TEMA 0: Herramientas matemáticas
|
|
- Ana Belén Hernández Coronel
- hace 7 años
- Vistas:
Transcripción
1 1 TEMA 0: Herramientas matemáticas Tema 0: Herramientas matemáticas 1. Campos escalares y vectoriales 2. Gradiente 3. Divergencia 4. Rotacional 5. Teoremas de Gauss y de Stokes 5. Representación gráfica de los campos. 6. Coordenadas curvilíneas ortogonales 7. Delta de Dirac 8. Teorema de Helmholtz 9. Clasificación de los campos según sus fuentes Apéndice J, K y Capítulo 1 de
2 2 Campos escalares y vectoriales. Notación Escalar: Cantidad física expresable en un sistema de unidades por un solo número (su magnitud). Vector ( a ): Cantidad física que precisa, además de su magnitud o módulo (definido positivo) una dirección y un sentido en el espacio. Notaremos su módulo por Suma de vectores: Vector dado por la regla del triángulo Negativo de un vector: Resta de vectores: a b a( b)
3 3 Campos escalares y vectoriales. Notación Producto de un escalar por un vector: Nuevo vector de módulo el valor absoluto del escalar por el modulo del vector, de igual dirección y sentido igual/opuesto si el escalar es positivo/negativo Vector unitario: a a a Producto escalar de dos vectores: a b a b cos a a a c a b a a bb Ortogonalidad: Dos vectores son ortogonales (perpendiculares) cuando su producto escalar es nulo.
4 Campos escalares y vectoriales. Notación Producto vectorial: (Pseudovector) Tiene el sentido de avance de un tornillo que gira desde el primero al segunod por el camino más corto (es anticonmutativo) NOTACIÓN a b a b 4
5 5 Sistema coordenado ortogonal: Dados tres vectores unitarios y ortogonales, cualquier otro se puede poner como combinación lineal de estos , con,, i i i i i i i ij j i a a a a e a a a e a e e e e e La base puede ser a izquierdas o a derechas Campos escalares y vectoriales. Notación
6 Campos escalares y vectoriales. Notación Producto vectorial en una base a derechas: 6
7 Coordenadas Cartesianas 7
8 8 Campos escalares y vectoriales. Notación Campo escalar: Función que a cada punto del espacio le asigna un escalar. Ej. Campo de presiones atmosféricas (líneas de isocampo) Campo vectorial: ( r ) Función que a cada punto del espacio le asigna un vector. Ej. Campo de velocidades en un fluido (líneas tangentes al campo) Fr ( ) Fre ( ) F( re ) F( re )
9 9 Gradiente de un Campo Escalar Supongamos que en un sistema se hace un desplazamiento elemental, y estudiemos la variación del campo escalar a lo largo del mismo d l con 3 i1 dl e i i 3 i1 e l i d i 3 i1 dl l grad i i d l Al operador diferencial se le denomina nabla y a su aplicación a un campo escalar, gradiente del campo. Si d l dl l d l d l Máximo si el gradiente es paralelo al desplamiento Nulo (equiescalaridad) si el gradiente es perpendicular al desplazamiento Las superficies equiescalares son perpendiculares al vector gradiente
10 10 Flujo de un Campo Vectorial: Divergencia ( a) a d S NOTACIÓN div a S Cerrada: Normal a la superficie saliente Abierta: Normal a la superficie según regla del tornillo por el giro de su contorno Si el flujo a través de una superficie CERRADA es positivo diremos que el campo tiene fuentes positivas en el volumen encerrado por la superficie y fuentes negativas si el flujo es negativo. Cabe definir la densidad de fuentes en un punto rodeándolo de un volumen, calculando el flujo a través de su superficie y hacer tender el volumen a cero: a esto se le llama divergencia del campo lim V 0 SV a d S V ds n ds n ds
11 11 Circulación Campo Vectorial: Rotacional C L ( a ) a d l Si la circulación a lo largo de un de una camino CERRADO es nula diremos que el campo es conservativo (irrotacional). Cabe caracterizar el comportamiento de la circulación de un campo alrededor de un punto, rodeándolo de un camino sobre n el que se apoya una superfice de vector unitario, calculando la circulación sobre el camino y haciendo tender la superficie a cero L rot a rot a a d l Ln n n lim Sn 0 Sn Proyección del vector rotacional sobre la dirección n. Si es no nulo podemos afirmar que el campo RODEA al punto. El vector rotacional en una base dada { e, e, e } será rot a rot a e rot a rot 1 e a 2 e3
12 Teoremas de Gauss y de Stokes TEOREMA DE LA DIVERGENCIA o DE GAUSS div a dv a V TEOREMA DEL ROTACIONAL o DE STOKES rot a ds S V a S VARIANTES rot a dv d S a V S V L S d d l S grad dl d S L S L dv d S V S V grad 12
13 Campos conservativos CONJUNTO DE AFIRMACIONES EQUIVALENTES 13
14 Operador Laplaciano SOBRE CAMPOS ESCALARES SOBRE CAMPOS VECTORIALES 14
15 Coordenadas Cartesianas ds dy dz x dz dx y dx dy z a a a grad x y z, div a a x y z x y z x y z x y z rot a a x y z a a a x y z 15
16 Representación gráfica de los campos. Líneas de campo (vectorial): líneas tangentes al campo en todos sus puntos 16
17 CAMPOS VECTORIALES DIVERGENTES 17
18 CAMPOS VECTORIALES ROTACIONALES 18
19 CAMPOS VECTORIALES DIVERGENTES Y ROTACIONALES 19
20 CAMPOS ESCALARES 20
21 21 Coordenadas Curvilíneas Ortogonales Las coordenadas (q 1, q 2, q 3 ) de un punto P pueden referirse a una base LOCAL de tres vectores tangentes a las curvas de corte de tres superficies, pertenecientes a tres familias distintas, que se corten ortogonalmente precisamente en P e e e, rotacion ciclica ( i, j, k) i j k Los vectores de la base e 1, e 2, e 3 son, pues, perpendiculares a cada una de las superficies f 1 =q 1,f 2 =q 2,f 3 =q 3 y por tanto, perpendiculares entre sí, y pueden ponerse en cada punto P como el gradiente normalizado de la función.
22 22 Coordenadas Curvilíneas Ortogonales El diferencial de longitud (desplazamiento elemental) es Con dl i la distancia en la dirección entre las superficies f i =q i y f i =q i +dq i. Por tanto en general se puede poner El vector diferencial de superficie viene dado por Con (i,j,k) rotación cíclica a derechas de (1,2,3) El diferencial de volumen dv dl1 dl2 dl3 h1 h2 h3 dq1 dq2 dq3 El vector de posición de un punto va desde el origen del sistema hasta el punto r r r 3 i1 r i e i
23 Coordenadas Curvilíneas: Operadores 23
24 24 Sistemas más usados CARTESIANAS q z f q y f q x f Plano Plano Plano z z y y x x r z k e y j e x i e h h h,, CILÍNDRICAS Plano Plano Cilindro , 0, q z f q f q f z z r k z e e e h h h,, 1,,
25 25 Sistemas más usados ESFÉRICAS 2 0, 0, 0, q f q f r q r f Cono Plano Esfera r r r e e r e r h r h h,, sin, 1,
26 CARTESIANAS dl x dx, dl y dy, dl z dz ds dydzx dxdzy dxdyz dv dl dl dl dx dy dz x y z 26
27 CILÍNDRICAS Alternativamente dl d, dl d, dl z dz ds d dz d dz d d z dv d d dz 27
28 ESFÉRICAS Alternativamente dl r dr, dl rd, dl r sin d 2 ds r sin d d r r sin d dr rd dr dv d d dz 28
29 OPERADORES 29
30 OPERADORES 30
31 ALGUNAS RELACIONES UTILES 31
32 CONVERSIONES 2 2 x y y arctan x A Ax x Ay y Az z A A Az z 32
33 CONVERSIONES r x y z y arctan x 2 2 x y arctan z A Ax x Ay y Az z Ar r A A 33
34 2 2 r z arctan z CONVERSIONES A A A A zz Ar r A A 34
35 DELTA DE DIRAC La Delta de Dirac es una función generalizada (distribución) f( x) ( x x ) f( x ) ( xx ) DESPLAZAMIENTO ( x x ) ( x x) FUNCION PAR 0 0 más general 35
36 DELTA DE DIRAC y FUNCIÓN DE HEAVISIDE 36 0 si x 0 Funcion de Heaviside H( x) 1 si x 0 0 si x 0 H'( x) 0 si x0 No derivable en x 0 H'( xx) f( xdx ) lim f( x) f'( xdx ) f( x) H'( xx) ( xx) x x Integrando por partes x (n) En general f(x)δ (x x 0 x 0 '( xx ) f( x) dx ( xx ) f '( x) dxf '( x ) Derivada de la Delta de Dirac )dx ( 1) n f (n) (x 0 )
37 DELTA DE DIRAC: SUCESIÓN DE FUNCIONES lim ( x x ) ( xx ) a 0 a 0 0 a=1/2981 a=1/148 a=1/55 x 0 lim ( x x ) ( xx ) a 0 a
38 DELTA DE DIRAC Y TRANSFORMADA DE FOURIER t a=1/40 a=1/20 a=1/10 sin ( tt')/ a a( ') 2 ( tt') 1/ a 1 j ( t t') t t e d 1/ a lim ( t t') ( tt') t' t' t' 1 (' ) 1 j t t jt' jt f ( t) f(t')δ(t' t)dt' f(t') e dt' d f(t') e dt' e d 2 2 t' t' t' F f(t') F( ) -1 F F( ) transformadas directa e inversa de Fourier de la función f(t), que existe si f(t) es de cuadrado sumable. t a0 j t 1 j t F f ( t) f(t) e dt F( ) F F( ) F( ) e d f ( t) t a 1 2 t t
39 DELTA DE DIRAC. PROPIEDADES ( ) 39
40 DELTA DE DIRAC EN 3D En otros sistemas coordenados 40
41 41 DELTA DE DIRAC Y LAPLACIANO TRES JUEGOS DE VARIABLES r xx yyzz, r' x' x y' yz' z, Rr r' x y z, ' x y z x y z x' y' z' R R ( R) ' ' R R R R si R 0 ' R x y z ( xx') ( y y') ( zz') si R 0 O O O O
42 42 TEOREMA DE HELMHOLTZ Las fuentes de un campo F lo determinan unívocamente si Tomando F la forma Espacios gradiente y rotacional: DISJUNTOS Si U f no existe ningun g U f g 2 porque g, g0 f, análogamente U g f porque f, f 0 g
43 TEOREMA DE HELMHOLTZ: DEMOSTRACIÓN Tomemos el volumen V de la figura, puntos interiores notaremos por r, encerrando o no a parte de las fuentes (V 0 ), y encerrando al punto r ' r ( i. e. R 0) P R 0 V ' La Delta de Dirac nos permite escribir para 43
44 44 TEOREMA DE HELMHOLTZ: DEMOSTRACIÓN (La segunda parte la probaremos sólo para el potencial escalar) Dado que F( r ') no es función de R sino de r,' y que la integración se hace en V Donde se ha tenido en cuenta que h Como quiera que 2 2 ( R) ' h( R), R ( x x') ( y y') ( z z 1 ' F( r ') 1 F( r ') f ( r) dv' ' ' ' dv' 4 V R 4 V R Haciendo uso del T. de Gauss, con S superficie que envuelve a V F( r ') ds' S ' R Haciendo tender V a infinito la integral de superficie se anula (por hipótesis F(r ) decrece según 1/r 2, 1/R decrece según 1/r y ds crece según r 2 ), y las fuentes sólo son no nulas dentro de V 0 ') 2
45 45 CLASIFICACIÓN DE LOS CAMPOS SEGÚN SUS FUENTES T. Stokes F dl RdS, R= rot F L S L T. Gauss F ds DdV, D= div F S V S (a) (b) (c) (d) (a) Irrotacional, solenoidal (b) Irrotacional, no solenoidal (c) Rotacional, solenoidal (d) Rotacional, no solenoidal
46 46 CLASIFICACIÓN DE LOS CAMPOS SEGÚN SUS FUENTES Campo irrotacional (fuentes vectoriales nulas) y solenoidal (fuentes escalares nulas) dentro de un volumen V. Para solución no trivial debe existir alguna región con fuentes no nulas fuera de V. Líneas de campo no se cierran sobre sí en V (campo conservativo) Tantas líneas de campo entran como salen de un V. D 0
47 47 CLASIFICACIÓN DE LOS CAMPOS SEGÚN SUS FUENTES Campo irrotacional (fuentes vectoriales nulas) y no solenoidal (fuentes escalares NO nulas) en V. Líneas de campo no se cierran sobre sí en V (campo conservativo) D 0 Las líneas de campo nacen o mueren en V en puntos con divergencia no nula
48 CLASIFICACIÓN DE LOS CAMPOS SEGÚN SUS FUENTES Campo rotacional (fuentes vectoriales NO nulas) y solenoidal (fuentes escalares nulas) en V. Líneas de campo se pueden cerrar sobre sí en V. g 0 Tantas líneas de campo entran como salen de un V. No nacen ni mueren en V. D 0 48
49 49 CLASIFICACIÓN DE LOS CAMPOS SEGÚN SUS FUENTES Campo rotacional (fuentes vectoriales NO nulas) y NO solenoidal (fuentes escalares NO nulas) en V. D 0 CAMPO ELECTROMAGNÉTICO: ECUACIONES DE MAXWELL SOLUCIÓN GENERAL EN VACÍO g A E V t BA 1 ( r', t R/ c) V( r, t) dv ' 4 0 R V ' J( r', t R/ c) A rt 0 (, ) dv' 4 R V '
50 EJEMPLOS: ONDAS EM INCIDENCIA EN AVIÓN METÁLICO FOCALIZACIÓN (LENTE BICONVEXA) FIBRA ÓPTICA 50
Definición. Tema 12: Teoremas de Integración del Cálculo Vectorial. Gradiente de un campo escalar. Rotacional de un campo vectorial.
Tema 12: Teoremas de Integración del Cálculo Vectorial El operador nabla e conoce como operador nabla al pseudo-vector = ( x, y, ) Juan Ignacio Del Valle Gamboa ede de Guanacaste Universidad de Costa Rica
Más detallesGuía n 0: Herramientas de Física y Matemáticas
Guía n 0: Herramientas de Física y Matemáticas Problema Dadas dos partículas en el espacio ubicadas en los puntos de coordenadas p = (0,5, 2) y p 2 = (2,3,). Hallar el vector posición de la partícula respecto
Más detallesDpto. Física y Mecánica. Operadores diferenciales
Dpto. Física y Mecánica Operadores diferenciales Se denominan líneas coordenadas de un espacio euclídeo tridimensional a aquellas que se obtienen partiendo un punto dado P de coordenadas (q 1, q 2, q 3
Más detallesEjercicios Resueltos de Cálculo III.
Ejercicios Resueltos de Cálculo III. 1.- Considere y. a) Demuestre que las rectas dadas se cortan. Encuentre el punto de intersección. b) Encuentre una ecuación del plano que contiene a esas rectas. Como
Más detallesUNIVERSIDAD DE ANTIOQUIA FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES PREGRADO EN MATEMÁTICAS
UNIVERSIDAD DE ANTIOQUIA FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES PREGRADO EN MATEMÁTICAS Código: CNM- 517 Nombre: Análisis vectorial Prerrequisitos: CNM-295 Duración del semestre: 16 semanas Intensidad
Más detallesBreviario de cálculo vectorial
Apéndice A Breviario de cálculo vectorial versión 16 de octubre de 2006 Este apéndice no pretende ser mas que un resumen de definiciones y fórmulas útiles acerca de la función delta de Dirac, cálculo vectorial
Más detallesINDICE Capitulo 1. Números Capitulo 2. Secuencias Capitulo 3. Funciones, Límites y Continuidad
INDICE Capitulo 1. Números 1 Conjuntos 1 Números reales 1 Representación decimal de los números reales 2 Representación geométrica de los números reales 2 Operación con los números reales 2 Desigualdades
Más detallesEjercicios resueltos de FISICA II que se incluyen en la Guía de la Asignatura
Ejercicios resueltos de FISICA II que se incluyen en la Guía de la Asignatura Módulo 2. Campo electrostático 4. Consideremos dos superficies gaussianas esféricas, una de radio r y otra de radio 2r, que
Más detallesCAMPOS: CIRCULACIÓN Y FLUJO
AMPO: IRULAIÓN Y FLUJO Dado el vector a ( x + y) i ˆ + xy ˆ j calcular su circulación a lo largo de la recta y x+ desde el punto A (, ) al B (, 2). olución: I.T.I. 99, 5, I.T.T. 2 En la trayectoria que
Más detallesLEY DE COULOMB E INTENSIDAD DE CAMPO ELECTRICO
INDICE Prefacio XIV Visita Guiada 1 Análisis Vectorial 1 2 Ley Coulomb e Intensidad de Campo Eléctrico 26 3 Densidad de Flujo Eléctrico, Ley de Gauss y Divergencia 51 4 Energía y Potencial 80 5 Corriente
Más detallesINDICE 1. Desigualdades 2. Relaciones, Funciones, Graficas 3. La Línea Recta 4. Introducción al Cálculo. Límites
INDICE 1. Desigualdades 1 1. Desigualdades 1 2. Valor absoluto 8 3. Valor absoluto y desigualdades 11 2. Relaciones, Funciones, Graficas 16 1. Conjunto. Notación de conjuntos 16 2. El plano coordenado.
Más detallesDivisión Departamento Licenciatura. Asignatura: Horas/semana: Horas/semestre: Obligatoria X Teóricas 4.0 Teóricas 64.0
UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO FACULTAD DE INGENIERÍA PROGRAMA DE ESTUDIO CÁLCULO VECTORIAL CIENCIAS BÁSICAS 3 8 Asignatura Clave Semestre Créditos COORDINACIÓN DE MATEMÁTICAS INGENIERÍA CIVIL
Más detallesJulio C. Carrillo E. Profesor Escuela de Matemáticas Universidad Industrial de Santander. Monday, November 5, 2007 at 8:44 am (FA07.
Julio C. Carrillo E. Profesor Escuela de Matemáticas Universidad Industrial de Santander Monday, November 5, 2007 at 8:44 am (FA07.01,02) Para uso exclusivo en el salón de clase. 2007 c Julio C. Carrillo
Más detallesMecánica de Fluidos. Análisis Diferencial
Mecánica de Fluidos Análisis Diferencial Análisis Diferencial: Descripción y caracterización del flujo en función de la descripción de una partícula genérica del flujo. 1. Introducción 2. Movimiento de
Más detallesun sistema de conductores cargados. Energía electrostática en función de los vectores de campo. Fuerza electrostática. Presión electrostática.
11 ÍNDICE GENERAL INTRODUCCIÓN 13 CÁLCULO VECTORIAL 17 Escalares y vectores. Operaciones con vectores. Campos escalares y vectoriales. Sistemas de coordenadas. Transformación de coordenadas. Vector de
Más detallesUNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE SINALOA FACULTAD DE AGRONOMÍA HIDRÁULICA
UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE SINALOA FACULTAD DE AGRONOMÍA HIDRÁULICA UNIDAD III. HIDROCINEMÁTICA Introducción. La hidrocinemática o cinemática de los líquidos se ocupa del estudio de las partículas que integran
Más detallesCampo Eléctrico en el vacío
Campo Eléctrico en el vacío Electrostática: Interacción entre partículas cargadas q1 q2 Ley de Coulomb En el vacío: K = 8.99 109 N m2/c2 0 = 8.85 10 12 C2/N m2 Balanza de torsión Electrostática: Interacción
Más detallesCampos y Ondas FACULTAD DE INGENIERÍA UNIVERSIDAD NACIONAL DE LA PLATA ARGENTINA CAMPOS Y ONDAS
Campos y Ondas FACULTAD DE INGENIERÍA UNIVERSIDAD NACIONAL DE LA PLATA ARGENTINA Análisis Vectorial 1. Algebra vectorial: suma, resta y multiplicación de vectores. 2. Sistemas de coordenadas ortogonales:
Más detallesElementos de análisis
Elementos de análisis El estudio universitario del electromagnetismo en Física II requiere del uso de elementos de análisis en varias variables que el alumno adquirirá en la asignatura Análisis Matemático
Más detallesANÁLISIS VECTORIAL. Contenido. Magnitudes escalares y vectoriales Definiciones Escalar Vector Sistemas de Coordenadas
ANÁLISIS VECTORIAL Contenido Magnitudes escalares y vectoriales Definiciones Escalar Vector Sistemas de Coordenadas Álgebra vectorial Definiciones Suma/Resta de vectores Producto/Cociente de un escalar
Más detallesCampo de un hilo infinito. Fuerzas magnéticas. Teorema de Ampère. Campo magnético de una espira circular
El campo magnético de las corrientes estacionarias ntroducción Propiedades diferenciales del campo magnético Propiedades integrales del campo magnético Teorema de Ampère El potencial vector Ecuaciones
Más detallesFigura Trabajo de las fuerzas eléctricas al desplazar en Δ la carga q.
1.4. Trabajo en un campo eléctrico. Potencial Clases de Electromagnetismo. Ariel Becerra Al desplazar una carga de prueba q en un campo eléctrico, las fuerzas eléctricas realizan un trabajo. Este trabajo
Más detallesFundamentos Matemáticos. Antonio González Fernández Departamento de Física Aplicada III Universidad de Sevilla
Tema 1: Fundamentos Matemáticos Antonio González Fernández Departamento de Física Aplicada III Universidad de Sevilla Índice Introducción I. Sistemas de coordenadas II. Campos escalares. Gradiente III.
Más detallesECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES Tópicos previos
ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES Tópicos previos Para tomar el curso de ecuaciones en derivadas parciales es importante la familiaridad del alumno con los conceptos que se detallan a continuación. Sugerimos
Más detallesLectura 3 Ampliación de Matemáticas. Grado en Ingeniería Civil
1 / 32 Lectura 3 Ampliación de Matemáticas. Grado en Ingeniería Civil Curso Académico 2011-2012 2 / 32 Motivación: muchas ecuaciones y propiedades fundamentales de la Física (y, en consecuencia, de aplicación
Más detallesIntroducción. Flujo Eléctrico.
Introducción La descripción cualitativa del campo eléctrico mediante las líneas de fuerza, está relacionada con una ecuación matemática llamada Ley de Gauss, que relaciona el campo eléctrico sobre una
Más detalles2- El flujo de un campo vectorial se define para una superficie abierta o cerrada?
ASIGNATURA FISICA II AÑO 2012 GUIA NRO. 2 LEY DE GAUSS Bibliografía Obligatoria (mínima) Capítulo 24 Física de Serway Tomo II Apunte de la cátedra: Capìtulo III PREGUNTAS SOBRE LA TEORIA Las preguntas
Más detallesINTRODUCCIÓN AL CONCEPTO DE CAMPOS
1. CONCEPTO DE CAMPO. INTRODUCCIÓN AL CONCEPTO DE CAMPOS Una magnitud definida en un cierto espacio (p.ej. el euclídeo) y que pueda expresarse analíticamente como una función de las coordenadas espaciales
Más detallesMatemáticas para estudiantes de Química
Matemáticas para estudiantes de Química PROYECTO EDITORIAL BIBLIOTECA DE QUÍMICAS Director: Carlos Seoane Prado Catedrático de Química Orgánica Universidad Complutense de Madrid Matemáticas para estudiantes
Más detallesTeoría del potencial. Capítulo 5. Objetivos Introducción. Campos conservativos y solenoidales. Campos armónicos.
Capítulo 5 Teoría del potencial Objetivos Campos conservativos y solenoidales. Campos armónicos. Representación integral de funciones. Teorema de Helmholtz. Ecuación de Poisson. 5.1. Introducción La teoría
Más detallesJavier Junquera. Vectores
Javier Junquera Vectores Cómo describir la posición de un punto en el espacio: Sistemas de coordenadas Un sistema de coordenadas que permita especificar posiciones consta de: Un punto de referencia fijo,
Más detallesBACHILLERATO FÍSICA A. HERRAMIENTAS MATEMÁTICAS DE LA FÍSICA. Dpto. de Física y Química. R. Artacho
BACHILLERATO FÍSICA A. HERRAMIENTAS MATEMÁTICAS DE LA FÍSICA R. Artacho Dpto. de Física y Química ÍNDICE 1. Áreas y volúmenes de figuras geométricas. Funciones trigonométricas 3. Productos de vectores
Más detalles4. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
4. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES INDICE 4 4.1. Definición de una función de dos variables...2 4.2. Gráfica de una función de dos variables..2 4.3. Curvas y superficies de nivel....3 4.4. Límites y continuidad....6
Más detallesCAMPOS ELÉCTRICOS DEBIDOS A DISTRIBUCIONES CONTINUAS DE CARGA
CAMPOS ELÉCTRICOS DEBIDOS A DISTRIBUCIONES CONTINUAS DE CARGA Este documento enuncia de forma más detallada la formulación matemática que permite el estudio de campos eléctricos debido a distribuciones
Más detallesINDICE Capitulo Primero. Número. Variable. Función Capitulo II. Límite y Continuidad de las Funciones Capitulo III. Derivada y Diferencial
INDICE Capitulo Primero. Número. Variable. Función 1. Números reales. Representación de números reales por los puntos 1 del eje numérico 2. Valor absoluto de un número real 3 3. Magnitudes variables y
Más detallesELECTROMAGNETISMO PARA INGENIERÍA ELECTRÓNICA. CAMPOS Y ONDAS
ELECTROMAGNETISMO PARA INGENIERÍA ELECTRÓNICA. CAMPOS Y ONDAS Introducción a la Teoría de Campos Introducción Capítulo 2 El modelo de campos eléctricos magnéticos es un derivado formal de la Teoría de
Más detallesAMPLIACIÓN DE CÁLCULO
AMPLIACIÓN DE CÁLCULO Problemas propuestos Departamento de Matemáticas del Área Industrial Programa de Ampliación de Cálculo. Curso 2014/15 1. Cálculo de integrales múltiples Integrales dobles en rectángulos;
Más detallesMomento de un vector deslizante respecto a un punto. Momento de un vector deslizante respecto a un eje
Magnitudes escalares y vectoriales Tipos de vectores Operaciones con vectores libres Momento de un vector deslizante respecto a un punto Momento de un vector deslizante respecto a un eje Magnitudes escalares
Más detallesLos sistemas coordenados sirven para localizar puntos en el espacio. La localización de un punto se obtiene por intersección de tres superficies.
Los sistemas coordenados sirven para localizar puntos en el espacio. La localización de un punto se obtiene por intersección de tres superficies. La intersección de dos superficies da lugar a una línea.
Más detallesFISICA 2º BACHILLERATO CAMPO ELECTRICO
) CMPO ELÉCTRICO Cuando en el espacio vacío se introduce una partícula cargada, ésta lo perturba, modifica, haciendo cambiar su geometría, de modo que otra partícula cargada que se sitúa en él, estará
Más detallesTema 2: Vectores libres
Tema 2: Vectores libres FISICA I, 1º Grado en Ingeniería Aeroespacial Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla 1 Índice Magnitudes escalares y vectoriales Definición de vector Vectores
Más detallesANALISIS MATEMATICO II Grupo Ciencias 2015
ANALISIS MATEMATICO II Grupo Ciencias 05 Práctica : Geometría Analítica: Vectores, Rectas y Planos A. Vectores Hasta el 9 de marzo. Sean v = (0,, ) y w = (,, 4) dos vectores de IR 3. (a) Obtener el coseno
Más detallesEXAMEN FÍSICA 2º BACHILLERATO TEMA 2: CAMPO ELECTROMAGNÉTICO
INSTRUCCIONES GENERALES Y VALORACIÓN La prueba consiste de dos opciones, A y B, y el alumno deberá optar por una de las opciones y resolver las tres cuestiones y los dos problemas planteados en ella, sin
Más detallesTEORÍA ELECTROMAGNÉTICA APÉNDICE A INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO VECTORIAL
Página Principal del Profesor: Luis Gerardo Guerrero Ojeda Ir al Capítulo 1 Página Principal de Apuntes de Cursos Pág. Principal de los Apuntes de Teoría TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA APÉNDICE A INTRODUCCIÓN
Más detallesUNIVERSIDADES DE ANDALUCÍA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD
Opción A Ejercicio 1.- Sea f : R R definida por f(x) = x 3 +ax 2 +bx+c. a) [1 75 puntos] Halla a,b y c para que la gráfica de f tenga un punto de inflexión de abscisa x = 1 2 y que la recta tangente en
Más detallesAUXILIAR 1 PROBLEMA 1
AUXILIAR 1 PROBLEMA 1 Calcular el campo eléctrico en cualquier punto del espacio, producido por una recta de carga infinita (con densidad lineal de carga λ0). Luego, aplicar el teorema de Gauss para obtener
Más detallesCAPÍTULO III Electrostática
CAPÍTULO III Electrostática Fundamento teórico I.- Ley de Coulomb Ia.- Ley de Coulomb La fuerza electrostática F que una carga puntual q con vector posición r ejerce sobre una carga puntual q con vector
Más detallesI. Fundamentos matemáticos. ticos. Campos Electromagnéticos. ticos. 1. Coordenadas curvilíneas. Ingeniero de Telecomunicación
I. Fundamentos matemá 1. Coordenadas curvilíneas Gabriel Cano Gómez, G 2009/10 Dpto. Física F Aplicada III (U. Sevilla) Campos Electromagné Ingeniero de Telecomunicación I. Fundamentos matemá Gabriel Cano
Más detallesUAM CSIC Grupo 911 Febrero Ejercicios Resueltos del Tema Asignatura de Matemáticas Grado en Química
UAM I Grupo 911 Febrero 213 Ejercicios Resueltos del Tema 2.2.6 Asignatura de Matemáticas Grado en Química Lista de ejercicios en estas páginas: 1 7 y 9 12. Nota: Los ejercicios pueden contener errores,
Más detallesVECTORES vector Vector posición par ordenado A(a, b) representa geométricamente segmento de recta dirigido componentes del vector
VECTORES Un vector (Vector posición) en el plano es un par ordenado de números reales A(a, b). Se representa geométricamente por un segmento de recta dirigido, cuyo punto inicial es el origen del sistema
Más detallesDERIVADAS PARCIALES Y APLICACIONES
CAPITULO IV CALCULO II 4.1 DEFINICIÓN DERIVADAS PARCIALES Y APLICACIONES En cálculo una derivada parcial de una función de diversas variables es su derivada respecto a una de esas variables con las otras
Más detalles2.8. Ecuaciones de Maxwell del electromagnetismo
2.8. Ecuaciones de Maxwell del electromagnetismo Para el caso de cargas en movimiento hemos de describir la fuerza mediante una ley de interacción carga-campo y nocarga-carga como es el caso de la ley
Más detallesContenidos. Importancia del tema. Conocimientos previos para este tema?
Transformación conforme Contenidos Unidad I: Funciones de variable compleja. Operaciones. Analiticidad, integrales, singularidades, residuos. Funciones de variable real a valores complejos. Funciones de
Más detalles1. Trace la curva definida por las ecuaciones paramétricas y elimine el parámetro para deducir la ecuación cartesiana de la curva:
1. Trace la curva definida por las ecuaciones paramétricas y elimine el parámetro para deducir la ecuación cartesiana de la curva: a) x = senθ, y = cosθ, 0 θ π t b), t x = e y = e + 1 c) x = senθ, y =
Más detallesy cualquier par (x, y) puede escalarse, multiplicarse por un número real s, para obtener otro vector (sx, sy).
UNIDAD II: VECTORES EN DOS Y TRES DIMENSIONES Un espacio vectorial (o espacio lineal) es el objeto básico de estudio en la rama de la matemática llamada álgebra lineal. A los elementos de los espacios
Más detallesEjercicio 3.1. Sea el campo de velocidades de un escurrimiento definido por : v = x 2 yē x + x 2 tē y (3.1)
Ejercicio 3.1. Sea el campo de velocidades de un escurrimiento definido por : Se pide: v = x yē x + x tē y (3.1) a. A qué tipo de formalismo corresponde este análisis del escurrimiento, lagrangeano o eulereano?
Más detallesEjemplos Desarrollados
Universidad de Santiago de Chile Departamento de Ingeniería Mecánica Mecánica de Medios Continuos Eugenio Rivera Mancilla Ejemplos Desarrollados 1. Una placa rectangular homogénea, de masa m, cuyas aristas
Más detallesPruebas de Acceso a enseñanzas universitarias oficiales de grado Castilla y León
Selectividad Septiembre 011 Pruebas de Acceso a enseñanzas universitarias oficiales de grado Castilla y León MATEMÁTICAS II EJERCICIO Nº páginas: INDICACIONES: 1.- OPTATIVIDAD: El alumno deberá escoger
Más detallesCAMPO ELÉCTRICO ÍNDICE
CAMPO ELÉCTRICO ÍNDICE 1. Introducción 2. Ley de Coulomb 3. Campo eléctrico 4. Líneas de campo eléctrico 5. Distribuciones continuas de carga eléctrica 6. Flujo del campo eléctrico. Ley de Gauss 7. Potencial
Más detallesC 4 C 3 C 1. V n dσ = C i. i=1
apítulo 2 Divergencia y flujo Sea V = V 1 i + V 2 j + V 3 k = (V 1, V 2, V 3 ) un campo vectorial en el espacio, por ejemplo el campo de velocidades de un fluido en un cierto instante de tiempo, en un
Más detallesIntegración sobre superficies
Problemas propuestos con solución Integración sobre superficies IABEL MARRERO Departamento de Análisis Matemático Universidad de La Laguna imarrero@ull.es Índice 1. Parametrizaciones 1 2. Área de una superficie
Más detallesALGEBRA. Escuela Politécnica Superior de Málaga
ALGEBRA. Escuela Politécnica Superior de Málaga Tema 1. Espacios Vectoriales. Sistemas de ecuaciones. Espacio vectorial. Espacios vectoriales R n. Dependencia e independencia lineal. Base. Matrices y determinantes.
Más detallesCálculo en varias variables
Cálculo en varias variables Dpto. Matemática Aplicada Universidad de Málaga Resumen Límites y continuidad Funciones de varias variables Límites y continuidad en varias variables 1 Límites y continuidad
Más detallesJMLC - Chena IES Aguilar y Cano - Estepa. Introducción
Introducción En Magnesia existía un mineral que tenía la propiedad de atraer, sin frotar, materiales de hierro, los griegos la llamaron piedra magnesiana. Pierre de Maricourt (1269) da forma esférica a
Más detallesSistemas de coordenadas
Sistemas de coordenadas. Introducción En un sistema de coordenadas un punto se representa como la intersección de tres superficies ortogonales llamadas superficies coordenadas del sistema: u u u = cte
Más detallese+ 2 Fay* Límites de una función Teoremas de los límites de funciones Límites unilaterales Límites infinitos 105
e+ I f 1.1 Números reales y desigualdades 2 1.2 Coordenadas y rectas 16 1.3 Circunferencias y gráficas de ecuaciones 32 1.4 Funciones 42 1.5 Gráficas de funciones S5 1.6 Funciones trigonométricas 61 Ejercicios
Más detallesDescribe el movimiento sin atender a las causas que lo producen. Utilizaremos partículas puntuales
3. Cinemática Cinemática Describe el movimiento sin atender a las causas que lo producen Utilizaremos partículas puntuales Una partícula puntual es un objeto con masa, pero con dimensiones infinitesimales
Más detalles2. Continuidad y derivabilidad. Aplicaciones
Métodos Matemáticos (Curso 2013 2014) Grado en Óptica y Optometría 7 2. Continuidad y derivabilidad. Aplicaciones Límite de una función en un punto Sea una función f(x) definida en el entorno de un punto
Más detallesI. T. Telecomunicaciones Universidad de Alcalá Soluciones a los ejercicios propuestos Tema 1
I. T. Telecomunicaciones Universidad de Alcalá Soluciones a los ejercicios propuestos 28-9-Tema 1 Departamento de Física 1) Dado el campo vectorial F = y i+x j, calcule su circulación desde (2,1, 1) hasta
Más detallesPLAN DE ESTUDIOS DE MS
PLAN DE ESTUDIOS DE MS Temario para desarrollar a lo largo de las clases 11 y 12. CLASE 11: I. ELEMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAL. a) Revisión de conceptos Estructura de espacio vectorial. Propiedades de los
Más detallesFundamentos matemáticos. Tema 3 Geometría del plano y del espacio
Fundamentos matemáticos Grado en Ingeniería agrícola y del medio rural Tema 3 Geometría del plano y del espacio José Barrios García Departamento de Análisis Matemático Universidad de La Laguna jbarrios@ull.es
Más detallesCÁLCULO INTEGRAL TEMARIO
CÁLCULO INTEGRAL TEMARIO 1. LA INTEGRAL 1.1 La integral indefinida Antiderivadas o primitivas. Funciones con la misma derivada. Antiderivada general. Antiderivada particular. Integral indefinida. Elementos
Más detallesUn apunte sobre la referencia de Lacan al Teorema de Stokes en "Posición del inconsciente"
NODVS de Un apunte sobre la referencia de Lacan al Teorema de Stokes en "Posición del inconsciente" Trabajo elaborado en el contexto del Seminario de Investigación Posición del inconsciente: entre alienación
Más detallesUniversidad Nacional de Colombia Departamento de Matemáticas Álgebra Lineal - Grupo 1 Resumen Unidad n 3
Universidad Nacional de Colombia Departamento de Matemáticas 1000003-5 Álgebra Lineal - Grupo 1 Resumen Unidad n 3 Vectores en R n Definición. El conjunto de las n-tuplas ordenadas de números reales se
Más detallesCampos Electromagnéticos Estáticos
Capítulo 3: Campos Electromagnéticos Estáticos Flujo de un campo vectorial Superficie cerrada Ley de Gauss Karl Friedrich Gauss (1777-1855) Flujo de E generado por una carga puntual Superficie arbitraria
Más detallesTEMA 2. CAMPO ELECTROSTÁTICO
TEMA 2. CAMPO ELECTROSTÁTICO CUESTIONES TEÓRICAS RELACIONADAS CON ESTE TEMA. Ejercicio nº1 Indica qué diferencias respecto al medio tienen las constantes K, de la ley de Coulomb, y G, de la ley de gravitación
Más detallesCIRCUITOS ELÉCTRICOS. Temas:
CIRCUITOS ELÉCTRICOS Temas: - Conceptos generales de circuitos eléctricos, ley de Ohm y de Kirchhoff. - Energía almacenada en bobinas y capacitores. - Teoremas de redes: Thevenin, Norton, superposición,
Más detallesMatemáticas. Si un error simple ha llevado a un problema más sencillo se disminuirá la puntuación.
UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE CARTAGENA PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD DE LOS MAYORES DE 25 AÑOS CONVOCATORIA 2014 CRITERIOS DE EVALUACIÓN Matemáticas GENERALES: El examen constará de dos opciones (dos
Más detallesAnejo 1. Teoría de Airy. Solución lineal de la ecuación de ondas.
Anejo 1. Teoría de Airy. Solución lineal de la ecuación de ondas. Introducción y ecuaciones que rigen la propagación del oleaje. La propagación de oleaje en un fluido es un proceso no lineal. Podemos tratar
Más detallesDatos Descriptivos. ANEXO II Guía de Aprendizaje Información al estudiante. Sólo castellano Sólo inglés Ambos IDIOMA IMPARTICIÓN
ANEXO II Guía de Aprendizaje Información al estudiante Datos Descriptivos ASIGNATURA: CÁLCULO II CRÉDITOS EUROPEOS: 6 MATERIA: MATEMÁTICAS (Módulo Básico) CARÁCTER: OBLIGATORIA TITULACIÓN: GRADO EN INGENIERÍA
Más detallesMétodos Matemáticos para la Ingeniería
Unidad responsable: Unidad que imparte: Curso: Titulación: Créditos ECTS: 2016 280 - FNB - Facultad de Náutica de Barcelona 749 - MAT - Departamento de Matemáticas GRADO EN INGENIERÍA EN SISTEMAS Y TECNOLOGÍA
Más detallesson dos elementos de Rⁿ, definimos su suma, denotada por
1.1 Definición de un vector en R², R³ y su Interpretación geométrica. 1.2 Introducción a los campos escalares y vectoriales. 1.3 La geometría de las operaciones vectoriales. 1.4 Operaciones con vectores
Más detallesy = 2x + 8x 7, y = x 4. y = 4 x, y = x + 2, x = 2, x = 3. x = 16 y, x = 6 y. y = a x, y = x, x y = a. (1 x)dx. y = 9 x, y = 0.
. Encuentre el área de la región limitada por las curvas indicadas:.. y = x, y = x +... x = y, x = y +... y = x +, y = x +, y = x....5..6..7..8..9..0....... y = x + 8x 7, y = x. y = x, y = x +, x =, x
Más detallesELECTROMAGNETISMO I El Rotor de H. ELECTROMAGNETISMO I El Rotor de H
El Rotor de H Escribamos la expresión para Iy.. =? + + + + + + = = esto es igual a la corriente dentro del área analizada 139 El Rotor de H Dividiendo ambos miembros por el área dxdz y tomando el límite
Más detallesINDICE Prefacio 1 Preliminares del cálculo: funciones y limites teoremas escogidos con demostraciones formales
INDICE Prefacio XIII 1 Preliminares del cálculo: funciones y limites 1 1.1. Qué es el calculo? 3 1.1.1. el limite: la paradoja de Zenón 5 1.1.2. la derivada: el problema de la tangente 6 1.1.3. la integral:
Más detalles1 Funciones de Varias Variables
EJECICIOS DE FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS (DISEO) Funciones de Varias Variables. Dada f(x, y) ln ( x + ln(y) ). a) Calcular la derivada direccional en el punto (x, y) (, e 2 ) en la dirección del vector v (3,
Más detallesJavier Junquera. Movimiento de rotación
Javier Junquera Movimiento de rotación Bibliografía Física, Volumen 1, 3 edición Raymod A. Serway y John W. Jewett, Jr. Ed. Thomson ISBN: 84-9732-168-5 Capítulo 10 Física, Volumen 1 R. P. Feynman, R. B.
Más detallesUniversidad Técnica Federico Santamaría
Integral de uperficie - Mate 4 UPEFICIE PAAMÉTICA e forma similar a como se describe una curva mediante una función vectorial r(t), en función de un parámetro t,se puede describir una superficie mediante
Más detallesVolumen de Sólidos de Revolución
60 CAPÍTULO 4 Volumen de Sólidos de Revolución 6 Volumen de sólidos de revolución Cuando una región del plano de coordenadas gira alrededor de una recta l, se genera un cuerpo geométrico denominado sólido
Más detallesEspacios Vectoriales www.math.com.mx
Espacios Vectoriales Definiciones básicas de Espacios Vectoriales www.math.com.mx José de Jesús Angel Angel jjaa@math.com.mx MathCon c 007-009 Contenido. Espacios Vectoriales.. Idea Básica de Espacio Vectorial.................................
Más detallesCarga Eléctrica. Una propiedad fundamental de la materia ya observada desde la antigüedad. Los cuerpos pueden cargarse eléctricamente por frotamiento.
ELECTROSTATICA Carga Eléctrica Una propiedad fundamental de la materia ya observada desde la antigüedad. Los cuerpos pueden cargarse eléctricamente por frotamiento. Aparecen fuerzas de atracción n o repulsión
Más detallesEJERCICIOS DE CÁLCULO DIFERENCIAL EN VARIAS VARIABLES
UNIVERSIDAD CENTRAL DE VENEZUELA FACULTAD DE CIENCIAS ESCUELA DE MATEMÁTICA LABORATORIO DE FORMAS EN GRUPOS EJERCICIOS DE CÁLCULO DIFERENCIAL EN VARIAS VARIABLES Ramón Bruzual Marisela Domínguez Caracas,
Más detallesLección 4. CAMPOS VECTORIALES DIFERENCIABLES
Matemáticas III GIC y GITI, curso 2015 2016) Lección 4. CAMPOS VECTORIALES DIFERENCIABLES 1. CAMPOS VECTORIALES DIFERENCIABLES Los campos vectoriales son funciones de una o más variables cuyas imágenes
Más detalles=lim h 0. )=lim h 0 h. (2+h 2)2 2+h 4 ( 4)
Tema 4 Derivación Ejercicios resueltos Derivación Ejercicio Estudiar la continuidad y derivabilidad de la función: ½ f () = si ( ) en el punto =. 4 si > Estudiemos primero los límites laterales en =: f
Más detallesCAMPOS ESCALARES Y VECTORIALES
CMPO ECLRE Y VECTORILE 1. CMPO ECLR Y CMPO VECTORIL 1.1.- CONCEPTO DE CMPO Consideremos el campo gravitatorio. Un hecho fundamental de la gravitación es que dos masas ejercen fuerzas entre sí, existe una
Más detallesExceso o defecto de electrones que posee un cuerpo respecto al estado neutro. Propiedad de la materia que es causa de la interacción electromagnética.
1 Carga eléctrica Campo léctrico xceso o defecto de electrones que posee un cuerpo respecto al estado neutro. Propiedad de la materia que es causa de la interacción electromagnética. Un culombio es la
Más detallesIES Fco Ayala de Granada Junio de 2011 (Específico Modelo 5) Solución Germán-Jesús Rubio Luna. Opción A
IES Fco Ayala de Granada Junio de 2011 (Específico Modelo 5) Germán-Jesús Rubio Luna Opción A Ejercicio 1 opción A, modelo Junio 2011 específico1 [2'5 puntos] Un alambre de 100 m de longitud se divide
Más detalles5. ANÁLISIS MATEMÁTICO // 5.1. FUNCIONES Y
5. ANÁLISIS MATEMÁTICO // 5.1. FUNCIONES Y LÍMITES. COMPLEMENTOS PARA LA FORMACIÓN DISCIPLINAR EN MATEMÁTICAS Curso 2010-2011 5.1.1. Las magnitudes variables: funciones. 5.1.1. Las magnitudes variables:
Más detallesCampo de velocidades se puede representar mediante una función potencial φ, escalar
Flujo Potencial Campo de velocidades se puede representar mediante una función potencial φ, escalar Condición necesaria flujo irrotacional, V=0. Hipótesis: Flujo irrotacional, incompresible y permanente
Más detallesUniversidad de Alcalá. Departamento de Física. Solución del Ejercicio propuesto del Tema 4
Universidad de Alcalá Departamento de Física Solución del Ejercicio propuesto del Tema 4 1) La figura muestra un condensador esférico, cuyas armaduras interna y externa tienen radios R i 1 cm y R e 2 cm.
Más detalles