Lección 4. CAMPOS VECTORIALES DIFERENCIABLES

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1 Matemáticas III GIC y GITI, curso ) Lección 4. CAMPOS VECTORIALES DIFERENCIABLES 1. CAMPOS VECTORIALES DIFERENCIABLES Los campos vectoriales son funciones de una o más variables cuyas imágenes son vectores bidimensionales o tridimensionales y tienen una extraordinaria importancia en la construcción de los modelos matemáticos de problemas de la física, el electromagnetismo o la mecánica de fluidos. Campos vectoriales. Un campo vectorial bidimensional es una función F: U R 2 R 2. Si para cada x, y) U, el dominio de definición de F, escribimos Fx, y) en términos de sus coordenadas Fx, y) F 1 x, y), F 2 x, y) ) F 1 x, y) ı + F 2 x, y) ȷ, vemos que F viene dado por los campos escalares F 1, F 2 : U R que se llaman componentes de F. En la figura vemos una representación de campo vectorial que nos da la velocidad del viento mediante una flecha en cada punto tomado de la Agencia Estatal de Meteorología). Mapa de vientos. Un campo vectorial tridimensional es una función F: U R 3 R 3. Ahora, si para x, y, z) U escribimos Fx, y, z) en términos de sus coordenadas Fx, y, z) F 1 x, y, z), F 2 x, y, z), F 3 x, y, z) ) F 1 x, y, z) ı + F 2 x, y, z) ȷ + F 3 x, y, z) k, vemos que el campo vectorial F viene dado por tres campos escalares F 1, F 2, F 3 : U R que, como en el caso anterior, se llaman componentes de F. Con carácter general, un campo vectorial es una función F: U R m R n de m variables independientes cuyos valores son vectores n-dimensionales; en este caso, un campo tiene n funciones componentes cada una de las cuales es un campo escalar que depende de m variables. Para este caso general será válido casi todo lo que se diga en lo que queda de lección, donde nos centraremos, esencialmente, en el caso tridimensional m n 3. En particular, casi todo lo que digamos se traslada a campos bidimensionales m n 2) sin más que suprimir la tercera coordenada. 57

2 58 Matemáticas III GIC y GITI, ) Ejemplos de campos vectoriales. 1) Las curvas parametrizadas, que son las imágenes de campos que dependen de una variable t y tienen valores en R 3, o sea r: t I R rt) xt) ı + yt) ȷ + zt) k R 3. Sus componentes son las expresiones de las coordenadas cartesianas como funciones del parámetro. 2) Si f es un campo escalar diferenciable, entonces su diferencial es un campo vectorial ya que a cada punto x, y) le asigna el vector diferencial Dfx, y). 3) Un ejemplo de interés es cuando el campo vectorial representa un cambio de variables. Así, un cambio de variables bidimensional x xu, v) e y yu, v) puede escribirse como el campo Fu, v) xu, v), yu, v) ). Análogamente, si el cambio de variables es tridimensional, entonces podemos verlo como el campo vectorial Fu, v, w) xu, v, w), yu, v, w), zu, v, w) ). 4) Para cada punto x, y, z) R 3, sean r su vector de posición y r su distancia al origen, o sea, r x ı + y ȷ + z k y r r x 2 + y 2 + z 2. Entonces, la ley de la gravedad de Newton nos dice que la fuerza de atracción que ejerce la Tierra sobre una masa m situada en el punto x, y, z) puede describirse como el campo vectorial dado por F G Mm u, donde u r/r es el vector r 2 unitario en la dirección del radio vector, G es la constante de gravitación universal y M es la masa de la Tierra. Una observación importante es que este campo puede escribirse como un gradiente; de hecho, para el campo escalar f GMm/r se tiene que F f. 5) Se ha estudiado en la asignatura de Matemáticas II que si yt) es una solución de la ecuación y ft, y), entonces el valor ft, y) nos proporciona la pendiente de la curva y yt) en cada punto. En otras palabras, vt, y) 1, ft, y) ) es un vector tangente a dicha curva. Si trabajamos en un plano cartesiano con la variable t en el eje de abscisas y la variable y en el eje de ordenadas y representamos en cada punto t, y) el vector vt, y), obtenemos un campo vectorial que se conoce como el campo de direcciones de la ecuación. Campo de direcciones. Continuidad. Se dice que un campo vectorial F: U R 3 R 3 es continuo en un punto A 0 U si todas sus funciones componentes son continuas en dicho punto. Diremos que F: U R 3 R 3 es continuo en U si es continuo en todos los puntos de U. Campo vectorial diferenciable. Se dice que un campo vectorial F: U R 3 R 3 es diferenciable en un punto A 0 interior de U si sus funciones componentes son diferenciables en A 0. Diremos que F F 1, F 2, F 3 ) es diferenciable en un conjunto abierto U cuando sus funciones componentes son diferenciables en U y diremos que el campo F F 1, F 2, F 3 ) es de clase C n en U cuando sus funciones componentes son de clase C n U). En particular, cuando el campo F F 1, F 2, F 3 ) es de clase C 1 U), entonces la condición suficiente de diferenciabilidad nos dice que las tres componentes F 1, F 2, F 3 son diferenciables y, por tanto, que el campo F es diferenciable.

3 4. Campos vectoriales diferenciables 59 Matriz diferencial. La matriz D F formada fila a fila por los vectores diferenciales de las componentes de F se llama matriz diferencial de F, o sea F 1 DF 1 DF DF 2 F 2 DF 2 F 3 F 1 F 2 F 3 F 1 F 2 F 3. En el caso de una curva parametrizada por r xt) ı + yt) ȷ + zt) k, la matriz diferencial es la derivada r t) x t) ı + y t) ȷ + z t) k. Veamos qué tenemos en otros de los ejemplos dados. Matriz hessiana de un campo escalar. Sea f un campo escalar de dos variables de clase C 2 en su dominio U. Su diferencial es el campo vectorial que a cada punto le asigna el vector diferencial Df f x ı + f y ȷ. Puesto que las componentes de Df admiten, a su vez, derivadas parciales continuas las derivadas parciales segundas de f), el campo Df es diferenciable y su diferencial es D Df ) f x) f y) f x) f y) 2 f 2 2 f 2 f 2 f 2 D2 f, la matriz hessiana de f, lo que justifica la notación D 2 f. Matriz jacobiana de un cambio de variables. Cuando el campo vectorial representa un cambio de variables diferenciable Fu, v) xu, v), yu, v) ) en el caso bidimensional, entonces su matriz diferencial se llama matriz jacobiana, o matriz de Jacobi, del cambio de variables y se suele representar por u, v), D F u, v) y lo mismo en el caso de un cambio diferenciable de tres variables. En esta lección y las siguientes, iremos viendo la importancia y utilidad de esta matriz. Matriz jacobiana del cambio a coordenadas polares. Si f es un campo escalar de dos variables y cambiamos a coordenadas polares, de manera que x r cosθ) e y r senθ), la matriz jacobiana del cambio es, r, θ) r r θ θ [ cosθ) r senθ) senθ) r cosθ) ].

4 60 Matemáticas III GIC y GITI, ) La matriz jacobiana y la regla de la cadena. La regla de la cadena para dos variables independientes nos dice que si fx, y) es un campo escalar de clase C 1 U) y hacemos un cambio de variables x xu, v) e y yu, v) mediante funciones diferenciables con respecto a las nuevas variables u y v, entonces la composición gu, v) f xu, v), yu, v) ) es diferenciable y se verifica g f + f y g f + f Si escribimos estas igualdades en forma matricial obtenemos [ g ] [ g f f ]. Los vectores fila son los diferenciales de f y de g y la matriz de la derecha es la matriz jacobiana del cambio de variables, de manera que la igualdad queda Dg Df ; en otras u, v) u, v) palabras, la matriz jacobiana es la matriz que relaciona los correspondientes diferenciales del campo escalar con respecto a las variables antiguas y las nuevas. Para tres variables ocurre lo mismo. La regla de la cadena nos dice que si fx, y, z) es un campo escalar de clase C 1 U) y hacemos un cambio x xu, v, w), y yu, v, w) y z zu, v, w) dado por funciones diferenciables con respecto a las variables u, v y w, entonces el campo expresado en las nuevas variables gu, v, w) f xu, v, w), yu, v, w), zu, v, w) ) es diferenciable y se verifica Si escribimos esto en forma matricial, nos queda [ g g g f + f + f, g f + f + f, g w f w + f w + f w. ] [ g f f f ] w, w w Como en el caso bidimensional, la matriz 3 3 que aparece a la derecha y contiene las derivadas parciales de las variables x, y, z) con respecto a u, v, w) es la matriz de Jacobi del cambio de x, y, z) variables y tenemos Dfu, v, w) Dfx, y, z) u, v, w). EJERCICIOS DE LA SECCIÓN 1 Ejercicio 1. Calcula las matrices diferenciales de los siguientes campos en el origen y en 1, 3): F 1 x, y) x 2 y 2, 2xy ), F 2 x, y) e x cosy), e x seny) ) y F 3 x, y) x 3, y 3).

5 4. Campos vectoriales diferenciables 61 Ejercicio 2. Halla la matriz jacobiana del cambio de coordenadas polares a coordenadas cartesianas expresando sus componentes tanto en coordenadas polares como en cartesianas. r, θ) Comprueba que cuando es invertible, su inversa es la matriz jacobiana del cambio de coordenadas cartesianas a coordenadas polares r, θ). Ejercicio 3. Calcula las matrices diferenciales de los siguientes campos en el origen y en 1, 1, 2): F 1 x, y, z) x 2 y 2 + z 2, 2xy, z 2) F2 x, y, z) e x cosy), e x seny), z ). Ejercicio 4. Sean rx, y, z) x, y, z) el campo vectorial que da el vector de posición de un punto y rx, y, z) x 2 + y 2 + z 2 el campo escalar que da la distancia desde dicho punto hasta el origen de coordenadas. Calcula la diferencial del campo vectorial F r n r siendo n un número entero. 2. CAMBIOS DE VARIABLES Visualización geométrica de los cambios de variables en el plano. En muchas situaciones es conveniente cambiar las variables de las que depende un campo, escalar o vectorial. La regla de la cadena nos dice qué ocurre con las derivadas parciales del campo cuando se hace el cambio. En esta sección estudiaremos más a fondo los cambios de variables en dimensión dos, en particular, los cambios lineales y las coordenadas polares, y en dimensión tres, donde introduciremos las coordenadas cilíndricas y esféricas. Dado que un cambio de variables bidimensional x xu, v) e y yu, v) puede escribirse como un campo vectorial Fu, v) xu, v), yu, v) ), su gráfica sería un conjunto en R 4 por lo que no es posible visualizarla. Una opción alternativa es estudiar cómo el cambio de variables transforma el plano de las variables u, v) en su imagen en el plano de las variables x, y). Para ello, hacemos los siguiente: en el plano u, v) trazamos una retícula mediante líneas horizontales de ecuación v constante y líneas verticales de ecuación u constante y dibujamos las imágenes de estas líneas en el plano x, y); esto puede hacerse usando alguno de los programas para dibujar curvas paramétricas que se recomiendan en la Bibliografía. El resultado es una retícula para las variables x, y) que puede ayudarnos a entender cómo actúa el cambio de variables. Retícula para u, v. Retícula para x, y.

6 62 Matemáticas III GIC y GITI, ) Determinante jacobiano y su interpretación geométrica. El determinante de la matriz jacobiana se llama determinante jacobiano del cambio de variables: ) det u, v). Veremos que el determinante jacobiano de un cambio de variables es de enorme importancia en varias aplicaciones; por ejemplo, a la hora de cambiar variables en una integral doble o triple, donde tendrá el mismo papel que x t) cuando escribimos dx x t)dt al hacer un cambio de variable en las integrales de funciones de una variable. Esto se debe a que el determinante actúa como factor de dilatación de las áreas a pequeña escala. Rectángulo pequeño para u, v. Rectángulo curvilíneo pequeño para x, y. Para verlo, construimos un rectángulo OABC en el plano de las variables u, v con base u y altura v y, por tanto, con área u v. Suponiendo, por comodidad, que x0, 0) y0, 0) 0, este rectángulo se transforma en el paralelogramo de lados curvos OA B C. Si los incrementos u, v son suficientemente pequeños, entonces, por continuidad, el área del paralelogramo de lados curvos OA B C es aproximadamente igual al área del paralelogramo de lados rectos con los mismos vértices que, como se conoce del Bachillerato, puede hallarse como el valor absoluto del determinante formado por las coordenadas de A x u, 0), y u, 0) ) y C x0, v), y0, v) ). Usando la aproximación dada por las derivadas parciales, para este determinante tenemos x u, 0) y u, 0) x0, v) y0, v) u v u v ) u v. Es decir, el área el paralelogramo de lados curvos OA B C es, aproximadamente, ) u v det u v u, v) En la figura hemos usado J para la matriz jacobiana). [ ] a11 a Cambios de variables lineales. Sea A 12, entonces el cambio de variables a 21 a 22 ) ) { x u xu, v) a11 u + a A o, en forma extendida, 12 v y v yu, v) a 21 u + a 22 v

7 4. Campos vectoriales diferenciables 63 se dice que es lineal porque transforma las variables u, v) en x, y) de manera lineal. La matriz jacobiana del cambio coincide con A y el cambio puede invertirse si A es invertible; en ese caso, el cambio inverso también es lineal y su matriz es A 1. Retícula para u, v. Retícula para x, y. Cuando es invertible, un cambio lineal transforma los cuadrados de la retícula para u, v en paralelogramos que conforman la retícula para x, y. Como el determinante jacobiano es constante e igual a deta), es fácil comprobar que el área de cada paralelogramo es igual al área del cuadrado del que proviene multiplicada por deta) ; es decir, en este caso el determinante jacobiano es el factor de dilatación de áreas global, no solo local. Los giros son casos especiales de cambios[ lineales. Un giro de] ángulo α en el sentido positivo) es cosα) senα) el cambio lineal que se obtiene para A. Los giros son siempre invertibles y senα) cosα) conservan los ángulos y las áreas ya que para la matriz de un giro se tiene deta) 1. Cambios entre coordenadas polares y cartesianas. En el caso bidimensional, el cambio de variables más habitual es el cambio a coordenadas polares x r cosθ) e y r senθ). Retícula para r, θ. Retícula para x, y. Hemos visto que la matriz jacobiana de este cambio es [ ] r, θ) r θ cosθ) r senθ) senθ) r cosθ) r θ ) con determinante jacobiano det r. r, θ)

8 64 Matemáticas III GIC y GITI, ) También hemos visto que si f es un campo escalar de dos variables, entonces las derivadas parciales de f como función de x, y) están relacionadas con las derivadas parciales de f como función de r, θ) mediante Dfr, θ) Dfx, y) r, θ), o sea, f r f f cosθ) + senθ) y f θ f f r senθ) + r cosθ), En la Lección 1 vimos cómo calcular directamente las derivadas parciales con respecto a las coordenadas cartesianas en términos de las derivadas parciales con respecto a las coordenadas polares, es decir, la matriz jacobiana del cambio de coordenadas polares a coordenadas cartesianas. Esto podemos hacerlo, si r 0, despejando las derivadas parciales con respecto a las coordenadas cartesianas sin más que invertir la matriz jacobiana r, θ) : Por lo tanto, ) 1 1 r, θ) r [ ] [ r cosθ) r senθ) cosθ) senθ) cosθ) senθ)/r senθ) cosθ)/r ]. f f f senθ) cosθ) r θ r y f f f senθ) + r θ cosθ). r O sea, si r 0, entonces la matriz jacobiana del cambio inverso r, θ) r θ r [ θ cosθ) senθ)/r r, θ) senθ) cosθ)/r es la inversa de r, θ) : El final de esta sección lo dedicaremos al problema de analizar cuándo puede deshacerse un cambio de variables y veremos que este resultado, que hemos visto para el caso especial de las coordenadas polares, es cierto para cambios de variables cualesquiera. Cambio de variables en el espacio. En el caso tridimensional, si hacemos un cambio de variables x xu, v, w), y yu, v, w) y z zu, v, w), que son funciones diferenciables con respecto a x, y, z) las nuevas variables u, v y w, entonces la matriz jacobiana del cambio de variables u, v, w) es x, y, z) u, v, w) w w w y su determinante se llama determinante jacobiano del cambio de variables. De manera análoga al caso bidimensional, puede probarse que el valor absoluto del determinante jacobiano a actúa como factor de dilatación de los volúmenes a pequeña escala. Veamos ahora los principales cambios de variable tridimensionales. ]

9 4. Campos vectoriales diferenciables 65 Cambios de variables lineales. Si A es una matriz 3 3, el cambio x, y, z) T Au, v, w) T se llama, como en el caso de dos variables, lineal. La matriz jacobiana del cambio de variables coincide con A y el cambio puede invertirse si A es invertible, o sea, si deta) 0. En ese caso, el cambio inverso también es lineal y su matriz es A 1. Coordenadas cilíndricas. Este cambio consiste simplemente en hacer el cambio a coordenadas polares en el plano XOY y mantener la z como variable independiente. Las coordenadas cilíndricas de un punto x, y, z) son, entonces, r, θ, z) de manera que xr, θ, z) r cosθ), yr, θ, z) r senθ), zr, θ, z) z. La matriz jacobiana del cambio a coordenadas cilíndricas es cosθ) r senθ) 0 x, y, z) r, θ, z) senθ) r cosθ) Su determinante jacobiano es igual a r y es útil para sólidos que presentan simetría axial. Coordenadas cilíndricas. Coordenadas esféricas. Coordenadas esféricas. Las coordenadas esféricas de un punto P x, y, z) R 3 son los tres valores ρ, θ, ϕ) definidos por las siguientes relaciones: xρ, θ, ϕ) ρ cosθ) senϕ), yρ, θ, ϕ) ρ senθ) senϕ), zρ, θ, ϕ) ρ cosϕ), de manera que ρ es la distancia de P al origen de coordenadas; θ es el ángulo polar de la proyección de P sobre el plano XOY y se llama ángulo azimutal y ϕ es el ángulo que forma el vector OP con el eje OZ positivo y se llama colatitud. En otras palabras, θ y ϕ permiten determinar, respectivamente, la longitud y la latitud de P. La matriz jacobiana del cambio a coordenadas esféricas es cosθ) senϕ) ρ senθ) senϕ) ρ cosθ) cosϕ) x, y, z) ρ, θ, ϕ) senθ) senϕ) ρ cosθ) senϕ) ρ senθ) cosϕ) cosϕ) 0 ρ senϕ) con determinante jacobiano ρ 2 senϕ). Este cambio de variables resulta apropiado cuando se trabaja en conjuntos que tienen simetría esférica. Las fórmulas para invertir este cambio son ρ x 2 + y 2 + z 2, θ arc tgy/x), ϕ arccos z/ x 2 + y 2 + z 2).

10 66 Matemáticas III GIC y GITI, ) Inversión de un cambio de variables. Cuándo podemos deshacer un cambio de variables? Empecemos recordando el caso unidimensional. Supongamos que estamos trabajando con una variable x y que, por la razón que sea, queremos trabajar con una nueva variable t ϕx), donde ϕ es una función derivable. Si al final del proceso queremos deshacer el cambio de variables, esto es, obtener x como función de t, la condición suficiente es que ϕ x) 0, en cuyo caso la función inversa ϕ 1 t) es derivable y se verifica que [ ϕ 1] 1 t) ϕ ϕ 1 t) ). Para cambios de más variables, la condición de que la derivada no se anule se traduce en la invertibilidad de la matriz jacobiana del cambio o, equivalentemente, en que el determinante jacobiano no se anule, como hemos visto en el caso de los cambios lineales y las coordenadas polares. Estudiaremos los detalles sólo en el caso bidimensional; para cambios de tres variables el resultado es análogo. Supongamos entonces que hacemos un cambio de variables mediante funciones x xu, v) e y yu, v) de clase C 1 en el conjunto A en el que se mueven las variables u, v. Podemos deshacer el cambio obteniendo u, v como funciones de clase C 1 de x, y? Teorema de la función inversa para dos variables. Supongamos que tenemos un punto P u 0, v 0 ) interior a la región A que se transforma mediante el cambio de variables de clase C n en el punto P x 0, y 0 ). Si la matriz jacobiana u, v) es invertible en P, entonces existen un cuadrado D A centrado en P, un conjunto D conteniendo el punto P en su interior y dos funciones ux, y), vx, y) de clase C n D ) que deshacen el cambio de variables; es decir, dado x, y) D los valores ux, y), vx, y) son la única solución en D del sistema x xu, v), y yu, v). Además, la matriz jacobiana del cambio inverso u ux, y), v vx, y) es la inversa de la matriz jacobiana del cambio x xu, v), y yu, v): u, v) 1 ) 1. u, v) Teorema de la función inversa. En el caso del cambio a coordenadas polares, ya sabemos que el cambio puede deshacerse cerca de cualquier punto que no sea el origen; esto se refleja en el hecho de que la matriz jacobiana del cambio a coordenadas polares no es invertible en el origen porque, como vimos, su determinante es el radio polar r, que vale cero en dicho punto.

11 4. Campos vectoriales diferenciables 67 Teorema de la función inversa para tres variables. Supongamos que tenemos un punto P u 0, v 0, w 0 ) que se transforma en el punto P x 0, y 0, z 0 ) mediante un cambio de variables x xu, v, w), y yu, v, w), z zu, v, w), que son funciones de clase C 1 A). Si la matriz x, y, z) jacobiana es invertible en P, entonces existen un cubo D A centrado en P, un u, v, w) conjunto D conteniendo el punto P en su interior y tres funciones ux, y, z), vx, y, z), wx, y, z) de clase C n D ) que deshacen el cambio de variables. Además, la matriz jacobiana del cambio ) 1 u, v, w) x, y, z) inverso es la inversa de la matriz jacobiana del cambio directo: x, y, z). u, v, w) En consecuencia, tanto el cambio a coordenadas cilíndricas como el cambio a coordenadas esféricas pueden deshacerse en todo el espacio tridimensional salvo en el eje OZ. EJERCICIOS DE LA SECCIÓN 2 Ejercicio 1. Halla la matriz y el determinante jacobianos de cada uno de los siguientes cambios de variables. 1) xu, v) u + v, yu, v) u v. 2) xu, v) 2u + v, yu, v) u + 3v. 3) xu, v) uv, yu, v) u v. 4) xu, v) u 2 v 2, yu, v) uv. Cuándo son invertibles estos cambios de variables?; cuáles son ortogonales? Ejercicio 2. Determina las matrices de los cambios de variables lineales que consisten en, respectivamente, girar π/3 y π/3 radianes. Ejercicio 3. Considera el cambio de variables dado por x u 2 + cosv) e y senv) y el punto P cuyas coordenadas en el plano de las variables u, v son u 0 1 y v 0 2π. 1) Calcula el punto Q x 0, y 0 ) que es la imagen del punto P mediante el cambio de variables dado. Prueba que dicho cambio de variables puede invertirse cerca del punto Q y halla la matriz jacobiana del cambio de variables inverso en el punto Q. 2) De un campo escalar fx, y) se sabe que la ecuación del plano tangente a su gráfica en el punto Q es z 3 2x + y. Cuánto valen f x Q) y f y Q)? Cuál es la ecuación del plano tangente a la gráfica del campo gu, v) f xu, v), yu, v) ) en el punto P? Ejercicio 4. Calcula la matriz y el determinante jacobianos de los siguientes cambios de variables: 1) xu, v, w) u v, yu, v, w) u + v, zu, v, w) w. 2) xu, v, w) u v, yu, v, w) v w, zu, v, w) w u. 3) xu, v, w) uv, yu, v, w) u w, zu, v, w) w. 4) xu, v, w) 2u + 3v w, yu, v, w) 4u v, zu, v, w) v + 5w. 5) xu, v, w) e u cosv), yu, v, w) e u senv), zu, v, w) logw). 6) xu, v, w) 2u + 3v w, yu, v, w) 2u v w, zu, v, w) 2v w. Cuándo son invertibles estos cambios de variables?; cuáles son ortogonales? Ejercicio 5. Determina las coordenadas cilíndricas y esféricas de los siguientes puntos dados en coordenadas cartesianas: 1, 0, 0), 0, 1, 0), 0, 0, 1), 2 1, 2), 2, 2, 1), 0, 3, 4) y 0, 0, 1). Ejercicio 6. Determina, buscando en internet sus latitudes y longitudes respectivas, las coordenadas esféricas de Sevilla, Londres, Tokyo, Moscú, Nueva York y Buenos Aires. Puedes dar una fórmula general para pasar la longitud y la latitud a coordenadas esféricas?

12 68 Matemáticas III GIC y GITI, ) 3. DIVERGENCIA, ROTACIONAL Y LAPLACIANO En muchas aplicaciones las variables x, y, z son coordenadas espaciales y se usan para representar posiciones, r x ı + y ȷ en R 2 o r x ı + y ȷ + z k. Para este caso, hemos visto que el concepto de gradiente de un campo escalar o de diferencial de un campo vectorial, formado por los gradientes de sus componentes, es la forma natural de extender la noción de derivada de una función en un punto; sus componentes son las derivadas parciales del campo escalar o las derivadas parciales de las componentes del campo vectorial. En muchas aplicaciones aparecen, además del gradiente, otras formas de combinar las derivadas parciales que tienen importancia en el desarrollo posterior de la teoría y en sus aplicaciones en otras disciplinas. Estas diversas formas de combinar las derivadas espaciales se llaman, genéricamente, operadores diferenciales y en esta sección estudiaremos los tres más importantes: la divergencia, el rotacional y el laplaciano, así como las relaciones que se dan entre ellos y con el gradiente. Finalmente, veremos que estas relaciones pueden unificarse mediante lo que se conoce como el álgebra del operador que nos proporciona una herramienta muy útil en la práctica. Divergencia y rotacional de un campo vectorial tridimensional. Sea F F 1, F 2, F 3 ) un campo vectorial tridimensional de clase C 1 en un conjunto abierto U R 3. La divergencia de F es el campo escalar continuo div F) definido en U por div F) F 1 + F 2 + F 3. Los campos vectoriales que tienen divergencia nula se llaman campos solenoidales. El rotacional de F es el campo vectorial continuo rot F) definido en U por rot F) F3 F 2, F 1 F 3, F 2 F ) 1 ı ȷ k / / / F 1 F 2 F 3 Los campos vectoriales que tienen rotacional nulo se llaman campos irrotacionales. Los conceptos de divergencia y rotacional nacieron del elctromagnetismo y la mecánica de fluidos, disciplinas en las que admiten interpretaciones físicas. Hablando sin mucha precisión, si tenemos un campo vectorial y consideramos un espacio infinitesimalmente pequeño que rodea un punto, entonces la divergencia de un campo vectorial mide la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante y el rotacional mide la tendencia de un campo vectorial a inducir una rotación en dicho espacio. Divergencia y rotacional para un campo bidimensional. La divergencia y el rotacional se usan básicamente con campos tridimensionales; no obstante, a veces se usan con campos de dos variables en cuyo caso, si tenemos F F 1, F 2 ), se definen de la siguiente manera: div F) F 1 + F 2 y rot F) F 2 F 1. Observemos que, por tanto, el rotacional bidimensional no es un campo vectorial, sino escalar.

13 4. Campos vectoriales diferenciables 69 Laplaciano de un campo escalar de tres variables. Sea f un campo escalar de clase C 2 en U R 3. El operador de Laplace o laplaciano de f es el campo escalar dado por 2 f 2 f f f 2 div f ). Los campos escalares con laplaciano igual a cero se llaman campos armónicos. En las aplicaciones, el laplaciano aparece en múltiples contextos como la teoría del potencial, la electrostática, la mecánica cuántica, la propagación de ondas, la conducción del calor o la distribución de tensiones en un sólido deformable, por mencionar unos cuantos. Por ejemplo, en la mecánica cuántica el laplaciano de la función de onda de una partícula da la energía cinética de la misma. Como antes, usando la regla de la cadena podemos obtener la expresión del laplaciano en coordenadas cilíndricas 2 f 2 f r f r 2 θ f r r + 2 f 2. Cuando el campo sólo depende de dos variables, las expresiones del laplaciano se obtienen de las anteriores suprimiendo la coordenada z. Interpretación del operador. El símbolo que aparece en la definición de gradiente, f r) f x ı + f y ȷ + f z k, se puede interpretar como un vector ),, ı + ȷ + k. Las componentes de son operaciones de derivación parcial que pueden actuar sobre un campo escalar f. Si tratamos como si fuera un vector corriente, entonces f es el producto de cada componente de por el escalar f, interpretando las componentes de como operadores que actúan sobre f: ) f f, f, f f, f, f ) gradf), que es de donde surge la notación f para el gradiente de f. Siguiendo con esta interpretación, si F F 1, F 2, F 3 ) es un campo vectorial, entonces div F) F 1 + F 2 + F 3 F; es decir, el producto escalar de por F. Por otro lado, tenemos rot F) F3 F 2, F 1 F 3, F 2 F ) 1 ı ȷ k / / / F 1 F 2 F 3 F; es decir, el producto vectorial de por F. Observemos también que para el laplaciano se tiene que 2 f) div gradf) ) f, lo que justifica la notación 2 f) para esta operación. En resumen, con esta interpretación, si f es un campo escalar y F es un campo vectorial entonces gradf) f, 2 f f, div F) F, rot F) F.

14 70 Matemáticas III GIC y GITI, ) Álgebra del operador nabla. Sean f un campo escalar y F y G dos campos vectoriales, los tres de clase C 2 en un mismo dominio de definición. Entonces o, simbólicamente, rot gradf) ) 0, div gradf) ) 2 f, rot rot F) ) grad div F) ) 2 F, div rot F ) 0. f) 0, f) 2 f, F) F) 2 F, F) 0. EJERCICIOS DE LA SECCIÓN 3 Ejercicio 1. Calcula las divergencias y los rotacionales de los siguientes campos vectoriales en el origen y en el punto 1, 3) 1) Fx, y) x 2 y 2, 2xy ) 2) Fx, y) e x cosy), e x seny) ) 3) Fx, y) x 3, y 3) Ejercicio 2. Calcula las diferenciales, las divergencias y los rotacionales de los siguientes campos vectoriales en el origen y en el punto 1, 0, 3) 1) Fx, y, z) x 2 y 2 + z 2, 2xy, z 2) 2) Fx, y, z) e x cosy), e x seny), z ) 3) Fx, y, z) x 3, y 3, z 3) 4) Fx, y, z) cosy + z), cosx + z), cosx + y) ) Ejercicio 3. Sean rx, y, z) x, y, z) el campo vectorial que da el vector de posición de un punto y rx, y, z) x 2 + y 2 + z 2 el campo escalar que da la distancia desde dicho punto hasta el origen de coordenadas. Calcula la divergencia y el rotacional del campo vectorial F r n r siendo n un número entero. Ejercicio 4. Calcula los laplacianos de los siguientes campos escalares f 1 x, y) e x seny), f 2 x, y) e x cosy), f 3 x, y) logx 2 +y 2 ), f 4 x, y, z) arc tgy/x)+z. Ejercicio 5. Para qué valores de las constantes a, b y c es armónico el campo escalar definido por fx, y) ax 2 + bxy + cy 2? Ejercicio 6. Prueba las fórmulas del álgebra del operador nabla dadas al final de la sección.

15 4. Campos vectoriales diferenciables 71 Ejercicio 7. Prueba las siguientes fórmulas para el operador nabla: f F) f F) + f) F, f F) f F) + f) F, F G) G F) F G). Algunas notas históricas. Las fórmulas que acabamos de ver, que nacen de la interpretación de como si fuera un vector, son muy útiles cuando se hacen cálculos en diversas disciplinas; especialmente en electromagnetismo o mecánica de fluidos. De hecho, estas fórmulas aparecieron por primera vez en el contexto del estudio de los campos eléctricos y magnéticos llevado a cabo a lo largo del siglo xix desde sus orígenes con Carl F. Gauss hasta su culminación con James C. Maxwell. El símbolo para indicar el gradiente, introducido por el matemático irlandés William R. Hamilton en 1853, fue utilizado por Maxwell para establecer el modelo matemático de la teoría del campo electromagnético, las famosas ecuaciones de Maxwell: E ρ ϵ 0 B 0 E B t B µ 0 J + µ0 ϵ 0 E t, donde E es el campo eléctrico, B es la inducción magnética, J es la densidad de corriente y los valores ρ, ϵ 0, µ 0 son constantes; los campos dependen de las tres variables espaciales x, y, z) y el tiempo t. BIBLIOGRAFÍA G.L. Bradley y K.J. Smith, Cálculo, vol. 2, Secciones 13.7, 13.8 y R.E. Larson, R.P. Hostetler y B.H. Edwards, Cálculo, vol. 2, Secciones 13.7, 13.8 y G.B. Thomas, Jr., Cálculo, varias variables, Secciones 15.8, 16.7 y Páginas web de interés: