ESTUDIO DEL MOVIMIENTO.

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1 TEMA 1. CINEMATICA. 4º E.S.O. FÍSICA Y QUÍMICA Página 1 ESTUDIO DEL MOVIMIENTO. MAGNITUD: Es todo aquello que se puede medir. Ejemplos: superficie, presión, fuerza, etc. MAGNITUDES FUNDAMENTALES: Son aquellas a partir de las cuales se pueden deducir todas las demás. En mecánica las magnitudes fundamentales son: longitud, masa y tiempo. UNIDADES PATRÓN: Son : de longitud : el metro (m), de masa : el kilogramo (kg) y de tiempo : el segundo (s). MAGNITUDES DERIVADAS: Son aquellas que se pueden expresar en función de las magnitudes fundamentales. Ejemplo: la velocidad. v = e / t MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES. Magnitudes escalares. Son aquellas que quedan definidas por el valor de su medida. Ejemplos: la masa y el tiempo. Magnitudes vectoriales. Son aquellas que para definirlas es necesario conocer, además de su medida, su dirección y sentido. Se representan mediante vectores. Ejemplos: la fuerza y la velocidad. VECTOR: Es un segmento orientado. En Física utilizaremos a los vectores para representar magnitudes vectoriales (velocidad, posición, aceleración, fuerza, ) o Partes de un vector : Módulo. Es la longitud del vector. Dirección. Es la recta sobre la cual se encuentra Sentido. Es el que indica la punta de flecha. Origen o punto de aplicación. Es el origen del vector. Los vectores se representan de la siguiente forma: CINEMÁTICA: Es la parte de la Física que estudia los movimientos de los cuerpos sin tener en cuenta las causas que los producen. El objetivo de la cinemática es conocer en cualquier instante la posición r (t), la velocidad v (t) y la aceleración a (t) del móvil. MOVIMIENTO: Se dice que un cuerpo se mueve cuando cambia de posición respecto a un punto de referencia. Se llama movimiento absoluto si el punto de referencia es fijo y movimiento relativo si el punto de referencia es móvil. Como en el Universo no existe ningún punto fijo de referencia, todo movimiento es relativo. TRAYECTORIA: Es el conjunto de puntos por los cuales pasa un móvil al desplazarse. Si los móviles dejasen rastro por donde van pasando, la trayectoria sería la línea que describirían. Existen trayectorias muy sencillas (rectilínea o circular), pero las hay más complejas (parabólicas, elípticas, hiperbólicas), o extremadamente complejas entre las curvilíneas (vuelo de una mosca, movimiento de la mano de un saltador de trampolín). POSICIÓN DE UN MÓVIL Para determinar la posición de un móvil se pueden tomar unos ejes coordenados de referencia. Si el móvil se mueve en un plano se puede localizar éste mediante su abscisa y su ordenada en cada instante. y P (x, y ) O x El vector OP P O r (t) nos indica la posición del móvil en el instante t

2 TEMA 1. CINEMATICA. 4º E.S.O. FÍSICA Y QUÍMICA Página 2 Ejercicio 1. a) Dibuja la trayectoria de un móvil cuyas ecuaciones de movimiento son: x (t) = 2 t + 1 ; y (t) = t 2 entre los instantes : t = 0 y t = 5 s. b) Representa la trayectoria de un móvil cuya ecuación es y = 3 x + 2. Otras veces resulta más cómodo medir las posiciones sobre la propia trayectoria. Para fijar una posición medida sobre la trayectoria es necesario fijar un punto O, al que asignaremos la posición cero; este punto es el denominado origen. Q Barcelona P Zaragoza O Madrid VECTOR DESPLAZAMIENTO: Para un móvil que parte de un punto A y llega a otro B se llama vector desplazamiento al vector que tiene como origen el punto A y como extremo el punto B. A B d AB B A VELOCIDAD VELOCIDAD MEDIA: Es el cociente entre el espacio total recorrido por un móvil y el tiempo empleado en recorrerlo. A e B e x vm ; y por tan to : e vm. t t t Ten cuenta que: El espacio total recorrido e coincide con la longitud recorrida sobre la trayectoria. Si la trayectoria es recta e = x. El tiempo empleado es realmente el intervalo de tiempo que transcurre entre dos instantes dados. UNIDAD DE VELOCIDAD En el S.I. (Sistema Internacional) es : m/s Ejercicio 2. Un móvil ha recorrido un espacio de 120 km en 2 horas. Cuál ha sido su velocidad media? Solución: e v m = t 120 km = = 60 km/h. 2 h

3 TEMA 1. CINEMATICA. 4º E.S.O. FÍSICA Y QUÍMICA Página 3 VELOCIDAD INSTANTÁNEA Es el cociente entre el espacio recorrido por un móvil entre dos puntos muy próximos y el tiempo (un instante) empleado en recorrerlo. x t x v i = cuando t 0 t La velocidad instantánea coincide con la que marca el velocímetro de un automóvil en cada instante. CARÁCTER VECTORIAL DE LA VELOCIDAD La velocidad es una magnitud VECTORIAL, es decir la podemos representar mediante un vector. La velocidad de un móvil en cada punto de su trayectoria es un vector cuyo módulo es el valor de la velocidad instantánea en el punto; la dirección es la tangente en el punto a la trayectoria y el sentido el del movimiento del móvil. B v B C A Si un móvil tiene rectilínea su dirección no cambia, y el vector velocidad no cambia de dirección. Si la trayectoria es rectilínea y el móvil se da la vuelta (avanza y de repente retrocede), el vector velocidad cambia también de sentido, pero no de dirección. Cualquier trayectoria no rectilínea supone cambios continuos del vector velocidad. (Ejemplo: movimiento circular uniforme) ACELERACIÓN La aceleración es una magnitud que nos mide cómo cambia la velocidad de un móvil. Recuerda que la velocidad puede cambiar: 1. Sólo de módulo, y nos originará una aceleración tangencial 2. Sólo de dirección, y nos originará una aceleración normal 3. De dirección y de módulo, y nos originará aceleración tangencial y normal. En los movimientos rectilíneos, sólo tendremos aceleración tangencial ya que el vector velocidad no varía su dirección y por lo tanto no tendremos aceleración normal. En los movimientos circulares uniformes (a velocidad módulo- constante) no tendremos aceleración tangencial y sólo tendremos aceleración normal. En los movimientos curvilíneos no uniformes tendremos de las dos. UNIDAD DE ACELERACIÓN: En el S. I. es: m/s 2. ACELERACIÓN TANGENCIAL MEDIA Es el cociente existente entre la variación del módulo de la velocidad y el tiempo invertido en producir esa variación. v O A t B v F a t v f v t o v t

4 TEMA 1. CINEMATICA. 4º E.S.O. FÍSICA Y QUÍMICA Página 4 v F > v O v A v O > 0 a > 0 v F < v O v A v O < 0 a < 0 aceleración positiva aceleración negativa o deceleración El móvil aumenta su velocidad (acelera) El móvil disminuye su velocidad (se frena) ACELERACIÓN NORMAL Es la aceleración que posee un móvil debido al cambio de dirección del vector velocidad Un móvil que se desplaza siguiendo una trayectoria circular con velocidad constante v tiene una aceleración normal que viene dada por la expresión: v 2 a n, donde v es el módulo de la velocidad, y r el radio de la trayectoria. En los movimientos circulares, r es el radio de la circunferencia. En otros movimientos curvilíneos el radio de la trayectoria varía. En los movimientos rectilíneos, r es y a n =0 r Ejercicio 3. Hallar la aceleración normal de un móvil que se mueve siguiendo una trayectoria circular de 2 m. de radio con una velocidad de 4 m/s. Solución: a n = v 2 / r = 4 2 / 2 = 16 / 2 = 8 m/s 2. MAGNITUDES ANGULARES RADIAN Es un ángulo cuyo arco S correspondiente rectificado tiene la misma longitud que el radio con el que ha sido trazado. En otras palabras, el arco es igual al ángulo (rad) por el radio: S r = 1 radián si S = r = 2 radianes si S = 2 r = 3 radianes si S = 3r radianes si S = r S = r El número de radianes de un ángulo se obtiene dividiendo la longitud del arco correspondiente entre el radio con el que ha sido trazado. r S = longitud del arco = número de radianes Es importante señalar que es adimensional ya que es el cociente de dos longitudes. El radián por tanto no es una unidad. S r

5 TEMA 1. CINEMATICA. 4º E.S.O. FÍSICA Y QUÍMICA Página 5 Ejercicio 4. El arco correspondiente a un ángulo que ha sido trazado con un radio de 3 m. tiene una longitud de 9 metros. Cuántos radianes tiene el ángulo? Solución: S 9 r = 3 m S = 9 m = = = 3 radianes. r 3 Ejercicio 5. Qué longitud tiene el arco de la figura? Solución: S r = 150 cm S =. r = 2. 1,5 = 3 m. = 2 radianes NÚMERO DE RADIANES DE UNA CIRCUNFERENCIA: Teniendo en cuenta que la longitud de una circunferencia es 2 r, el número de radianes de ésta será : S S 2 r = = = 2 radianes r r r La correspondencia entre grados sexagesimales y radianes es la siguiente: Grados sexagesimales Radianes 0 / 2 3 / 2 2 VELOCIDAD ANGULAR: Para un móvil que describe una trayectoria circular se define la velocidad angular como el cociente que existe entre el ángulo descrito por el móvil y el tiempo empleado en describirlo. B t = velocidad angular = ángulo descrito A t = tiempo UNIDADES DE VELOCIDAD ANGULAR En el S. I. es rad/s. Frecuentemente se utiliza como unidad de velocidad angular la revolución por minuto (rpm) 1 rpm 2 rad / s 60 2 s 60 1

6 TEMA 1. CINEMATICA. 4º E.S.O. FÍSICA Y QUÍMICA Página 6 Ejercicio 6. Un móvil describe con velocidad constante un arco de circunferencia de 15 metros de longitud en un tiempo de 2 segundos. Si el radio de la circunferencia es de 3 metros, hallar la velocidad angular del móvil. Solución: B S 15 t = 2 s = = = 5 rad. r = 3 m S = 15 m r 3 A 5 = = = 2,5 rad/s. t 2 RELACIÓN ENTRE LA VELOCIDAD LINEAL Y LA ANGULAR. La velocidad lineal es igual a la velocidad angular multiplicada por el radio. v =. r Demostración. Supongamos un móvil que se desplaza con velocidad constante entre dos puntos A y B, describiendo un arco de circunferencia de longitud S, tardando un tiempo t en recorrerlo. Si r es el radio de la trayectoria, se cumplirá: B S S t v = ; = r A t t S = ; S =. r r S. r v = = = r =. r t t t Ejercicio 7. Un móvil sigue una trayectoria circular recorriendo 40 metros en 4 segundos. Si la velocidad es constante y el radio de la trayectoria es de 20 metros. Hallar: a) La velocidad lineal. b) La velocidad angular. c) Comprobar que se cumple la relación anteriormente citada entre ellas. Solución: a) v = S / t = 40 / 4 = 10 m/s S = 40 m r = 20 m t = 4 s b) = / t ; = S / r = 40 / 20 = 2 rad. = 2 / 4 = 0,5 rad/ s c) v =. r ; v = 10 ;. r = 0,5. 20 = 10

7 TEMA 1. CINEMATICA. 4º E.S.O. FÍSICA Y QUÍMICA Página 7 CLASIFICACIÓN DE LOS MOVIMIENTOS Atendiendo a la trayectoria, los movimientos se clasifican en : Rectilíneos. Si la trayectoria es una línea recta. A B Curvilíneos. Si la trayectoria es una línea curva. A A B Atendiendo a la velocidad, los movimientos pueden ser : Uniformes. Si el valor de la velocidad es constante. A B C D v A = 5 m/s v B = 5 m/s v C = 5 m/s v D = 5 m/s Uniformemente variados o uniformemente acelerados. Si tienen aceleración tangencial constante. A B C D t AB = 2 s t BC = 2 s t CD = 2 s v A = 2 m/s v B = 6 m/s v C = 10 m/s v D = 14 m/s v B v A A B a = = = = 2 m/s 2 t AB 2 2 v D v B B D a = = = = 2 m/s 2 t BD 4 4 v D v A A D a = = = = 2 m/s 2 t AD 6 6 Variados no uniformemente. Si la aceleración tangencial no es constante. A B C D t AB = 1 s t BC = 1 s t CD = 1 s v A = 2 m/s v B = 4 m/s v C = 8 m/s v D = 10 m/s v B v A A B a = = = = 2 m/s 2 t AB 1 1 v C v B B C a = = = = 4 m/s 2 t BC 1 1

8 TEMA 1. CINEMATICA. 4º E.S.O. FÍSICA Y QUÍMICA Página 8 MOVIMIENTO RECTILÍNEO Y UNIFORME (MRU) Es el de un móvil cuya trayectoria es una línea recta y cuya velocidad es constante. Para facilitar su descripción supondremos que la recta coincide con el eje OX. Hablaremos también de posiciones (x) sobre el eje OX, y el espacio recorrido será la diferencia entre dos posiciones: x = v. t Si el móvil ya había recorrido un espacio antes de comenzar a contar el tiempo (espacio inicial), el espacio total vendrá dado por: X x = x 0 + vt x 0 x= v. t Hay que señalar que con esta ecuación puedo conocer dónde está el móvil en cualquier instante x(t) sabiendo su velocidad y posición iniciales. DIAGRAMAS DE UN MOVIMIENTO UNIFORME. v x x x = v. t x = x 0 + v. t x 0 t t t Ejercicio 8. Representar gráficamente : a) En un diagrama velocidad-tiempo, el movimiento de un móvil que tiene una velocidad constante de 3 m/s. b) En un diagrama espacio-tiempo, el movimiento de un móvil que tiene una velocidad constante de 5 m/s. c) En un diagrama espacio-tiempo, el movimiento de un móvil que tiene una velocidad constante de 2 m/s si el espacio inicial es de 4 m. ( el móvil se aleja del origen ). MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE ACELERADO (MRUA) Es el de un móvil que sigue una trayectoria recta y tiene aceleración tangencial constante y aceleración normal nula. O t A v v 0 a = ; v 0 x v t v v 0 = a. t ; v = v 0 + a. t Si el móvil parte del reposo: v 0 = 0 ; v = a. t Todo movimiento uniformemente acelerado puede considerarse para el cálculo del espacio recorrido como un movimiento uniforme cuya velocidad fuese la media aritmética entre la velocidad inicial (v 0 ) y la final (v).

9 TEMA 1. CINEMATICA. 4º E.S.O. FÍSICA Y QUÍMICA Página 9 v 0 + v v 0 + v 0 + a t 2 v 0 + a t e = v m. t = t = t = t = (v / 2 a t ). t = = v 0. t + 1 /2. a. t 2 Así pues, las ecuaciones de un movimiento uniformemente acelerado son: CAÍDA LIBRE DE LOS CUERPOS La caída libre de los cuerpos es un movimiento uniformemente acelerado. La aceleración se llama aceleración de la gravedad, se le representa por g y vale 9,8 m/s 2 en las proximidades de la superficie terrestre. Las ecuaciones son: Caída libre v = v 0 + g. t Ascensión v = v 0 g. t h = v 0. t + 1 /2. g. t 2 h = v 0. t 1 /2. g. t 2 v 2 = v g. h v 2 = v g. h Como te habrás dado cuenta sólo varía el signo de g. Trataremos de plantear unas ecuaciones más generales que no contemplen sólo estos dos casos. Para ello supondremos que el sentido POSITIVO es hacia abajo, es decir el eje OY apunta hacia abajo: Sentido positivo del eje OY (Origen: punto de lanzamiento): +g (siempre, suba o baje) -v (sentido opuesto) +v (igual sentido) Otro planteamiento, que no vamos a usar, sería: Sentido positivo del eje OY: -g(siempre, suba o baje) -v (sentido opuesto) +v (igual sentido) Las ecuaciones nos quedan así:

10 TEMA 1. CINEMATICA. 4º E.S.O. FÍSICA Y QUÍMICA Página 10 v = v 0 g. t y = y o v 0. t 1 /2. g. t 2 v 2 = v g. (y-y o ) DIAGRAMAS DE UN MOVIMIENTO UNIFORMEMENTE ACELERADO. a v v x t t t t a= constante v= a t v = v o + a t x = v 0 t + 1 /2 a t 2 Ejercicio 9. Representar gráficamente: a) La aceleración frente al tiempo para un móvil que tiene una aceleración constante de 2 m/s 2. b) La velocidad frente al tiempo para un móvil que se mueve con una aceleración constante de 2 m/s 2 y ha partido del reposo. c) La velocidad frente al tiempo para un móvil que se mueve con una aceleración constante de 5 m/s 2 y una velocidad inicial de 10 m/s. d) El espacio frente al tiempo para un móvil que se mueve con una aceleración constante de 4 m/s 2 si ha partido del reposo. e) La velocidad frente al tiempo para un móvil cuya velocidad inicial es de 20 m/s y tiene una aceleración negativa de 5 m/s 2. f) La velocidad frente al tiempo (durante los primeros 6 segundos) y el espacio frente al tiempo (durante los 5 primeros segundos) para un objeto que se suelta desde una gran altura. g) La velocidad frente al tiempo hasta que se pare de un objeto lanzado desde el suelo con una velocidad de 80 m/s. Qué altura máxima alcanza el objeto? Ejercicio 10. Un móvil posee un movimiento uniformemente acelerado siendo su velocidad inicial de 5 m/s y su aceleración de 3 m/s 2. Calcular: a) Velocidad que tendrá a los 10 segundos. b) Espacio que recorrerá en 4 segundos. c) Tiempo que tardará en alcanzar una velocidad de 25 m/s. d) Qué velocidad tendrá cuando haya recorrido 120 metros? e) Tiempo que tardará en recorrer 50 metros. Solución: Movimiento uniformemente acelerado. v 0 = 5 m/s ; a = 3 m/s 2. Ecuaciones : v = v 0 + a t ; e = v 0 t + 1/2 a t 2 ; v 2 = v a e a) v=? ; t = 10 s ; v = v 0 + a t ; v = = 35 m/s. b) e=? ; t = 4 s ; e = v 0 t + 1/2 a t 2 = / = 44 m. c) t = ; v = 25 m/s ; v = v 0 + a t ; 25 = t ; 20 = 3 t ;

11 TEMA 1. CINEMATICA. 4º E.S.O. FÍSICA Y QUÍMICA Página 11 t = 20/3 = 6,66 s. d) v = ; e = 100 m ; v 2 = v a e ; v 2 = = 745 ; v = 27,29 m/s. e) t = ; e = 50 m ; v 2 = v a e = = 325 ; v = 18,02 m/s ; v = v 0 + a t ; 18,02 = t ; 3 t = 13,02 ; t = 13,02/3 = 4,34 s. Ejercicio 11. Se deja caer un objeto desde un globo que está a una altura de 550 metros. Calcula el tiempo que tarda en caer y la velocidad con que llega al suelo. Solución : Movimiento uniformemente acelerado. v 0 = 0 m/s ; g = 10 m/s 2. Ecuaciones : v = v 0 + g t ; h = v 0 t + 1/2 g t 2 ; v 2 = v g h h = 550 m ; v = ; t = ; v 2 = v g h = = ; v = 104,88 m/s v = v 0 + g t ; 104,88 = t ; t = 104,88/10 = 10,48 s. Ejercicio 12. El conductor de un coche que circula a 30 m/s frena y el coche se para después de transcurrir 5 segundos. Calcula la aceleración de la frenada y el espacio que recorrió el coche hasta pararse. Solución : Movimiento uniformemente acelerado con aceleración negativa. Ecuaciones : v = v 0 a t ; e = v 0 t 1/2 a t 2 ; v 2 = v a e v 0 = 30 m/s ; t = 5 s ; v = 0 ; e = ; a = ; v = v 0 a t ; 0 = 30 a. 5 ; 5 a = 30 ; a = 30/5 = 6 m/s 2 Luego la aceleración vale a = 6 m/s 2. e = v 0 t 1/2 a t 2 = / = 75 m. Ejercicio 13. Se lanza un cuerpo verticalmente hacia arriba desde el suelo con una velocidad de 150 m/s. Calcula : a) Velocidad que tendrá a los 5 segundos. b) Altura a la que se encontrará a los 7 segundos. c) Tiempo que tardará en alcanzar la máxima altura. d) Máxima altura alcanzada. Solución : Movimiento uniformemente acelerado con aceleración negativa (aceleración = g). Ecuaciones : v = v 0 g t ; h = v 0 t 1/2 g t 2 ; v 2 = v g h v 0 = 150 m/s ; a = g = 10 m/s 2 a) v = ; t = 5 s. ; v = v 0 g t = = 100 m/s.

12 TEMA 1. CINEMATICA. 4º E.S.O. FÍSICA Y QUÍMICA Página 12 b) h = ; t = 7 s. ; h = v 0 t 1/2 g t 2 = / = 805 m. c) v = v 0 g t ; 0 = t ; 10 t = 150 ; t = 150/10 = 15 s. d) h = v 0 t 1/2 g t 2 = / = m. MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME M.C.U. Es el de un móvil que sigue una trayectoria circular con velocidad constante. No tiene aceleración tangencial pero sí aceleración normal. En un movimiento circular uniforme se definen: Periodo ( T ). Es el tiempo empleado por el móvil en recorrer una circunferencia completa. Se mide en segundos. Frecuencia ( f). Es el número de vueltas dadas por el móvil en un segundo. Se mide en ciclos/s o hertzios (Hz). T 1 1 f ( s); f 1 ( s T )( Hz)( ciclos / s) Según lo ya conocido : e 2 = ; v = ; v =. r ; = = 2 f t t T v 2 (. r ) 2 2. r 2 a n = = = = 2. r r r r Ejercicio 14. Un móvil describe una trayectoria circular con velocidad constante. Si el radio de la trayectoria es de 5 m. y tarda 4 segundos en dar una vuelta completa. Calcular : a) La velocidad lineal. b) La velocidad angular en rad/s y en rpm c) El periodo. d) La frecuencia. e) La aceleración normal. Solución : e 2 r 2. 3,14. 5 a) v = = = = 7,85 m/s. t t 4 b) 2 1 r.p.m / 60 rad/s = = = 1,57 rad/s x... 1,57 rad/s t 4 x = 15 rpm v 7,85 o también : v =. r ; = = = 1,57 rad/s. r 5

13 TEMA 1. CINEMATICA. 4º E.S.O. FÍSICA Y QUÍMICA Página c) T = 4 s. d) f = = = 0,25 ciclos/s = 0,25 Hz T 4 o también : 15 vueltas s. f... 1 s. f = 0,25 Hz. e) v 2 ( 7,85) 2 a n = = = 12,32 m/s 2. r 5 o también : a n = 2. r = (1,57) 2. 5 = 12,32 m/s 2. EJERCICIOS CINEMÁTICA TEMA 1 (FÍSICA Y QUÍMICA 4º eso) 1) Realiza los siguientes cambios de unidades, expresando el resultado en notación científica : a) 0,00024 mm a Hm b) 800 m 2 a cm 2 c) 85 l a m 3 d) g a kg e) 429 mm 2 a Dm 2 f) 3 días a s Sol. : a) 2, Hm b) cm 2 c) 8, m 3 d) kg e) 4, Dm 2 f) 2, s. 2) Realiza los cambios de unidades siguientes : a) 43 m/s a km/h b) 400 dm 3 /h a l/s c) 850 kg/m 3 a g/cm 3 d) 5 m 2 /s a dm 2 /s e) 3,2 g/cm 3 a kg/m 3 f) 100 km/h a m/s Sol. : a) 154,8 km/h b) 0,11 l/s c) 0,85 g/cm 3 d) 500 dm 2 /s e) kg/m 3 f) 27,77 m/s 3) Expresa en unidades del S.I. : a) 60 km/h b) 4800 kg/m 3 c) 300 cm 2 /h d) 8000 m/h Sol. : a) 16,66 m/s b) 4800 kg/m 3 c) 8, m 2 /s d) 2,22 m/s 4) Ordena de mayor a menor las siguientes velocidades : a) 1,5 m/s b) 1500 m/min. c) 75 km/h d) 500 mm/s Sol. : 1500 m/min > 75 km/h > 1,5 m/s > 500 mm/s 5) Un móvil ha recorrido un espacio de 180 km en un tiempo de 3 horas. Cuál ha sido la velocidad media? Sol. : v m = 60 km/h 6) Un móvil que lleva una velocidad de 36 km/h alcanza en medio minuto la velocidad de l44 km/h. Cuál ha sido su aceleración? Sol. : a = 1 m/s 2.

14 TEMA 1. CINEMATICA. 4º E.S.O. FÍSICA Y QUÍMICA Página 14 7) Un tren eléctrico da vueltas en una pista circular de 3 m de radio con una velocidad constante de 6 m/s. Cuánto vale su aceleración normal? Sol. : a n = 12 m/s 2. 8) La velocidad de un móvil es constantemente igual a 5 m/s. Puede tener aceleración este movimiento? Cuánto valdrá en su caso? Razónalo. 9) Un coche que marcha a la velocidad de 72 km/h se para en 3 segundos por la acción de los frenos. Cuánto vale la aceleración? Sol. : a = 6,66 m/s 2. 10) Realiza las siguientes conversiones de unidades : a) 3 rad/s a rpm b) 80 r.p.m. a rad/s c) 80 º a rad d) 50 rad a vueltas. Sol. : a) 28,66 rpm b) 8,37 rad/s. c) 1,39 rad. d) 7,96 vueltas. 11) Un móvil gira en una trayectoria circular con una velocidad de 36 km/h. Si el diámetro de la trayectoria es de 8 m. Calcular: a) La velocidad angular en rad/s y en pm. b) La aceleración normal. Sol. : a) = 2,5 rad/s = 23,88 rpm b) a n = 25 m/s 2. 12) Una rueda de un coche tiene 80 cm de diámetro y gira a 716 pm. Qué velocidad lleva el coche en km/h? Sol. : v = 107,89 km/h. 13) De todos los puntos de un disco que gira, cuáles tienen mayor velocidad angular? y mayor velocidad lineal? 14) Es posible que un móvil parta del reposo con movimiento uniforme? Razónalo. 15) Un móvil con movimiento uniforme posee una velocidad de 4 m/s. Qué espacio recorrerá en 15 segundos? Sol. : e = 60 m. 16) Un móvil avanza durante un minuto con una velocidad constante de 6 m/s ; después permanece parado 20 segundos y por último vuelve a avanzar durante 40 s con velocidad constante de 3 m/s. Cuál ha sido la velocidad media a lo largo del recorrido total? Sol. : v m = 4 m/s. 17) Un autobús efectúa un recorrido de 120 km con una parada intermedia de media hora. Cuál debe se su velocidad en ruta para que la velocidad media contando el tiempo de parada sea de 60 km/h? Sol. : v = 80 km/h.

15 TEMA 1. CINEMATICA. 4º E.S.O. FÍSICA Y QUÍMICA Página 15 18) Un móvil posee movimiento uniformemente acelerado, con una velocidad inicial de 20 m/s y aceleración de 1,5 m/s 2. Qué velocidad tendrá cuando hayan transcurrido 2 minutos? Qué espacio habrá recorrido durante ese tiempo? Sol. : v = 200 m/s ; e = m. 19) Un automóvil necesita 40 segundos para alcanzar una velocidad de 72 km/h partiendo del reposo. Calcula el espacio recorrido en ese tiempo. Sol. : e = 400 m. 20) Un móvil que lleva una velocidad de 108 km/h está sometido a una aceleración negativa constante de 20 m/s 2. Calcular el espacio que recorrerá hasta pararse. Sol. : e = 22,5 m. 21) Un automóvil marcha a 144 km/h. Qué aceleración negativa es preciso comunicarle para que se detenga en 100 metros? Sol. : a = 8 m/s 2. 22) Desde qué altura debe soltarse un objeto para que al llegar al suelo tenga una velocidad de 54 km/h? Sol. : h = 11,25 m. 23) Desde una altura de 300 metros se lanza verticalmente hacia abajo un objeto con una velocidad de 10 m/s. Calcular el tiempo que tardará en llegar al suelo y con qué velocidad llegará al mismo. Sol. : t = 6,81 s ; v = 78,1 m/s. 24) Se lanza un objeto verticalmente hacia arriba con una velocidad de 80 m/s. Calcular la velocidad que tendrá a los 2 segundos de lanzarlo y el espacio que habrá recorrido en ese tiempo. Sol. : v = 60 m/s ; e = 140 m. 25) Qué velocidad hay que comunicar a una piedra para que, lanzándola verticalmente hacia arriba, alcance una altura máxima de 20 metros? Cuánto tiempo tardará en alcanzar dicha altura? Sol. : v = 20 m/s ; t = 2 s. 26) Un cuerpo describe una trayectoria circular de 3 metros de radio con una velocidad de 30 pm. Calcular : a) El periodo. b) La frecuencia. c) La velocidad angular en rad/s. d) La velocidad lineal. e) La aceleración normal. Sol. : a) T = 2 s b) f = 0,5 Hz c) = 3,14 rad/s d) v = 9,42 m/s e) a = 29,57 m/s 2

16 TEMA 1. CINEMATICA. 4º E.S.O. FÍSICA Y QUÍMICA Página 16 27) Sabiendo que la velocidad de la luz en el vacío es de km/s. Hallar : a) La velocidad de la luz en m/s y en km/h. b) El tiempo en segundos que tarda en recorrer un metro. c) Cuántos metros tiene un año luz? ( Expresa los resultados en notación científica ) Sol. : a) v = m/s = 1, km/h b) t = 3, s c) e = 9, m. 28) Si la velocidad del sonido en el aire es de 330 m/s. Hallar la velocidad mínima en km/h que llevará un avión supersónico. Sol. : v = km/h. 29) Indica cuáles son las unidades en el S.I. de las siguientes magnitudes: a) Volumen. b) Aceleración. c) Velocidad angular. d) Superficie. e) Velocidad lineal. f) Densidad. 30) Sabiendo que la densidad de una sustancia es la cantidad de materia (masa) que hay por unidad de volumen, es decir, d = m / V. Hallar : a) La densidad de una sustancia A que tiene una masa de 500 g. y ocupa un volumen de 200 c.c. b) La densidad de la sustancia A en el S.I. c) Qué volumen en c.c. ocupará una masa de sustancia A de 3 kg.? d) Si disponemos de 8 m 3 de sustancia A, qué masa tendrá en kg? Sol. : a) d = 2,5 g/cm 3 b) d = kg/m 3 c) V = cm 3 d) m = kg. 31) La densidad del agua es de l g/cm 3. a) Qué masa tendrá un m 3 de agua? b) Qué volumen ocuparán en litros 800 kg de agua? Sol. : a) m = kg b) V = 800 l. 32) Un móvil parte del reposo con una aceleración constante de 2 m/s 2. Calcular su velocidad al cabo de un minuto y el espacio que habrá recorrido. Sol. : v = 120 m/s ; e = m. 33) Un móvil parte del reposo con una aceleración constante de 8 m/s 2. Calcular : a) Su velocidad a los 5 segundos de su partida. b) El espacio recorrido en los 5 primeros segundos. c) El espacio recorrido en los 5 segundos siguientes. Sol. : a) v = 40 m/s b) e = 100 m. c) e = 300 m. 34) La ecuación de un movimiento uniformemente acelerado es : e = 10 t + t 2, donde e está expresado en metros y t en segundos. Calcular : a) El valor de la aceleración del movimiento. b) Cuál es el valor de la velocidad inicial? c) Calcula las posiciones del móvil en los instantes t = 1 s y t = 4 s y determina la velocidad media en ese intervalo. d) En qué momento el móvil tiene una velocidad de 22 m/s? Sol. : a) a = 2 m/s 2 b) v = 10 m/s c) e 1 = 11 m ; e 2 = 56 m ; v m = 15 m/s d) t = 6 s.

17 TEMA 1. CINEMATICA. 4º E.S.O. FÍSICA Y QUÍMICA Página 17 35) Desde la azotea de un edificio de 50 m de altura, dejamos caer un objeto. Calcular, suponiendo nulos los rozamientos con el aire : a) El tiempo que emplea el objeto en llegar al suelo. b) La velocidad del objeto en ese instante. Sol. : a) t = 3,16 s b) v = 31,6 m/s. 36) Una piedra cae desde una altura de 100 m. Suponiendo despreciables los rozamientos con el aire, calcular el tiempo que emplea la piedra en recorrer los últimos 20 m. Sol. : t = 0,47 s. 37) Un vehículo que se mueve a la velocidad de 86 km/h, se detiene con movimiento uniformemente retardado siendo la aceleración de 0,8 m/s 2. Calcular : a) El tiempo que tarda el vehículo en pararse. b) El espacio que recorre en ese tiempo. Sol. : a) t = 29,85 s b) e = 356,4 m. 38) Un automóvil que marcha a 18 km/h adquiere en 20 segundos la velocidad de 90 km/h. Cuál fue su aceleración? Sol. : a = 1 m/s 2. 39) Un automóvil necesita 40 segundos para alcanzar una velocidad de 72 km/h partiendo del reposo. Calcula su aceleración y el espacio recorrido en ese tiempo. Sol. : a = 0,5 m/s 2 ; e = 400 m. 40) Un coche va a la velocidad de 90 km/h y después de recorrer 312,5 m se detiene. Calcula su aceleración y el tiempo invertido en el frenado. Sol. : a = 1 m/s 2. ; t = 25 s. 41) Un cuerpo describe una trayectoria circular de 1 m de radio con una velocidad angular de 80 pm. Calcular : a) El periodo. b) La frecuencia. c) La velocidad angular en rad/s. d) La velocidad lineal. e) La aceleración normal. Sol. : a) T = 0,75 s b) f = 1,33 Hz c) = 8,37 rad/s d) v = 8,37 m/s e) a n = 70,05 m/s 2 42) Conoces algún movimiento uniforme que tenga aceleración? 43) Un móvil va de A a B, se detiene en B un rato y por último regresa a A por el mismo camino y con la misma velocidad. Cuál de estas gráficas representa correctamente el movimiento? X A B X X

18 TEMA 1. CINEMATICA. 4º E.S.O. FÍSICA Y QUÍMICA Página 18 t t t 44) Calcula la velocidad angular en rad/s de las tres agujas de un reloj. Sol. : H = 1, rad/s ; M = 1, rad/s ; S = 0,1 rad/s. 45) Se han medido las distancias recorridas por un móvil a intervalos regulares de tiempo, obteniéndose los resultados siguientes : tiempo (s) espacio (m) a) Hacer una gráfica espacio tiempo y deducir qué movimiento será. b) Comprobar que la ecuación de la curva corresponde a : e = 2 t + t 2. c) Halla la velocidad del móvil a los 3 segundos. Sol. : c) v = 8 m/s. 46) En un tractor, las ruedas delanteras son mucho menores que las de atrás. Al rodar, qué ruedas llevan mayor velocidad angular? 47) La velocidad de un vehículo es de 108 km/h. Frena y en 5 segundos reduce uniformemente su velocidad a 72 km/h. Determina: a) La aceleración. b) El espacio recorrido desde que frenó. Sol. : a) a = 2 m/s 2 b) e = 125 m. 48) Se deja caer un objeto. Determina: a) La velocidad que tendrá a los 8 s. b) Espacio recorrido en ese tiempo. Sol. : a) v = 80 m/s b) e = 320 m. 49) Desde lo alto de un edificio de 50 m se lanza verticalmente hacia abajo un objeto con una velocidad de 5 m/s. Calcular: a) Velocidad con que llega al suelo. b) Tiempo que tarda en llegar al suelo. Sol. : a) v = 32,01 m/s b) t = 2,7 s 50) Se lanza un proyectil verticalmente y hacia arriba, con una velocidad inicial de 60 m/s. Se desea saber : a) El tiempo que tarda en alcanzar la máxima altura. b) El valor de esa altura. c) La velocidad con que llega al suelo. Sol. : a) t = 6 s b) h = 180 m c) v = 60 m/s 51) La velocidad angular de una máquina taladradora es de 1800 pm. Calcular : la frecuencia, el periodo y la velocidad angular en el S.I. Sol. : f = 30 Hz ; T = 0,033 s ; = 188,4 rad/s 52) Se coloca una moneda a 12 cm del eje de giro de un plato giradiscos que gira a 33 pm. Calcula : a) La velocidad angular en rad/s. b) La velocidad lineal en m/s. c) El periodo

19 TEMA 1. CINEMATICA. 4º E.S.O. FÍSICA Y QUÍMICA Página 19 de rotación. d) Si colocásemos otra moneda a 15 cm, cómo variarían los resultados con respecto a la primera moneda? Sol. : a) = 3,45 rad/s b) v = 0,41 m/s c) T = 1,81 s 53) Desde un rascacielos de 120 m de altura se lanza hacia arriba una piedra con una velocidad de 5 m/s. Calcula : a) El tiempo que tarda en llegar al suelo. b) Velocidad con que llega al suelo. Sol. : a) t = 5,42 s b) v = 49,24 m/s 54) La rueda de una moto mide 60 cm de diámetro. Si la moto marcha a 180 km/h, calcula la velocidad angular de la rueda en rad/s, el número de vueltas que dará por segundo y el número de vueltas que habrá dado en 2 minutos. Sol. : = 166,66 rad/s ; f = 26,53 Hz ; 3184,58 vueltas. 55) La velocidad angular de un plato giradiscos es de 45 pm. Calcula: a) La velocidad angular en rad/s. b) La frecuencia y el periodo. c) Cuántas vueltas dará en 15 minutos? d) Velocidad de traslación de un punto situado a 10 cm del eje de giro. e) El valor de la aceleración normal de ese punto. Sol. : a) = 4,71 rad/s b) f = 0,75 Hz ; T = 1,33 s c) 675 vueltas d) v = 0,47 m/s. e) a n = 2,2 m/s 2. 56) El periodo de un movimiento circular uniforme es de 5 s. Calcula la velocidad angular en rad/s y en pm. Sol. : = 1,25 rad/s = 11,9 rpm 57) La distancia Sol Tierra es de 150 millones de km. Determina la velocidad de la Tierra en km/h alrededor del Sol y la aceleración normal. Sol. : v = km/h ; a n = 5, m/s 2. 58) En la publicidad de un vehículo se indica que es capaz de alcanzar los 100 km/h partiendo del reposo y acelerando uniformemente, en 10 segundos. Cuál es el valor de su aceleración? Qué distancia recorre hasta alcanzar esa velocidad? Sol. : a = 2,77 m/s 2 ; e = 138,5 m. 59) Una partícula recorre una trayectoria circular de 5 m de radio con una velocidad constante de 15 m/s. Calcular: la aceleración normal, la velocidad angular, el periodo y la frecuencia. Sol. : a n = 45 m/s 2 ; = 3 rad/s ; T = 2,09 s ; f = 0,47 Hz 60) Un ciclista corre a la velocidad de 20 km/h. Calcular la velocidad angular de las ruedas en rad/s y en rpm., si éstas tienen 80 cm de diámetro. Sol. : = 13,87 rad/s ; = 132,4 rpm

20 TEMA 1. CINEMATICA. 4º E.S.O. FÍSICA Y QUÍMICA Página 20 61) Dos camiones salen de Bilbao y Madrid uno al encuentro del otro con movimientos uniformes y velocidades de 35 y 65 km/h, respectivamente. Considerando que la distancia que separa ambas capitales es de 400 km. Calcular cuánto tardarán en encontrarse y a qué distancia de Bilbao se producirá el encuentro. Sol. : t = 4 h ; e = 140 km. 62) Dos móviles se dirigen uno al encuentro del otro con velocidades de 2 y 4 m/s, respectivamente. Si el encuentro tiene lugar a 16 m del punto de partida del primero, determinar : a) La distancia que separa inicialmente a los dos móviles. b) El tiempo transcurrido hasta el momento del encuentro. Sol. : a) e = 48 m b) t = 8 s 63) Se lanza un cuerpo hacia arriba con una velocidad de 20 m/s. Calcular : a) El tiempo que tarda en subir hasta su máxima altura. b) El valor de ésta. c) El tiempo que tarda después en bajar al suelo. d) La velocidad con que llega a éste. Sol. : a) t = 2 s b) h = 20 m c) t = 2 s d) v = 20 m/s 64) Un móvil partiendo del reposo ha recorrido con movimiento uniformemente acelerado 5 m en el primer segundo de su movimiento. a) Cuál es su aceleración? b) Qué distancia recorrerá en 4 s? Sol. : a) a = 10 m/s 2 b) e = 80 m 65) Desde lo alto de un puente de 300 metros de altura se lanza verticalmente hacia arriba un objeto con una velocidad de 50 m/s. Cuánto tardará dicho objeto en llegar al suelo? Sol. : t = 14,2 s. 66) Partiendo de una velocidad cero, un móvil en dos fases que han durado un total de 16 s, ha adquirido la velocidad de 60 m/s. La primera fase es un movimiento uniformemente acelerado de 6 s de duración, siendo la segunda fase uniforme. Calcúlese : a) La aceleración de la primera fase. b) El espacio total recorrido. Sol. : a) a = 10 m/s 2 b) e = 780 m 67) Se lanza un proyectil con una velocidad tal, que alcanza una altura máxima de 2000 m. Determínese : a) La velocidad que tiene cuando han transcurrido 4 segundos. b) El tiempo que tarda en llevar una velocidad de 50 m/s. Sol. : a) v = 160 m/s b) t = 15 s 68) Un móvil partiendo del reposo recorre 200 m con movimiento uniformemente acelerado, tardando en ello 5 s. Determínese lo que tardaría en recorrer los 1000 m siguientes si a partir de los 5 s, la velocidad permanece constante. Sol. : t = 12,5 s 69) Indica el tipo de aceleración que tienen los siguientes movimientos :

21 TEMA 1. CINEMATICA. 4º E.S.O. FÍSICA Y QUÍMICA Página 21 a) Un coche frenando al tomar una curva. b) Un coche aumentando la velocidad en una trayectoria recta. c) Un coche que se mueve con velocidad constante en una recta. d) Un coche al tomar una curva con velocidad constante. e) Un coche frenando en una recta. 70) Representa la gráfica velocidad tiempo para el movimiento de un móvil que ha durado 9 segundos y que se ha llevado a cabo de la siguiente forma : la velocidad inicial del móvil ha sido de 4 m/s y ha acelerado uniformemente durante los tres primeros segundos con una aceleración de 2 m/s 2, a partir de ese momento se ha movido con velocidad constante durante los 4 segundos siguientes y finalmente ha frenado con movimiento uniformemente decelerado hasta pararse completamente. Calcula también la aceleración en el último tramo y el espacio total que ha recorrido. 71) Dada la gráfica posición tiempo de un móvil que se desplaza siguiendo una trayectoria recta : x(m) B C E A D t(s) a) Interpreta la gráfica. b) Calcula la velocidad del móvil en cada tramo. c) Qué espacio ha recorrido? d) Halla la velocidad media. e) Cuánto vale el módulo del vector desplazamiento? 72) Un móvil describe una trayectoria circular de 2 m de radio con una velocidad angular constante de 15 rpm. Calcular : el periodo, la frecuencia, la velocidad angular en rad/s y la aceleración normal. Sol. : T = 4 s ; f = 0,25 Hz ; = 1,57 rad/s ; a n = 4,92 m/s 2 73) a) Representa la gráfica velocidad tiempo del movimiento de un objeto lanzado verticalmente hacia arriba con una velocidad de 80 m/s hasta que vuelve a pasar por el punto de lanzamiento. b) Si el objeto fue lanzado desde el suelo representa también la altura a la que se encuentra en función del tiempo hasta que caiga.

22 TEMA 1. CINEMATICA. 4º E.S.O. FÍSICA Y QUÍMICA Página 22 74) La representación gráfica del movimiento de un móvil es la siguiente : v (m/s) C 6 E F 5 A B t(s) D Responde a los siguientes apartados : a) Qué tipo de movimiento corresponde a cada tramo? b) Cuánto vale la aceleración en cada tramo? c) Cuál es el espacio total recorrido por el móvil? d) Cuál ha sido la velocidad media?

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