1. Conceptos básicos para estudiar el movimiento.

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1 Contenidos Tema 4: EL MOVIMIENTO 1. CONCEPTOS BÁSICOS PARA ESTUDIAR EL MOVIMIENTO. 2. LA VELOCIDAD 3. ECUACIÓN DEL MOVIMIENTO 4. MOVIMIENTO RECTILÍNEO Y UNIFORME (M.R.U.) 5. LA ACELERACIÓN 6. MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE ACELERADO (M.R.U.A.) 7. MOVIMIENTOS VERTICALES 8. MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME 1. Conceptos básicos para estudiar el movimiento. Se dice que un cuerpo está en movimiento cuando cambia de lugar y decimos que está en reposo cuando permanece en un punto determinado a medida que pasa el tiempo. Pero en esta forma de plantearlo damos por supuesto que hay algunos puntos (el asfalto, las montañas, las paredes, etc.) que siempre están fijos. Esos son los puntos llamados de referencia y en conjunto constituyen un sistema de referencia. Todo movimiento es relativo, ya que el que un cuerpo esté o no en movimiento depende del observador, es decir, del punto que se tome como referencia para su estudio. Un sistema de referencia habitual es el sistema de ejes cartesianos. Un móvil que se mueva en el plano OXY tendrá distintas posiciones respecto al origen de coordenadas (0,0). El móvil pasa por diferentes puntos, cada uno de los cuales viene definido por un par de coordenadas (x, y), a las que denominamos posiciones relativas respecto al origen de coordenadas. La trayectoria recorrida por el móvil es el resultado de unir cada uno de los puntos por los que ha pasado. La trayectoria es el conjunto de las sucesivas posiciones por las que ha pasado el móvil. Es el camino que dibuja el móvil La forma de la trayectoria puede ser variada, dependiendo del recorrido del móvil. Básicamente se pueden distinguir dos tipos de trayectorias: Rectilínea: si la trayectoria seguida es una recta. Curvilínea: si la trayectoria es una curva. Dentro de éstas, nosotros estudiaremos un poco más adelante la circular. FÍSICA Y QUÍMICA 4º E.S.O. 1

2 Si vas dando un paseo desde tu casa, situada en el punto A, hasta la casa de un amigo, situada en la posición B, puedes ir por varios caminos distintos. Recorres siempre la misma distancia? Sigues siempre la misma trayectoria? En todos los casos, el desplazamiento siempre es el mismo y viene dado por la variación en la posición final e inicial. Δs= s f - s i La posición de un objeto (s) que se mueve es la distancia desde el punto que se toma como referencia hasta el punto donde se encuentra el móvil. Siendo: - s i : La posición inicial. - s f : La posición final. El espacio recorrido (e) es la longitud de la trayectoria que hayas seguido, comprendida entre tú casa y la de tú amigo. Si la trayectoria es una recta y el móvil no cambia el sentido de movimiento, el espacio recorrido y el desplazamiento coinciden (Δs = e). Ejercicios 1º.- Dos hermanos están subidos en una noria que está dando vueltas. Irene piensa que su hermano menor está quieto pues no se mueve de su lado, mientras que el padre de ambos está preocupado porque la noria se mueve muy deprisa. Está quieto o está en movimiento el hermano menor de Irene? Explica la respuesta. 2º.- El dibujo representa las distintas posiciones que ocupa la bola a lo largo del tiempo. El punto R es el que se ha tomado como punto de referencia, y las señales indican la posición en cada instante. Cada intervalo en la escala del dibujo representa 1 m Completa la tabla siguiente: Posición (m) Tiempo (s) FÍSICA Y QUÍMICA 4º E.S.O. 2

3 3º.- Dos ciudades se encuentran separadas 300 km. Un coche parte hacia la ciudad B, desde un punto situado entre las dos ciudades, a 75 km de A. Cuando llega a la ciudad B gira y, sin detenerse, vuelve en sentido contrario, es decir en dirección a A, deteniéndose justo en el punto medio entre ambas ciudades. Establece un punto de referencia (el que quieras) e indica cuál es la posición inicial, la posición final y la distancia recorrida por el coche. Recuerda la definición de posición A B 2. La velocidad Imaginas que cuando vas en coche desde Málaga a Madrid miras el velocímetro Qué observas? Con toda seguridad, verás que varía en multitud de ocasiones. Estas viendo la velocidad del coche en cada instante. La velocidad instantánea (v) es la velocidad que posee un móvil en un momento dado en un punto de su trayectoria. La velocidad instantánea es la que marca el velocímetro en cada momento. Pero si miramos durante un minuto o incluso menos tiempo, no podremos indicar la velocidad porque puede haber variado en frenazos, aceleraciones, etc. Si en lugar de tomar estos intervalos consideramos la totalidad del tiempo invertido en el viaje, estarás considerando la velocidad media que ha llevado el coche. La velocidad media (v m ) de un móvil se calcula dividiendo el espacio recorrido entre el tiempo empleado en recorrerlo: v m s f s t i e t En el S.I. la velocidad se mide en metros por segundo ( m/s ). Cuando el problema nos la de en otras unidades y tengamos que utilizarla en alguna ecuación donde los valores estén en el S.I., tendremos que convertirla mediante factores de conversión. FÍSICA Y QUÍMICA 4º E.S.O. 3

4 La velocidad es una magnitud vectorial, esto implica que para poder definirla no basta con saber su valor numérico (módulo), sino que además tiene que estar definido por cuatro características, que son: Dirección: Es la recta en la que está situado el vector. Sentido: Es el que señala la flecha. Cada dirección tiene dos sentidos. Módulo: Es el valor numérico de la magnitud que representa. Punto de aplicación: Es el punto donde se sitúa el vector. El vector velocidad está situado en el móvil. El vector velocidad es un vector tangente a la trayectoria en el sentido del movimiento, con su punto de aplicación en el móvil. Su módulo es el espacio recorrido en la unidad de tiempo. Ejercicios 4º.- Qué significa que un vehículo lleva una velocidad media de 30 m/s? a) que en un segundo lleva una velocidad de 30 m/s por término medio b) que tarda 30 segundos en recorrer una distancia de un metro por término medio c) que recorre una distancia de 30 m en un segundo por término medio d) que recorre una distancia de 1 metro en un segundo por término medio 5º.- La velocidad del sonido, 340 m/s, se toma como unidad de velocidad de los aviones y se llama mach. Un avión es supersónico cuando su velocidad es superior a 1 mach. Si un avión vuela a 700 km/h, es supersónico? 3. Ecuación del movimiento La relación s-t (posición-tiempo) que describe el movimiento de un móvil, se puede expresar de forma gráfica, pero también mediante un texto o con una ecuación. Ejemplo La tabla siguiente recoge la posición de un móvil en función del tiempo: Posición (m) Tiempo (s) Y si se representan gráficamente con la posición en ordenadas (eje Y) y el tiempo en abscisas (eje X), se obtiene una gráfica: FÍSICA Y QUÍMICA 4º E.S.O. 4

5 La ecuación de esta gráfica será: s = a x + b Para calcular la pendiente (a) se cogen dos puntos cualesquiera de la recta y se hace el cociente entre la diferencia de los valores en el eje Y, dividido entre la diferencia de los valores correspondientes al eje X: Tenemos que saber: La ecuación de una recta es y = a x + b, donde las constantes a y b representan respectivamente la pendiente de la recta y la ordenada en el origen. La relación que liga la posición con el tiempo es lo que se denomina ecuación del movimiento Cuanto mayor pendiente tiene la gráfica s-t, mayor es la velocidad del movimiento. Si la gráfica s-t es una recta, el movimiento es uniforme (recorre espacios iguales en tiempos iguales), y si es una curva, el movimiento es variado (en el mismo tiempo el móvil recorre espacios diferentes). Para describir un movimiento es suficiente con indicar la trayectoria y la relación entre posición y tiempo (s-t). Esta relación puede ser una gráfica, la ecuación del movimiento o un texto descriptivo. FÍSICA Y QUÍMICA 4º E.S.O. 5

6 4. Movimiento rectilíneo y uniforme (M.R.U.) La trayectoria de los movimientos rectilíneos es una recta, por tanto la dirección del vector velocidad, es siempre la misma. Que el movimiento sea uniforme informa que el módulo de la velocidad no cambia. En un movimiento rectilíneo y uniforme, el vector velocidad no cambia de módulo ni de dirección; es constante. 4.1 Relación s-t en un MRU La gráfica s-t del movimiento uniforme es una recta y su pendiente, el módulo de la velocidad. Por ello la ecuación del movimiento uniforme toma la siguiente forma: s : posición en cualquier instante v : velocidad del móvil s 0 : posición en el instante t = 0 s Cuando estas magnitudes (s, s 0 y v) tienen valores negativos, lo que indican es el sentido sobre la trayectoria. Por ejemplo: s = 3-5t expresada en el S.I., nos indica que en el instante inicial (t =0 s) el móvil se encuentra a 3 m a la derecha del origen, y que se está moviendo hacia la izquierda a 5 m/s. Importante Hay que tener cuidado con la siguiente observación: NO se puede confundir la recta que nos sale al representar la ecuación del movimiento (s-t), con la trayectoria del movimiento. La misma gráfica s-t, sirve tanto si la trayectoria es rectilínea como curvilínea, lo que importa es que la velocidad es constante en todo el trayecto. 4.2 Relación v-t en un MRU El módulo de la velocidad no cambia con el tiempo. Si la velocidad es positiva, su representación quedará en la parte positiva de los valores del módulo de velocidad, y se situará por debajo cuando la velocidad tenga el sentido contrario la Recordemos que s-s 0 es el desplazamiento. Además el desplazamiento coincide con el espacio recorrido, ya que la velocidad no cambia su módulo y, por tanto, el móvil no puede pararse y dar la vuelta. De la ecuación se deduce que: FÍSICA Y QUÍMICA 4º E.S.O. 6

7 Ejercicios 6º.- Cuál sería la ley del movimiento que correspondería a la bola del ejercicio 2? 7º.- Se programa un coche teledirigido para que realice un movimiento rectilíneo por un paseo que responda a la ecuación s= 2 t - 5, con unidades expresadas en el S.I. Una fuente que está en el centro del paseo sirve como origen de espacios. Dibuja el coche en el paseo en t = 0 s, t = 2 s, t = 4 s y t = 6 s. 8º.- Cuál sería la ecuación del movimiento de ese mismo coche teledirigido si en el instante inicial se encuentra a 1 m la derecha de la fuente? 9º.- Un coche realiza el movimiento representado en la gráfica: a) Qué posiciones tiene el coche en los instantes 0,1, 3 y 6 s? b) Qué desplazamiento ha efectuado el coche en los tres primeros segundos? c) Qué espacio ha recorrido en ese tiempo? d) Qué desplazamiento ha efectuado el coche en los seis segundos? e) Qué espacio ha recorrido en ese tiempo? f) Calcula la velocidad media del coche 10º.- Un móvil se mueve sobre el eje de la x. En la gráfica se representan sus posiciones en función del tiempo. a) Describe el movimiento b) Dibuja la trayectoria señalando los puntos por los que pasa el móvil. c) Qué desplazamiento y que espacio ha recorrido durante los 26 s? d) Calcula la velocidad que ha llevado en cada tramo. e) Indica la ecuación del movimiento en cada tramo. 11º.- Dos coches parte, a la misma hora, de dos puntos que distan entre sí 75 km; el coche A se mueve con v A = 60 km/h y el coche B con v B = 90 km/h. Halla el instante y la posición en que se produce el encuentro, suponiendo que salen en sentidos contrarios. Resuelve el problema analíticamente y gráficamente. Pista: dibujar la trayectoria de ambos en el mismo esquema y escribir las ecuaciones del movimiento para cada uno. FÍSICA Y QUÍMICA 4º E.S.O. 7

8 12º.- Un ciclista que está en el pueblo A queda con otro del pueblo B, que se encuentra a 27 km. Los pueblos están unidos por una carretera recta. Los ciclistas salen a la vez, uno al encuentro del otro. El que está en el pueblo A lleva una velocidad de 36 km/h y el de B va a 18 km/h. Tomando como positiva la dirección del que sale del pueblo A: a) Representa la gráfica v-t de ambos ciclistas. b) Calcula el desplazamiento cuando se encuentran y el espacio recorrido. 13º.- En la gráfica se muestra el movimiento rectilíneo de dos cuerpos diferentes. Indica en qué instante y en qué posición ambos cuerpos se cruzan y qué velocidad lleva cada uno en ese momento. Escribe las ecuaciones del movimiento de cada uno. 5. La Aceleración Un cuerpo posee un movimiento acelerado cuando varía su velocidad. La velocidad puede cambiar porque: Cambie su módulo. Se refleja en que su gráfica s-t es curva y, por tanto, su ecuación no es de primer grado. También, en que la gráfica v-t tiene pendiente o, lo que es igual, que su valor cambia con el tiempo. Cambia su dirección. Cuando el móvil lleva una trayectoria curva, la velocidad (que es tangente a la trayectoria), cambia su dirección. Una vez que se sabe que un movimiento es acelerado, se necesita una magnitud que indique cómo de acelerado está; una magnitud que permita comparar las aceleraciones de diferentes movimientos. La aceleración (a) es la variación de la velocidad en la unidad de tiempo. En el S.I. se mide en m/s 2. En los movimientos rectilíneos la aceleración se representa por un vector tangente a la trayectoria, en el sentido de la velocidad si aumenta su módulo y en sentido contrario si disminuye su módulo. Nosotros estudiaremos dentro de los movimientos rectilíneos, únicamente el caso en que la velocidad cambia de forma uniforme (constante). FÍSICA Y QUÍMICA 4º E.S.O. 8

9 6. Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (M.R.U.A.) Un movimiento es rectilíneo uniformemente acelerado cuando su trayectoria es una recta y el módulo de la velocidad cambia de forma constante. 6.1 Relación v-t en un MRUA La ecuación que relaciona la velocidad en función del tiempo es: v : velocidad en cualquier instante; v 0 : velocidad inicial del móvil ; a: aceleración Cuando se realiza la representación gráfica, la pendiente de ésta es la aceleración. Si la velocidad aumenta, la aceleración tendrá el mismo signo que la velocidad por lo que la pendiente de la gráfica será positiva. Si la velocidad disminuye, la aceleración tiene signo contrario a la velocidad y por ello la pendiente será negativa. Fijarse en las gráficas de este movimiento que vienen en la página siguiente. 6.2 Relación s-t en un MRUA La ecuación del movimiento es la siguiente: s : posición en cualquier instante v 0 : velocidad inicial del móvil ; s 0 : posición en el instante t = 0 s ; a: aceleración Esta ecuación, junto con las ecuaciones que indican la constancia de la aceleración y la ecuación de la velocidad, nos describe este tipo de movimientos. Gráficas del MRUA FÍSICA Y QUÍMICA 4º E.S.O. 9

10 Cuando calculemos una magnitud (velocidad, aceleración, tiempo, etc) con una ley de movimiento, las unidades empleadas deben ser homogéneas. Es decir, si la aceleración viene expresada en m/s 2, no podremos poner la velocidad en km/h, ni el tiempo en otra unidad que no sean segundos. Para evitar confundirnos pasaremos todas las magnitudes previamente a unidades del Sistema Internacional. Tiempo en segundos Velocidad en m/s Espacio recorrido en metro Ejercicios 14º.- Un objeto se mueve sobre el eje X con una ecuación del movimiento : en el S.I. a) Describe el movimiento. Indica el valor de la aceleración b) Indica las posiciones en t = 0 s, 1 s, 4 s c) Calcula el espacio recorrido a los 4 s d) Calcula la velocidad en t = 0 s, 1 s, 4 s 15º.- El conductor de un coche que por una calle recta va a 46,8 km/h ve un semáforo cerrado a 50 m y frena uniformemente hasta pararse. a) Con qué aceleración frenó? b) Escribe la ecuación del movimiento c) Representa las gráficas v-t y s-t 16º.- La conductora de un automóvil frena durante 7 s con una aceleración de 4 m/s 2 hasta pararse. Calcular: a) La velocidad inicial del automóvil b) La distancia de frenado v (m/s) 17º.- Observa la gráfica siguiente: 15 a) Qué tipo de movimiento representan los tramos 10 horizontales? b) Qué tipo de movimiento representa el tramo 5 inclinado? Escribe las ecuaciones del movimiento en cada tramo t (s) 18º.- En una prueba, partiendo, del reposo, una moto alcanza en línea recta los 108 km/h en 8 s. Mantiene constante su velocidad durante 10 s y frena deteniendo la moto en 3 s. a) Dibuja la gráfica v-t del movimiento b) Calcula la aceleración y la ecuación del movimiento en cada tramo FÍSICA Y QUÍMICA 4º E.S.O. 10

11 19º.- Un camión que se desplaza a velocidad constante de 90 km/h adelanta a un coche que se encuentra parado. Si éste arranca 5 s después con una aceleración de 3 m/s 2, calcula: a) El tiempo que tardará el coche en alcanzar al camión. b) La velocidad del coche cuando lo alcanza. c) El espacio que recorre el camión antes de ser alcanzado. 20º.- Observa el gráfico siguiente y responde a las preguntas: a) A qué tipo de movimiento corresponde el tramo A? Y el tramo B? Justifica la respuesta. Calcula todas las magnitudes que se puedan con la información de la gráfica. b) Calcula la distancia total recorrida por el móvil, así como la recorrida en el tramo A y en el tramo B. Razonando la respuesta v (m/s) 10 2 A B t (s) 7. Movimientos verticales 7.1 Caída libre de cuerpos Cuando un cuerpo se halla en movimiento cerca de la superficie terrestre está sometido a la acción de la gravedad (la estudiaremos en el tema siguiente), es una aceleración a la que se ve sometido cualquier cuerpo en el espacio, de tal manera que las ecuaciones estudiadas en el apartado anterior son válidas sustituyendo simplemente el valor de la aceleración a por la aceleración de la gravedad g ( -10 m/s 2 ) Para resolver estos ejercicios ya sea ascendente como de caída libre, vamos a considerar siempre las siguientes condiciones: Punto de referencia: independientemente de donde salga el móvil, el punto de referencia (0) siempre será el suelo. Signo de la aceleración de la gravedad: independientemente si el movimiento es de subida o de bajada, la aceleración será g = 10 m/s 2 Signo de la velocidad: cuando el cuerpo sube la velocidad será positiva y si baja la velocidad será negativa. La letra utilizada para representar la posición del móvil la cambiaremos de s por h. Con todas estas condiciones, las ecuaciones de estos movimientos son: 10 t h = FÍSICA Y QUÍMICA 4º E.S.O. 11

12 En ellas pondremos los signos de la velocidad teniendo en cuenta lo que se ha indicado arriba. Ejercicios 21º.- Una maceta ha caído desde la ventana de un edificio. La altura desde la ventana al suelo es de 20 m. Calcula con qué velocidad llegará al suelo y cuanto tardará. 22º.- Lanzamos una pelota verticalmente hacia arriba con velocidad de 20 m/s. Calcula: a) Qué altura alcanza? b) Cuánto tiempo tarda en llegar arriba? c) Qué velocidad tiene cuando han pasado 1 s? 23º.- Se lanza, desde 5 m de altura y verticalmente hacia arriba, una flecha con una velocidad de 35 m/s. a) En qué dos instantes la flecha se encuentra a 55 m de altura? b) Qué velocidad lleva la flecha en esos instantes? c) Calcula el tiempo que tarda en llegar al suelo y la velocidad con la que llega d) La altura máxima alcanzada. 8. Movimiento circular uniforme (MCU) Cuando un móvil describe una circunferencia, decimos que su trayectoria es circular. La velocidad con la que la recorre puede ser constante o no. Este curso trabajaremos con el movimiento circular y uniforme. En los movimientos circulares la velocidad recibe el nombre de velocidad angular, puesto que el móvil, mientras se desplaza por la circunferencia, va recorriendo ángulos. En el MCU la dirección de la velocidad lineal cambia constantemente y la velocidad angular es constante. FÍSICA Y QUÍMICA 4º E.S.O. 12

13 La ecuación del movimiento circular uniforme es la siguiente: Magnitud Unidad en el SI Ángulo recorrido en un tiempo t : Ángulo inicial (suele ser cero) Radianes (rad) : velocidad angular rad/s Equivalencias necesarias: 1 vuelta = 1 revolución = 2π radianes =360º La velocidad angular, también se suele dar en otras unidades diferentes de las del SI: revoluciones por minuto (rpm) y vueltas por segundo (vueltas/s). Para transformar estas unidades al SI se utilizan como siempre los factores de conversión. Relaciones entre magnitudes lineales y angulares Cuando un móvil recorre un arco, en realidad está recorriendo un espacio (e). Su trayectoria es la longitud de ese arco (la línea roja en la figura adjunta). Su relación con el arco es: Donde r es el radio de la circunferencia. De la expresión anterior también se deduce la relación entre la velocidad lineal (v) y la angular ( : Periodo y frecuencia en el movimiento circular Periodo El periodo (T) es el tiempo que tarda el móvil en pasar nuevamente por el mismo punto; o dicho de otra forma, el tiempo que tarda en dar una vuelta completa. Se puede relacionar con la velocidad angular teniendo en cuenta que al dar una vuelta completa = 2π radianes y el tiempo que se tarda en dar una vuelta es el periodo (T). Por tanto, tendremos: FÍSICA Y QUÍMICA 4º E.S.O. 13

14 La unidad del periodo en el SI es el segundo. Frecuencia La frecuencia (f) es el número de vueltas que realiza el móvil en cada segundo Esta magnitud se puede relacionar, igualmente con cierta facilidad, con el periodo y con la velocidad angular: f = La unidad de la frecuencia en el SI es s -1 hercios (Hz). que también se representa como Ejercicios 24º.- Convierte al SI las siguientes velocidades angulares: 30 rpm y 60 vueltas/s. 25º.- Expresa la velocidad angular de un CD que gira a 45 rpm y calcula la velocidad lineal de los puntos situados a 5 y 8 cm del centro. 26º.- Las agujas de un reloj miden 0,7 cm la de las horas y 1 cm la de los minutos. Calcula: a) Las velocidades angulares de cada una de ellas b) Los periodos de cada una de ellas c) Las velocidades lineales de los extremos de cada una de ellas. 27º.- La noria de un parque de atracciones tiene un radio de 10 m y gira a velocidad constante de 1,5 vueltas por minuto. Calcula la velocidad angular de la noria en unidades S.I., la velocidad lineal de un pasajero, el ángulo girado por el mismo en 40 s y el período y la frecuencia de dicho movimiento. 28º.- Observa la figura e indica qué punto posee mayor velocidad angular y cuál mayor velocidad lineal. Por qué?. Calcula la distancia que recorre el punto A, cuyo radio es de 45 cm, transcurrido 69 segundos. A B C 10 r.p.m. FÍSICA Y QUÍMICA 4º E.S.O. 14