TEMA 2. CINEMÁTICA OBJETIVOS

Transcripción

1 OBJETIVOS Definir y relacionar las variables que describen el movimiento de una partícula (desplazamiento, velocidad y aceleración). Justificar la necesidad del carácter vectorial de las variables cinemáticas. Resolver problemas de Cinemática de la partícula. Comprender el movimiento acelerado, tanto por un cambio en el módulo de la velocidad (aceleración tangencial) como por una variación de su dirección (aceleración normal). Distinguir entre sistemas inerciales y no inerciales

2 ÍNDICE 2.2 El movimiento en dos y tres dimensiones

3 2.1.1 Desplazamiento y velocidad Aceleración Movimiento con aceleración constante Integración

4 2.1.1 Desplazamiento y velocidad Un automovil que se mueve en línea recta. El eje OX coincide con dicha dirección

5 2.1.1 Desplazamiento y velocidad Gráfico de posición frente a tiempo de un automóvil que acelera (0 s<t<10 s), luego frena (10 s<t<14,3 s) y después se detiene (t>14,3 s)

6 2.1.1 Desplazamiento y velocidad t 1 =8,0 s t 2 =14,3 s x 1 =130 m x 2 =272 m La velocidad promedio en el intervalo entre t 1 =8,0 s y t 2 =14,3 s es la pendiente de la línea recta P 1 y P 2

7 2.1.1 Desplazamiento y velocidad Gráfica de posición frente a tiempo para un automóvil que se mueve a velocidad constante

8 2.1.1 Desplazamiento y velocidad Gráfica de posición frente a tiempo para un automóvil que se mueve con velocidad variable. En un intervalo de tiempo pequeño, la gráfica puede aproximarse por una línea recta corta (azul)

9 2.1.1 Desplazamiento y velocidad La línea recta tangente a la gráfica en t=4,0 s sube 34 m en 2 s, esto es, tiene una pendiente de 34 m/2 s = 17 m/s

10 2.1.1 Desplazamiento y velocidad Para hallar las velocidades instantáneas a tiempos diferentes, se trazan tangentes a la gráfica en estos tiempos y se miden sus pendientes

11 2.1.1 Desplazamiento y velocidad Velocidad instantánea en función del tiempo obtenida a partir de un método gráfico

12 2.1.1 Desplazamiento y velocidad 0 s<t<10 s t 1 =3,9995 s t 2 =4,0005 s x 1 =35,3195 s x 2 =35,3365 s Velocidad instantánea en función del tiempo obtenida a partir de un método numérico

13 2.1.1 Desplazamiento y velocidad 0 s<t<10 s t 1 =3,9998 s t 2 =4,0002 s x 1 =35,3246 s x 2 =35,3314 s Velocidad instantánea en función del tiempo obtenida a partir de un método numérico

14 2.1.1 Desplazamiento y velocidad Velocidad instantánea en función del tiempo obtenida por derivación

15 2.1.2 Aceleración Si v x y a x tienen el mismo signo, el módulo de la velocidad aumenta. Si v x y a x tienen signos opuestos, el módulo de la velocidad disminuye. Si a x es cero, v x es constante.

16 2.1.2 Aceleración La aceleración promedio en el intervalo entre t 1 =0,0 s y t 2 =10,0 s es la pendiente de la línea recta Q 1 y Q 2

17 2.1.2 Aceleración La aceleración instantánea en t=4,0 s es la pendiente de la tangente en ese punto

18 2.1.2 Aceleración Aceleración instantánea en función del tiempo

19 2.1.3 Movimiento con aceleración constante Diagrama del movimiento

20 2.1.3 Movimiento con aceleración constante a m x = a x Velocidad final v x = v 0x + Δv = v 0x + a m x Δt v x = v 0x + Δv = v 0x + a x Δt Gráfico v(t) con aceleración constante

21 2.1.3 Movimiento con aceleración constante Cálculo del desplazamiento Δx cuando la aceleración es nula Δx = v 0x Δt (a x = 0) Gráficos del movimiento a velocidad constante

22 2.1.3 Movimiento con aceleración constante Cálculo del desplazamiento Δx en un movimiento general Δx i v i Δt i Δx Σ Δx i = Σ v i Δt i i i

23 2.1.3 Movimiento con aceleración constante Cálculo del desplazamiento Δx cuando la aceleración es constante Gráficamente: Δx = v 1x Δt + (1/2) a x (Δt) 2 Si t 1 = 0 y t 2 = t x x 0 = v 0x t + (1/2) a x t 2

24 2.1.3 Movimiento con aceleración constante Otras ecuaciones cinemáticas Despejando: Al sustituir: t = (v x v 0x ) / a x Δx = v 0x ((v x v 0x ) / a x ) + (1/2) a x ((v x v 0x ) / a x ) 2 De donde: v 2 x = v 2 0x + 2 a x Δx

25 2.1.3 Movimiento con aceleración constante Otras ecuaciones cinemáticas Δx = v m x Δt v m x = (1/2) (v 1x + v 2x )

26 2.1.3 Movimiento con aceleración constante Movimiento con aceleración constante

27 2.1.4 Integración Teorema fundamental del cálculo Si f(t) = df(t) / dt, entonces, F(t 2 ) F(t 1 ) = f(t) dt t 1 t n dt = (t n+1 / (n + 1)) + C, n 1 En este caso: t 2 Δv x = v x (t 2 ) v x (t 1 ) = lim (Σ a ix Δt i ) = a x dt Δt 0 Δx = x(t 2 ) x(t 1 ) = lim (Σ v ix Δt i ) = v x dt Δt 0 i i t 2 t 1 t 2 t 1

28 2.1.4 Integración Al integrar, con t 1 = 0 y t 2 = t, resulta: t 2 v x (t 2 ) v x (0) = a x dt = a x (t 2 0) 0 t 2 x(t 2 ) x(0) = (v 0x + a x t) dt = v 0x t 2 + (1/2) a x t Si se hace t 2 = t, resulta: v x = v 0x + a x t x = x 0 + v 0x t + (1/2) a x t 2

29 2.1.4 Integración El área bajo la curva v x t es el desplazamiento Δx = x(t 2 ) x(0)

30 2.1.4 Integración Definición alternativa de velocidad media Δx = v m x Δt t 2 Δx = v x dt t 1 t 2 v m x = (1/Δt) v x dt t 1 Δt = t 2 t 1

31 2.2 El movimiento en dos dimensiones Desplazamiento, velocidad y aceleración Movimiento de proyectiles Movimiento circular uniforme Movimiento curvilíneo Movimiento relativo

32 2.2 El movimiento en dos dimensiones Desplazamiento, velocidad y aceleración Trayectoria de un vehículo por las calles de una ciudad

33 2.2 El movimiento en dos dimensiones Desplazamiento, velocidad y aceleración En un pequeño intervalo de tiempo Δt, el desplazamiento es P1P2 y los cambios en las coordenadas x e y son dx y dy

34 2.2 El movimiento en dos dimensiones Desplazamiento, velocidad y aceleración Los desplazamientos dx y dy son los catetos de un triángulo rectángulo

35 2.2 El movimiento en dos dimensiones Desplazamiento, velocidad y aceleración Aceleraciones promedio e instantáneas en las direcciones x e y. Aceleración instantánea total. Existe aceleración siempre que cambie cualquiera de las componentes de la velocidad

36 2.2 El movimiento en dos dimensiones Desplazamiento, velocidad y aceleración En un pequeño intervalo de tiempo, el vector desplazamiento, ddrr = ddddıı + ddddȷȷ, es tangente a la trayectoria de la partícula, al igual que el vector velocidad vv

37 2.2 El movimiento en tres dimensiones Desplazamiento, velocidad y aceleración El movimiento en tres dimensiones viene caracterizado por los vectores correspondientes

38 2.2 El movimiento en dos dimensiones Movimiento con aceleración constante Los movimientos en las direcciones x e y son independientes entre si

39 2.2 El movimiento en dos dimensiones Desplazamiento, velocidad y aceleración Fotografía estroboscópica de dos pelotas lanzadas simultáneamente. Las líneas horizontales rojas indican la coincidencia de la posición vertical de ambos objetos. Las líneas azules verticales muestran que la componente horizontal de la pelota amarilla es constante

40 2.2 El movimiento en dos dimensiones Movimiento de proyectiles Componentes de : v 0x = v 0 cos θ 0 v 0y = v 0 sen θ 0 Los movimientos en las direcciones x e y son independientes entre si

41 2.2 El movimiento en dos dimensiones Movimiento de proyectiles Trayectoria con indicación de los vectores velocidad en diferentes instantes del tiempo

42 2.2 El movimiento en dos dimensiones Movimiento de proyectiles Trayectorias con el mismo valor del vector velocidad

43 2.2 El movimiento en dos dimensiones Movimiento circular uniforme Vectores velocidad instantánea para una partícula en movimiento circular uniforme

44 2.2 El movimiento en dos dimensiones Movimiento circular uniforme La diferencia entre los vectores velocidad y es Vectores de posición y en dos momentos con un intervalo Δt. La diferencia entre ambos es

45 2.2 El movimiento en dos dimensiones Movimiento circular uniforme Valor de la aceleración en un movimiento circular uniforme

46 2.2 El movimiento en dos dimensiones Movimiento circular uniforme Vectores aceleración instantánea para una partícula en movimiento circular uniforme

47 2.2 El movimiento en dos dimensiones Movimiento curvilíneo Componentes de la aceleración en un movimiento curvilíneo

48 2.2 El movimiento en dos dimensiones Movimiento relativo El sistema de coordenadas x -y (azul) del barco se mueve en relación con el sistema de coordenadas x-y (verde) de la costa

49 2.2 El movimiento en dos dimensiones Movimiento relativo Transformación galileana de velocidades en movimiento relativo. En sistemas de referencia con movimiento uniforme relativo, la aceleración es única