DINÁMICA DE LA ROTACIÓN

Transcripción

1 DINÁMICA DE LA ROTACIÓN 1. La polea de la figura tiene radio R y momento de inercia, respecto a un eje que pasa por su centro de masa perpendicular al plano del papel. La cuerda no resbala sobre la polea y ésta gira sobre un eje con fricción despreciable. El coeficiente de fricción cinética entre el bloque A y la mesa es K. El sistema se suelta del reposo y el bloque B desciende. La masa de A es m A y la de B, m B. Calcule la rapidez de B en función de la distancia que ha descendido. Método 1. TEOREMA TRABAJO-ENERGÍA CINÉTICA A B El teorema trabajo-energía cinética aplicado al sistema conformado por el bloque, el bloque y la polea, al desplazarse los bloques una cantidad, establece: Donde y son los trabajos de la fuerza de fricción y la fuerza de gravedad. y, es el cambio de energía cinética por la traslación de los bloques y por la rotación de la polea. K El término en el extremo derecho de la ecuación es la energía cinética de rotación de la polea. La rapidez del bloque B,, que es la misma del bloque A, se despeja en la ecuación, obteniendo K Método 2. SEGUNDA LEY DEL MOVIMIENTO (Incluyendo la rotación de la polea) El diagrama de las fuerzas que actúan sobre el bloque figura, se muestra en la siguiente A De acuerdo a este diagrama, se tiene la siguiente suma de fuerzas en la dirección horizontal: Y en la dirección vertical A

2 Se despeja la fuerza normal, que ejerce la mesa sobre el bloque ecuación, quedando,, en la ecuación y se reemplaza en la Análogamente para el bloque, se tiene el siguiente diagrama de fuerzas, y la siguiente suma de fuerzas Es necesario involucrar la rotación de la polea, que se modela como un sólido rígido. Inicialmente hacemos un diagrama de fuerzas y posteriormente se calcula el torque resultante sobre ella. es la masa de la polea y la fuerza, la reacción sobre la polea del eje que pasa por el punto. Para obtener información sobre las tensiones y, hacemos suma de torques respecto al punto, teniendo la siguiente ecuación: En la ecuación, es la aceleración angular. Esta ecuación puede ser reescrita así, De las ecuaciones, y, tenemos:, es la aceleración tangencial, común a ambos bloques. (8) Despejando en la ecuación anterior la rapidez, tenemos (9) Mismo resultado que se obtuvo por el método 1.

3 2. Una esfera homogénea de masa M y radio R rueda sin deslizar desde el reposo hacia abajo de un plano inclinado. Hallar a) La aceleración angular de la esfera. b) el mínimo coeficiente de rozamiento para evitar el deslizamiento. El diagrama muestra las fuerzas que actúan sobre la esfera. De acuerdo a este diagrama la suma de las fuerzas sobre la esfera, paralelas al plano inclinado, es En la ecuación, es la aceleración angular de la esfera. La fricción estática en el caso de rodadura pura se ajusta a la desigualdad. Esto indica que no debe usarse la igualdad, la cual solo se cumple para deslizamiento inminente. Así pues, para encontrar la fuerza de fricción estática masa de la esfera. se recurre a la suma de torques respecto al centro de En la ecuación, esta ecuación se tiene para, es el momento de inercia de la esfera respecto a su centro de masa. A partir de Reemplazando la fricción, ecuación, en la ecuación y despejando, resulta Ahora bien, el mínimo coeficiente de fricción para evitar el deslizamiento se calcula a partir de la igualdad = De modo que, 3. Se enrolla una cuerda alrededor de un disco de radio y masa, distribuida de manera uniforme. El disco se libera desde el reposo encontrándose la cuerda completamente enrollada en la parte superior. Muestre que (a) la tensión en la cuerda es un tercio del peso del disco, (b)

4 la magnitud de la aceleración del centro de masa del disco es y c.) la velocidad del centro de masa es cuando ha descendido una distancia. Inicialmente se dibuja el diagrama de las fuerzas que actúan sobre el disco. La suma de fuerzas correspondiente es En la ecuación se desconocen dos cantidades, la tensión en la cuerda y la aceleración del centro de masa. En consecuencia debe recurrirse a la relación entre el torque neto y la aceleración angular. En este caso se toma como referencia el centro de masa del disco. = El momento de inercia del disco respecto a su centro de masa es Reemplazando el momento de inercia, ecuación, en la ecuación, se tiene Despejando la magnitud de la aceleración del centro de masa, ecuación, se tiene, en la ecuación y reemplazando en la La ecuación muestra que la tensión es un tercio del peso del disco. Reemplazando el valor de la tensión, ecuación, en la ecuación permite obtener para la aceleración del centro de masa Ahora bien, la rapidez del centro de masa del disco al descender una distancia, partiendo del reposo, se obtiene mediante la relación cinemática, (8)

5 4. Un cilindro de masa =10 kg y radio =0.3 m, rueda sin deslizar a lo largo de un plano inclinado con la horizontal. El cilindro se hala por una cuerda desde un eje que pasa por su centro de masa. La cuerda pasa por una polea (en forma de disco) de masa = 2 kg y radio m, y sujeta un bloque de masa =15 kg, ver figura. Encontrar la aceleración del bloque. La figura muestra el diagrama de las fuerzas que actúan sobre el bloque que pende de la cuerda. Apoyados en este diagrama, la suma de las fuerzas sobre el bloque viene dada por En la ecuación es la reacción sobre el bloque debido a esta sección de la cuerda y es la aceleración del bloque, que es precisamente lo que buscamos. Con el propósito de encontrar, se debe considerar la dinámica de la rotación de la polea. El diagrama de las fuerzas que actúan sobre la polea se muestra en la siguiente figura La fuerza es debida al contacto del disco de la polea con su eje de rotación. Esta fuerza mantiene en equilibrio la polea. Ahora, de acuerdo al enunciado del problema la fricción en el eje de la polea es despreciable. La fuerza es la reacción sobre la polea en esta sección de la cuerda. Si la polea exhibe aceleración angular las fuerzas y son diferentes. Conviene considerar la suma de torques respecto a un eje que pasa por el centro de masa de la polea. Así, la fuerza y el peso de la polea no contribuyen al torque neto. En la ecuación anterior,, es el momento de inercia de la polea respecto a un eje que pasa por su centro de masa perpendicular al plano de la polea, y viene dado por: (considerada la polea como un disco). Por otro lado, encuentra vinculada con la aceleración del bloque mediante escrita como La fuerza requiere considerar la dinámica de traslación y rotación del cilindro que se desplaza, subiendo, sobre el plano inclinado. El diagrama de las fuerzas que actúan sobre el cilindro se muestra en la siguiente figura. En el diagrama, es la fricción estática que ofrece la superficie inclinada al cilindro y es la fuerza normal debido al contacto del cilindro con el plano inclinado. es la aceleración angular de la polea, que se. De manera que la ecuación puede ser La suma de torques respecto al punto, el punto de contacto del cilindro con el plano, produce

6 En la ecuación, y, son el momento de inercia del cilindro respecto a un eje que pasa por el punto, perpendicular al plano del cilindro y su aceleración angular, respectivamente. El momento de inercia del cilindro respecto a este eje se calcula de acuerdo al teorema de Steiner, resultando. La aceleración angular del cilindro, en términos de la aceleración del bloque es Reemplazando este resultado en la ecuación, tenemos: A partir de las ecuaciones, y tenemos la aceleración del bloque m/s 2 Resuelva el mismo problema utilizando el teorema trabajo-energía cinética. 5. En la figura se muestran tres masas puntuales m1 m, m2 2m y m3 m, que se mueven con velocidad constante, v 1 i, v ˆ 2 j y v 3 j respectivamente. Si en el 2 instante mostrado m 1 se encuentran en el origen 0,0, m 2 en el punto 0,d y m 3 en 2d,0, determine: a.) El momento de inercia del sistema respecto a un eje perpendicular al plano xy y que pasa por el origen b.) La cantidad de movimiento angular del sistema en el instante mostrado. m 1 y m 2 m 3 z x y x 6. Un cilindro uniforme y hueco tiene radio interno R/2, radio externo y masa. El cilindro gira sobre un eje horizontal de masa despreciable, ver figura. Una masa está conectada al extremo de una cuerda liviana que se encuentra enrollada alrededor del cilindro. La masa cae, desde el reposo, una distancia en un tiempo. Muestre que el torque debido a la fuerza de fricción entre el cilindro y el eje es: En la dinámica de la rotación del cilindro intervienen los torques debidos a la tensión,, sobre la cuerda y a la fuerza de fricción entre el cilindro y el eje de giro, que actúa opuesto al anterior. El torque resultante proporciona la aceleración angular,, del cilindro. Esto puede ser escrito como:

7 En la ecuación anterior, es el momento de inercia del cilindro respecto al eje de giro horizontal, que en este caso pasa por su centro de masa. Ahora bien, la tensión se calcula analizando las fuerzas que actúan sobre la masa : Donde, es el peso de la masa sujeta a la cuerda, y la aceleración con la que cae la masa. Esta aceleración, en función de la distancia, y el tiempo, se puede escribir como: La ecuación puede ser reescrita de la siguiente manera: Despejando la tensión en la ecuación anterior, tenemos: Por otro lado, la aceleración angular del cilindro y la aceleración de la masa sujeta a la cuerda se relacionan mediante la expresión: De donde, considerando las ecuaciones y, podemos escribir la aceleración angular: Finalmente, reemplazando la tensión, ecuación, el momento de inercia, ecuación, y la aceleración angular, ecuación, en la ecuación, puede obtenerse el torque producido por la fuerza de fricción,

8 7. Un sistema aislado está formado por dos partículas de masas y con cantidad de movimiento, y, respectivamente. Si en ese instante, las partículas se encuentran en las posiciones y, calcular la cantidad de movimiento angular del sistema relativo a su centro de masa. El vector cantidad de movimiento angular de las dos partículas, relativo al sistema de laboratorio en el cual se encuentra el observador es: = + + y son las velocidades de las partículas de masa y respectivamente. En términos de la velocidad del centro de masa, estas velocidades se escriben: Análogamente, en función de la posición relativa al centro de masa, las posiciones y, se expresan mediante: Reemplazando y, ecuaciones y y y, ecuaciones y, en la ecuación obtenemos: = Que puede reescribirse, teniendo en cuenta las relaciones y, de la siguiente manera: La suma de los dos primeros términos es la cantidad de movimiento angular del sistema de partículas relativas al centro de masa. (9) El tercer término de la ecuación (8),, es nulo. Porque, para un sistema aislado de partículas, la suma de las cantidades de movimiento lineal,, relativas a un sistema inercial de referencia en el centro de masa, es cero. Y el cuarto término,, que es la suma de las posiciones de las masas, relativas al centro de masa ponderada por la masa respectiva, también es cero. (8) Así, se puede escribir como: (10) Donde. En la ecuación (10), se aprecia que la cantidad de movimiento angular del sistema formado por dos partículas, aisladas, es la suma vectorial de la cantidad de movimiento angular respecto al sistema referenciado en el centro de masa, y el momentum angular respecto a un sistema de laboratorio, que considera que toda la masa (la suma de las masas de las partículas) se encuentra localizada en el centro de masa.

9 8. Un tubo cilíndrico hueco de masa y radio, se encuentra en reposo en la plataforma de un camión detenido en un plano horizontal. La plataforma del camión inicia un movimiento, con aceleración 1.5 m/s 2 hacia la derecha. El cilindro se mueve entonces rodando sin deslizar respecto a la plataforma hasta su extremo izquierdo. Hallar en ese instante la velocidad del centro de masa del cilindro respecto a un observador en tierra. Cuando acelera el camión hacia la derecha, respecto a un observador en tierra, la fricción estática, entre la plataforma del camión y el cilindro, produce el torque responsable de la rotación del cilindro hueco hacia el extremo izquierdo. Para este observador (en tierra) se tiene el siguiente diagrama de fuerzas (ver figura). De acuerdo a la segunda ley del movimiento Ahora bien, vectorialmente,, la aceleración del centro de masa del cilindro respecto a tierra, se expresa en términos de la aceleración del centro de masa del cilindro respecto a la plataforma del camión,, y la aceleración esta plataforma, respecto a tierra, así: La ecuación puede ser escrita, en forma escalar, como: Reemplazando, de la ecuación, en la ecuación se tiene: Por otro lado, la suma de torque respecto al centro de masa, producidos por las fuerzas que actúan sobre el cilindro produce: De la ecuación, considerando que el momento de inercia de un cilindro hueco es Igualando la fuerza de fricción, ecuación y ecuación, se logra: Simplificando la ecuación, se obtiene el valor de la aceleración del centro de masa del cilindro relativo a la plataforma. m/s 2 Finalmente, la velocidad que alcanza el cilindro al recorrer los 6 metros será: =3 m/s.