Cinemática. Marco A. Merma Jara Versión:

Transcripción

1 Cinemática Marco A. Merma Jara Versión:

2 Contenido Cinemática Movimiento Unidimensional Movimiento Unidimensional con aceleración constante Movimiento Bidimensional Movimiento de Proyectiles Movimiento Curvilíneo Movimiento Relativo Ejercicios y Problemas

3 Cinemática Estudio del Movimiento de los cuerpos, considerando las relación geométrica entre Espacio Tiempo No considera las causas que originan el movimiento

4 Posición Y Vector Posición r Coordenadas (x,y,z) Vector OA 0: Observador O r A ( x, y, z) X Z

5 Velocidad media Movimiento Unidimensional x1, t1 x2, t2 x x 2 x 1 t t1 t2 x t x < v >= t

6 Velocidad Instantánea Movimiento Unidimensional x t x2, t2 1, 1 x x 2 x 1 t t1 t2 x v t x dx = lim t 0 = t dt

7 Velocidad media e instantánea Velocidad media La razón de cambio de la posición de un cuerpo en un intervalo finito de tiempo ( t)

8 Velocidad media e Instantánea Velocidad Instantánea La razón de cambio del espacio en un intervalo de tiempo muy pequeño ( t 0)

9 Movimiento Unidimensional La velocidad media nos indica que un cuerpo se ha movido de un lugar hacia otro Es una interpretación de la realidad, el movimiento de un cuerpo

10 Aceleración media Movimiento unidimensional v t v2, t2 1, 1 v v 2 v 1 t t1 t2 v t v < a >= t

11 Aceleración instantánea Movimiento unidimensional v1, t1 v2, t2 v v 2 v 1 t t1 t2 v a t v dv = lim t 0 = t dt

12 Aceleración media La razón de cambio de la velocidad en un intervalo de tiempo finito ( t)

13 Aceleración Instantánea Razón de cambio de la velocidad en un intervalo de tiempo muy pequeño ( t 0)

14 Aceleración instantánea Indica que tan rápido o que tan lento ocurre el cambio de velocidad en el tiempo Aumenta (+) acelera Disminuye (-) desacelera

15 Movimiento de una Partícula Cambio de posición en el tiempo en 3D Y ( x1, y1, z1) A r ( x2, y2, z2) B r =r( x, y, z, t) O 1r r 2 X Z

16 Ecuaciones del Movimiento 1D Posición x = x(t) velocidad aceleración v = a = dx dt dv dt

17 Ecuaciones del Movimiento 1D Posición x = 2 x o + vdt t t 1 Velocidad v = v o + t t 1 2 a dt x1, v1, t1 x2, v2, t2

18 Movimiento Unidimensional Ejemplo: La posición de una partícula en movimiento rectilíneo esta gobernado por la expresión x=3t 2 +2t-4, donde x está en metro y t en segundo. (a) Determinar la velocidad media entre t=1s y t=2s, (b) Determinar la velocidad instantánea cuando t=4s, ( c) Determinar la aceleración media entre t=3s y t=5s, (d) Determinar la aceleración instantánea para t=6s

19 Movimiento Unidimensional Ejemplo: La posición de una partícula en movimiento rectilíneo esta gobernado por la expresión x=3t 2 +2t-4, donde x está en metro y t en segundo. (a) Determinar la velocidad media entre t=1s y t=2s, (b) Determinar la velocidad instantánea cuando t=4s, ( c) Determinar la aceleración media entre t=3s y t=5s, (d) Determinar la aceleración instantánea para t=6s x(2) x(1) < v >= = (3(2) + 2(2) 4) (3(1) + 2(1) 4) 2 1 = 11 m/ s dx v = = t + = m s 2 ( 6 2) 26 / t= 4 dt

20 Movimiento Unidimensional con aceleración Uniforme Aceleración Uniforme (constante) 1 x = x + v ( t t ) ± a ( t t l ) 2 v = v ± a( t t ) v = v ± 2 a( x x ) x1, t1. v1 x2, t2, v2 x x1 v2 + = t t 2 2 v1 2 1

21 Movimiento Unidimensional con velocidad Uniforme Espacio recorrido v=cte x x x = t t 1 2 vdt = x + v( t t) x x 2 Si x t2 = = 0 en t = t x = vt x 1 t1 t2 t

22 Movimiento Unidimensional con aceleración Uniforme Velocidad Prof. Marco A. Merma Jara v v = vo + a( t t1 ) 2 v 1 v v o = a = cte v o t t 2 1 t 1 t 2 t

23 Movimiento Unidimensional con aceleración uniforme Ejemplo 1:Un automóvil se encuentra a 200m de un semáforo. Si la luz roja se activará en 5 segundos. Determinar la aceleración que debe tener el automóvil, tal que llegue exactamente cuando se activa la luz roja v 200m

24 Caída Libre de los Cuerpos Aceleración constante de la gravedad g 1 2 y = y0 ± v0yt gt 2 v = ± v g( t t ) y oy o v y g y t v = ( ± v ) 2 g( y y ) 2 2 y o 0 y t t y o o = v y + 2 v oy v oy y o t o

25 Caída libre de los cuerpos Ejemplo: Una partícula se lanza verticalmente hacia arriba con velocidad de 40m/s desde lo alto de un edificio de 100m. Determinar el tiempo que demora en llegar al suelo (piso 1). h=100m, g=9.8m/s 2 v oy h

26 Caída libre de los cuerpos h Ejemplo: Una partícula se lanza verticalmente hacia arriba con velocidad de 40m/s desde lo alto de un edificio de 100m. Determinar el tiempo que demora en llegar al suelo (piso 1), h=100m, g=9.8m/s 2 v 0 y 1 y = y0 + v0 yt gt 2 1 h = + v0 yt gt gt v0 yt h = 2 t = 2 0 v ± v + 2h oy g 2 oy 2

27 Carácter vectorial de la velocidad y aceleración Acelerado v1 v2 v

28 Carácter vectorial de la velocidad y aceleración Desacelerado v1 v2 v

29 Carácter vectorial de la velocidad y aceleración Acelerado v v1 v2 Desacelerado v1 v2 v

30 Movimiento de Proyectiles Movimiento Horizontal Velocidad constante Movimiento vertical Aceleración constante v o )θ y = xtg g g x θ 2 2 2v o cos 2 θ

31 Movimiento de Proyectiles Ejemplo: Un avión que vuela a 300km/h, debe soltar provisiones en un campamento. A qué distancia antes de pasar por el campamento debe soltarse las provisiones tal que estas lleguen sobre el campamento?. Si h= 600m 300 km/ h h R

32 Movimiento de Proyectiles Ejemplo: Determinar la distancia a la cual cae la pelota, sobre el plano inclinado. La pelota es lanzada con rapidez inicial de 50m/s. g v 0 ) β ) α D

33 Movimiento de Proyectiles Velocidad Horizontal constante Aceleración vertical constante, llamado gravedad Siempre apunta hacia abajo (nivel de referencia) Válido Para Distancias menores que el radio de la tierra

34 Movimiento Curvilíneo R radio de curvatura C centro de curvatura T eje tangencial N eje normal C R θ T T, N ejes móviles T

35 Movimiento Curvilíneo Radio y centro de curvatura móviles R C θ R R'' C'' R'' R' R' C'

36 Movimiento Curvilíneo Aceleración uˆ = uˆ ( t) v = v( t) v = vu a T = T ˆT d( vuˆ T ) dt duˆ T a = v + dt dv dt uˆ T C R θ T R y )θ v T x

37 Movimiento curvilíneo Vectores unitarios y ĵ iˆ, ˆj : const uˆ = isen ˆ θ + ˆj cosθ uˆ = iˆcos θ + T ˆjsen θ uˆ T θ )θ uˆt î x

38 Movimiento Curvilíneo Cambio de dirección hacia el centro de curvatura C C uˆt f C uˆt f uˆt uˆti uˆti duˆ T ( ˆ dθ dθ = isenθ + jcos θ) = uˆ dt dt dt

39 Movimiento Curvilíneo Aceleración Normal Cambio de dirección a = v 2 R uˆ Aceleración Tangencial Cambio de valor a T = dv dt uˆ T a = a + a T

40 Movimiento Circular Y Radio de Curvatura Constante R R R s Centro de curvatura Fijo R )θ X

41 Movimiento Circular Ecuaciones Velocidad Angular ω = d θ dt Aceleración Angular α = α = d ω dt 2 d θ 2 dt

42 Movimiento Relativo y Se mide un evento por dos observadores en movimiento relativo y r = r A / O A r B = r / O B A r B / A x B r = r r B/ A B A x Evento

43 Movimiento Relativo Velocidad relativa v = v v B/ A B A v = ( v v ) = v B/ A A B A/ B Aceleración relativa a = a a B/ A B A a = ( a a ) = a B/ A A B A/ B

44 Movimiento Relativo Ejemplo1: Dos automóviles se mueven con velocidades de 20m/s y 30 m/s en las direcciones que se ilustran en la figura. Determinar la velocidad relativa del móvil a medido por el móvil B. Si θ = 30º v B v A )θ x

45 Movimiento Relativo Ejemplo1: Dos automóviles se mueven con velocidades de 20m/s y 30 m/s en las direcciones que se ilustran en la figura. Determinar la velocidad relativa del móvil a medido por el móvil B. Si θ = 30º v B θ ( y v = v v A/ B A B v = v ( iˆ) [( iˆ) v cos θ + ( ˆj) v senθ] A/ B A B B )θ v A x

46 Movimiento Relativo Ejemplo 2: Dos aviones vuelan a la misma altitud, si el avión A tiene una rapidez de 200 km/h, y el avión B con rapidez de 300 km/h. Todo esto en el momento que se ilustra en la figura. Determinar la velocidad del avión B medido por el piloto en el avión A

47 Referencias Estática, Ingeniería Mecánica, 7ma Edición, R.C. Hibeller, Addison Wesley, 1997 Física, Vol I, Raymond Serway, 4ta edición, McGraw-Hill, 1997 Notas de Aula, Marco A. Merma Jara, Facultad de Ingeniería Eléctrica y Electrónica FIEE, Universidad Nacional del Callao UNAC, 2003