Ecuación General de Movimiento

Transcripción

1 Ecuación General de Movimiento Alejandro A. Torassa Licencia Creative Commons Atribución 3.0 (203) Buenos Aires, Argentina Resumen En mecánica clásica, este trabajo presenta una ecuación general de movimiento, que puede ser aplicada en cualquier sistema de referencia (rotante o no rotante) (inercial o no inercial) sin necesidad de introducir fuerzas ficticias. Introducción La ecuación general de movimiento es una ecuación de transformación entre un sistema de referencia S y un sistema de referencia dinámico S. Según este trabajo, un observador S utiliza un sistema de referencia S y un sistema de referencia dinámico S. La posición dinámica r a, la velocidad dinámica v a y la aceleración dinámica ă a de una partícula A de masa m a respecto a un sistema de referencia dinámico S, están dadas por: r a = (F a /m a ) v a = (F a /m a ) ă a = (F a /m a ) donde F a es la fuerza resultante que actúa sobre la partícula A. La velocidad angular dinámica ω S y la aceleración angular dinámica ᾰ S de un sistema de referencia S fijo a una partícula S respecto a un sistema de referencia dinámico S, están dadas por: ω S = ± (F /m s F 0 /m s ) (r r 0 )/(r r 0 ) 2 /2 ᾰ S = d( ω S )/ donde F 0 y F son las fuerzas resultantes que actúan sobre el sistema de referencia S en los puntos 0 y, r 0 y r son las posiciones de los puntos 0 y respecto al sistema de referencia S y m s es la masa de la partícula S (el punto 0 es el origen del sistema de referencia S y el centro de masa de la partícula S) (el punto 0 pertenece al eje de rotación dinámica y el segmento 0 es perpendicular al eje de rotación dinámica) (el vector ω S es colineal con el eje de rotación dinámica)

2 Ecuación General de Movimiento La ecuación general de movimiento para dos partículas A y B respecto a un observador S es: m a m b (r a r b ) m a m b ( r a r b ) = 0 donde m a y m b son las masas de las partículas A y B, r a y r b son las posiciones de las partículas A y B, r a y r b son las posiciones dinámicas de las partículas A y B. Derivando la ecuación anterior con respecto al tiempo, se obtiene: m a m b (va v b ) + ω S (r a r b ) ] m a m b ( v a v b ) = 0 Derivando nuevamente con respecto al tiempo, se obtiene: m a m b (aa a b ) + 2 ω S (v a v b ) + ω S ( ω S (r a r b )) + ᾰ S (r a r b ) ] m a m b (ă a ă b ) = 0 Sistema de Referencia Aplicando la ecuación anterior a dos partículas A y S, se tiene: m a m s (aa a s ) + 2 ω S (v a v s ) + ω S ( ω S (r a r s )) + ᾰ S (r a r s ) ] m a m s (ă a ă s ) = 0 Si dividimos por m s y el sistema de referencia S fijo a la partícula S (r s = 0,v s = 0 y a s = 0) es rotante respecto al sistema de referencia dinámico S ( ω S 0), entonces se obtiene: m a aa + 2 ω S v a + ω S ( ω S r a ) + ᾰ S r a ] ma (ă a ă s ) = 0 Si el sistema de referencia S es no rotante respecto al sistema de referencia dinámico S ( ω S = 0), entonces se obtiene: m a a a m a (ă a ă s ) = 0 Si el sistema de referencia S es inercial respecto al sistema de referencia dinámico S ( ω S = 0 y ă s = 0), entonces se obtiene: o sea: donde esta ecuación es la segunda ley de Newton. m a a a m a ă a = 0 m a a a F a = 0 2

3 Ecuación de Movimiento Desde la ecuación general de movimiento se deduce que la aceleración a a de una partícula A de masa m a respecto a un sistema de referencia S fijo a una partícula S de masa m s, está dada por: a a = F a m a 2 ω S v a F a S m s donde F a S es la fuerza resultante que actúa sobre el sistema de referencia S en el punto A (r a) Este trabajo considera que la primera y segunda ley de Newton son falsas. Por lo tanto, en este trabajo no hay ninguna necesidad de introducir fuerzas ficticias. Posición Universal Aplicando la ecuación general de movimiento a una partícula A de masa m a y al centro de masa del universo de masa m cm, se tiene: m a m cm (r a r cm ) m a m cm ( r a r cm ) = 0 Dividiendo por m cm y considerando que r cm es siempre cero, entonces se obtiene: m a (r a r cm ) m a r a = 0 o sea: m a r cm a F a = 0 donde r cm a es la posición de la partícula A respecto al centro de masa del universo. Principio General Desde la ecuación general de movimiento se deduce que la posición total R ij de un sistema de bipartículas de masa M ij (M ij = i j>i m i m j ), está dada por: R ij = i j>i m i m j M ij (ri r j ) ( r i r j ) ] = 0 Desde la ecuación general de movimiento se deduce que la posición total R i de un sistema de partículas de masa M i (M i = i m i ) respecto a un observador S fijo a una partícula S, está dada por: R i = i m i M i (ri r s ) ( r i r s ) ] = 0 Por lo tanto, la posición total R ij de un sistema de bipartículas y la posición total R i de un sistema de partículas están siempre en equilibrio. 3

4 Fuerza Cinética La fuerza cinética FK a b ejercida sobre una partícula A de masa m a por otra partícula B de masa m b respecto a un observador S, está dada por: FK a b = m am b m cm (aa a b ) + 2 ω S (v a v b ) + ω S ( ω S (r a r b )) + ᾰ S (r a r b ) ] donde m cm es la masa del centro de masa del universo. Desde la ecuación anterior se deduce que la fuerza cinética resultante FKa que actúa sobre una partícula A de masa m a, está dada por: FKa = m a (aa a cm ) + 2 ω S (v a v cm ) + ω S ( ω S (r a r cm )) + ᾰ S (r a r cm ) ] donde r cm, v cm y a cm son la posición, la velocidad y la aceleración del centro de masa del universo. La fuerza cinética resultante FKab y la fuerza dinámica resultante FDab, ambas actuando sobre una bipartícula AB de masa m a m b, están dadas por: FKab = m a m b (FKa/m a FKb/m b ) FDab = m a m b (FDa/m a FDb/m b ) FKab = m a m b (aa a b ) + 2 ω S (v a v b ) + ω S ( ω S (r a r b )) + ᾰ S (r a r b ) ] FDab = m a m b (ă a ă b ) FKab FDab = 0 FTab = 0 Por lo tanto: La aceleración cinética d 2 (r a r b )/ de una bipartícula AB está relacionada con la fuerza 2 cinética. La aceleración dinámica d 2 ( r a r b )/ de una bipartícula AB está relacionada con las fuerzas 2 dinámicas (fuerza gravitatoria, fuerza electromagnética, etc.) La fuerza total FTab que actúa sobre una bipartícula AB está siempre en equilibrio. 4

5 Apéndice Desde el principio general se obtienen las siguientes ecuaciones: 2 ecuaciones para una bipartícula AB respecto a un observador S: d (r a r b ) y z (r a r b ) z ] d ( r a r b ) y z ] ( r a r b ) z = 0 2 ecuaciones para una partícula A respecto a un observador S fijo a una partícula S: Donde: d (r a r s ) y z (r a r s ) z ] toma el valor ó 2 ( ecuación vectorial y 2 ecuación escalar) y toma el valor 0 ó (0 ecuación lineal y ecuación angular) d ( r a r s ) y z ] ( r a r s ) z = 0 z toma el valor 0 ó ó 2 (0 ecuación posición, ecuación velocidad y 2 ecuación aceleración) Observaciones: r s = 0, v s = 0 y a s = 0 respecto al sistema de referencia S. Si y toma el valor 0 entonces el símbolo debe ser eliminado de la ecuación. d z (...)/ z indica z-ésima derivada temporal respecto al sistema de referencia dinámico S. Por otra parte, estas 24 ecuaciones serían válidas incluso si la tercera ley de Newton fuera falsa. Bibliografía A. Einstein, Sobre la Teoría de la Relatividad Especial y General. E. Mach, La Ciencia de la Mecánica. R. Resnick y D. Halliday, Física. J. Kane y M. Sternheim, Física. H. Goldstein, Mecánica Clásica. L. Landau y E. Lifshitz, Mecánica. 5