Unidad II. Cinemática

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1 Unidad II. Cinemática Ref. Capítulos II y III. Física Tipler-Mosca, 6a ed. 18 de marzo de Introducción La mecánica estudia el movimiento de los cuerpos. La cinemática describe el movimiento, explica cómo se mueve. La dinámica estudia las causas del movimiento, trata sobre las fuerzas y masas. Partícula es un cuerpo con masa de dimensiones despreciables. Trayectoria es el camino que recorre la partícula Marco de referencia El marco de referencia consiste en un sistema de coordenadas (espacio) y reloj (tiempo). Definición 1. Todo movimiento es relativo al marco de referencia del observador. 1.. Clasificación del movimiento Según naturaleza del movimiento Traslación: la partícula se mueve de un lugar a otro. Rotación: la partícula gira respecto a un eje. Vibración: la partícula es mueve en todas las direcciones de manera aleatoria. Según las dimensiones del movimiento En una dimensión o unidimensional (línea recta). En dos dimensiones o bidimensional (en el plano) En tres dimensiones o tridimesional (en el espacio). 1

2 . Movimiento en una dimensión.1. Magnitudes de la cinemática Definición. Distancia (d o s) es la longitud de la trayectoria que recorre la partícula Escalar Definición 3. Posición (x ) es el vector con cola en el origen y punta en el lugar donde está la partícula. Definición 4. Desplazamiento ( x ) es el cambio de posición de la partícula (posición final menos posición inicial). x = x x 1 (1) La distancia es igual al módulo del desplazamiento sólo si el movimiento es rectilíneo en una misma dirección. La notación x o x f o x se refiere a la posición final, mientras que x 1 o x i o x 0 se refiere a la posición inicial. De manera análoga en las demás magnitudes cinemáticas. El símbolo es la D griega mayúscula, que representa variación o incremento, indicando la diferencia entre dos valores inicial y final.

3 Definición 5. Rapìdez media (v m ) es la distancia total dividada en el tiempo total transcurrido. v m = d t () Escalar /T /s Definición 6. Rapìdez instantánea o rapidez o celeridad (v ) es el límite de la distancia cuando el intervalo de tiempo tiende a cero. v = lím t 0 s t (3) Escalar /T /s Definición 7. Velocidad media ( #» v mx ) es el desplazamiento total dividido entre el tiempo total #» v mx = x t (4) /T /s La rapidez media no da información sobre la dirección del movimiento (es un escalar). La velocidad media incluye la dirección. Sólo cuando el movimiento es rectilíneo en la misma dirección coincide el módulo de la velocidad media con la rapidez media. 3

4 Definición 8. Velocidad instantárea o velocidad ( v #» x ) es el límite del desplazamiento cuando el intervalo de tiempo tiende a cero. x v x = lím (5) t 0 t /T /s Definición 9. Aceleración media( #» a m x) la variación de la velocidad en un intervalo de tiempo. #» a mx = #» v x t (6) /T /s Definición 10. Aceleración instantánea o aceleración ( #» a x ) la tasa de cambio de la velocidad cuando el intervalo de tiempo tiende a cero. /T /s a #» v #» x x = lím t 0 t (7) El signo de la aceleración no indica si está aumentando o disminuyendo el módulo de la velocidad. Si la velocidad y la aceleración tienen la misma dirección, el módulo de la velocidad aumenta. Si la velocidad y la aceleración tienen direcciones opuestas, el módulo de la velocidad disminuye. 4

5 .. Gráficos y diagrama de movimiento..1. Gráfico posición-tiempo La pendiente de la recta tangente es igual a la velocidad instantánea. La pendiente de la recta secante es igual a la velocidad media.... Gráfico velocidad-tiempo La pendiente de la recta tangente es igual a la aceleración instantánea. La pendiente de la recta secante es igual a la aceleración media. El área bajo el gráfico es igual al desplazamiento de la partícula...3. Diagrama de movimiento Consiste en trazar el sistema de coordenadas así como la posición, la velocidad y la aceleración de la partícula en cada instante..3. Clasificación del movimiento según la aceleración Movimiento rectilíneo uniforme (MRU) si la aceleración = cero Movimiento rectilíneo uniformemente variado (MRUV) si la aceleración es constante Movimiento variado si la aceleración es variable..4. Movimiento rectiĺıneo uniforme (MRU) La partícula recorre distancias iguales en tiempos iguales.la velocidad media = velocidad instantánea = constante. El gráfico posición tiempo es una línea recta inclinada que parte del origen. El gráfico velocidad-tiempo es una línea paralela al eje del tiempo. La aceleración es nula.5. Movimiento rectiĺıneo uniformememente variado (MRUV) La aceleración media es igual a la aceleración instantánea. La aceleración es constante (no cambia ni en magnitud ni en dirección). Las ecuaciones del MRUV son: v x = v 0x + a x t (8) x = x x 0 = (v x + v 0x ) t (9) x = x x 0 = v 0x t + 1 a xt (10) v x = v 0x + a x x (11) v mx = v x + v 0x (1) 5

6 El gráfico posición tiempo es una parábola. Si la velocidad inicial es cero, la relación entre la posición y el tiempo es una proporcionalidad directa con el cuadrado. El gráfico velocidad tiempo es una variación lineal. El gráfico aceleración tiempo es una línea recta paralea al eje del tiempo Caída libre Es un movimiento rectilíneo uniformemente variado debido únicamente a la aceleración de la gravedad. La aceleración de la gravedad tiene una magnitud promedio de 9.8 m/s y dirección al centro de la Tierra. Si tomamos al eje vertical y con la parte positiva hacia arriba y la parte negativa apuntando al centro de la Tierra, la aceleración de la gravedad es -9.8 m/s. v y = v 0y gt (13) y = y y 0 = (v y + v 0y ) t (14) y = y y 0 = v 0y t 1 gt (15) v y = v 0y g y (16) v my = v y + v 0y (17).6. Movimiento variado (MRUV) Es aquel en que cambia la aceleración en magnitud, dirección o ambas. 3. Movimiento en dos dimensiones 3.1. Magnitudes de la cinemática Definición 11. Posición ( #» r ) es el vector con cola en el origen y punta en el lugar donde está la partícula. #» r = xî + yĵ (18) 6

7 Definición 1. Desplazamiento ( #» r ) es el cambio de posición de la partícula (posición final menos posición inicial). #» r = #» r #» r 1 (19) Módulo o magnitud: Dirección (ángulo) r = x + y (0) θ = arc tg y x (1) 3.. Caso particular: Movimiento de un proyectil (Lanzamiento horizontal o Tiro horizontal) Un proyectil es una partícula que se mueve cerca de la superficie de la Tierra, con aceleración debida únicamente a la aceleración de la gravedad. Consta de dos componentes independientes: Movimiento horizontal: movimiento rectilíneo uniforme Movimiento vertical: movimiento rectilíneo uniformemente variado (caída libre) Sea #» v 0 la velocidad inicial y θ 0 el ángulo inicial. Las componentes de la velocidad inicial son: El movimiento de proyectil se caracteriza por: Trayectoria es parabólica. v ox = v 0 cos θ 0 () v oy = v 0 sen θ 0 (3) El tiempo de subida es igual al tiempo de bajada a una misma altura. El alcance es máximo para un ángulo inicial de 45 grados. La altura es máxima para un ángulo de 90 grados. 7

8 La estrategia para resolver un problema de movimiento de proyecto consiste en: a) descomponer la velocidad inicial, b) tratar de manera independiente cada componente del movimiento (horizontal y vertical). Movimiento horizontal (MRU) Recordemos que la veolcidad media es igual a la velocidad instantánea en el MRU, por tanto,v mx = v x = x t, asì que x = x x 0 = x 0 = x, tomando la posición inicial en el origen: v 0x = v x = x t (tomando la posición inicial en el origen, x 0 = 0) Movimiento vertical (MRUV) v y = v 0y gt (4) y = y y 0 = (v y + v 0y ) t (5) y = y y 0 = v 0y t 1 gt (6) v y = v 0y g y (7) v my = v y + v 0y (8) 3.3. Caso particular: Movimiento circular uniforme (MCU) En el MCU la partícula sigue una trayectoria de una circunferencia con módulo de velocidad constante. La velocidad (dirección) cambia en cada instante. La aceleración resultante se denomina aceleración centrípeta, ya que apunta al centro del círulo. a c = v (9) R siendo v la velocidad tangencial o lineal, que es tangente a la trayectoria, R= radio del círculo. La velocidad #» v es perpenciular a la aceleración a #» c. 8

9 Definición 13. Período (T) es el tiempo que tarda la partícula en dar una vuelta completa (revolucion, ciclo u oscilación). T = t n (30) t= tiempo, n= nùmero de vueltas. Definición 14. Frecuencia (f) es el número de vueltas (revolucion, ciclo u oscilación) que recorre la partícula por unidad de tiempo. f = n t (31) t= tiempo, n= nùmero de vueltas. Velocidad lineal o tangencial, v T = 1 f v = πr T (3) (33) v = πrf (34) Velocidad angular, ω ω = π T (35) ω = πf (36) v = ωr (37) 9