Contenidos para enseñanza a distancia

Transcripción

1 Departamento de Fisica y Quimica del Contenidos para enseñanza a distancia I.E.S. San Clemente. Santiago Documento parcial Para TEMA 5 Estudio de la rotación

2 Movimientos en trayectorias curvas Hasta aquí hemos considerado solamente la posibilidad de que las trayectoria de los móviles sean rectilíneas. Es preciso ampliar el estudio de los movimientos para el caso de trayectoria no rectilíneas. Cuando el móvil describe una trayectoria curva, recordemos que el vector velocidad cambia constantemente, al menos como consecuencia de que la velocidad cambia de dirección. Cierto que, además, puede cambiar si incrementa el módulo de la velocidad. Un caso particularmente sencillo de movimientos en trayectorias curvas es el realizado describiendo el móvil una circunferencia. La única peculiaridad de la circunferencia como curva, consiste en que su radio de curvatura es constante. Recordemos algunos conceptos ya tratados. El cambio que experimenta la velocidad v en la unidad de tiempo es la aceleración

3 del móvil. Dicho vector puede descomponerse en dos componentes, una normal y otra tangente a la circunferencia tal como se indica en la figura. Dichas componentes, como ya se ha dicho anteriormente se denominan componentes intrínsecas del vector aceleración y que en la figura se designan como a t y a n. Es frecuente escribir el valor de dichas componentes bajo la forma: Δv at = ut Δ t para la componente tangencial y para la componente normal a c v = u r n No obstante existe otro modo de referir la rapidez con que un móvil describe una circunferencia. Es útil, es práctico, y simplifica mucho las cosas, estudiar el movimiento mediante el ángulo central descrito.

4 Estudio del movimiento circular mediante el ángulo central Los movimientos en trayectorias circulares pueden estudiarse de manera mucho más sencilla si, en lugar de prestar atención a la trayectoria que describe el móvil, referimos el movimiento mediante el ángulo central que describe un punto que recorre una circunferencia. Este procedimiento que, emplearemos a modo de analogía, nos exige definir unos nuevos conceptos de velocidad, muy sencillos, y que permiten simplificar l estudio de los movimientos circulares. En efecto. Supongamos que una partícula describe una trayectoria a lo largo de la circunferencia. La longitud del arco descrito puede conocerse fácilmente en función del ángulo central descrito. En nuestro caso, la diferencia entre β α y expresados dichos ángulos en radianes. Denominaremos a dicha diferencia como θ. definir una nueva velocidad. Si el cambio de posición tuvo lugar en un intervalo de tiempo que llamamos t, podemos Llamaremos velocidad angular( ω), al cociente entre θ y t Escribiremos pues que: Δθ ω= Δ t Es muy útil atribuir a dicha velocidad angular un carácter dirigido de la misma forma que se hace en matemáticas para las superficies.

5 En efecto, supongamos que deseamos representar a una superficie mediante un vector. Podemos atribuir a la superficie un vector que llamaremos axial, de longitud proporcional a la extensión de la superficie y sentido de avance de un sacacorchos tal como indica la figura. De esta suerte, podemos además distinguir las dos caras de la superficie. Siguiendo el mismo criterio para la velocidad angular, atribuiremos a dicha velocidad un carácter de vector axial. Representaremos a la velocidad angular mediante un vector hacia arriba (avance del sacacorchos) si el móvil describe la trayectoria en sentido contrario a las agujas del reloj. En el último caso, el vector velocidad angular está dirigido hacia abajo y es de mayor longitud ya que el móvil describe la circunferencia en el sentido de las agujas del reloj, y su módulo es mayor ya que el ángulo descrito en la unidad de tiempo también lo es. Por tanto, cuando un móvil realiza un movimiento en una trayectoria en la que recorre una circunferencia, su rapidez también puede expresarse como : Δθ ω= Δ t Si la velocidad angular de un móvil cambiase a lo largo del tiempo (supongamos que el intervalo fuese un segundo ) el cambio que experimenta la velocidad angular es lo que llamaremos aceleración angular. Ahora, una vez que hemos atribuído a la velocidad angular un carácter dirigido, afirmaremos que es un vector axial, es automático, que la nueva magnitud aceleración angular, tenga carácter de vector axial ya que surge como consecuencia de la resta de dos velocidades angulares.

6 La figura pretende recoger dichas ideas de forma gráfica. En el primer representamos la idea de que la velocidad angular aumentó a lo largo de un segundo, el incremento de la velocidad es la resta de las dos velocidades angulares, se origina el vector aceleración angular dirigido hacia abajo. (para hacer la resta hemos sumado al minuendo ω, el vector opuesto al sustraendo ω ; de ahí el sentido del vector α ) En el segundo de los casos, el decrecimiento de la velocidad angular a lo largo de un segundo resultado de la resta de otros dos vectores origina otra aceleración angular,diferente de la anterior, y que como puede verse tiene sentido contrario a la anterior. En la figura, de forma gráfica pretendemos representar estas sumas/restas de vectores. Son de la misma dirección y sentido.pero en un caso es menor el minuendo que el sustraendo y en otro, al revés. En general, para cualquier intervalo de tiempo podemos escribir que la aceleración angular es: Δω α= Δ t Dado que en la circunferencia, la longitud de su arco se puede calcular en función del ángulo central que lo abarca (si éste se expresa en radianes) ; puede relacionarse la velocidad angular con el módulo del vector velocidad mediante la sencilla relación : arco = ángulo central medido en radianes.x radio.

7 Es decir: arco = θ radio. Advertencia sobre la simbología empleada Llegado este punto debemos insistir en el hecho de que la anterior relación se cumple únicamente si la curva es una circunferencia, y cuando el ángulo a que nos referimos (el angulo central descrito por el móvil) se expresa en radianes. Respecto d la simbología con que se designa al ángulo central descrito, algunos autores lo representan con la letra griega θ, pero otros con la letra griega ϕ. Nosotros lo haremos unas veces con un signo y otras con otro para que al alumno se habitúa a emplear ambos símbolos para el ángulo cenrtal descrito. No obstante lo anterior, siempre, para representar a la velocidad angular o a la aceleración angular, todos los autores emplean las letras griegas ω y α La primera ventaja de haber introducido así los conceptos de velocidad angular y aceleración angular, consiste en que se unifica la forma de las ecuaciones de los movimientos de traslación y rotación. La segunda ventaja de referir el movimiento de rotación de una partícula mediante los conceptos ahora introducidos de velocidad angular y aceleración angular, es que nos permite introducir el concepto de cantidad de movimiento en rotación. Esta segunda ventaja, que por ahora no nos interesará, será de gran utilidad cuando comencemos el estudio de la dinámica Así pues, con un razonamiento idéntico al empleado en el tema en el que tratamos los movimientos de traslación, se pueden deducir las ecuaciones de los movimientos uniformes y acelerados en el caso de la rotación.

8 Recordemos Movimiento circular uniforme. Puede denominarse uniforme? Ya hemos dicho al comienzo que el móvil recorre arcos de circunferencia iguales en tiempos iguales. También podemos definir este movimiento como el de un móvil que describe ángulos iguales en tiempos iguales. Ya vimos como esta segunda definición nos permiten estudiar este movimiento en función del ángulo descrito (ahora le llamaremos ϕ) En consecuencia: Δϕ ϕ ϕ0 ω= ω= Δ t t t 0 Si consideramos que tanto los ángulos como los tiempos comienzan a medirse para un valor inicial cero, y despejamos ϕ, la ecuación toma la forma: ϕ =ω t Que podríamos leer diciendo, que: el ángulo girado al cabo de un cierto tiempo es el producto de la velocidad angular multiplicada por el tiempo Si nos fijamos, la ecuación tiene la misma forma que la que habíamos deducido para el caso de un movimiento a lo largo de una trayectoria recta y en el la velocidad permanecía constante. Recordamos al alumno que, en páginas anteriores afirmábamos: La primera ventaja de haber introducido así los conceptos de velocidad angular y aceleración angular, consiste en que se unifica la forma de las ecuaciones de los movimientos de traslación y rotación. Es obvio que la precedente ecuación, se parece mucho, en su aspecto a la que empleábamos para el movimiento rectilíneo y uniforme: e= v t Ya hemos dicho que, necesariamente, la unidad en que se tiene que expresar ω, es en radianes, y como consecuencia, la velocidad angular se expresará en radianes por segundo (rad/s).

9 En la vida diaria es frecuente expresar la velocidad angular en revoluciones por minuto (rpm). El alumno debe acostumbrarse también a esta doble manera de expresar la velocidad angular; π 1 rpm = rad / s 60 También acostumbran a emplearse otras denominaciones para referirse al tiempo en que el móvil da una vuelta completa, o al número de vueltas que se producen en cada segundo. Es obvio que ambas magnitudes son, una la inversa de la otra Llamaremos pues: Período (T ) al tiempo que tarda el móvil en dar una vuelta completa, es decir, al tiempo que tarda en describir un ángulo de π radianes.. Ffrecuencia (f) al número de vueltas que da en la unidad de tiempo (un segundo). Su unidad en el SI es el hertz (Hz) que equivale la una vuelta por segundo. En función de la frecuencia y el período, la velocidad angular se puede también escribir : π ω= o bien,,, ω =πt T Expresiones que prmiten obtener la velocidad angular en función del período o de la frecuencia. También vamos a deducir otra fórmula que nos va a permitir relacionar de modo inmediato la velocidad lineal con la angular. Si la longitud de la circunferencia es: la velocidad lineal en la trayectoria será: L = π r de donde deducimos que: π r v = T

10 v = ω r Si leemos la ecuación precedente, vemos que la velocidad lineal de un punto es directamente proporcional al radio, es decir a la distancia que le separa del centro. Ejemplo: Un caballo de un carrusel que gira con una velocidad angular de 1 radián por segundo se encuentra a 4 m del centro. Calcular: a) La velocidad lineal del caballo. b) El período y la frecuencia de su movimiento. c) La aceleración centrípeta. Solución: a) Sabemos que v=ω r = 14 = 4ms 1 b) El período será: T π π = = = 6, 8 ω 1 s La frecuencia es la inversa del período: f 1 = = 0,16 T Hz c) La aceleración centrípeta a c v 4 = = = 4 r 4 ms Movimiento circular uniformemente acelerado Si un objeto que gira aumenta o disminuye su velocidad angular tiene una aceleración angular. Δω Su valor viene dado por la expresión: α = Δ t Este es el valor de la aceleración angular durante un tiempo determinado o aceleración angular media. También podemos definir la que llamamos la aceleración angular instantánea: Δω α = lim Δ t 0 Δt

11 Como ya hemos visto al definir a velocidad instanténea, esta expresión es la derivada de la velocidad angular respeto del tiempo, que se representa así: α = dω dt Dado que estamos estudiando el movimiento circular uniformemente acelerado, la aceleración es constante y por lo tanto la aceleración instantánea tiene el mismo valor que la aceleración media y, en general, para calcular la aceleración en este tipo de movimiento, tomando t 0 = 0, tendremos que utilizar la fórmula: α = ω ω t t 0 0 Si despejamos la velocidad angular, obtenemos: ω =ω 0 +αt A continuación vamos a obtener la ecuación que nos dará el ángulo descrito: ω ω ω +ω +αt 1 ω = = =ω 0 + αt 1 ϕ =ω 0t+ αt ϕ=ω t m m En consecuencia: Repetimos para el movimiento circular uniformemente acelerado lo ya dicho en párrafos precedentes: Si nos fijamos, la ecuación tiene la misma forma que la que habíamos deducido para el caso de un movimiento a lo largo de una trayectoria recta y en el la velocidad variaba constante. Recordamos al alumno que, afirmábamos:

12 La primera ventaja de haber introducido así los conceptos de velocidad angular y aceleración angular, consiste en que se unifica la forma de las ecuaciones de los movimientos de traslación y rotación. Es obvio que la precedente ecuación, se parece mucho, en su aspecto a la que empleábamos para el movimiento rectilíneo y uniformemente acelerado: 1 e= vt± at En resumen Aconsejamos que, siempre que se trate de estudiar un movimiento en una trayectoria circular, recordar el paralelismo que hemos sugerido a lo largo de estas páginas. Tener presente que hemos deducido las ecuaciones y su patente parecido en lo se refiere a su aspecto formal. Para el movimiento rectilíneo y uniforme v = constante e= v t Para el movimiento circular uniforme ω= constante ϕ =ω t Para el movimiento rectilíneo y uniformemente acelerado vfinal = v0 ± at 1 e= v0t± at Para el movimiento circular uniformemente acelerado ω final =ω 0 ±αt 1 ϕ =ω 0t± αt

13 Recuerde: Cuando nos encontremos con un movimiento circular, y queramos encontrar el valor del módulo de la velocidad lineal del punto que recorre la circunferencia, que v = ωr Y si necesitamos encontrar la longitud del arco recorrido: arco = ángulo central medido en radianes.x radio. Recuerde también: Son muy útiles las relaciones anteriormente deducidas: a c v = r a t Δv = = Δt Δωr Δt at = α r o Ejemplo Un motor que gira 3000 rpm tiene un volante de inercia de 10 cm de radio. En un instante determinado, se desconecta el motor y el volante va decelerando uniformemente hasta pararse al fin y a la postre de minutos. Calcule: a) La aceleración angular del volante. b) La aceleración lineal de un punto de su periferia. c) El número de vueltas que dió antes de pararse.

14 Solución: En primer lugar pasamos todas las unidades al Sistema Internacional: mí = 10 s 10 cm = 0,1 m 3000 rev/mí = 3000 π rad/60 seg = 100π rad s -1 a) Aceleración angular: Δ ω ω ω 0 100π Δ t t t 10 1 α = = = = 0,6 rad s 1 b) Sabemos que : a =α r =,6 0,1 = 0, 6 ms t c) Hallamos el ángulo descrito: 1 1 ϕ=ω + α = π = 0t t , ,11 rad y pasando la revoluciones o vueltas: 1 rev 18835,11 rad = 18835,11 rad = 997, 7 rev π rad