Informe De Laboratorio PRÁCTICA 7: MOVIMIENTO EN DOS DIMENSIONES

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1 R Informe De Laboratorio PRÁCTICA 7: MOVIMIENTO EN DOS DIMENSIONES Presentado Por: JEAN NICOLAS HERNANDEZ BUITRAGO ALEJANDRO GÓMEZ MOSQUERA ANDRÉS MAURICIO POLANIA GARCÍA SANTIAGO ALDANA BETANCOURT Presentado a: JAIME VILLALOBOS UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA Mayo de 2016 Bogotá, Colombia

2 1. Resumen En el presente informe, se describe el proceso metodológico para comprobar la primera ley de Newton (Ley de la inercia), mediante una práctica experimental. Para ello se aplicaran conceptos de geometría y física, que junto al procesamiento matemático, criterio y razonamiento permitirán la formulación de conclusiones e hipótesis. 2. Marco Teórico En general el movimiento de los objetos verdaderos se realiza en el espacio real tridimensional. El movimiento de una partícula que se realiza en un plano es un movimiento en dos dimensiones, si el movimiento se realiza en el espacio, se produce en tres dimensiones. Ejemplos de un movimiento en dos dimensiones son el de un cuerpo que se lanza al aire, tal como una pelota, un disco girando, el salto de un canguro, el movimiento de planetas y satélites, etc. El movimiento de los objetos que giran en una órbita cuya trayectoria es una circunferencia, se conoce como movimiento circunferencial; es un caso de movimiento en dos dimensiones. DESCRIPCIÓN DEL MOVIMIENTO EN DOS DIMENSIONES. Continuamos restringiendo el estudio del movimiento al caso de una partícula que se mueve con aceleración constante, es decir que su magnitud y dirección no cambian durante el movimiento. El vector posición de una partícula que se mueve en el plano (x, y) es una función del tiempo, se escribe como: r(t) = x(t)ı + y(t) ȷ Por definición, la velocidad de la partícula en movimiento en el plano (x, y) es, el cambio de posición en el transcurso del tiempo y se puede determinar por: Es decir, v = dr dt = dx dt ı + dy dt ȷ = v.ı + v / ȷ v t = v. t ı + v / (t)ȷ Donde v x y v y son las componentes de la velocidad en la dirección x e y. Si la aceleración es constante, sus componentes a x en la dirección x, y a y en la dirección y, también lo son. Aplicando las ecuaciones cinemáticas de la velocidad deducidas para el movimiento en una dimensión, independientemente en cada dirección x e y, para una partícula que en el instante inicial t 0 se mueve con velocidad inicial v 0 = v 0. ı + v 0/ ȷ se obtienen las componentes de la velocidad en función del tiempo:

3 v. = v 1. + a. (t t 0 ) v / = v 1/ + a / (t t 0 ) Reemplazando en la expresión de v(t), se obtiene la velocidad en cualquier instante t: v t = v 0. + a. t t 0 ı + [v 0/ + a / t t 0 ]ȷ v t = (v 0. ı + v 0/ ȷ) + (a. ı + a / ȷ) t t 0 v t = v 0 + a t t 0 (1) De manera similar reemplazando las expresiones de la posición en función del tiempo en cada dirección x e y, para una partícula que en el instante inicial t 0 se encuentra en la posición inicial r 0 = x 0 ı + y 0 ȷ se obtiene la posición r(t ) de la partícula, en cualquier instante t: x = x 0 + v 0. t t a.(t t 0 ) 8 y = y 0 + v 0/ t t a /(t t 0 ) 8 r(t) = r 0 + v 0 t t a(t t 0) 8 (2) Se concluye que el movimiento bidimensional con aceleración constante es equivalente a dos movimientos independientes en las direcciones x e y con aceleraciones constantes a x y ay. A esta propiedad se le llama principio de independencia del movimiento. MOVIMIENTO DE PROYECTILES. Cualquier objeto que sea lanzado en el aire con una velocidad inicial v 0 de dirección arbitraria, se mueve describiendo una trayectoria curva en un plano. Si para esta forma común de movimiento se supone que: a) la aceleración de gravedad es constante en todo el movimiento (aproximación válida para el caso en que el desplazamiento horizontal del cuerpo en movimiento sea pequeño comparado con el radio de la Tierra) y b) se desprecia el efecto de las moléculas de aire sobre el cuerpo (aproximación no muy buena para el caso en que la rapidez del cuerpo en movimiento sea alta), entonces a este tipo de movimiento se le llama movimiento de proyectil y se produce en dos dimensiones. Se elige el sistema de coordenadas (x, y) tradicional como se ve en la figura 1, donde se dibuja la trayectoria de una partícula en movimiento en dos dimensiones, junto con los vectores velocidad y aceleración de gravedad. Suponiendo que en el instante inicial t = t 0 proyectil se encuentra en la posición inicial (x 0, y 0 ) moviéndose con una velocidad inicial v 0 que forma un ángulo α con la horizontal, bajo la acción de la aceleración de gravedad g, las ecuaciones para la posición del

4 cuerpo en movimiento en dos dimensiones, se pueden escribir, a partir de la ecuación general de posición 1, para cada componente x e y por separado. Pero del gráfico (x, y) de la figura 1 se pueden obtener las componentes de la velocidad inicial v 0, de magnitud v 0, y las componentes de la aceleración ade magnitud g: v 0. = v 0 cos α, v 0/ = v 0 sin α, a. = 0, a / = g Figura 1 Sistema de referencia para el movimiento de un proyectil. Reemplazando en las componentes de la ecuación 2, se obtiene: x = x 0 + v 0 cos α t t 0 (3) Para las componentes de la velocidad se obtiene: y = y 0 + v 0 sen α t t a /(t t 0 ) 8 (3) v. = v 1 cos α (4) v / = v 1 sen α g(t t 0 ) (4) Como no hay aceleración en la dirección horizontal x, la componente x de la velocidad es constante, y como la aceleración en la dirección vertical y es g, las componentes de la posición y de la velocidad en esa dirección son idénticas a las ecuaciones para caída libre, con α = 90º. Entonces el movimiento de proyectil se compone de la superposición de un movimiento en dirección x con velocidad constante y un movimiento en dirección y de caída libre: es el principio de superposición del movimiento. La ecuación de la trayectoria, esto es la curva geométrica que describe el cuerpo durante el movimiento del proyectil, se puede obtener despejando el parámetro t-t 0 de la ecuación en x y reemplazando en la ecuación para y:

5 t t 0 = x x 0 v 0 cos α y = y 0 + sen α (x x 0) v 0 cos α 1 2 g (x x 0) 8 v 0 8 cos 8 α y = y 0 + tan α(x x 0 ) g 8J K L M1N L O (x x 0) 8 (5) Que es la ecuación de una parábola, por lo tanto la trayectoria del proyectil es parabólica y queda totalmente conocida si se conoce v 0 y α. La velocidad del proyectil es siempre tangente a la trayectoria en cualquier instante, por lo que la dirección y la magnitud de la velocidad en cualquier instante se puede calcular en forma geométrica de las ecuaciones: tan α = v / v., v = v. 8 + v / 8 3. Objetivo Determinar las coordenadas (x, y) de un objeto en movimiento bidimensional. 4. Materiales Rampa curva Esfera metálica 3 Hojas de papel carbón 3 Hojas de papel blanco Tabla de madera Cinta transparente

6 5. Procedimiento 1. Puesto que en seguida va a lanzar la esfera a lo largo de la rampa intentando que la velocidad v 0 con la que ésta sale sólo tenga componente horizontal, verifique que la parte baja de la rampa tenga una curvatura tal que cuando se acerca a x = 0, ésta sea horizontal. Si esto no se verifica, seguramente va a incluir un error sistemático en el experimento. 2. Primero va a determinar cuál es el alcance, es decir la distancia de A a la cual la esfera cae sobre la mesa luego que aquella desciende por la rampa. Haga un par de lanzamientos de ensayo para darse cuenta del punto aproximado en el que la esfera cae. Luego extienda el papel blanco junto con el papel carbón de tal manera que luego pueda determinar A por la mancha de impresión de la esfera sobre el papel carbón produce sobre el papel blanco. Haga cinco lanzamientos. Anote los cinco valores del alcance y obtenga el valor medio. La cuarta parte del valor es l = 1 4 A = 9 S (9 T A 9 + A 8 + A U + A S + A T ) (5.1) 3. Coloque la tabla en posición vertical sucesivamente en los puntos 1l, 2l, 3l, 4l. Cada vez determine y(x) dejando caer la esfera a lo largo de la rampa y obteniendo la posición de colisión sobre la tabla con la combinación de papel blanco y carbón. Haga cinco mediciones de y(x) para cada punto. Tabla 1 Lanzamiento Distancia (cm) 48,2 48,1 47,9 47,8 48,3

7 6. Análisis 1. Qué cantidades tienen incertidumbre? a. A. El valor de A es un promedio. Determine su desviación estándar. A(cm) 0,21 b. l: Propague el error de A al de l. Es decir si A es la incertidumbre de A, cuánto es l sabiendo que la relación entre las dos cantidades entre las dos cantidades está dada por la ec. (5.1)? l (cm) 0,05 c. y (1), y (2), y (3), y (4): cada valor es el resultado de un promedio. Determine la desviación estándar para cada una. y(1)(cm) 0,68 y(3)(cm) 0,34 y(2)(cm) 0,28 y4(cm) 0,00 2. Construya una tabla con los datos experimentales. Esto quiere decir que las unidades de y son los centímetros. Incluya en la tabla, claramente, el valor de l. TABLA 2. La unidad de x es l. La de y es el centímetro. Tabla 2 l= ± cm x(l) ,6 50,8 29,5 0 y (cm) 63, ,1 0 64,9 51,2 29,7 0 63,2 50,5 29,2 0 64,1 51,1 29, TABLA 3. La unidad de x es l. La unidad de y es y 1. Tabla 3 x(l) y(y1) 1 0, ,

8 4. TABLA 4. Comparación teoría-experimento. Tabla 4 x(l) y(y1)teoría y(y1)experimento 1 0, , Conclusiones Cuando trabajamos con objetos que se mueven en dos dimensiones( movimiento de proyectiles), es útil analizar la partícula bajo el modelo de velocidad constante en la dirección x y aplicar el modelo de partícula bajo aceleración constante en la dirección y vertical con una aceleración descendiente de magnitud g=9.81 m/s. Teniendo en cuenta la anterior se puede determinar las coordenadas (x,y) de la esfera en cual instante de tiempo t.