2.3 MOVIENTO CIRCULAR UNIFORME

Transcripción

1 2.3 MOVIENTO CIRCULAR UNIFORME La trayectoria es una circunferencia. La elocidad es constante a N ω En un moimiento circular uniforme, tendremos dos tipos de elocidad: Velocidad Lineal (), que sería tangencial a la circunferencia y que mediríamos en m/s Velocidad angular (ω), que mediríamos en rad/s Si se considera un punto girando en una circunferencia es fácil concluir que es mucho más sencillo medir el ángulo girado en un interalo de tiempo que el arco recorrido (espacio). Por esto se define la elocidad angular ω como la rapidez con que se describe el ángulo (ϕ): ω = ϕ t ϕ ϕ ϕ t t t 2 1 ω = = 2 1 El ángulo (ϕ), debe medirse en radianes: longitud arco (m) s ϕ (rad) = = radio circunferencia (m) R Según esta definición: 1 uelta = = 2 π radianes ½ uelta = = π radianes s ¼ de uelta = 90 0 = π /2 radianes R ϕ La relación entre la elocidad lineal y la angular es: = ω R Se denomina periodo ( T ) al tiempo que el punto tarda en dar una uelta (el moimiento uele a repetirse), se mide el s. Se denomina frecuencia ( f ) al número de ueltas que el punto da en un segundo, se mide en s -1 o Hz. 1 T = f Ejemplo 1: Cuál es la elocidad, en rad/s, de una rueda que gira a 300 r.p.m. (reoluciones por minuto? 1

2 Si el radio de la rueda es de 1 metro, calcular la elocidad lineal en un punto de la periferia del disco. r.p.m. significa reoluciones o ueltas que da en un minuto. Lo primero que debemos hacer es pasarlo a reoluciones por segundo (r.p.s.). Para ello podemos hacer una simple regla de 3: 60 segundo (1 minuto) 300 ueltas 1 segundo X Despejando me queda que x= 300 / 60 = 5 r.p.s., es decir, que en 1 segundo da 5 ueltas. Si miramos en la tabla de arriba, emos que 1 uelta = 2π rad, así que multiplicaremos el numero de ueltas por segundo por 2π, para obtener los radianes por segundo. ω = 5 2π = 31,4 rad/s Para resoler la segunda parte del ejercicio, tan solo tendremos que usar la fórmula que me relaciona la elocidad lineal y la angular, = ω R : Ejemplo 2: = 31,4 1 = 31,4 m/s = 113,04 km/h Siendo 50 cm el radio de las ruedas de un coche y 900 las reoluciones que da por minuto, calcúlese: a) La elocidad angular (ω) b) La elocidad del coche en m/s y km/h a) Al igual que en el ejemplo anterior, pasamos las r.p.m. a r.p.s 60 segundo (1 minuto) 900 ueltas 1 segundo X Despejando me queda que x= 900 / 60 = 15 r.p.s., es decir, que en 1 segundo da 15 ueltas. Si miramos en la tabla de arriba, emos que 1 uelta = 2π rad, así que multiplicaremos el numero de ueltas por segundo por 2π, para obtener los radianes por segundo. ω = 15 2π = 94,2 rad/s b) Para resoler la segunda parte del ejercicio, tan solo tendremos que usar la fórmula que me relaciona la elocidad lineal y la angular, = ω R, pero antes deberemos pasar los centímetros a metro, R=0,5 m. = 94,2 0,5 = 47,1 m/s 2

3 Ejemplo 3: Un coche circula a una elocidad de 90 Km/h, si el radio de las ruedas del coche es de 50 cm calcular su elocidad lineal en m/s y la elocidad angular de las ruedas en rad/s y r.p.m. Comenzamos conirtiendo los km/h a m/s y el radio a metros = 90 Km/h = 25 m/s ; R = 0,5 m Usando la fórmula que me relaciona la elocidad lineal y la angular, = ω R, tengo: 25 = ω 0,5 ω = 25 / 0,5 = 50 rad/s Ahora me piden que pase los radianes por segundo a reoluciones por minuto. Podemos hacerlo con una simple regla de 3: 2π radianes (6,28) 1 ueltas 50 radianes X Despejando me queda que, x= 50 / 6,28 = 7,96 r.p.s. (1 uelta) Por lo tanto si en 1 segundo da 7,96 reoluciones o ueltas, el 60 segundo (1 minuto), dará: r.p.m. = 7,96 60 = 477,6 Ejemplo 4: Una noria de 40 m de diámetro gira con una elocidad angular constante de 0,125 rad/s. Calcula a) La distancia recorrida por un punto de la periferia en 1 min b) El número de ueltas que da la noria en ese tiempo c) Su periodo d) su frecuencia a) Para resoler este primer apartado, comenzamos pasando los rad/s a r.p.m. : En el ejercicio anterior habíamos isto que 1 uelta o reolución equiale a 2π radianes, por lo que haciendo un regla de 3 me queda: 3

4 2π radianes (6,28) 1 ueltas 0,125 radianes X Despejando tengo que x= 0,125 / 6,28 = 0,02 r.p.s., que la pasamos a r.p.m. multiplicando por 60 segundos (1 minuto): r.p.m. = 0,02 60 = 1,2 radio será 20 metros., como me dicen que el diámetro de la noria es de 40 metros, el Sabemos mediante la fórmula L=2 π R, cual es la longitud de una circunferencia, por lo que si damos una uelta completa o reolución, estamos recorriendo L = 2 3,14 20= 125,6. Como en nuestro caso se han dado 1,2 ueltas, para saber la distancia total recorrida multiplicamos esta última cantidad por 1,2, quedándome: Distancia recorrida = 125,6 1,2 = 150, 72 m b) El número de ueltas que da la noria en ese tiempo, ya lo hemos calculado antes y es: r.p.m. = 0,02 60 = 1,2 c) Viendo la definición, emos que el periodo (T) es el tiempo que tarda en dar una uelta y se mide en segundos, y usando la segunda fórmula obtenemos que: T= 2π/0,125 = 50,24 s d) Para calcular la frecuencia, usamos la fórmula T=1/f, de donde despejamos la frecuencia, f=1/t, como T se ha calculado en el aparatado anterior, obtenemos que: f=1/t f= 1/50,24=0,02 s -1 Al ser la elocidad constante, por tratarse de un moimiento circular uniforme, no tendremos una aceleración (lineal), sino que tendremos una aceleración normal o centrípeta (a N ) dirigida hacia el centro de la circunferencia. Dicha aceleración la calcularemos de la siguiente forma: a N =, done es la elocidad (lineal) y R es el radio de la circunferencia. Ejemplo 5: Un automóil parte del reposo en una ía circular de 400m de radio y a moiéndose con moimiento uniformemente acelerado hasta que a los 50 segundos de iniciada su 4

5 marcha alcanza la elocidad de 72 km/h, desde cuyo momento consera la elocidad. Calcular: a) La aceleración lineal (o tangencial) en la primera etapa de su moimiento. b) La aceleración radial en el momento de alcanzar los 72 Km/h. a) Como en la primera parte (los primeros 50s) de trata de un moimiento Uniformemente acelerado, para calcular la elocidad lineal aplicaremos: = 72 Km/h = 20 m/s = 0 +a t a= - 0 /t a= (20 0)/50 =0,4 m/s 2 b) A partir del Segundo 50, el ehículo se muee con una elocidad constante en un moimiento circular uniforme, por lo que la aceleración lineal o tangencial será cero. Tendremos solo a N que iene determinada por: a N = 2 /R a N = 20 2 /400 = 1 m/s 2 Ejemplo 6: Calcular: Una rueda tiene 2 metros de radio y alcanza 40 ueltas en 8 segundos. a) La elocidad lineal b) La elocidad angular c) la aceleración normal. a) Para calcular la elocidad lineal, necesitamos saber la distancia recorrida y en tiempo empleado en ella. Para saber la distancia recorrida, tan solo debemos usar la fórmula de la longitud de una circunferencia, L= 2 π r, de donde obtenemos que: L= 2 π r = 2 3,14 2 = 12,56 m esta es la distancia en una uelta, como me dicen que son 40 ueltas, multiplicaré la cantidad anteriormente obtenida por 40 y esa será la distancia recorrida. S = 12,56 40 = 502,4 m Finalmente, de la fórmula del moimiento uniforme, obtengo que: s= s 0 + t, de donde despejando, me queda: 5

6 = s/t (s 0 =0) = 502,4/8=62,8 m/s b) Para la elocidad angular aplicamos la fórmula = ω R, de donde despejamos ω: ω = /R = 62,8/2 = 31,4 rad/s c) Por último, para calcular la elocidad angular utilizamos: a N = 2 /R a N = 62,8 2 /2 = 3943,84/2 = 1971,92 m/s 2 6