UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA SEDE MEDELLÍN FACULTAD DE CIENCIAS-ESCUELA DE FÍSICA FÍSICA MECÁNICA MÓDULO # 11: CINEMÁTICA -CONCEPTOS BÁSICOS-

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1 UNIERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA SEDE MEDELLÍN FACULTAD DE CIENCIAS-ESCUELA DE FÍSICA FÍSICA MECÁNICA MÓDULO # 11: CINEMÁTICA -CONCEPTOS BÁSICOS- Diego Luis Aristizábal R., Roberto Restrepo A., Tatiana Muñoz H. Profesores, Escuela de Física de la Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín 1 Temas Introducción Conceptos básicos para movimiento curvilíneo general Conceptos básicos para el caso de un movimiento rectilíneo Introducción La cinemática es la descripción matemática del movimiento y en ella no se estudian las causas que lo producen (las fuerzas). Hay movimientos de diversos tipos, tales como: movimiento de cuerpos rígidos (por ejemplo, un trompo girando o una esfera rodando), vibraciones en los cuerpos deformables (por ejemplo, las ondas sonoras), movimiento de los fluidos (hidrodinámica). En esta sección del curso se tratará la cinemática más simple, la de la partícula, que es la base de todos los movimientos por complejos que sean. Los conceptos básicos de la cinemática son: marco de referencia, sistema de coordenadas, posición, velocidad, aceleración. Marco de referencia Es un cuerpo rígido respecto al cual se puede determinar la posición o el cambio de posición de un objeto cuyo movimiento quiere estudiarse. Este no necesariamente debe ser inercial. El movimiento es esencialmente relativo: un cuerpo puede estar en reposo respecto a un marco de referencia y moverse bien sea con velocidad constante o con aceleración respecto a otros marcos de referencia. Un marco de referencia comprende también los relojes que permiten medir los intervalos de tiempo. El tiempo en la mecánica newtoniana es absoluto, pero en la mecánica einsteniana es relativo. En este curso los objetos tienen velocidades bajas comparadas con la velocidad de la luz, por lo que se aplicará la mecánica newtoniana. Sistema de coordenadas Es un conjunto de una o más variables, denominadas coordenadas, que permiten la ubicación de la partícula respecto a un marco de referencia. Tanto el marco de referencia como el sistema de coordenadas pueden ser elegidos entre varios, predominando en su elección que permitan la mayor simplicidad posible del análisis físico-matemático de la situación a estudiar: por ejemplo son base para su elección las simetrías.

2 Por ejemplo, el vuelo de un mosca en una habitación puede describirse con un sistema de coordenadas cartesiano (,y,z) fijando su origen en el piso de la habitación (el piso es el marco de referencia). Trayectoria Es la línea imaginaria que deja la partícula en su recorrido. Los movimientos de una partícula se suelen clasificar con base en su trayectoria: movimiento rectilíneo, movimiento circular, movimiento parabólico, movimiento curvilíneo, etc. 2 Conceptos básicos para movimiento curvilíneo general Posición Dado un sistema de coordenadas la ubicación de la partícula queda definida por un vector posición, r, Figura 1. ˆ ˆ ˆ r= i+y j+z k Figura 1 En el SI se mide en m. Desplazamiento Es el cambio en la posición de la partícula, Figura 2. En esta Figura la partícula en un instante dado t se encontraba en la posición P y luego, transcurrido un intervalo de tiempo t, se encuentra en la posición P y por lo tanto el desplazamiento en ese intervalo de tiempo es, Δr = r '-r Δr = ' ˆi+y' ˆj+z' kˆ - ˆi+y ˆj+z k ˆ Δr = '- ˆi+ y'-y ˆj+ z'-z k ˆ

3 Δr = ˆi+ y ˆj+ z kˆ En el SI se mide en m. 3 Figura 2 Longitud recorrida Es la longitud del arco que va recorriendo la partícula. Aquí es necesario aclarar que si la partícula se regresa por la misma trayectoria debe continuarse sumando a longitud que se va recorriendo. Es una cantidad escalar y en el SI se mide en m. Observar que el desplazamiento no depende de la trayectoria sino de la posición inicial y de la posición final; en cambio, la longitud recorrida si depende de la trayectoria. Puede darse situaciones donde el desplazamiento sea nulo mientras que la longitud recorrida no lo sea: por ejemplo la masa pendular en un péndulo simple haciendo una oscilación completa. En general la magnitud del desplazamiento no es igual a la longitud recorrida, es decir, en general, Δr Δs Tarea: Dar un ejemplo en el que Δr Δs. elocidad Al desplazamiento dividido por el intervalo de tiempo empleado para realizarlo se le denomina velocidad de la partícula,, Δr = Δt

4 Es un magnitud vectorial y en el SI se mide en m.s -1. Rapidez A la longitud recorrida dividida por el intervalo de tiempo empleado en realizarla se le denomina rapidez, Δs = Δt 4 Es una magnitud escalar y en el SI se mide en m.s -1. En general, Ejemplo: Suponer que un estudiante para ir desde su casa hasta la universidad recorre 2,0 km en dirección ESTE en 0,40 h (de A a B) y luego 1,0 km en dirección NORTE en 0,10 h (de B a C). Este recorrido se ilustra en la Figura 3. Figura 3 El desplazamiento del estudiante sería el vector que va desde A hasta C. La magnitud de éste es: 2 2 AC= 2,0 km + 1,0 km 2,2 km y su dirección es: 1 α=tan = o Por tanto, su velocidad será un vector cuya magnitud es: 2,2 km km = = 4,4 0,40+0,10 h h con una dirección igual a la del desplazamiento, es decir formando un ángulo de 26º con la horizontal (eje X).

5 El valor de la rapidez será igual a la división entre la longitud recorrida y el tiempo empleado. Es decir, 2,0+1,0 km km = = 6,0 0,40+0,10 h h Como la rapidez es un escalar no se le puede calcular una dirección. Ejemplo: 5 Suponer que el estudiante del ejemplo anterior cuando llega a la universidad regresa a su casa por el mismo camino invirtiendo los mismos tiempos. El desplazamiento neto sería nulo (regresa al punto de partida), pero la longitud recorrida es igual a 6,0 km (suma de todo el recorrido). Por tanto, su velocidad es nula y su rapidez continúa siendo igual a 6,0 km/h (longitud recorrida dividida por el tiempo total). elocidad instantánea (velocidad) La velocidad del punto móvil en el instante t se define como el límite de la velocidad cuando el intervalo de tiempo t tiende a cero, es decir, cuando el punto P se aproima al punto P, lim lim Δt0 Δt 0 = = es decir, dr = dt Δr Δt En el SI se mide en m.s -1. A su magnitud se le denomina rapidez, observar que como dr ds, dr ds = = dt dt En componentes rectangulares, Δr Δ ˆ Δy ˆ Δz = = i + j + kˆ lim Δt 0 dt lim Δt 0 Δt lim Δt 0 Δt lim Δt0 Δt Es decir, d ˆ dy ˆ dz = i+ j+ kˆ dt dt dt = ˆ i+ ˆ ˆ y j+ z k con,

6 d = y dt dy = z dt dz 2 = = + dt y z Observación importante: Como dr es un vector tangente a la trayectoria, se concluye que la velocidad también debe ser tangente a la trayectoria, Figura 4. 6 Figura 4 Aceleración Al cambio en la velocidad instantánea dividido por el intervalo de tiempo empleado para realizarlo se le denomina aceleración de la partícula, a, a Δ = Δt Es un magnitud vectorial y en el SI se mide en m.s -2. Este vector tiene la misma dirección y sentido del cambio de velocidad, Δ. Ejemplo: Una partícula que se mueve rectilíneamente ocupa la posición A en el instante t con velocidad instante t+t ocupa la posición B con velocidad velocidad, Δ, se dirigirá según el resultado de la siguiente resta vectorial: Δ= - = + - f i f i i y en el f tal como se ilustra en la Figura 5. El cambio de la Esta operación está ilustrada en la misma figura. En ella se observa que como Δ apunta hacia la derecha, la aceleración, a, también se dirige así.

7 7 Figura 5 Ejemplo: Una partícula que se mueve rectilíneamente ocupa la posición A en el instante t con velocidad instante t+t ocupa la posición B con velocidad i y en el f tal como se ilustra en la Figura 6. El cambio de la velocidad, Δ, se dirigirá según el resultado de la siguiente resta vectorial: Δ= - = + - f i f i Esta operación está ilustrada en la misma figura. En ella se observa que como, Δ, apunta hacia la izquierda, la aceleración, a, también se dirige así. Figura 6 Ejemplo: Una partícula sigue la trayectoria ilustrada en la Figura 7. En el instante t se encuentra en la posición A con velocidad i y en el instante t+t ocupa la posición B con velocidad f, tal como se ilustra en la figura. Por lo tanto, el cambio de la velocidad Δ se dirigirá según el resultado de la siguiente resta vectorial: Δ= - = + - f i f i Esta operación está ilustrada en la misma figura. En ella se observa que como Δ apunta hacia la concavidad, la aceleración, a representada como a en la figura, también se dirige así.

8 8 Figura 7 Ejemplo: Una partícula se mueve con movimiento circular uniforme (M.C.U). En el instante t se encuentra en la posición A con velocidad i y en el instante t+t ocupa la posición B con velocidad f, tal como se ilustra en la Figura 8. Por lo tanto, el cambio de la velocidad Δ se dirigirá según el resultado de la siguiente resta vectorial: Δ= - = + - f i f i El resultado de esta operación está ilustrado en la Figura 8. La aceleración apunta hacia donde apunta el vector, Δ. Figura 8 Aceleración instantánea (aceleración) La aceleración a del punto móvil en el instante t se define como el límite de la aceleración cuando el intervalo de tiempo t tiende a cero, es decir, lim lim a= a = Δt0 Δt 0 Δ Δt es decir, d a= dt

9 En componentes rectangulares, Δ Δ ˆ Δy ˆ Δz a= = i + j + kˆ lim Δt 0 dt lim Δt 0 Δt lim Δt 0 Δt lim Δt0 Δt Es decir, d d d dt dt dt ˆ y ˆ z a= i+ j+ kˆ 9 a=a ˆ i+a ˆ ˆ y j+a z k con, d a = dt d y a y = dt da z a= z a= a + dt a y + a z Observación importante: En el instante t la velocidad es tangente a la trayectoria, en el instante t+dt la velocidad será +d y también es tangente a la trayectoria, por lo tanto d apunta hacia la concavidad de la trayectoria (no necesariamente hacia el centro de concavidad). En definitiva la aceleración de la partícula apunta hacia la concavidad de la trayectoria, Figura 9. Figura 9

10 Componentes normal y tangencial de la aceleración De la definición de aceleración se concluye que ésta es diferente de cero siempre que haya cambios en la velocidad. Como la velocidad es un vector, puede cambiar en magnitud, en dirección o en ambas. Si la velocidad cambia en magnitud se dice que el cuerpo tiene aceleración tangencial ( a ); si cambia en dirección se dice que el cuerpo tiene aceleración centrípeta o normal ( a ). En el caso que cambie simultáneamente en magnitud y en dirección, la aceleración resultante ( a ) será la suma vectorial de la aceleración tangencial y de la aceleración centrípeta, Figura 10, por lo que la magnitud de la aceleración resultante será igual a: c t 10 a = a +a 2 2 t c Figura 10 Conceptos básicos para el caso de un movimiento rectilíneo Observación: Aunque la posición, la velocidad y la aceleración son magnitudes vectoriales, en el movimiento rectilíneo se puede simplificar su notación ya que la dirección de estos vectores es conocida, es decir, se escribirá: en lugar de. en lugar de a en lugar de. a. Posición En el movimiento rectilíneo se puede escoger un solo eje coordenado para lograr ubicar la partícula. Esto lo se ilustra en la Figura 1. Figura 11 El vector posición correspondiente a la ubicación A sería el ilustrado en la Figura 12

11 Figura Desplazamiento Si la partícula en el instante t 1 ocupa la posición A y en el instante t 2 ocupa la posición B, cuando se mueve de A a B su desplazamiento es el que se representa en la Figura 13. Figura 13 en donde, Δ = 2-1 elocidad La velocidad se define así, Δ = Δt donde t es el intervalo de tiempo, Δt = t2-t 1 La velocidad es un vector que apunta en la dirección del vector desplazamiento, Figura 14. Figura 14

12 elocidad La velocidad instantánea es igual a, d = dt 12 Aceleración Si la partícula en el instante t 1 (en la posición A) llevaba una velocidad instantánea 1 y en el instante t 2 (posición B) llevaba una velocidad 2, su aceleración durante el intervalo t es, a = = t2-t1 Δ Δt La aceleración apunta hacia donde apunta el cambio de velocidad, es decir hacia donde apunta el resultado de restarle al vector 2 el vector 1. En la Figura 15 se ilustra el caso de movimiento acelerado (aquí la partícula está aumentando su velocidad). Figura 15 En la Figura 16 se ilustra el caso de movimiento retardado (aquí la partícula va disminuyendo su velocidad). Figura 16 Aceleración La aceleración instantánea es igual a,

13 a = d dt No sobra decir que en el S.I. la posición se mide en m, la velocidad en m.s -1 y la aceleración en m.s -2. Ejemplo: Una partícula se mueve rectilíneamente en dirección de tal forma que su posición en función del tiempo está dada por la siguiente ecuación escrita en el sistema SI: = t - t + 6t (a) cuál es su posición inicial? (b) cuál es su posición en el instantes t =4,0 s? (c) cuál es su desplazamiento entre los instantes t =2,0 s y t =3,0 s? (d) Cuál es la velocidad entre los instantes t =2,0 s y t =3,0 s? (e) Cuál es la velocidad instantánea en el instante t =4,0 s? (f) Cuál es la aceleración entre los instantes t =4,0 s y t =5,0 s? (g) Habrá algún instante donde la partícula se devuelva? (h) Cuál es la longitud recorrida hasta el instante t = 4,0 s? Solución: (a) Para calcular la posición inicial se debe evaluar en el instante t = 0 s = = 2,0 m 3 2 Es decir, la partícula se mueve respecto a algún marco de referencia en el cual se ancló el eje coordenado de la Figura 17. Figura 17 (b) Calcular la posición en t = 4,0 s = 4,0-4,0 + 64,0 + 2= 7,3 m 3 2 (c) Calcular las posiciones en los instantes t = 2,0 s y t = 3,0 s = 2,0-2,0 + 62,0 + 2= 6,7 m 3 2

14 = 3,0-3,0 + 63,0 + 2= 6,5 m 3 2 por lo tanto el desplazamiento es (ver Figura 18), Δ = 3,0-2,0 = 6,5 m - 6,7 m = - 0,2 m 14 Figura 18 (d) La velocidad entre los instantes t =2,0 s y t =3,0 s es, Δ - 0,2 m m = = = - 0,2 Δt 3,0 s - 2,0 s s (e) La velocidad (es decir, la velocidad instantánea) en t = 4,0 s, d = dt 2 = t - 5t m 4,0 = 4,0-54,0 + 6= 2,0 s (f) La velocidad en t =5.0 s, 2 m 5,0 = 5,0-55,0 + 6= 6,0 s Por lo tanto la aceleración entre los instantes t = 4.0 s y t = 5.0 s será, m 6,0-2,0 m a = s = 4,0 5,0-4,0 s s 2 (g) Si la partícula se va a devolver primero debe parar, es decir =0. Por lo tanto, es necesario averiguar si hay algún instante en el cual se detiene. =0 2 t - 5t + 6 = 0

15 t - 2t - 3 = 0 es decir en t = 2,0 s y en t = 3,0 s la partícula se detiene. Estos instantes posiblemente son puntos de retorno. Para saberlo, se debe analizar si la velocidad cambia de signo alrededor de esos instantes. Es interesante apoyarse para evaluar esto en las rectas numéricas, Figura Figura 19 De las rectas numéricas se puede deducir que la velocidad es positiva entre los instantes t = 0,0 s y t = 2,0 s, luego se hace negativa entre los instantes t = 2,0 s y t = 3,0 s, y de t = 3,0 s en adelante sigue positiva: en otras palabras la partícula, en t = 2,0 s se regresa y en t = 3,0 s se vuelve a detener para avanzar hacia adelante "por siempre", Figura 20. Figura 20 En definitiva los instantes t = 2,0 s y t= 3,0 s son de retorno. (h) Como la partícula tiene puntos de retorno, la magnitud del desplazamiento entre t =0 s y t =4,0 s no es igual a la longitud recorrida en ese intervalo de tiempo. La longitud recorrida hasta el primer instante de retorno: 1 s = 2,0-0,0 = 6,7 m - 2,0 m = 4,7 m La longitud recorrida desde el primer instante de retorno hasta el segundo instante de retorno, s 2 = -0,2 m = 0,2 m Por último la longitud recorrida entre el instante t = 3,0 s hasta el instante t = 4,0 s es: 3 s = 4,0-3,0 = 7,3 m - 6,5 m = 0,8 m

16 Por tanto la longitud recorrida en los cuatro primeros segundos es, s = s 1 + s 2+ s 3 = 4,7 m + 0,2 m + 0,8 m = 5,7 m que es diferente a la magnitud del desplazamiento en ese mismo intervalo de tiempo, como lo podrá verificar el lector. Taller Una partícula se mueve rectilíneamente de tal forma que su posición respecto al tiempo se epresa con la siguiente ecuación en el SI: 3 2 t = 4t - 48t + 180t m Encontrar la distancia total recorrida (longitud recorrida) en los primeros 10 s. Rp m 2. Una partícula se mueve rectilíneamente de tal forma que su posición respecto al tiempo se epresa con la siguiente ecuación en el SI: t = t - 3t + 8t + 2m 3 Calcular: (a) el instante en que la velocidad es cero, (b) la posición y la distancia total recorrida (longitud recorrida) en el instante en el que la aceleración es cero. Rp. (a) 2 s y 4 s (b) 8,00 m y 7,33 m 3. La aceleración de una partícula respecto al tiempo se define en el SI por la siguiente ecuación, a = - 2,0 Si la = + 8,0 m/s y = 0 cuando t=0 s, calcular la velocidad, la posición y la distancia total recorrida (longitud recorrida) cuando t= 6 s. Rp. 4,0 m/s, 12 m y 20 m. FIN.