Guillermo Carrión Santiago 4 de enero de 2013

Transcripción

1 física I Guillermo Carrión Santiago 4 de enero de 2013 Espero que a todos os sirva y que podáis estudiar física como un matemático lo haría y sin patadas en el estomago. Si encontráis alguna errata avisad por favor. Índice 1. Cinemática Una dimensión Posición y desplazamiento Velocidad media Velocidad instantánea Aceleración Ecuaciones del movimiento Dos y tres dimensiones Vectores posición y desplazamiento Vector Velocidad Vector aceleración Casos particulares Movimiento parabólico, proyectiles Movimiento circular Dinámica Primera ley de Newton Segunda ley de Newton Tercera ley de Newton

2 1. Cinemática. En esta sección estudiaremos la rama de la física que se encarga de dar una explicación del movimiento de los cuerpos sin hacer uso de las fuerzas que intervienen en este Una dimensión. Si nos encontramos en una sola dimensión es claro que solo pueden ocurrir dos casos, que el cuerpo se mueva o que permanezca en reposo, es decir, no consideramos la dirección del móvil, solo el sentido Posición y desplazamiento. La posición de un móvil es el lugar del espacio que ocupa. Como estamos en una sola dimensión podemos representar el espacio como la recta real, por tanto, la posición se representa como el valor x i R donde decimos que está el móvil, normalmente, por comodidad, representamos x 0 = 0 es decir, que el valor inicial es 0, El desplazamiento, es lo que intuitivamente entendemos como el espacio que ha recorrido. Es decir el desplazamiento es x = x f x i Velocidad media. Supongamos x : [t 0, t 1 ] R, x(t) una función de t R (continua), donde t representa el tiempo y x(t) la posición del móvil en el instante t, entonces, definimos la velocidad media del móvil como x(t 1 ) x(t 0 ) t 1 t 0 Gráficamente, la velocidad media es la pendiente de la recta que corta a nuestra función x(t) en los puntos t 0 y t 1, y como se puede ver en la gráfica, esta pendiente va a variar según el intervalo que tomemos Velocidad instantánea. La velocidad media nos sirve para calcular de forma estimada la velocidad que se ha mantenido en un intervalo de tiempo, pero si tomamos el intervalo demasiado grande perdemos cierta información, para verlo más claro estudiemos el siguiente ejemplo. Supongamos dos coches que circulan por una recta de longitud lo suficientemente grande como para realizar el experimento. Sean A y B esos coches, con a(t), b(t) : [0, 14] R las funciones que relacionan el tiempo con la posición de estos cuerpos, donde a(t) = 1 2 t y donde b(t) = 0 si t [0, 7] y b(t) = t 7 en el resto. Calcula la velocidad media de ambos coches. Empecemos con A, vm A = = 1 2 y sin embargo para B, vb m = = 1 2 Con este ejemplo vemos que claramente perdemos información al tomar un intervalo demasiado grande, pero, si cada vez hacemos el intervalo más y más chico. Tomemos ahora v(t 1, t 2 ) = x(t2) x(t1) t 2 t 1 una función que dados dos valores reales (distintos) nos devuelve la velocidad media del móvil en el intervalo. Si cada vez hacemos que la distancia de ambos puntos sea más pequeña conseguimos un resultado que se parece cada vez más a la velocidad real que lleva el cuerpo, de ahí concluimos que existe una función v(t) = lím v(t t1 t 1, t) con la cual podremos 2

3 calcular la velocidad del móvil, además v(t) = x (t) siempre que x(t) sea derivable en todo su dominio (Que lo será siempre por que los físicos son así ) Aceleración. la aceleración, es la magnitud física que mide la variación de velocidad sufre un móvil, al igual que pasaba con la aceleración podemos distinguir entre aceleración media e instantánea, definidas de la misma forma. aceleración media : a m = v 1 v 0 t 1 t 0 aceleración instantanea: a(t) = v (t) La aceleración media tiene el mismo inconveniente que la velocidad media, al hacerla sobre un intervalo demasiado grande perdemos mucha información. Geométricamente, la interpretación de la velocidad con respecto a la velocidad es exactamente la misma que la de velocidad con respecto a la posición Ecuaciones del movimiento. Vamos a pasar a calcular las ecuaciones que nos ayudarán a resolver los problemas, Puede que resulte algo tedioso este calculo, pero no es imprescindible para la realización del problemas así que si el lector lo desea puede quedarse solamente con lo recuadrado y el caso particular de a(t) = a, es decir, cuando a(t) es una función constante. Los datos que tenemos son a(t) = v (t) y v(t) = x (t), de esos datos deducimos que: v(t) = a(t)dt + C sustituyendo tenemos que x(t) = [ a(t)dt + C ] dt + G = a(t)dtdt + Ct + G además sabemos que v(0) = v 0 y que x(0) = x 0 luego sustituyendo obtenemos que x(t) = a(t) dtdt + v 0 t + x 0 y que v(t) = v 0 + a(t)dt Un caso particular que es el que estudiaremos usualmente es cuando a(t) = a en ese caso obtenemos que v(t) = v 0 + at y también que x(t) = x 0 + v 0 t at Dos y tres dimensiones Vectores posición y desplazamiento. Cuando nos encontramos en dimensión superior a uno tenemos un problema evidente, Como vamos a representar la posición del móvil? pues es sencillo, recordemos que R n tenía estructura de espacio afín sobre el mismo, por lo que definimos la posición de un móvil como el punto en R n que ocupa dado un sistema de referencia. Esto parece muy complicado, pero recuerdo al lector que esto es una clase de fisica, por tanto el valor de n será n = 2 o n = 3 como mucho, y que lo único que necesitará conocer es que dado dos puntos, solo existe un vector que una dichos puntos. Tanto en clase como en los apuntes como en muchos libros (Seamos sinceros, solo he mirado el tipler) se trabaja con los vectores de la siguiente forma: v = v 1 i+v 2 j +v 3 k, esto es expresando constantemente el vector como combinación lineal de los vectores de la base B = {i, j, k} que no son más que unos vectores ortonormales cualesquiera, sin perdida de generalidad podemos suponer que son los vectores de la base cartesiana y expresar los vectores de esta forma: v = (v 1, v 2, v 3 ) y así simplificar tanto calculos como notación. (además de evitar usar la letra k, es muy fea). Tras esta explicación recordamos las definiciones. Posición: Es la representación del lugar que ocupa un cuerpo con respecto un sistema de referencia, se suele representar por p = (p 1, p 2, p 3 ), Desplazamiento: Es el (único) vector que une dos posiciones dadas, si x 1, x 2 son estas posiciones el desplazamiento será x = x 2 x 1 3

4 Vector Velocidad. Para hablar del vector velocidad primero debemos tener en cuenta la existencia de una función x(t) que represente la posición del móvil en cada tiempo. esta función tendrá que ser continua, igual que en el apartado anterior, además ahora x : [t 0, t f ] R n, vemos que la principal diferencia, es que ahora la función llega hasta R n, recuerdo al lector que vamos a representar los vectores de la forma v = (v 1, v 2, v 3 ) por tanto x(t) = (x 1 (t), x 2 (t), x 3 (t)), cada una de las componentes son funciones reales, lo que podemos definir velocidad instantanea y velocidad media, como las velocidades de las componentes, lo que reduce el problema a uno ya conocido. Velocidad media: v m = ( x1(t f ) x 1(t 0) t 0 t f, x2(t f ) x 2(t 0) t 0 t f, x3(t f ) x 3(t 0) t 0 t f ) Velocidad instantánea: x(t 1 ) x(t) v(t) = lím t1 t t 0 t Este ultimo limite se calcula pasando a las componentes Vector aceleración. Se define el vector aceleración media como el cociente entre la variación del vector velocidad instantania con respecto al tiempo. a m = v(t f ) v(t 0 ) t f t 0 Observamos ahora que la definición de aceleración hace referencia a la VARIACIÓN del vector velocidad, y, como la velocidad es un vector una variación de este es tanto como una variación de su modulo, como de su dirección, por tanto podrá descomponerse en aceleración tangencial, que será la proyección de la aceleración sobre el vector velocidad instantánea y aceleración normal que será la proyección sobre el perpendicular. El vector aceleración instantánea se calcula similar que el vector velocidad instantánea, v(t 1 ) v(t) a(t) = lím = v (t) t1 t t 0 t 1.3. Casos particulares Movimiento parabólico, proyectiles. Supongamos que lanzamos un proyectil desde la superficie con una cierta velocidad inicial v 0 y con un cierto angulo α con respecto el suelo, entonces es evidente que el proyectil tendrá una trayectoria similar a la imagen del lateral, esto ocurre porque en el eje vertical el movimiento es similar a una caída libre, y en el horizontal un movimiento rectilíneo uniforme. De esta forma separamos el movimiento en dos que ya hemos estudiado, en el eje x el movimiento rectilíneo uniforme, que tiene por ecuaciones x(t) = x 0 + v x t y v x (t) = v x, en el eje y tenemos el movimiento uniformemente acelerado, que tiene por ecuaciones y(t) = y 0 + v y t 1 2 gt2 y v y (t) = v y gt, donde v x = v 0 cos α, v y = v 0 sen α y g es la gravedad terrestre 4

5 Movimiento circular. El movimiento circular es aquel en el que la aceleración normal es no nula, en este caso, el móvil sufre una cierta modificación en su trayectoria. Por eso decimos que ahora la aceleración tiene una componente normal, perpendicular al vector velocidad, que tiene por módulo a c = v2 r si además experimenta una variación en el modulo de la velocidad, decimos que la aceleración tiene una componente tangencial que tiene por modulo a t (t) = d v(t) dt Un caso particular de este movimiento es cuando el modulo de la velocidad no varía, en ese caso se dice que el movimiento es circular uniforme 5

6 2. Dinámica Primera ley de Newton. Primera ley de Newton: Un objeto permanece en reposo, o movimiento rectilíneo uniforme a menos que sobre él actúe una fuerza externa. Por ejemplo, si en este sistema todas las fuerzas se encuentran compensadas, el sistema, se dice, que está en equilibrio, y este permanecerá en reposo, o movimiento rectilíneo uniforme, si inicialmente lo está. Sistemas de referencia inerciales. La primera ley de Newton no distingue si un cuerpo está en reposo o en M.R.U. esta distinción solo depende del sistema de referencia que tomemos. Consideremos el siguiente experimento, tenemos una caja totalmente cerrada y en ella hay una persona dentro jugando con un yo-yo, tanto si la caja se mueve con velocidad constante como si está quieta, el sujeto que está dentro no puede apreciar ese cambio. Pero si ahora aplicamos una fuerza, el sujeto de dentro puede observar como el yo-yo ya no sube y baja, sino que, además, se desvía en la dirección contraria a la aceleración. esto es lo que se denomina un sistema de referencia NO inercial. Ademas como vemos en la imagen, si el sistema de referencia lo situamos fuera de la caja, y esta se mueve con velocidad constante, el movimiento es un tiro horizontal Segunda ley de Newton. Segunda ley de Newton: La aceleración de un cuerpo es proporcional a la fuerza neta que actúa sobre él, e inversamente proporcional a su masa, así pues: F neta = m a 6

7 2.3. Tercera ley de Newton. Tercera ley de Newton: Las fuerzas siempre actuan por pares iguales y opuestos. Si el cuerpo A ejerce una fuerza F AB sobre el cuerpo B,éste ejerce una fuerza F BA igual pero opuesta sobre el cuerpo A, es decir, F AB = F BA Esta ley nos dice, que si empujamos la pared con una fuerza F la pared ejerce sobre nosotros una fuerza F en dirección contraria a la nuestra, esto no quiere decir que estas fuerzas se anulen, porque de hecho, no lo hacen ya que las fuerzas se realizan sobre dos cuerpos distintos. 7