de donde y finalmente Sol.:

Transcripción

1 1. Dado el vector determinar la longitud de su proección sobre la recta definida por los puntos (2, -2, -3) (3, 0, -1). La proección del vector sobre la recta r definida por los puntos (2, -2, -3) (3, 0, -1) viene dada por la expresión: pro r = donde es el vector unitario que define la orientación de la recta r; dicho vector se obtiene a partir del vector que definen los puntos (2, -2, -3) (3, 0, -1): Y seguidamente: pro r = 2. Una partícula se encuentra en el instante t = 0 en la posición x = x 0 con una velocidad v = v 0. El movimiento que describe la partícula es rectilíneo, con una aceleración dada por a = -kv 3, en donde k es una constante. Determinar la expresión que define la dependencia de la velocidad con la posición. La aceleración instantánea es: Pero según el enunciado luego Multiplicamos dividimos el primer miembro por dx: Seguidamente integramos tomando los límites de integración de acuerdo con las condiciones del enunciado obteniéndose: de donde finalmente 3. Una partícula cuo movimiento es analizado desde un sistema de referencia inercial S, describe una traectoria dada por -. Desde otro sistema de referencia S, la traectoria observada está dada por. Decir si este sistema S es o no inercial. Calcular la velocidad del movimiento de S, relativo a S. En primer lugar, para estudiar el carácter inercial del sistema S debemos hallar la aceleración de la partícula en el sistema inercial S: Hallamos ahora la aceleración medida desde el sistema S donde hemos supuesto, al realizar la derivación sucesiva, que los vectores unitarios no dependen del tiempo. Debemos suponer, además, los ejes correspondientes de los triedros S S son paralelos; en tal caso: En esta expresión identificamos el cociente en dx/dt con la velocidad instantánea, quedando Concluimos que el sistema S es inercial. La relación entre los vectores posición de la partícula en ambos sistemas de referencia es: Separamos variables simplificamos: 1

2 es el vector posición del origen de S respecto de S. Derivando obtenemos la relación entre sus velocidades: La velocidad de S respecto de S es: como ( ) 5. Un cuerpo en reposo en el origen de un sistema de referencia inercial explota, formándose tres fragmentos. Dos de ellos tienen igual masa se desplazan según la dirección positiva de los ejes OX OY, respectivamente, con la misma velocidad de 30 m/s. El tercer fragmento tiene una masa triple que la de cada uno de los otros dos. Calcular la velocidad de este tercer fragmento El trabajo realizado por una fuerza no conservativa que actúa sobre una partícula desplazándola desde la posición 1 a la posición 2 es igual a. a) La diferencia de energía potencial entre las posiciones 1 2. b) La diferencia de energía cinética entre las posiciones 1 2. c) La diferencia de energía mecánica entre las posiciones 1 2. El trabajo que realizan todas la fuerzas que actúan sobre una partícula es igual a la variación de su energía cinética: El trabajo total W procede, en general, del que realizan las fuerzas conservativas W c el que realizan las fuerzas no conservativa W : Aplicamos el principio de conservación del momento lineal: El trabajo que realizan las fuerzas conservativas, es igual a la suma, con signo cambiado, de las variaciones de la energía potencial de cada campo conservativo: El momento lineal del sistema explosión es cero, por consiguiente: antes de la De este modo el trabajo que realizan las fuerzas no conservativas queda donde son los momentos lineales de los fragmentos iguales que se dirigen, respectivamente en las direcciones OX OY: Así, el momento lineal, dado que, su velocidad es: del tercer fragmento es: 6. Razonando la respuesta, indicar cuál de las siguientes afirmaciones es correcta. 2 El segundo miembro es la variación de la energía mecánica de la partícula: Esta relación corresponde a la respuesta c): El trabajo que realiza la fuerza no conservativa es igual a la variación de la energía mecánica de la partícula 7. Una partícula está sometida a la acción de la fuerza: a) Calcula el trabajo realizado al desplazar la partícula desde el punto (0,0) al (2,4), siguiendo el camino I) = 0, x = 2; II) x = 0, = 4; III) = 2x; IV) = x 2.

3 b) En caso de que la fuerza sea conservativa, determinar la función que expresa la energía potencial de la partícula. c) Utilizando el teorema del trabajo la energía potencial, calcular el trabajo desarrollado al desplazar la partícula entre los puntos señalados. a) I) = 0, x = 2 La integral: II) x = 0, = 4 La integral: debe expresarse como suma de dos términos, debe expresarse como suma de dos términos, el primero, sobre C 1, se refiere al segmento x = 0 desde el origen hasta P(2,0); el segundo, sobre C 2, se refiere al segmento desde P(2,0) hasta P(2,4). Hallamos la primera integral ( ) sustituendo: = 0, d = 0 el primero, sobre C 1, se refiere al segmento x = 0 desde el origen hasta P(0,4); el segundo, sobre C 2, se refiere al segmento desde P(0,4) hasta P(2,4). Hallamos la primera integral ( ) sustituendo: x = 0, dx = 0 Hallamos la segunda integral ( ) Hallamos la segunda integral sustituendo: ( ) sustituendo: Finalmente: Finalmente: III) = 2x La integral: 3

4 se realiza sobre un solo segmento, el que une el origen con el punto P(2,4) mediante la recta = 2x Hallamos integral identificamos componentes: ( ) sustituendo ( ) La expresión IV) = x 2 La integral: se realiza sobre el camino que une el origen con el punto P(2,4) mediante el arco de parábola = x 2 Hallamos integral ( ) se integra respecto la variable x considerando la constante: El término C() indica que sólo puede depender de. Integramos ahora respecto de la variable considerando la x constante: sustituendo donde C(x) solo puede depender de x. ( ) Las expresiones ( ) b) Los resultados del apartado anterior apuntan hacia el carácter conservativo de la fuerza. Esto se confirma hallando el campo escalar (energía potencial) U tal que: representan el mismo la misma función U(x,) si C() es una verdadera constante, Por consiguiente, la función energía potencial U(x,) asociada a la fuerza del enunciado, es: 4

5 Resultado que confirma el carácter conservativo de la fuerza. c) El trabajo W realizado por la fuerza conservativa, conocida la función energía potencial U(x,), es: El término describe la fuerza de rozamiento, proporcional a la velocidad de signo opuesto a ésta. La relación entre la única componente de cada vector es Seguidamente separamos variables ( ) ( ) La expresión entre paréntesis es la diferencial exacta de la función U(x,), luego: [ ] Ahora sustituimos los valores de U(2,4) U(0,0) [ ] resultado obtenido en cada uno de los casos del apartado a). 8. Una partícula de masa m cae sometida a la atracción gravitatoria terrestre. Simultáneamente actúa sobre ella una fuerza proporcional a su velocidad instantánea, que se opone al movimiento. En estas condiciones, la velocidad instantánea de la partícula: a) tiende a un valor límite cuando el tiempo de recorrido es grande; b) siempre tiene un valor constate, independiente del tiempo; c) aumenta indefinidamente con el tiempo. Las condiciones iniciales son las siguientes: en el instante inicial t 0 = 0 segundos la partícula se encuentra en la posición x 0 = 0 m, con una velocidad inicial nula, v 0 = 0 m/s. Considerando positivo el sentido ascendiente del eje vertical, en este caso el eje x, la ecuación fundamental de la dinámica aplicada a la partícula de masa m queda: Integrando, de acuerdo con las condiciones iniciales, Despejamos la velocidad, pasando previamente a la notación exponencial, finalmente Esta es la velocidad con la que desciende la masa m sometida la fuerza de rozamiento descrita en el enunciado. Este resultado corresponde al enunciado a): la velocidad instantánea tiende al valor límite cuando el tiempo de recorrido es grande En efecto, cuando el tiempo tiende a infinito el término exponencial tiene a cero la velocidad tiende a que es un valor constante. El signo menos señala el sentido descendente del movimiento de acuerdo con el criterio de signos adoptado. La gráfica de v frente a t muestra el comportamiento asintótico de la velocidad: 5

6 9. Dos partículas de masas m 1 = 1 kg m 2 =2 kg se mueven respectivamente con velocidades expresadas en m/s. La dirección de momento lineal total del sistema es: a) (1,1,2) b) (1,1,2/3) c) (1,1,1/3) El vector momento lineal total del sistema es Sustituimos los datos: Esta última expresión se puede escribir así: De modo que el vector que define la dirección del vector momento lineal total es. Igualmente se hubiese obtenido este resultado considerando que la dirección pedida es la del vector velocidad del centro de masas del sistema: Respuesta correcta: b) 10. Utilizando la definición de sistema de referencia no inercial (o acelerado) el concepto de fuerza de inercia, dedúzcase la aceleración del sistema constituido por dos masas m 1 m 2 > m 1, unidas por un hilo flexible e inextensible, que pasa por una polea sin rozamiento de masa despreciable (máquina de Atwood), sometidas a la atracción gravitatoria ejercida por la Tierra. Se trata de un sistema de dos partículas sometidas a la acción de fuerzas exteriores a lo largo de una sola dirección (aunque esta única dirección esté doblada ). Aplicamos la ecuación fundamental de la dinámica: Donde hemos considerado positivo el sentido de izquierda a derecha; despejamos la aceleración del sistema: 11.- Sea una partícula sometida simultáneamente a la acción de dos fuerzas elásticas, cada una de las cuales, por separado, provocaría un movimiento dado, respectivamente, por: a) Obtener la ecuación de la traectoria descrita e indicar el sentido del movimiento. b) Calcular E, indicando si se conservan o no constantes, razonando la respuesta. c) Responder a los dos apartados anteriores si d) Aplicación numérica: m = 1 g, A = 10 cm, = 5 rad s -1. a) En primer lugar recordemos que la posición de la partícula queda definida por las ecuaciones llamadas ecuaciones paramétricas de la traectoria. Elevamos al cuadrado cada una de ellas sumamos, se obtiene: que es la ecuación cartesiana de la circunferencia centrada en el origen de coordenadas de radio A. Para hallar el sentido del movimiento, basta con situar la partícula cuando t = 0 s: se trata del punto P 0 (A,0). Cuando t aumenta la coordenada x disminue la coordenada aumenta, esto significa que la partícula recorre la circunferencia en sentido antihorario. b) Hallamos el momento lineal : ( ) ( ) Es evidente que el vector momento lineal no se conserva pues depende del tiempo. Su módulo es: este sí es constante. 6

7 Hallamos ahora la expresión de la energía mecánica de la partícula: La energía cinética es: Ahora sustituimos en esta expresión el cuadrado del módulo de vector obtenido antes: La energía potencial es la debida a un campo elástico bidimensional: sustituendo las ecuaciones cartesianas de la traectoria, se obtiene: La energía mecánica E resulta ser Hallamos el momento lineal : ( ) ( ) Es evidente que el vector momento lineal no se conserva pues depende del tiempo. Su módulo es: este sí es constante. Hallamos ahora la expresión de la energía mecánica de la partícula: La energía cinética es: Ahora sustituimos en esta expresión el cuadrado del módulo de vector obtenido antes: que no depende del tiempo, luego la energía mecánica de la partícula es constante, como debe ser pues las fuerzas elásticas que actúan sobre la partícula son conservativas. c) En primer lugar recordemos que la posición de la partícula queda definida por las ecuaciones Elevamos al cuadrado cada una de ellas sumamos, se obtiene: que es la ecuación cartesiana de la circunferencia centrada en el origen de coordenadas de radio A. Para hallar el sentido del movimiento, basta con situar la partícula cuando t = 0 s: se trata del punto P 0 (A,0). Cuando t aumenta la coordenada x disminue la coordenada disminue, esto significa la posición recorre la circunferencia en sentido horario. 7 La energía potencial es la debida a un campo elástico bidimensional: sustituendo las ecuaciones cartesianas de la traectoria, se obtiene: La energía mecánica E resulta ser que no depende del tiempo, luego la energía mecánica de la partícula es constante, como debe ser pues las fuerzas elásticas que actúan sobre la partícula son conservativas. d) El módulo momento lineal de la partícula es: Para calcular la energía mecánica de la partícula, debemos recordar que la relación entre la constante k de un campo elástico, la frecuencia angular de oscilación la masa que oscila, es: Por consiguiente:

8 12.- Dados los vectores: Determinar el ángulo que forman los vectores Hacemos: ( ) ( ) ( ) llamamos El ángulo ( ) formado por los vectores es: ( ) ( ) Sustituendo las dos últimas expresiones despejando : o bien, [ ] [( ) ( ) ( ) ] Este es el vector velocidad de la partícula respecto del segundo sistema de referencia inercia; desde este sistema de referencia también se observa un movimiento uniforme Calcular la expresión de la energía mecánica total de una partícula que ejecuta un movimiento rectilíneo sometida a una fuerza restauradora lineal (Esta partícula recibe el nombre de oscilador armónico). Tómese el cero de energía potencial en x = 0. Utilizamos la ecuación fundamental de la dinámica: 13.- Una partícula libre describe un movimiento con velocidad constante, según la dirección (1,2,3), en un cierto sistema de referencia. Otro sistema se mueve con relación al primero con velocidad también constante, en la dirección (2, 1, 2). Qué tipo de movimiento se observa desde este sistema de referencia? Calcular la velocidad de la partícula en este sistema. Utilizamos la relación entre las velocidades de una partícula en dos sistemas de referencia inerciales: Siendo: 8 Multiplicamos por la velocidad en ambos miembros expresión que se sigue de esta otra: o bien, [ ] Esto significa que la expresión dentro del corchete, dado que su derivada es cero, es constante. Dicha expresión es la energía mecánica de la partícula:

9 donde a) Si B se encuentra inicialmente en reposo, P 0B = 0, luego: ss la energía cinética de la partícula b) Si el momento lineal de B en el instante inicial es : su energía potencial, en conformidad con la definición: 15.- Dos partículas A B, que se mueven sin rozamiento sobre una línea horizontal, interactúan. El momento lineal de A es P A = p 0 bt, siendo p 0 b constantes t el tiempo. Encontrar el movimiento lineal de B en función el tiempo, si: a) B se encuentra inicialmente en reposo. b) El movimiento lineal inicial de B es p Una granada en reposo en el origen de un sistema de referencia inercial explota, formándose tres fragmentos iguales. Dos de ellos vuelan, respectivamente, en la dirección positiva de los ejes OX OY, con velocidades iguales en módulo, de 30 ms -1. Calcular la velocidad del tercer fragmento, indicando su módulo dirección. Aplicamos el principio de conservación del momento lineal: Utilizamos el principio de conservación del momento lineal de un sistema de partículas: El momento lineal del sistema explosión es cero, por consiguiente: antes de la donde ss el momento lineal del sistema en un instante inicial dado, donde son los momentos lineales de los fragmentos iguales que se dirigen, respectivamente en las direcciones OX OY: el momento lineal del sistema en un instante posterior cualquiera. Sustituimos estas dos expresiones en la primera: Así, el momento lineal del tercer fragmento es:, dado que, despejamos el momento lineal de B en un instante cualquiera: su vector velocidad es: Tenemos ahora en cuenta los datos del enunciado P A = p 0 bt P 0A = p 0 en la ecuación anterior, obteniendo: ( ) lo que indica que el tercer fragmento se dirige a lo largo de la bisectriz del tercer cuadrante, siendo el módulo de la velocidad: 9

10 17.- Sobre un cuerpo de masa m = 1 kg que pertenece a un sistema de N cuerpos en interacción, actúan fuerzas exteriores al sistema, de resultante fuerzas interiores al sistema, de resultante. Calcular su aceleración. Aplicamos la ecuación fundamental de la dinámica:, siendo, Sobre el punto material actúan dos fuerzas, su peso, mg, la fuerza normal N que vincula la partícula al círculo de radio R. La rotación del círculo hace describir a la partícula una circunferencia horizontal de radio r, tal como se muestra en la figura adjunta. Las ecuaciones fundamentales de la dinámica en las dos direcciones, vertical horizontal, son, respectivamente: obtenemos: 18.- Una partícula de masa 1 g está sometida a un campo de fuerzas que derivan de una energía potencial Ep = 3x 2 1 (erg). En x = 1 cm la partícula está en reposo. Determinar su velocidad en x = 0. La primera expresa la condición de que la partícula, con la velocidad angular, no ascienda ni descienda por la circunferencia vertical; la segunda corresponde a la dinámica de un movimiento circular uniforme de una masa sometida a una fuerza centrípeta que en este caso es Nsen. Dividiendo la segunda entre la primera, se obtiene: La energía mecánica de la partícula es: pero El valor de E se halla aplicando el dato del enunciado, cuando x = 1 cm, v = 0 cm/s: por consiguiente Sustituendo este resultado en la primera ecuación despejando la velocidad para x = 0 cm, se obtiene: La duplicidad del signo indica que para la posición dada, x = 0 cm, la partícula puede estar dirigiéndose en el sentido positivo o negativo del eje X Un punto material de masa m puede deslizar sin rozamiento a lo largo de un circulo animado de un movimiento de rotación uniforme alrededor de su diámetro vertical con velocidad angular. Encontrar el radio de la traectoria circular estable del punto material en un plano perpendicular al eje de giro. Qué condición debe verificar para que el problema tenga solución?. 10 finalmente, el radio de pedido es: De esta expresión se deduce la condición que debe cumplir la velocidad angular para que el punto material describa una circunferencia estable.

11 20.- El módulo de la fuerza de atracción ejercida entre dos moléculas de un gas real viene expresado por: sistema formado por dos moléculas separadas una distancia r es F ε r 6 r 7 r r [ ] En donde ε r 0 son dos constantes r es la distancia de separación intermolecular. Se pide: a) Admitiendo que la fuerza es conservativa, hallar la energía potencial del sistema constituido por ambas moléculas. Cuánto vale la energía potencial cuando r? cuando r 0? b) Representar gráficamente la función obtenida. Cuál es el término dominante a pequeñas distancias? a grandes distancias?. c) Suponiendo fija en el origen de coordenadas una de las moléculas, cuál es la posición de equilibrio de la otra? Qué trabajo ha que realizar para separar una distancia infinita las moléculas, situadas inicialmente a la distancia r 0? las condiciones límite del enunciado son: b) a) Si la fuerza F es conservativa, se puede expresar sustituendo la expresión del enunciado 6 7 Integrando se obtiene 6 [ 6 7 ] U 0 es la constante de la integral indefinida; es la energía potencial de referencia su valor se toma del modo que cuando las moléculas estén infinitamente alejadas, r, la energía potencial U del sistema sea cero, por consiguiente U 0 ha de ser cero. Con esta condición la energía potencial del El término positivo de la energía potencial (trazo de color azul) domina a distancias pequeñas; es el término debido a la repulsión entre las moléculas, se debilita con la distancia pero se hace grande cuando están mu próximas. El término negativo de la energía potencial (trazo de color rojo) 6 11

12 se debe a la fuerza de atracción entre las moléculas es el responsable de la unión estable entre ellas. c) La gráfica de color verde es la suma de ambos términos muestra un mínimo para una cierta distancia que determina el punto de equilibrio estable del sistema. Este punto se determina con la condición de equilibrio: 6 7 de donde se obtiene: valor que corresponde al fondo de pozo de energía potencial que se observa en la figura. El trabajo que se debe realizar para separar las moléculas desde la distancia r 0 hasta r = es: donde F ext es la fuerza que en todo momento se debe aplicar opuesta a la fuerza intermolecular F dada en el enunciado, por consiguiente 12