El estudio del movimiento de los cuerpos generalmente se divide en dos fases, por conveniencia: la cinemática y la dinámica.

Transcripción

1 Tema 1: Cinemática. Introducción. Describir el movimiento de objetos es una cuestión fundamental en la mecánica. Para describir el movimiento es necesario recurrir a una base de conceptos o ideas, sobre las cuales definir el itinerario de objetos y poder pronosticar dónde estará ese objeto transcurrido cierto tiempo. El estudio del movimiento de los cuerpos generalmente se divide en dos fases, por conveniencia: la cinemática y la dinámica. En la cinemática se estudia el movimiento en sí, describiéndolo con base en algunas cantidades como la longitud y el tiempo, pero sin tomar en cuenta qué pudo haber originado el movimiento. En la dinámica vamos más allá al tomar en cuenta las posibles causas que dieron origen al movimiento. Definición de cinemática. La cinemática se define como la rama de la mecánica que estudia la geometría del movimiento; se aplica para relacionar el desplazamiento, la velocidad, la aceleración y el tiempo sin tener en cuenta las causas que pudieron haber originado ese movimiento. 1.1 Conceptos y parámetros del movimiento mecánico Posición. La posición de un objeto se refiere al lugar que ocupa en el espacio, con respecto a un sistema de referencia arbitrario. El origen del sistema de referencia corresponde por lo general al punto de observación, es decir, al punto donde está ubicado el observador que describe el movimiento Sistema inercial de referencia (SIR). Si el sistema de referencia se encuentra en reposo absoluto o se mueve en línea recta con velocidad constante, se dice que es un sistema inercial de referencia. En el universo nada está en reposo ni se mueve en línea recta con velocidad constante. Sin embargo, si describimos, por ejemplo, el movimiento de un auto, es válido considerar a un sistema solidario a la Tierra como un SIR Modelos de partícula y de cuerpo rígido. En la cinemática, es común comenzar el estudio del movimiento considerando que el objeto en estudio es una partícula. Esto significa que se considera al cuerpo concentrado en un punto, sin importar el tamaño que tenga.

2 Un cuerpo rígido es uno que está formado por un gran número de partículas y presenta la siguiente característica: dos partículas cualesquiera del cuerpo, permanecen a la misma distancia, esto es, que el cuerpo no se deforma con el movimiento. 2.1 Movimiento rectilíneo. Cuando se trata de analizar el movimiento en una sola dirección, sólo hace falta una coordenada para darle seguimiento al objeto que se mueve. En este caso, el sistema de coordenadas corresponde a una recta imaginaria con el punto de observación en 0 (cero), y de allí se toman posiciones indicadas por números reales a lo largo de la línea. Se consideran positivos los números a la derecha del 0 y negativos los ubicados a la izquierda. 0 x Figura 1: Eje x positivo Posición. Por lo general, se designa con la letra x a un eje ubicado horizontalmente y que sirve para indicar la posición de un cuerpo. Figura 2. Así por ejemplo, decimos que el objeto A mostrado en la Figura 2, está ubicado en x = 35 (positivo). Si el objeto A, estuviera ubicado a la izquierda del 0 su posición estaría indicada por un número negativo Sistemas de unidades. Las cantidades fundamentales para describir el movimiento son la longitud y el tiempo. Para medir esas cantidades se utilizan ciertas unidades que han ido estableciéndose a través de la historia de la ciencia y la ingeniería. Actualmente la tendencia es que en todo el mundo se utilice un solo sistema de unidades, el cual se llama Sistema Internacional, pero en algunos países aún se usan unidades del Sistema Inglés. Sistema Internacional (SI). La unidad de tiempo es el segundo, que se define como: el tiempo que tardan ciclos de la oscilación del átomo de Cesio entre los dos estados energéticos más bajos.

3 La unidad de longitud es el metro, el cual se define como: la distancia que recorre la luz en el vacío en segundos. Sistema Inglés (SU). Las longitudes se miden en: Pie (foot), el cual se define con base en el metro como: 1 pie = m. Pulgada (inch): 1 pul = (1/12) pie La milla (mile): 1 mi = 5280 pies El tiempo, igual que en el SI, se mide en segundos. De la definición del pie, se obtienen los factores de conversión entre los dos sistemas de unidades: 1 pul = m 1 mi = 1609 m Desplazamiento. Cuando un objeto cambia de posición al pasar el tiempo, se dice que realizó un desplazamiento o traslación. Así pues, el desplazamiento se calcula como la diferencia entre las coordenadas de posición final e inicial. x 1 x X x 2 Figura 3. En la Figura 3 se muestra un objeto que inicialmente ocupaba la posición dada por x 1 y luego se movió a una posición dada por la coordenada x 2, el desplazamiento está dado por: Distancia recorrida. x = x 2 x 1 Ec. 1.1 La distancia que recorre un objeto corresponde a la longitud de la trayectoria seguida por éste. Debe tenerse cuidado para diferenciarla del desplazamiento. El desplazamiento tiene magnitud y dirección (es una cantidad vectorial), como puede verse en la Figura 3, en tanto que la distancia recorrida sólo es una magnitud (es una cantidad escalar). Así por ejemplo, considere que el movimiento de una partícula fue el siguiente: Partiendo de cero se movió hasta la posición x = 5 m, luego se regresó a x = 2 m.

4 El desplazamiento fue x = 2 0 = 2 m hacia la derecha. Pero la distancia recorrida fue de (5m + 3m) = 8m, pues primero avanzó 5m hacia la derecha y luego 3 m hacia la izquierda. NUNCA confunda desplazamiento con distancia recorrida. La distancia recorrida es igual a la magnitud del desplazamiento sólo en un caso: cuando el movimiento es rectilíneo y en un solo sentido Velocidad media. La velocidad media se define como la variación de la posición en el tiempo; es decir, es el desplazamiento en un intervalo de tiempo, de tal forma que se determina por la ecuación: Donde v m : velocidad media Rapidez media. v m = x 2 x 1 t 2 t 1 = x t Así como se diferenció la distancia recorrida del desplazamiento, es necesario establecer la diferencia entre rapidez y velocidad. La rapidez media se define como la distancia recorrida en un intervalo de tiempo: Ec. 1.2 R m = S t Ec. 1.3 Donde S = distancia recorrida Velocidad instantánea. El valor que toma la velocidad media cuando el intervalo de tiempo t tiende a cero es la velocidad instantánea: Donde: v = velocidad instantánea x v = lim t 0 t = dx dt Ec. 1.4

5 Ejemplo 1.1. Dos trenes parten de una misma estación y en el mismo sentido. El primero con una rapidez de 30 km/h y el segundo con una rapidez de 40 km/h. Si el segundo sale dos horas después que el primero: (a) calcular a qué distancia se hallarán al cabo de 5 horas de haber salido el primero, (b) dentro de cuánto tiempo y a qué distancia de la estación pasará el segundo junto al primero. Solución. (a) Distancia recorrida por el primero: la Ec. 1.3 S 1 = 30 km 5h = 150 km h Distancia recorrida por el segundo: S 2 = 40 km 3h = 120 km h La distancia entre ellos es: S 12 = S 1 S 2 = = 30 km (b) Cuando el segundo alcance al primero: S 1 = S 2 30 t 1 = 40 t 2 También se tiene que t 2 = t 1 2 (pues el segundo sale dos horas después que el primero). Sustituyendo este tiempo en la ecuación anterior: 30 t 1 = 40 (t 1 2) Resolviendo: t 1 = 8 horas Por tanto, el segundo tren alcanzará al primero 8 horas después de haber salido éste. Distancia desde la estación: S 1 = 30 8 = 240 km. Ejemplo 1.2. Una partícula se mueve a lo largo del eje X. Su coordenada x varía con el tiempo de acuerdo con la expresión x = 2t 2 4t, donde x está en metros y t en segundos. (a) Determine el desplazamiento de la partícula en el intervalo de tiempo de t = 1s a t = 3 s, (b) cuál es la velocidad media en el intervalo de t = 1s a t = 3s?, (c) cuál es la velocidad en el instante t = 3s? Solución. (a) En t = 1s: x 1 = 2(1) 2 4(1) = 2 m. En t = 3s: x 3 = 2(3) 2 4(3) = 6 m. x = x 3 x 1 = 6 ( 2) = 8 m. (b) De la Ec. 1.2: v m = x t = 8 m 2 s = 4 m s (c) De la Ec. 1.4: v = dx dt = (4t 4) y sustituyendo el valor de t: v 3 = = 8 m s Aceleración media. La variación de la velocidad con respecto al tiempo se llama aceleración.

6 Se define entonces la aceleración media como el cambio de la velocidad instantánea con respecto al tiempo. a m = v 2 v 1 = v t 2 t 1 t Ec Aceleración instantánea. El valor límite en la Ec. 1.4 cuando el intervalo de tiempo t tiende a cero, es la aceleración instantánea: v a = lim t 0 t = dv dt Ec. 1.5 Ejemplo 1.3. Para la situación descrita en el Ejemplo 1.2, determine: (a) la aceleración media entre t = 1s y t = 3 s, (b) la aceleración instantánea en t = 3 s. Solución. (a) En el Ejemplo 1.2 se obtuvo que v = 4t 4 En t = 1 s v 1 = 4(1) 4 = 0 En t = 3 s v 3 = 4(3) 4 = 8 m s Aplicando la Ec. 1.4, a m = = 4 m s 2 (b) La aceleración instantánea se obtiene derivando la ecuación de velocidad (Ec. 1.5): a = dv dt = d dt (4t 4) = 4 m s 2 Comentario. En este caso la aceleración media y la instantánea resultan ser iguales. Esto se debe a que la aceleración no depende del tiempo, como muestra el resultado en el inciso (b); es decir, la aceleración es constante.