MISIONEROS DE LA PRECIOSA SANGRE Formando Personas Íntegras UNIDAD 1: MOVIMIENTO CIRCUNFERENCIAL UNIFORME

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1 Saint Gaspar College MISIONEROS DE LA PRECIOSA SANGRE Formando Personas Íntegras DEPARTAMENTO DE CIENCIAS Y TECNOLOGÍA MISS YORMA RIVERA M. PROF. JONATHAN CASTRO F. UNIDAD 1: MOVIMIENTO CIRCUNFERENCIAL UNIFORME Un caso particular de movimiento en dos dimensiones es el de una partícula que se mueve describiendo una trayectoria en una circunferencia, con velocidad v. Si la rapidez v es constante, se llama Movimiento Circular Uniforme (MCU). En el mundo cotidiano, es frecuente observar las trayectorias curvas que describen algunos cuerpos en su movimiento continuo. Cuando una partícula se mueve según una trayectoria curva debe tener una componente de la aceleración perpendicular a dicha trayectoria, incluso si su rapidez es constante. Para una trayectoria circular existe una relación sencilla entre la componente normal de la aceleración, la rapidez de la partícula y el radio de la trayectoria. Un satélite espacial que gira en torno a la Tierra o el hecho de que ésta gire alrededor del Sol son ejemplos en una trayectoria circular. El objetivo es aprender a describir este tipo de movimientos. El movimiento circular está presente en la vida cotidiana en múltiples elementos que giran como motores, manecillas del reloj, engranajes, looping de las montañas rusas y las ruedas son algunos ejemplos que lo demuestran. Conceptos Importantes Para definir el movimiento de un cuerpo que describe una trayectoria circunferencial, necesitamos definir los siguientes conceptos: 1. Arco recorrido Si consideramos un cuerpo que parte desde el punto A y se dirige hacia el punto B a lo largo de una circunferencia de radio r, recorriendo un arco de circunferencia s y describiendo un ángulo, en radianes. Así, entonces, podemos definir el ángulo descrito como: θ = s r 1

2 2. Unidades de medida de magnitudes angulares Para medir los ángulos se utilizan frecuentemente dos unidades: los grados sexagesimales y los radianes. Una vuelta completa a la circunferencia mide 360 grados (360 ), los que es equivalente a 2π radianes, es decir: 360 = 2π radianes De la ecuación anterior podemos obtener una relación general que nos permite transformar de radianes a grados y de grados a radianes. De igual forma, y considerando que una revolución perímetro de la circunferencia, entonces: completa corresponde al 1 revolución = 2π radianes Algunas equivalencias entre grados y radianes: Grados Radianes Ejemplo 1: Dos amigos, Rodrigo y Manuel, se encuentran en una pista de carrera de forma circular de radio 100 metros, como se muestra en la figura. Manuel recorre la pista mientras Rodrigo lo observa desde el centro de ésta. Cómo puede Rodrigo determinar la distancia que recorrió su amigo Manuel desde el inicio hasta la meta? 2

3 3. Período Todos los movimientos, independientemente de la trayectoria que sigan, demoran un tiempo en efectuarse. En particular, en el movimiento circunferencial uniforme, se denomina período (T) al tiempo que demora un cuerpo en efectuar una vuelta completa o ciclo. Por ejemplo, el período de revolución de la Luna en torno a la Tierra es de 28 días, así como el período de rotación de la Tierra sobre su eje es de 24 horas. En otras palabras, el período es el tiempo que demora en realizarse un evento completo. La unidad en el Sistema Internacional de Unidades (SI) para el período es el segundo (s). El período puede expresarse como: T = tiempo empleado N de ciclos o revoluciones 4. Frecuencia La frecuencia (f) está relacionada con el período y se define como el número de ciclos o revoluciones que se efectúan en un tiempo determinado. Se expresa: f = N de ciclos o revoluciones tiempo empleado Cuando el tiempo se mide en segundos, entonces la unidad para medir frecuencia es: 1 = hertz [Hz] s A partir de las expresiones de frecuencia (f) y período (T) podemos afirmar que: f = 1 T Además, al despejar período (T), se obtiene: T = 1 f La frecuencia y el período son conceptos inversamente proporcionales, es decir, si uno aumenta, el otro disminuye y viceversa. Ejemplo 2: Un juego de un parque de diversiones describe un movimiento circunferencial y demora 5 segundos en dar una vuelta completa. Determinar el período y la frecuencia del movimiento. 3

4 Ejemplo 3: Un taladro eléctrico realiza 850 revoluciones en 42,5 segundos. Determinar su frecuencia y su periodo. E J E R C I C I O S Resuelve en tu cuaderno los siguientes problemas: 1. Si en una circunferencia de 30 cm de radio se recorre un arco de 90 cm de longitud, cuál es el valor del ángulo descrito?. Expresa el resultado en radianes y grados. 2. Qué relación existe entre el arco recorrido y el ángulo descrito por un móvil?. Explica. 3. Cuál es el valor del camino recorrido por un ciclista en una pista circunferencial de 60 metros de radio, si el ángulo descrito mide 3 /2 rad? 4. Un autito a control remoto gira en torno a un punto ubicado a 20 cm de él. Si el arco que recorre mide 50 cm, cuál es el valor del ángulo descrito? 5. Un reloj análogo tiene tres manecillas: el horario, el minutero y el segundero, las que describen un movimiento circunferencial uniforme. Determinar el período y la frecuencia de cada una de ellas. 6. Si un punto realiza 12 giros en 9 segundos, cuál es el periodo y frecuencia del movimiento? 7. Cuál es la frecuencia de un movimiento circunferencial que realiza 40 giros en 120 segundos? 8. Un coche recorre con velocidad constante una circunferencia de 50 cm de radio con una frecuencia de 10 Hz. Determinar el período del movimiento. 9. Cuál es la frecuencia y período de un disco de 20 cm de radio gira a 33,33 rpm? 10. Una bicicleta recorre 40 m en 6 s. Hallar el período de sus ruedas si el radio es de 60 cm. Determinar el tiempo que tardará en recorrer 300 m. 4

5 MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME (MCU) Se denomina así al movimiento circular en el cual un cuerpo recorre arcos de circunferencia iguales en tiempos iguales. Esto significa, en otras palabras, que el cuerpo tarda siempre el mismo tiempo en recorrer toda la circunferencia completa. Imagínense un automóvil que circula por una pista circular siempre a la misma velocidad. En este caso, dicho automóvil pasará por el punto de partida a intervalos de tiempo regulares (por ejemplo, cada 2 minutos). Dentro de este tipo de movimiento, vamos a definir en primer lugar algunos conceptos importantes: 5. Vector Posición o Radio Vector (r ): es el vector que une el centro de la circunferencia con el móvil. 6. Rapidez y Velocidad Tangencial (lineal): el MCU se puede describir cualitativamente de manera similar a la descripción utilizada en los movimientos rectilíneos. En este movimiento, una vuelta completa corresponde al perímetro de la circunferencia, es decir 2 π r, mientras que el tiempo empleado en recorrerlo es el periodo (T). Así la rapidez tangencial se puede expresar como: v = 2 π r T La expresión anterior también corresponde a la magnitud de la velocidad tangencial. En un MCU esta rapidez es constante, sin embargo, la velocidad tangencial es un vector tangente a la trayectoria descrita y cuya dirección varía cada instante conforme el objeto se mueve a lo largo de la circunferencia, la velocidad tangencial NO ES CONSTANTE. 5

6 7. Velocidad Angular (ω ): se define como el ángulo barrido por el vector posición en la unidad de tiempo. Entonces, la velocidad angular se expresa como: ω = θ t Si ahora consideramos una revolución completa, el ángulo descrito corresponde a 2π y el tiempo empleado en recorrerlo es el período. Entonces, el módulo de la velocidad angular se expresa también como: ω = 2π T Recordemos que los ángulos se pueden expresar en radianes o en grados. Por lo tanto, la velocidad angular se mide en rad/s y también en grados/s. (Regla de la mano derecha) 8. Relación entre velocidad lineal y velocidad angular: Un cuerpo que se mueve uniformemente a lo largo de una trayectoria circunferencial varía su velocidad tangencial cada instante, pero su rapidez tangencial permanece constante. La velocidad angular es constante siempre que se mantenga el sentido de giro y el movimiento sea uniforme. v = ω r 6

7 9. Aceleración Centrípeta (a c ): si bien el módulo del vector que representa la velocidad tangencial es constante durante todo el movimiento, no ocurre lo mismo con su dirección, pues esta cambia continuamente, girando hacia el centro de la circunferencia de modo tal que siempre sea tangente a ésta. La aceleración centrípeta da cuenta de esta variación. La aceleración centrípeta puede calcularse como: a c = ω v a c = v2 r a c = ω 2 r E J E R C I C I O S 1. Un automóvil circula a velocidad constante por una pista circular de 85 m de radio recorriendo una vuelta completa cada 3 minutos. Calcular: a) Cuál es la frecuencia y el período para el automóvil? b) A qué velocidad va el automóvil?. c) Cuál es su velocidad angular? d) Qué longitud tiene la pista? 2. Las ruedas de un automóvil tienen 60 cm de diámetro. Calcular con qué velocidad angular giran cuando el automóvil se desplaza a 72 km/h. Sol.: 66,7 rad/s 3. Un auto que va a 20 m/s recorre el perímetro de una pista circular en un minuto. a) Determinar el radio de la misma b) Tiene aceleración el auto? En caso afirmativo, determina su módulo, su dirección y su sentido. Sol.: a) 191 m ; b) ac = 2,1 m/s 2, dirección radial y sentido hacia el centro 7

8 4. Una moto recorre con velocidad constante una circunferencia de 50 cm de radio con una frecuencia de 10 Hz. Determina: a) El período Sol.: T = 0,1 s b) La velocidad angular y lineal Sol.: ω = 62,8 rad/s ; v = 31,4 m/s c) Su aceleración Sol.: ac = 1971,9 m/s 2 5. Un disco de 20 cm de radio gira a 33,33 rpm. Halla su velocidad angular, la velocidad lineal y la aceleración centrípeta de: a) Un punto de su periferia b) Un punto situado a 10 cm del centro c) Cuánto tiempo tardará el disco en girar 780º? d) Y en efectuar 15 revoluciones? Sol.: a) ω = 1,11 π rad/s ; v= 0,7 m/s ; ac = 2,5 m/s 2 ; b) ω = 1,11 π rad/s ; v = 0,35 m/s ; ac = 1,23 m/s 2 c) t = 3,9 s ; d) 27 s 6. Calcular la rapidez circunferencial de un volante de 40 cm de radio, si da 50 vueltas en 20 segundos. Sol.: v = 6,28 m/s 7. El borde de una rueda lleva una velocidad de 14 m/s, da 140 vueltas en 2/3 de minuto. Calcular cuánto mide el radio. Sol.: R = 0,63 m 8. Un astronauta está a km. de altura. Razona si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas: a) Su masa ha disminuido, por eso pesa menos. b) La aceleración de la gravedad es menor que en la superficie. c) La constante de la gravitación universal es menor 8