LANZAMIENTO DE FLECHA A JABALÍ EN MOVIMIENTO

Transcripción

1 LANZAMIENTO DE FLECHA A JABALÍ EN MOVIMIENTO Juan Pirotto, Christopher Machado, Eduardo Rodríguez INTRODUCCIÓN: El trabajo en síntesis se resume al análisis de un movimiento de proyectiles y uno rectilíneo uniforme, que se ven compuestos en una misma situación. Se abrirá un amplio espectro para el análisis de distintas situaciones particulares, que permitirán una mejor comprensión global del problema. Los casos en general pueden generalizarse a otros parámetros y otras situaciones puntuales de la vida cotidiana. FUNDAMENTOS TEÓRICOS: Movimiento de Proyectiles: Un proyectil lanzado con una velocidad inicial cualquiera (distinta de cero) formando un ángulo cualquiera con la horizontal describirá una trayectoria parabólica. Dicho movimiento parabólico se puede analizar como la composición de dos movimientos rectilíneos distintos, uno horizontal de velocidad constante, y otro vertical uniformemente acelerado, con la aceleración gravitatoria. Ambos movimientos conjugados dan como resultado una trayectoria parabólica, donde el vértice de la parábola representa la máxima altura que alcanza el objeto es el momento en el cual la velocidad se hace cero, hecho matemáticamente coherente, dado que la tangente al vértice de una parábola es efectivamente cero. Recordemos que la tangente a un punto dado de una gráfica es la derivada dicho punto. Además Figura 1 recordemos que la velocidad de un objeto es la derivada según el tiempo de la posición de dicho objeto. O sea, cuando el objeto en trayectoria parabólica alcanza la máxima altura (vértice de la parábola) su derivada de la posición (velocidad) se hace cero. En la figura 1 se puede observar la trayectoria de un proyectil lanzado con un ángulo Θ. Para el estudio de dichos movimientos la velocidad con la que es lanzado el objeto debe descomponerse en sus componentes horizontal y vertical. Dado un ángulo Θ con el que es lanzado, la componente horizontal de su velocidad inicial será el valor de la velocidad inicial por el coseno de Θ: ; y la componente horizontal será el valor de su velocidad inicial multiplicado por el seno del ángulo Θ: Como el movimiento horizontal es a velocidad constante su posición se rige bajo las ecuaciones del MRU, de modo que su posición horizontal quedará determinada por la ecuación. t.

2 El movimiento en su componente vertical se rige bajo las ecuaciones del MUA, donde la aceleración toma el valor g (aceleración gravitatoria), de modo que su posición respecto al tiempo quedará determinada por la siguiente ecuación:. Si se reemplaza para eliminar el tiempo en las ecuaciones que dan las posiciones x e y, se obtendrá la ecuación de la trayectoria en el plano, que tendrá la forma:, ecuación que describe la trayectoria de la figura 1. Movimiento relativo: cambio de posición respecto de un sistema de referencia que a su vez se mueve respecto a otro sistema de referencia. No se puede hablar de un sistema de referencia absoluto ya que no se conoce un punto fijo en el espacio que pueda ser elegido como origen de dicho sistema. Por tanto, el movimiento tiene carácter relativo. En la figura se muestran dos sistemas de referencia, S y S, que poseen un movimiento relativo de traslación uniforme. Se trata de describir desde ambos sistemas el movimiento de un punto P que se desplaza hasta P. CONSIGNA DEL PROBLEMA: Un jabalí embiste directamente a un cazador con una velocidad v0. En el instante en el que el jabalí se encuentra a una distancia D del cazador, éste dispara una flecha cuya dirección forma una ángulo α con la horizontal. Con qué velocidad debe salir la flecha para dar en el jabalí? a) Estudiar el comportamiento del sistema para diferentes alturas de jabalí y valores de los otros parámetros (D, v0, a). b) Estudiar el problema cuando la flecha se lanza antes o después de que el jabalí esté a una distancia D del cazador. RESOLUCIÓN DEL PROBLEMA: y D es la siguiente: Ecuación (1) x El jabalí se encuentra en movimiento rectilíneo hacia el cazador con velocidad constante, el momento en que el cazador lanza la jabalina, el jabalí se encuentra a una distancia D, como se ve en la figura. A medida que pasa el tiempo, obviamente el jabalí se acercará al cazador, en proporción directa a su velocidad. Por lo tanto la ecuación que describe su posición a lo largo del tiempo La trayectoria de la flecha desde el momento en el que es lanzada quedará determinada por las ecuaciones de movimiento de proyectiles. La velocidad de la flecha se descompone en dos componentes (horizontal y vertical), la

3 componente horizontal será constante con el paso del tiempo, la componente vertical cambiará acorde a las ecuaciones de caída libre de un cuerpo. Por lo tanto las ecuaciones que describen la posición de la flecha a lo largo del tiempo en el eje X (horizontal) y en el eje Y (vertical) son las siguientes: Ecuación (2a) Ecuación (2b) (Notación: v = velocidad de la flecha, = velocidad del jabalí.). El tiempo de viaje de la flecha hasta llegar al jabalí, es el mismo tiempo de trayectoria del jabalí, llamémosle t. O sea, el tiempo t, es el mismo en todas las ecuaciones, lo que nos va a posibilitar despejarlo de una ecuación y reemplazarlo en las demás ecuaciones. En el tiempo t, en el que se encuentran la flecha y el jabalí, la altura de la flecha en comparación a la altura en que fue lanzada es la misma (en este caso). Por lo tanto la ecuación (2b) debe ser cero. Como, entonces en la ecuación (2b) igualándola a 0 obtenemos: Entonces, Ecuación (3) Por otra parte despejando t obtenemos: El tiempo para que la flecha alcance la posición del jabalí de ser igual en la ecuación (1) y en la (2a) entonces Como, podemos expresar la componente horizontal de la velocidad de la flecha en función del tiempo que tarda en llegar al jabalí, de la distancia inicial y de la velocidad del jabalí. Entonces: Ecuación (4) Sustituyendo el tiempo en la ecuación (4) obtenemos: Ecuación (5) Quedando entonces la velocidad con la que tiene que ser lanzada la flecha determinada por las ecuaciones (3) y (4) en función del tiempo, y la velocidad en x determinada por la ecuación (5) en función de la velocidad en y. VARIACIONES DEL PROBLEMA: A continuación fijaremos algunas de las variables del problema, y observaremos el comportamiento del sistema y la multiplicidad de soluciones para dichos casos. Caso 1: En este caso fijaremos el tiempo: t= 2 s.; la velocidad del jabalí: = 12 m/s; y la distancia: D= 40m. En este caso el objetivo es determinar el ángulo y la velocidad con la que debe ser lanzada la flecha para matar al jabalí.

4 Comenzamos por calcular la componente en x y en y de la velocidad a partir de las ecuaciones (4) y (3) respectivamente.

5 Entonces: ; ; Usando que, y, obtenemos: ; (Ecuación 6 y 7 respectivamente) entonces ; por lo tanto Finalmente obtenemos ; quedando totalmente determinado el movimiento, ya que alcanza con sustituir el valor de valor de la velocidad de flecha. en la ecuación 6 o 7 para obtener el Verifiquemos que efectivamente en dichas condiciones la flecha alcanza al jabalí. Para esto debemos probar que la posición según el eje x tanto del jabalí como de la flecha son iguales y además que la posición según y de la flecha es cero. Sustituiremos los datos en las ecuaciones (1) (2a) y (2b) respectivamente para dicho propósito. Caso 2: En este caso refinaremos algo más el problema, el jabalí dejará de ser una partícula en nuestras consideraciones, para ahora tener una extensión (cuerpo) en la cual si la flecha cae lo afectará. Tomaremos como longitud de su cuerpo 1m. Consideraremos que el punto tomando anteriormente en referencia al jabalí esta en el medio de su cuerpo, con distancia medio metro mayor o menor a la original aun así alcanzaría al jabalí. Mantendremos fijo el tiempo, la velocidad del jabalí con los valores utilizados en el caso 1; y ahora la distancia pasará a tomar los valores 39.5 m y 40.5 m para el más cercano y más distante punto de impacto respectivamente. El razonamiento y procedimiento será igual al del caso 1. Obtendremos para el caso de impacto más cercano una velocidad de m/s y un ángulo = 51.66º. Para el caso de impacto más distante una velocidad de m/s y un ángulo = 49.9º. Caso 3: Ahora en cambio, consideraremos la velocidad de lanzamiento de la flecha fija, de manera tal que el tiempo y el ángulo de lanzamiento quedarán relacionados directamente. Encontraremos que hay un intervalo de arcos con los cuales se puede lanzar la flecha para que impacte en el jabalí dada una velocidad de lanzamiento fija, una distancia de partida del jabalí y su respectiva velocidad. Consideraremos a modo de ejemplo la velocidad de lanzamiento de la flecha m/s, velocidad del jabalí 12 m/s y distancia 40 m. Para que la flecha impacte en el jabalí seguimos con la condición que para un determinado

6 tiempo su posición según y debe ser cero. Utilizando el mismo razonamiento que en la primera parte de la resolución del problema obtenemos Ecuación (8). Debe cumplirse que la posición según x del jabalí debe ser igual a la de la flecha, por lo tanto igualaremos las ecuaciones 1 y 2a. obteniendo Luego de una serie de despejes y de sustituir a t por la ecuación 8, obtendremos: Ecuación (9) A continuación se hace una serie de operaciones con la finalidad de despejar el o los valores del ángulo. Elevando a ambos lados de la igualdad la ecuación 9, sacando como factor común y sustituyendo los variables por los valores que tenemos pre-fijados obtenemos: Como entonces podemos escribir la ecuación anterior cómo: Ecuación (10) Ésta es una ecuación de 4º grado, que depende tan solo del coseno, más allá de que sea de 4º grado, su solución arroja tan solo 2 valores reales (los otros 2 son complejos), o sea, ésta ecuación nos devuelve dos valores de coseno para dos ángulos de partida de la flecha distintos, ángulos estos máximo y mínimo en las condiciones trabajadas para que la flecha pueda impactar en el jabalí para un tiempo dado asociado a dichos ángulos. Los ángulos obtenidos son: ; y. Verifiquemos que las posiciones según el eje x del jabalí y la flecha coincidan (o por lo menos sean cercanas): Observamos que las posiciones no coinciden perfectamente, pero estimamos que la diferencia en los resultados se deben a errores generados por la aproximación de valores, y su efecto en cadena sobre uno y otro valor, así mismo consideramos que los márgenes de errores son razonables dentro de la complejidad de la operación para la obtención de el valor de los ángulos. De esta manera queda determinado entonces un arco en el que al ser lanzada la flecha para tiempos y ángulos (dentro de ese arco) proporcionales siempre impactará en el jabalí. Caso 4: En este caso al igual que en el caso 2 el jabalí dejará de ser una sola partícula, ahora

7 consideraremos su altura, tomaremos la altura del jabalí igual a 1 m. Por lo tanto siempre que coincidan en la posición según el eje x la flecha y el jabalí, si la posición según y de la flecha es de un metro por debajo de la altura en la cual fue lanzada igual impactará en el jabalí. Consideraremos el tiempo 2 s. la velocidad del jabalí 12 m/s y la distancia 39.5 m. Calculemos el caso límite (y=-1m) en la ecuación 2b: Ecuación (11) De la ecuación 11 podemos despejar que Ecuación (12) Como las posiciones según el eje x deben coincidir igualamos las ecuaciones 1 y 2a: ; de donde podemos despejar: Ecuación (12) Igualando las ecuaciones 11 y 12 obtenemos ; entonces: Ahora sustituyendo en la ecuación 11 o 12 el valor de velocidad: obtenemos fácilmente el valor de la Quedando de esta manera completamente determinado el desplazamiento de la flecha en los ejes x e y. Observemos que combinando los resultados del caso 2 con el caso 4 queda totalmente determinado un rango de ángulos y velocidades en el cual la flecha impacta en el jabalí para un tiempo, distancia y velocidad del jabalí constantes, y establecidos previamente. Las demás variaciones del problema se pueden obtener al variar la velocidad del jabalí y su distancia de partida, son casos más sencillos, los omitiremos ya que no aportan gran novedad en razonamientos o cálculos. BIBLIOGRAFIA: Física General 1, Resnick. Wikipedia. Msn Encarta.