HOJA Nº 10. CINEMÁTICA - 2

Transcripción

1 HOJA Nº 10. CINEMÁTICA Un móvil describe un movimiento rectilíneo. En la figura, se representa su velocidad en función del tiempo. Sabiendo que en el instante t=0, parte del origen x=0. a. Dibuja una gráfica de la aceleración en función del tiempo b. Calcula el desplazamiento total del móvil, hasta el instante t=8s. c. Escribe la expresión de la posición x del móvil en función del tiempo t, en los tramos AB y BC Sabemos que la trayectoria es una linea recta por el enunciado. La gráfica la voy a dividir en tramos 0A (primer tramos), AB, BC, CD, DE. Los valores los leo en la gráfica OA: la velocidad aumenta porporcionalmente al tiempo, es una aceleración constante y la calculo a partir de la pendiente de la recta en este caso a = 10/1 = 10 m/s 2 AB: velocidad constante (10 m/s), aceleración = 0 BC, aceleración constante (igual razonamiento que OA), en este caso la aceleración es a = (vfinal - vinicial)/(incremento de tiempo) = (24-10)/(4-3) = 14 m/s 2 CD: igual que AB, pero v=24 m/s DE: aceleración constante la calculo como en OA y BC a = (vfinal - vinicial)/(incremento de tiempo) = (0-24)/(8-5) = - 8 m/s 2

2 Espacio total recorrido: igualmente los trato por tramos 0A: MRUA, V 0 = 0, a = 10 m/s 2, duración t = 1s x = 0 t + 1/2 10 t 2 = 5 1 = 5 m AB: MRU, v = 10 m/s, t = 2s x = v t = 10 2 = 20 m BC. MRUA, a = 14m/s 2, v 0 = 10 m/s, t = 1 s x = 10 t + 1/2 14 t 2 = = 17 m CD. MRU, v = 24 m/s, t = 1s x = v t = 24 1 = 24 m DE. MRUA, a = -8 m/s 2, v 0 = 24 m/s, t =3 s x = 24 t - 3 t 2 = / = 36 m Recorrido total = 102 m También puede resolverse por el área bajo el gráfico Vt. Compruébalo. 2. Un vehículo que se desplaza con velocidad constante aplica los frenos durante 25 s y recorre 400 m hasta detenerse. Calcular: a. Qué velocidad tenía el móvil antes de aplicar los frenos?. b. Qué desaceleración produjeron los frenos?. Datos del movimiento: t = 25 s x = 400 m Tiempo que dura el movimiento espacio recorrido por el vehículo v f = 0 m/s velocidad al final del movimiento Ecuaciones del movimiento (MRUA) v f = v 0 + a.t x = v 0.t + 1/2 a.t ² Al final el móvil se deteine, es decir pasados 25 segundos se para Vf =0. Aplicando la ecuación de la velocidad y en ese tiempo recorre 400m. Planteamos las ecuaciones del movimiento, pero sustituyendo los datos que conocemos: 400 = v /2 a.25 ² 0 = v 0 + a.25 Como ves tienes dos ecuaciones con dos incógnitas: vo y a Se trata de resolverlas, elige tu método preferido, yo elijo en este caso sustitución v 0 = - a = - a /2 a.25 ² 400 = a + 1/2 a = - 312,5 a despejo y tengo que a = - 1,28 m/s 2

3 Ya la velocidad inicial era v 0 = - a 25; v 0 = - (-1,28) 25 = 32 m/s v 0 = 32 m/s 3. Un cohete parte del reposo con aceleración constante y logra alcanzar en 30 s una velocidad de 588 m/s. Calcular: a. Aceleración. b. Qué espacio recorrió en esos 30 s?. El cohete parte del reposo y alcanza una velocidad final v 0 = 0 m/s v f = 588 m/s En un tiempo de movimiento t = 30 s Parte desde el punto de referencia x 0 = 0 Ecuaciones de este tipo de movimientos (MRUA): v f = v 0 + a.t x = x 0 + v 0.t + a.t ²/2 a) En este caso puedo calcular directamente la aceleración con la ecuación de la velocidad v f = v 0 + a.t 588 = a.30 a = 588 / 30 m/s 2 a = 19,6 m/s ² b) Espacio recorrido ues acudimos a la ecuación de la posición: x = x 0 + v 0.t + a.t ²/2 x = a.t ²/2 x =19,6 30²/2 x = 8820 m 4. Un motociclista parte del reposo y tarda 10 s en recorrer 20 m. Qué tiempo necesitará para alcanzar 40 km/h?. Parte del reposo v 0 = 0 m/s Considero un tiempo de t = 10 s recorre en ese tiempo x = 20 m posición inicial x= 0 Pues tenemos un movimiento rectilineo uniformemente acelerado, las ecuaciones generales son v = v 0 + a.t x = v 0.t + a.t ²/2 En nuestro caso particular estas ecuaciones se quedan en v = a.t x =½a.t ²

4 tiempo para alcanzar una velocidad de 40 km/h = (40 km/h).(1000 m/1 km).(1 h/3600 s) = 11,11 m/s? Solo puedo calcularlo a partir de la ecuación de la velocidad 11,1 = a.t; t = 11,1/a pero no se l aceleración, debe haber una forma de calcularla con los datos del ejercicio. Sabemos que recorre 20m en 10s sustituimos estos valores en la segunda ecuación 20 =½a.10 ² Pues vemos que podemos calcular la aceleración con la ecuación de la posición 20 = 1/2 a 100; 20 = a 50; a = 0,4 m/s 2 Ahora si puedo calcular el tiempo necesario tarda en alcanzar 11,1 m/s, v = a t; 11,1 = 0,4 t; t = 27,77 s 5. De un edificio de 50 m de altura se lanza verticalmente hacia arriba una piedra con una velocidad de 20m/s. Al mismo instante y desde el suelo se lanza hacia arriba una moneda con velocidad 30m/s. En qué instante se encuentran los objetos? Van subiendo o bajando cada uno? Piedra lanzada hacia arriba Altura de partida Moneda lanzada hacia arriba Altura de partida V p0 = 20 m/s h = 50 m V m0 = 30 m/s h = 0 m Tenemos dos movimientos acelerados, lanzamientos verticales. Ambos poseen una aceleración constante de - 9,8 m/s 2 (hacia abajo) Se encuentran cuando están a la misma altura, por tanto planteemos las ecuaciones de posición de ambos movimientos. Recuerda la ecuación de posición para estos movimientos es en general y = h + v 0 t - 1/2 9,8 t 2 El factor 1/2 9,8 lo voy a cambiar por su valor 4,9 (para clarificar las ecuaciones) piedra y = t - 4,9 t 2 moneda y = 30 t - 4,9 t 2 Cuando se encuentran ambas posiciones son la misma por tanto podemos igualarlas t - 4,9 t 2 = 30 t - 4,9 t 2 Queda t = 30 t; 50 = 30 t - 20 t; 50 = 10 t; t = 5 s Se encuentran a los 5 s de movimiento, por tanto estarán a moneda y = ,9 5 2 = 150-4,9 25 = 27,5 m No es necesario pero puedes confirmar que la piedra también se encuentra en esa posición piedra y = ,9 5 2 = ,9 25 = 27,5 m Se cruzan a 27,5 m del suelo. 6. La bombilla que cuelga del techo de un ascensor se encuentra a 2,5 metros del suelo. Cuando el ascensor asciende con velocidad constante de 2m/s la bombilla se suelta y cae al suelo del

5 ascensor. Calcula el tiempo que tarda la bombilla en chocar con el suelo del ascensor y la altura que bajó el ascensor en ese tiempo : Bombilla inicialmente a Inicia su caída a h= 0 m -2 m/s Cae con aceleración -9,8 m/s 2 Ascensor baja a Posición inicial del suelo - 2 m/s -2,5 m Mi punto de referencia cuando empieza a caer la bombilla, que en ese momento se mueve con el ascensor a -2 m/s El suelo del ascensor en ese momento está a - 2,5 m (2,5 m debajo del punto de referencia) Así pues es un ejercicio de encuentro de móviles: cuando se encuentra la bombilla con el suelo, cuando tengan la misma y. Ecuación de caída de la bombilla y = -2 t - 4,9 t 2 Ecuación de movimiento del ascensor (MRU) y = -2,5-2 t Cuando la bombilla cae ambos están a la misma distancia del pun to de referencia (misma y) -2 t - 4,9 t 2 = -2,5-2 t Despejas t y obtenemos que tarda en llegar al suelo t = raiz(2,5/4,9) = 0,71 s t = 0,71 s En ese tiempo el ascensor ha llegado a y = -2,5-2 0,71 = -3,9 m es decir ha recorrido 3,9-2,5 = 1,4 m (usamos el valor absoluto de la diferencia entre posición final e inicial) 7. Un ascensor de 3 m de altura sube con una aceleración de 1 m/s 2. Cuando se encuentra a una cierta altura se desprende la lámpara del techo. Calcular el tiempo que tarda en llegar al suelo del ascensor. Tomar g=9.8 m/s 2. Otro ascensor. Punto de referencia el momento en que comienza a caer la bombilla, que es cuando comienza a moverse el ascensor. En este caso las velocidades iniciales son la misma en ambos casos bombilla y = h + v o - 1/2 9,8 t 2 ascensor (suelo) y = v 0-1/2 2 t 2 igualamos 3 + v o - 1/2 9,8 t 2 = v 0-1/2 2 t 2 eliminamos v o y despejamos t = raiz(3/5,9) = 0,71 s

6 8. Un coche sale desde una ciudad A con una velocidad constante de 25 m/s. A los 2 minutos sale otro a una velocidad de 12 m/s desde una ciudad B situada a 4 Km de distancia y se dirige a la ciudad A. Ambos van en linea recta y sus velocidades son constantes. Determina el lugar en el que se encuentran. solución Punto de referencia la ciudad A.Dirección AB positiva, BA negativa. Contamos el tiempo cuando sale A. Coche A: posición x = 25 t Coche B posición x = (t - 120) lleva andando 120 segundos menos que A se encuentran cuando sus posiciones son iguales 25 t = (t - 120) despejando obtenemos que t = 147 s A lleva andando este tiempo cuando se encuentran La distancia a la que se encuentran será x = = 3676 m de la ciudad A otra forma Punto de referencia la ciudad A.Dirección AB positiva, BA negativa. Contamos el tiempo cuando sale B. En este caso cuando sale B el coche A ya lleva andando 120 s y habrá recorrido metros Coche A: posición x = t Coche B posición x = t se encuentran cuando sus posiciones son iguales t = t despejando obtenemos que t = 27 s el coche B lleva andando este tiempo cuando se encuentran, luego el A ya lleva andando = 147 s (salió 120 segundos antes) La distancia a la que se encuentran será x = = 3676 m de la ciudad A Repasa bien estos ejercicios y la hoja anterior. Haz los ejercicios del libro. Y recuerda que en esta primera parte de la cinemática debes - Saber deducir los vectores velocidad y aceleración a partir de los vectores posición - Saber deducir las velocidades y aceleraciones instantáneas - Calcular las componentes intrínsecas de la aceleración (aunque esto lo volveremos a ver con el movimiento circular) - Manejar las gráficas de movimiento con soltura: interpretarlas y extraer información de ellas - Manejar las ecuaciones, usarlas no simplemente para calcular un espacio recorrido o una velocidad o una aceleración a partir de las definiciones. Doy por hecho que te sabes manejar bien con las unidades.y si te fijas esto es un repaso con una ampliación no demasiado compleja.