Movimiento circular y gravitación (RC-87)

Transcripción

1 Movimiento circular y gravitación (RC-87) J. A. Montiel tosso (ies antonio galán acosta, córdoba) MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME (MCU) DESCRIPCIÓN DEL MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME Podemos decir que el movimiento circular es aquel cuya trayectoria es una circunferencia y el módulo de la velocidad es constante, es decir, recorre arcos iguales en tiempos iguales. Ahora estudiaremos cada uno de los parámetros del movimiento. VELOCIDAD ANGULAR Veamos el siguiente gráfico que representa un objeto P describiendo un movimiento circular, desde la posición P 1 hasta la P 2, tardando un tiempo t. Si unimos las posiciones del objeto con el centro de giro obtenemos su radiovector. En la figura se aprecia cómo el ángulo girado por el radiovector al cambiar de posición el cuerpo es n. Definimos la velocidad angular como: El ángulo se mide en Radianes (rad) y el tiempo en segundos. Por eso la velocidad angular se medirá en rad/s en el S I.

2 Ejercicio 1: Disponemos de una aguja indicadora que marca ángulos sobre una escala circular. Dicha aguja ha barrido un ángulo de 60º en los cinco primeros segundos, 120º a los diez segundos y 240º a los 20 s. Halla: a) El ángulo recorrido en cada caso, expresado en radianes. b) La velocidad angular del movimiento. c) El tiempo que tardará la aguja en describir una vuelta completa. Ejercicio 2: Convierte en grados los siguientes ángulos expresados en radianes: B/2, B/4, B, B/3, 3B/2 y 2B. VELOCIDAD ANGULAR Y VELOCIDAD LINEAL Sabemos que el arco s de circunferencia girado (en metros), o sea, el camino recorrido por el objeto se puede calcular multiplicando el ángulo descrito n (en radianes) por el valor del radio (en metros). Por tanto es sencillo sustituir en la expresión de la velocidad angular: Siendo v la velocidad lineal del objeto (el espacio recorrido s entre el tiempo t que dura el movimiento). Podemos decir que: o bien que Ejercicio 3: Expresa las siguientes velocidades angulares en la unidad internacional: 300 rpm, 120 rps. Ejercicio 4: Una rueda de 15 cm de radio gira a 90 rpm. Halla su velocidad angular en rad/s y la velocidad lineal de un punto de su periferia. Ejercicio 5: Calcula la velocidad angular de los siguientes movimientos: a) Rotación de la Tierra sobre su eje. b) Aguja horaria de un reloj c) Minutero de un reloj d) Segundero de un reloj.

3 ACELERACIÓN NORMAL O CENTRÍPETA El movimiento circular uniforme es un caso "especial", pues posee aceleración. Esto parece un contrasentido, ya que te preguntarás: Cómo un movimiento uniforme puede tener aceleración? Hay aceleración debido al cambio continuo de dirección del vector velocidad a lo largo de todo el movimiento. Dicha aceleración está siempre dirigida hacia el centro, por lo que se llama aceleración centrípeta. Por otro lado, este vector puede verse que es perpendicular (o normal) al vector velocidad en todo momento. Por ello también se le denomina aceleración normal. Su módulo se obtiene dividiendo el cuadrado de la velocidad entre el radio de la trayectoria: FRECUENCIA Y PERÍODO DEL M C U La frecuencia f es el número de vueltas dadas en un segundo. El período T es la magnitud inversa, es decir, el tiempo (en segundos) empleado en dar una vuelta completa. Ejercicio 6: Un aro de 35 cm de diámetro gira a razón de 3 vueltas en cada minuto. Determina el periodo y la frecuencia del movimiento y la aceleración centrípeta.

4 FUERZA CENTRÍPETA Ya vimos por la segunda ley de la dinámica que toda aceleración debe ser provocada por alguna fuerza. Así pues, la fuerza centrípeta es la fuerza que origina la aceleración centrípeta. Está dirigida hacia el centro de giro y se calcula multiplicando la masa del objeto en movimiento por la a c : Serías capaz de hallar una fórmula para Fc, similar a la anterior pero en función de la velocidad angular? Quién ejerce la Fc cuando giramos una piedra sujeta por una cuerda sobre nuestra cabeza? Y cuando la Tierra gira alrededor del Sol? Y para que la Luna describa su órbita en torno a la Tierra? Cuáles son las unidades internacionales de la fuerza centrípeta y de la aceleración centrípeta? Hay aceleración centrípeta en un movimiento rectilíneo? Ejercicio 7: Un niño tiene una piedra de 300 g atada a una cuerda de 50 cm de longitud y la agita sobre su cabeza provocando un movimiento circular en un plano horizontal cuya velocidad angular es de 60 rpm. Halla la fuerza centrípeta que actúa sobre la piedra. LA POSICIÓN DE LA TIERRA EN EL UNIVERSO Desde la antigua filosofía hasta el final de la Edad Media, el hombre había concebido dos modelos antagónicos del Universo. La teoría geocéntrica, propuesta por Ptolomeo y defendida por Aristóteles, suponía que la Tierra era el centro del Universo y colocaba en esferas concéntricas a todos los astros visibles, girando en perfectos círculos. La teoría heliocéntrica de Aristarco, perfeccionada por el astrónomo polaco Nicolás Copérnico y apoyada por el italiano Galileo Galilei en los albores de la física, a mediados del siglo XVII, señalaba al Sol como centro del sistema solar. LAS LEYES DEL MOVIMIENTO PLANETARIO Los estudios recopilados por el alemán Kepler que reunió muchos datos astronómicos, fundamentalmente de Tycho Brahe, le permitieron deducir tres leyes matemáticas acerca del movimiento planetario: 1ª.- Todos los planetas realizan órbitas elípticas en uno de cuyos focos está el Sol.

5 2ª.- La recta que une a los planetas y el Sol barre áreas iguales en tiempos iguales. 3ª.- El cuadrado del período el movimiento orbital del planeta es directamente proporcional al cubo de su distancia al Sol. Isaac Newton, en su famosa obra "Philosophiae naturalis principia mathematica", publicada en 1867, se basó en las leyes de Kepler para desarrollar su ley de gravitación universal. LEY DE LA GRAVITACIÓN UNIVERSAL Su enunciado es: "La fuerza con que se atraen dos objetos es directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa". En la figura se dibuja la fuerza F que la masa M realiza sobre la masa m, situada a una distancia r de M. Naturalmente, por la ley de acción y reacción, sobre M actuará una fuerza igual y contraria a F, que no hemos dibujado para simplificar la figura. G es la constante de gravitación universal y vale 6, N m 2 /kg 2. Ejercicio 8: Calcula la fuerza con que se atraen dos esferas de hierro de 6 kg cada una situadas a una distancia de 25 cm. Ejercicio 9: Con qué fuerza se atraen dos cuerpos separados 0,5 m y cuyas masas respectivas son 5 y 10 kg? Ejercicio 10: Dos masas de 5 y 6 kg se atraen con una fuerza de 6, N A qué distancia se encuentran? EL PESO DE LOS CUERPOS Y LA GRAVEDAD La fórmula de Newton es válida para explicar la atracción gravitatoria entre dos astros o la que existe entre un objeto pequeño, por ejemplo, una manzana y la

6 Tierra. Sabemos que el peso P de un cuerpo viene dado por el producto de su masa por la aceleración de la gravedad: Pero, al mismo tiempo este peso puede calcularse por la ley de Newton: donde M es la masa de la tierra y r su radio. Igualando obtenemos: Y despejando la aceleración de la gravedad nos queda Dónde es mayor la gravedad terrestre en la orilla del mar o en la cima de una montaña? En qué unidad se mide el peso? Indica si es una magnitud escalar o vectorial, justificando la respuesta. Ejercicio 11: La masa del Sol es kg y su radio 6, m. Cuál es el valor de g en su superficie? Cuánto pesaría allí un objeto de 50 kg? Ejercicio 12: Con qué fuerza se atraen el Sol, cuya masa se indica en el ejercicio anterior y la Tierra, de kg de masa, si están separados por una distancia de 150 millones de kilómetros? Ejercicio 13: Una persona pesa en la superficie terrestre 650 N. Cuánto pesará en la luna sabiendo que allí la gravedad es 1,6 m/s2? Ejercicio 14: El peso de un objeto en un determinado planeta es el doble que en la Tierra. Cuál será el valor de la gravedad en dicho planeta? Ejercicio 15: El radio de Júpiter es m y su masa 1, kg. Cuánto pesará allí un camión de 3 toneladas? Compara el resultado con el peso del camión en la Tierra. LAS MAREAS Y LAS ESTACIONES DEL AÑO La atracción gravitatoria de la luna y el sol causan el fenómeno de las mareas: Puedes obtener más información sobre las mareas en:

7 La inclinación del eje de rotación terrestre asociada con el movimiento de traslación de la Tierra en su órbita alrededor del Sol originan las diferentes estaciones. Puedes obtener más información en: IDEAS ACTUALES SOBRE EL ORIGEN Y EVOLUCIÓN DEL UNIVERSO El astrónomo norteamericano Edwin Hubble descubrió en 1938 que todas las galaxias se alejan entre sí a gran velocidad. Ellos sirvió de base para que el físico George Gamow propusiera en 1949 la teoría del Big Bang (o la Gran Explosión) para explicar el origen del universo. Según Gamow, todo lo que vemos se formó a partir de una concentración muy densa (prácticamente un punto geométrico) de materia que "estalló" y desde entonces ha ido enfriándose y aumentando de volumen, mientras se fueron formando las partículas, los átomos, las estrellas, los planetas