura 37. La función trigonométrica f x cos Bx 1. Periodo igual a. B. Ceros en los valores, con B 0, tiene: k 1 x, con k. B Figura Unidad 3. Funciones Trigonométricas

47 Ejemplo 3.13 Determina la amplitud, el periodo y los ceros de la f x sen x. función trigonométrica 3 5 Primero observemos que la función dada, es un caso particular de la función senoidal generalizada f x A sen Bx, que resulta de la combinación de las dos transformaciones a la función básica del seno estudiadas. En la expresión generalizada anterior llamaremos a A y a B, los parámetros de la función. Si relacionamos el modelo general con el caso particular dado, no es difícil ver que en este caso los parámetros A y B, toman respectivamente los valores 3 y 5. Remitiéndonos al inciso del primer resultado general expuesto en la página 3-4, concluimos que la función tiene amplitud 3. Por otro lado, el primer resultado general que aparece en la página anterior, nos conduce a responder, por el inciso 1 que el periodo de la función es igual a k, y por el inciso que sus ceros son los valores x 5 5, con k. Ejemplo 3.14 Para la función trigonométrica determina su amplitud, periodo y ceros. x f x 9 cos, 3 Ahora tenemos un caso particular de la función f x A cos Bx, donde A y B son sus generalizada parámetros. Procediendo de manera semejante al ejemplo anterior, en este caso el valor para cada uno de los parámetros son A 9 y B. 3 La función dada tiene: Amplitud 9, por lo afirmado en el inciso del segundo resultado general de la página 3-4. Unidad 3. Funciones Trigonométricas 3-47

48 Periodo 3, que es el resultado de dividir entre, según el inciso 1 del 3 segundo resultado general que aparece en la página anterior. Finalmente, aplicando el inciso del segundo resultado general de la página 6k 3 anterior, los ceros de la función están en los valores x, con k. 4 Ejercicio 3.15 Establece la amplitud, el periodo y los ceros de cada una de las funciones trigonométricas siguientes: a) f x 7 cos 3x 3 3 x f x sen 5 b) Ejemplo 3.15 Indica las operaciones que se tienen que realizar para que la gráfica de la función básica del coseno sufra las siguientes transformaciones: a) Cambiar su amplitud a 5. b) Cambiar su periodo a 3. Las operaciones pedidas quedarán establecidas en una expresión de la forma A cos Bx. Por lo tanto, el problema será asignar valores particulares a los parámetros A y B, y sustituirlos en el modelo general. En la función cosenoidal generalizada A cos Bx, sabemos que el parámetro A determina la amplitud de la onda cosenoidal, por lo tanto A 5. También sabemos que el periodo de A cos Bx está dado por, y como B se desea que el nuevo periodo sea 3, entonces el valor para el parámetro B debe ser tal que cumpla con la relación 3. B 3-48 Unidad 3. Funciones Trigonométricas

49 P40. Si despejas B de la expresión anterior, cuál es su valor? Por lo tanto, las operaciones que hay que efectuar para lograr las x transformaciones pedidas en el ejemplo están dadas en la expresión 5 cos. 3 En la figura 38 se muestran gráficamente las transformaciones realizadas. Figura 38 Ejercicio 3.16 Indica las operaciones que tendrías que realizar para lograr en la onda senoidal sen x, las transformaciones siguientes: a) Cambiar su amplitud a 3. b) Cambiar su periodo a. 3 Unidad 3. Funciones Trigonométricas 3-49

50 Además de las transformaciones expuestas, las ondas senoidales y las cosenoidales se pueden desplazar horizontalmente y verticalmente, con lo cual se introducirán dos nuevos parámetros, C y D, según lo indicado en los conceptos clave 14 y 15. Concepto clave 14. Desplazamiento horizontal o desfasamiento Al sumar o restar C unidades al argumento de una onda senoidal o cosenoidal, esta se desfasará (desplazar horizontalmente) C B unidades a la derecha o a la izquierda según lo siguiente: 1. Si se le suma C, el desfasamiento es hacia la izquierda.. Si se le resta C, el desfasamiento es hacia la derecha. Ejemplo 3.16 Verifica utilizando las ondas senoidales sen x y sen x que aparecen en la figura 38, que lo afirmado en el concepto clave 14.1 es cierto. Como se le ha sumado al argumento de la función básica del seno, y como en la función básica del seno el parámetro B 1, debemos mostrar que la onda senoidal sen x está desfasada 1 unidades a la izquierda de la onda senoidal sen x. P41. En la onda senoidal sen x, en dónde termina el periodo que inicia en x 0? 3-50 Unidad 3. Funciones Trigonométricas

51 Este periodo de la onda senoidal sen x tiene un correspondiente en la onda senoidal sen x. Para saber donde inicia este, bastará con igualar el argumento de la función con 0 y despejar x, y para determinar su fin, hay que igualar el argumento con y despejar x. P4. Dónde inicia y dónde termina el periodo de la onda senoidal sen x correspondiente al periodo que inicia en x 0 y termina en x de la onda senoidal sen x? Figura 38 Unidad 3. Funciones Trigonométricas 3-51

52 En la figura 39 se muestran solamente los periodos encontrados de ambas ondas que están en correspondencia, lo cual muestra claramente que la onda senoidal sen x está desfasada a la izquierda de la onda senoidal sen x. Por lo tanto, si al argumento de la función sen x le sumamos, esta operación la desfasa unidades hacia la izquierda, confirmando con 1 esto que lo afirmado en el concepto clave 14.1 es verdadero. Figura 39 Realizando el mismo proceso, verifiquemos que lo afirmado en el concepto clave 14. también es verdadero, utilizando en particular las ondas cosenoidales 3 cos 4x 3cos 4x que aparecen en la figura 40. y P43. Cuáles son los valores de los parámetros A y B en la onda cosenoidal 3 cos 4x? P44. En la onda cosenoidal 3 cos 4x, en dónde termina el periodo que inicia en x 0? 3-5 Unidad 3. Funciones Trigonométricas

53 P45. Dónde inicia y dónde termina el periodo de la onda cosenoidal 3cos 4x correspondiente al periodo que inicia en x 0 y termina en x de la onda cosenoidal 3 cos 4x? Figura 40 En la figura 41 están solamente los periodos dados en las respuestas P.44 y P.45, donde se hace evidente la verdad de la afirmación hecha en el concepto clave 14., mostrándose que al restar unidades al argumento de la onda cosenoidal 3 cos 4x, esta se desfasa unidades hacia la derecha. 4 Unidad 3. Funciones Trigonométricas 3-53

54 Figura 41 P46. Cuántas unidades y hacia dónde se desfasará la onda senoidal 3 sen x, si le sumamos a su argumento? En efecto, ya que al sumar unidades al argumento de la onda senoidal 3 sen x, obtendremos una nueva onda senoidal que corresponderá a la función 3 sen x, en esta última expresión los parámetros B y C, y según el concepto clave 14, su desfase es de unidades hacia la 4 izquierda Unidad 3. Funciones Trigonométricas

55 Ahora veamos con algunos casos particulares lo que sucede con la onda senoidal o cosenoidal, cuando se le suma o se le resta alguna cantidad a la función trigonométrica correspondiente. En la figura 4 están las ondas senoidales sen x, sen x 1 y sen x, obsérvalas con cuidado y responde las preguntas P47 y P48. Nota: La regla de correspondencia sen x 1 indica sumar 1 a sen x y no a su argumento, análogamente sen x indica restar a sen x y no a su argumento. P47. Cuál es el efecto de sumarle 1 a la onda senoidal sen x? P48. Cuál es el efecto de restarle a la onda senoidal sen x? Figura 4 Si observas con cuidado las rectas horizontales punteadas en la figura 4, podrás darte cuenta que el significado de amplitud enunciado en el concepto clave 11 cambia cuando la onda está desplazada de onda de manera vertical, ya no es la máxima distancia de la onda al eje de abscisas! Unidad 3. Funciones Trigonométricas 3-55

56 Las observaciones hechas en estos casos particulares se generalizan en el concepto clave 15. Conviene recalcar que el término desfasamiento solamente lo utilizaremos cuando el desplazamiento sea horizontal, y no cuando sea vertical. Concepto clave 15. Desplazamiento vertical Para desplazar verticalmente D unidades hacia arriba o hacia abajo a una onda senoidal o cosenoidal, hay que sumar o restar a la función correspondiente dicha cantidad. 1. Si se le suma D, el desplazamiento es hacia arriba.. Si se le resta D, el desplazamiento es hacia abajo. Con este nuevo concepto clave, las expresiones generalizadas para seno y f x A sen Bx f x A cos Bx se coseno hasta el momento conocidas, y amplían, respectivamente a las siguientes: f x Asen Bx C D y f x Acos Bx C D P49. Cuáles serán los valores para los parámetros A, B, C y D en la función básica del seno y en la función básica del coseno? Ejemplo 3.17 Qué operaciones debemos efectuar para que la onda x senoidal correspondiente a la función f x 4 sen se 5 desfase unidades a la izquierda y se desplace 3 unidades hacia arriba? 3-56 Unidad 3. Funciones Trigonométricas