COLEGIO DE BACHILLERES DEL ESTADO DE PUEBLA. ORGANISMO PÚBLICO DESCENTRALIZADO. XICOTEPEC DE JUAREZ, PUEBLA. Parábola

Transcripción

1 COLEGIO DE BACHILLERES DEL ESTADO DE PUEBLA. ORGANISMO PÚBLICO DESCENTRALIZADO. PLANTEL 11 XICOTEPEC DE JUAREZ, PUEBLA. Parábola AUTORAS: KATIA PADILLA GALINDO Y ANAYELI PADILLA REYES. 3 C MATUTINO. NO.35 Y 36 1

2 INDICE INTRODUCCIÓN..3 QUÉ ES PARÁBOLA?...4 ELEMENTOS DE LA PARABOLA 5 CARACTERISTICAS DE LA PARABOLA 6 ECUACIÓN CON VERTICE EN EL ORIGEN 7 -Parábola horizontal..8 -Parábola vertical 9 ECUACION ESTANDAR O CANONICA.10 -Parábola de acuerdo al eje X.10 -parábola de acuerdo al eje Y.11 ECUACION GENERAL 12 LADO RECTO.13 APLICACIONES ECUACION CON EL VERTICE EN EL ORIGEN.14 ECUACION ESTANDAR Y GENERAL.16 CONCLUSION.18 BIBLIOGAFIA.19 2

3 INTRODUCCION El objetivo del presente trabajo es ayudar y reforzar nuestros conocimientos que hemos obtenido a lo largo del curso Las parábolas aparecen en diferentes situaciones de nuestra vida diaria, un claro ejemplo es cuando lanzamos un balón bombeado o golpeamos una pelota de tenis. En la curva de la pelota se puede ver que se trata de una trayectoria parabólica. Al dibujar este desplazamiento, podemos considerar esta parábola como la representación gráfica de una función que asigna a cada desplazamiento horizontal x la altura y alcanzada por la pelota. En general es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo, llamado foco, y de una recta fija llamada directriz En la siguiente investigación me di la tarea de saber más sobre este tema, espero sea de su agrado lo que se conocerá más adelante. Esperamos que el presente texto contenga el material básico para el desarrollo de lo aprendido durante las clases, bienvenido y... A estudiar! 3

4 QUÉ ES LA PARÁBOLA? En matemática actualmente se define como el lugar geométrico de los puntos equidistantes de una recta dada, llamada directriz, y un punto fijo que se denomina foco. Pero la parábola también tiene importancia en nuestra vida cotidiana y, aunque muchas veces no nos fijemos o no seamos conscientes de ello, tenemos muchas parábolas a nuestro alrededor. Cualquier cuerpo lanzado al aire de forma oblicua u horizontal describe un movimiento parabólico bajo la acción de la gravedad. Un ejemplo es el caso de una pelota que se desplaza botando. 4

5 ELEMENTOS DE LA PARABOLA Para graficar una parábola, debemos tener en cuenta algunos de sus elementos que se destacan: Raíces Eje de simetría Vértice Ordenada al origen FOCO: Es el punto fijo F. DIRETRIZ: es la recta fija D. PARÁMETRO: es la distancia del foco a la directriz, se designa por la letra P. EJE: Es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco. VERTICE: Es el punto de intersección de la parábola con su eje. RADIO VECTOR: Es un segmento que une un punto cualquiera de la parábola con el foco. 5

6 CARACTERÍSTICAS DE LA PARÁBOLA Cuando todos sus valores son =1, la parábola se divide un lado en el cuadrante I y III. Cuando la a es cero, la parábola abre hacia arriba y no corta el eje X. Cuando la a es positiva, la parábola queda en el cuadrante I y III y corta al eje X. Cuando la a es negativa queda en el cuadrante II y IV, y esta corta una vez al eje X. Cuando la b es =1, la parábola corta el eje X en el punto (-1,0) y al eje y (0,1) Cuando se necesita la pendiente de la línea tangente, se realiza teniendo un punto y la función. Si nos dan un punto y el vértice, se puede hallar la ecuación. 6

7 ECUACION CON VERTICE EN EL ORIGEN 7

8 PARABOLA HORIZONTAL Despejando la comparación mencionada anteriormente obtenemos la ecuación de la parábola con vértice (0,0) y foco en el eje x, siendo sus coordenadas, del foco, (p, 0) Y 2 =4px *Si p es MAYOR que 0, la parábola se abre a la derecha. *Si p es MENOR que 0, la parábola se abre a la izquierda y se utiliza el signo negativo en la formula: Y 2 = -4px **La ecuación de la directriz es x= -p ** 8

9 PARABOLA VERTICAL La ecuación de la parábola con vértice (0,0) y foco en el eje y, siendo sus coordenadas, del foco, (0, p): X 2 =4py *Si p es MAYOR que 0, la parábola se abre hacia arriba. *Si p es MENOR que 0, la parábola se abre hacia abajo, se utiliza el signo negativo en la formula: X 2 = -4py *La ecuación de la directriz es y= -p * NOTA: Para la resolución de problemas ten en cuenta que 4p es igual al lado recto de la parábola, quien te ayudara a obtener de una forma más exacta la parábola. 9

10 ECUACION ESTANDAR O CANONICA PARABOLA DEACUERDO AL EJE X Las ecuaciones cuando el vértice no está en el origen, pero si con coordenadas (h, k) se obtienen mediante una traslación a partir de la ecuación con vértice en el origen. Mencionado esto tenemos que la forma de la ecuac0ión estándar para las parábolas paralelas al eje-x, vértice en (h, k) y foco en (h, k + p) es: (x - h) 2 = 4p (y - k) *Si p es POSITIVA, la parábola se abre hacia arriba. *Si p es NEGATIVA, la parábola se abre hacia abajo, y se utiliza el signo negativo en la formula: (x - h) 2 = -4p (y - k) *La fórmula para la directriz es y = k p* 10

11 PARABOLA DEACUERDO AL EJE Y La forma de la ecuación estándar para las parábolas paralelas al eje-y, con vértice en (h, k) y foco en (h + p, k) es: (y - k) 2 = 4p (x - h) *Si p es POSITIVA, la parábola se abre hacia la derecha. *Si p es NEGATIVA, la parábola se abre hacia la derecha, y se utiliza el signo negativo en la formula: (y - k) 2 = -4p (x- h) **La fórmula para la directriz es x = h p** 11

12 ECUACION GENERAL En este caso tendremos que basarnos en la formula canoníca: Hacemos operaciones: (x - h) 2 = 4p (y - k) X 2 2xh + h 2 = 4py 4pk Pasamos términos a un solo miembro he igualamos a 0: X 2 2xh + h 2-4py + 4pk= 0 Damos valores: -2xh=A -4py=B h 2 y 4pk = C Sustituyendo estos valores obtenemos la ecuación general de la parábola: X 2 + Ax +By + C =0 12

13 LADO RECTO Al segmento de recta comprendido por la parábola, que pasa por el foco y es paralelo a la directriz, se le conoce como lado recto. La longitud del lado recto es siempre 4 veces la distancia focal. LR = 4p 13

14 Ecuación con vértice en el origen =Ecuación con vértice en el origen = 14

15 15

16 16

17 17

18 CONCLUSIÓN Con este proyecto me di cuenta que la parábola se encuentra en muchas cosas de nuestra vida diaria, por ejemplo cuando pateamos un balón seguirá un arco en el aire y caerá de vuelta... también, es el caso de los chorros y las gotas de agua que salen de las numerosas fuentes que podemos encontrar en las ciudades. Al emplear ejercicios de ecuaciones de la parábola pude fortalecer los conocimientos para mejorar el aprovechamiento laboral dentro del aula de clases. Después de analizar este trabajo, me pongo a pensar en lo inmerso que se encuentra la parábola en nuestra vida diaria. Por Considerar el estudio No como una obligación, sino como una Oportunidad para penetrar en el bello y maravilloso mundo del saber. 18

19 BIBLIOGRAFIA me Geometría Analítica - Charles H. Lehmann CALCULO Y GEOMETRIA ANALITICA Volumen 1 - Larson 19