PRINCIPIOS DE LA DINÁMICA

Transcripción

1 Capítulo 3 PRINCIPIOS DE LA DINÁMICA CLÁSICA 3.1 Introducción En el desarrollo de este tema, cuyo objeto de estudio son los principios de la dinámica, comenzaremos describiendo las causas del movimiento a partir del concepto de fuerza. Introduciremos también el concepto de masa inercial, como una propiedad inherente a los cuerpos materiales, y que junto a las fuerzas constituye la base conceptual de la mecánica clásica vectorial. A partir de los conceptos cinemáticos y los nuevos conceptos de fuerza y masa, desarrollaremos la teoría partiendo de dos postulados fundamentales. El primero, conocido como la 2 a ley de Newton, establece la relación entre la resultante de las fuerzas que actúan sobre una partícula y su aceleración en un tipo especial de sistemas de referencia, los observadores inerciales. El segundo, conocido como principio de acción y reacción o 3 a ley de Newton, constituirá junto con el anterior la base para el estudio del movimiento mecánico de los objetos materiales. Si bien en la mayoría de los tratados de mecánica vectorial la teoría se desarrolla a partir de tres leyes, siendo la primera la ley de inercia que no hemos considerado, ésta aparecerá como una consecuencia inmediata de la segunda ley de Newton. También haremos un estudio del movimiento desde los sistemas no inerciales, en los cuales no se verifica la segunda ley de Newton, introduciendo las denominadas fuerzas ficticias o de inercia. 29

2 30 CAPÍTULO 3. PRINCIPIOS DE LA DINÁMICA CLÁSICA 3.2 Fuerza Concepto de fuerza Para describir las interacciones existentes entre los cuerpos se utiliza una magnitud vectorial F denominada fuerza. Las fuerzas se representan por vectores ligados 1, pues todos los atributos que corresponden a este tipo de vectores son necesarios para caracterizar la acción de un cuerpo sobre otro. Es decir, las fuerzas se caracterizan por un punto de aplicación, módulo, dirección y sentido. 3.3 La interacción gravitacional Las fuerzas que aparecen en el ámbito de la dinámica clásica son la gravitatoria y la electromagnética. La interacción electromagnética tiene su origen en la carga eléctrica asociada a los cuerpos y depende de un modo muy complejo del movimiento de los mismos. La mayoría de los fenómenos que observamos son el resultado de las interacciones de carácter electromagnético entre los átomos y moléculas que constituyen la materia. No vamos a considerarla puesto que corresponde al electromagnetismo su estudio. No obstante, sí merece la pena hablar de la interacción gravitatoria, dado que esta fuerza tiene su origen en una propiedad inherente a todos los cuerpos materiales que denominaremos carga gravitatoria 2.Laley de gravitación universal, formulada por Newton, establece que: La fuerza con que se atraen dos puntos de cargas gravitatorias m g1 y m g2 es directamente proporcional al producto de sus cargas gravitatorias e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa. Esta fuerza está dirigida sobre la línea que une ambas partículas. Es decir, F 12 = F 21 = γ m g 1 m g2 e r 2 r, (3.1) siendo γ una constante universal (es decir, la misma para todas las partículas del universo) cuyo valor depende del sistema de unidades utilizado, e r el vector unitario 1 Las magnitudes vectoriales se representan mediante vectores libres, deslizantes o fijos. Libre es el vector que puede tener cualquier punto de aplicación en el espacio. Un vector es deslizante cuando puede tener cualquier punto de aplicación sobre la recta que lo contiene, la cual recibe el nombre de línea de acción. Finalmente, un vector es ligado cuando su punto de aplicación está fijado. La utilización de estas clases de vectores en un problema físico concreto viene determinada por las magnitudes que intervienen en el problema, así como por la naturaleza del mismo. 2 En principio, esta propiedad de la materia responsable de la interacción gravitatoria no tiene nada que ver con la masa inercial que interviene en la segunda ley de Newton. Nótese que la expresión (3.1) de la ley de gravitación universal es completamente análoga a la fuerza electrostática entre cargas eléctricas dada por la ley de Coulomb. Por ello hemos llamado carga gravitatoria a la propiedad de la materia responsable de la interacción gravitacional, para hacer hincapiéenel hecho de que masa inercial y carga gravitatoria son conceptos de diferente sentido físico.

3 3.4. CONCEPTO DE MASA INERCIAL 31 en la dirección y sentido 12, y F 12 la fuerza sobre 1 ejercida por Concepto de masa inercial En el planteamiento formal de la dinámica, se introduce el concepto de masa inercial o masa inerte como una propiedad intrínseca a cada cuerpo material, la cual está representada por un escalar positivo. 3.5 Leyes de la dinámica clásica vectorial A continuación, vamos a enunciar los dos postulados que constituyen la base para la descripción clásica no relativista de los fenómenos mecánicos. Además, veremos las consecuencias inmediatas que se infieren de los mismos, las cuales se han considerado siempre principios fundamentales de la dinámica. Estos postulados se refieren al punto material, y son también la base para la descripción de la dinámica de los sistemas de partículas Primer postulado (Segunda ley de Newton) El primer principio, conocido como 2 a ley de Newton, dice lo siguiente: Se postula la existencia de sistemas de referencia, denominados sistemas inerciales, en los cuales la resultante F de todas las fuerzas que actúan sobre una partícula puntual de masa inercial m, es igual al producto de m por la aceleración del punto. Es decir, en estos sistemas de referencia se verifica F = m a. (3.2) Los sistemas en los que F m a se denominan sistemas no inerciales. De (3.2) se obtienen las siguientes consecuencias: 1. Principio de inercia (o de Galileo) o 1 a ley de Newton: Si la partícula está aislada o si la resultante de todas las fuerzas que actúan sobre la misma es nula, se moverá indefinidamente con velocidad constante repecto a un sistema inercial. Es decir, cuando F = 0 lapartícula tendrá indefinidamente un movimiento rectilíneo uniforme, o permanecerá en reposo si su velocidad es nula. A este movimiento se le denomina movimiento por inercia. 2. Cualquier sistema de referencia que realiza una traslación pura a velocidad constante respecto a un observador inercial, observa la misma aceleración para

4 32 CAPÍTULO 3. PRINCIPIOS DE LA DINÁMICA CLÁSICA la partícula. Para verlo, consideremos dos sistemas, 1 y 0, tal que los ejes 0 se trasladan respecto a 1, siendo constante la velocidad de traslación. El observador 1 es inercial, de manera que F = m a P 1. Por otro lado, se sabe3 que a P 1 = ap 0 + ap 0 1 = a P 0, (3.3) dado que a P 0 1 es nulo. Por tanto, también se verificará (3.2) desde 0. Es decir, existen infinitos sistemas inerciales moviéndose uno con respecto a otro a velocidad constante. En todos ellos se verifica (3.2). Esto trae consigo el Principio de relatividad de Galileo : Todos los sistemas inerciales son equivalentes desde un punto de vista mecánico, es decir, las leyes de la dinámica son invariantes cuando se pasa de un sistema inercial a otro Segundo postulado (Principio de acción y reacción o tercera ley de Newton) Este 2 principio dice así: La fuerza que ejerce una partícula 1 sobre otra partícula 2 es igual en módulo, dirección y de sentido contrario a la que ejerce 2 sobre 1, y ambas fuerzas están dirigidas sobre la línea que une ambos puntos materiales. Es decir: F 12 = F 21. (3.4) La fuerza con que interaccionan dos partículas depende, entre otros factores, de la distancia entre ambas. Si la posición de una las partículas cambia, entonces se altera instantáneamente el estado de la otra, pues cambia su aceleración (al variar la fuerza de interacción). Esto ocurre instantáneamente sea cual sea la distancia existente entre ambos puntos materiales, dado que (3.4) se verifica para cualquier instante. Por tanto, una consecuencia inmediata del principio de acción y reacción es el principio de acción a distancia de la mecánica clásica, según el cual: la interacción entre dos partículas se propaga en el espacio a una velocidad infinita. 3 Recuérdese que esta ecuación se dedujo para el caso particular en que el movimiento de 0 respecto de 1 era una traslación rectilínea. Si el movimiento fuese arbitrario, entonces a la expresión (3.3) hay que añadirle el término 2 ω 1 0 V 0 P, denominado aceleración de Coriolis, donde es la velocidad angular de 0 respecto de 1. ω 0 1

5 3.6. SISTEMAS NO INERCIALES. FUERZAS DE INERCIA Sistemas no inerciales. Fuerzas de inercia Hemos dicho que las leyes enunciadas en el apartado anterior son válidas tan sólo cuando el sistema de referencia es inercial. Veamos a continuación como sería la descripción de un problema mecánico desde un observador no inercial. Dos sistemas de referencia, que llamaremos 1 y 0, observan el movimiento de un punto material de masa m. El observador 1 es inercial, de modo que en este sistema se verifica la 2 a ley de Newton F = m a P 1. Por otro lado, supongamos que el observador 0 no es inercial. Para obtener la relación que existe entre la fuerza y aceleración del punto desde 0, vamos a partir de la composición de aceleraciones 4 a P 1 = ap 0 + ap ω 1 0 V 0 P. (3.5) Multiplicando por m la ecuación (3.5) y teniendo en cuenta que se verifica la segunda ley de Newton desde 1, tenemos m a P 0 = F m a P 0 1 2m ω 1 0 V 0 P. (3.6) Por tanto, F m a P 0. Es decir, la aceleración del punto desde cero no está determinada sólo por las fuerzas, sino además, por las propiedades de cero en su movimiento relativo respecto a 1. No obstante, para la descripción del movimiento en sistemas no inerciales, se puede conservar la ecuación F = m a, introduciendo las denominadas fuerzas ficticias o de inercia: siendo F i = F a + F c, (3.7) F a = m a P 0 1, (3.8) F c = 2m ω 1 0 V 0 P. (3.9) F a y F c se conocen respectivamente como fuerza de arrastre y fuerza de Coriolis. De esta forma, (3.6) quedará F = F + F i = m a P 0. (3.10) 4 Véase la nota anterior.